Theorem dvferm2 26026

Description: One-sided version of dvferm 26027. A point 𝑈 which is the local maximum of its left neighborhood has derivative at least zero. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvferm.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm2.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))

Assertion

Ref	Expression
dvferm2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Proof of Theorem dvferm2

Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
2	1	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)))
3		oveq1 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 − 𝑈) = (𝑧 − 𝑈))
4	2, 3	oveq12d 7450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)))
5		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))
6		ovex 7465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 7015	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) → ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)))
8	7	fvoveq1d 7454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) = (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
9		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) → 𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
10	8, 9	breqan12rd 5159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})) → ((abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦 ↔ (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
11	10	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})) → (((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦) ↔ ((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
12	11	ralbidva 3175	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) → (∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
13	12	rexbidv 3178	. . . 4 ⊢ (𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) → (∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
14		dvferm.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
15		dvf 25943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
16		ffun 6738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℝ D 𝐹))
17		funfvbrb 7070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun (ℝ D 𝐹) → (𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
19	14, 18	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
20		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
21		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22		ax-resscn 11213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
24		dvferm.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
25		fss 6751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
26	24, 22, 25	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
27		dvferm.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
28	20, 21, 5, 23, 26, 27	eldv 25934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ (𝑈 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) limℂ 𝑈))))
29	19, 28	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) limℂ 𝑈)))
30	29	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) limℂ 𝑈))
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) limℂ 𝑈))
32	27, 22	sstrdi 3995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
33		dvferm.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
34		dvferm.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
35	33, 34	sseldd 3983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑋)
36	26, 32, 35	dvlem 25932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})) → (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)) ∈ ℂ)
37	36	fmpttd 7134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))):(𝑋 ∖ {𝑈})⟶ℂ)
38	37	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))):(𝑋 ∖ {𝑈})⟶ℂ)
39	32	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → 𝑋 ⊆ ℂ)
40	39	ssdifssd 4146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → (𝑋 ∖ {𝑈}) ⊆ ℂ)
41	32, 35	sseldd 3983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
42	41	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → 𝑈 ∈ ℂ)
43	38, 40, 42	ellimc3 25915	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) limℂ 𝑈) ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦))))
44	31, 43	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦)))
45	44	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦))
46		dvfre 25990	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
47	24, 27, 46	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
48	47, 14	ffvelcdmd 7104	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
49	48	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
50	49	renegcld 11691	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
51	48	lt0neg1d 11833	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0 ↔ 0 < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
52	51	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → 0 < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
53	50, 52	elrpd 13075	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ+)
54	13, 45, 53	rspcdva 3622	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
55	24	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
56	27	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑋 ⊆ ℝ)
57	34	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
58	33	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
59	14	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
60		dvferm2.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
61	60	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
62		simpllr 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0)
63		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑢 ∈ ℝ+)
64		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
65		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑢), (𝑈 − 𝑢), 𝐴) + 𝑈) / 2) = ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑢), (𝑈 − 𝑢), 𝐴) + 𝑈) / 2)
66	55, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64, 65	dvferm2lem 26025	. . . . 5 ⊢ ¬ (((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
67	66	imnani 400	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
68	67	nrexdv 3148	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → ¬ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
69	54, 68	pm2.65da 816	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0)
70		0re 11264	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
71		lenlt 11340	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ¬ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0))
72	70, 48, 71	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ¬ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0))
73	69, 72	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ∖ cdif 3947   ⊆ wss 3950  ifcif 4524  {csn 4625   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5684  Fun wfun 6554  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℝcr 11155  0cc0 11156   + caddc 11159   < clt 11296   ≤ cle 11297   − cmin 11493  -cneg 11494   / cdiv 11921  2c2 12322  ℝ⁺crp 13035  (,)cioo 13388  abscabs 15274   ↾_t crest 17466  TopOpenctopn 17467  ℂ_fldccnfld 21365  intcnt 23026   lim_ℂ climc 25898   D cdv 25899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-icc 13395  df-fz 13549  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17468  df-topn 17469  df-topgen 17489  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903

This theorem is referenced by:  dvferm  26027  dvivthlem1  26048