Theorem dvferm2 25504

Description: One-sided version of dvferm 25505. A point 𝑈 which is the local maximum of its left neighborhood has derivative at least zero. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvferm.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm2.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))

Assertion

Ref	Expression
dvferm2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Proof of Theorem dvferm2

Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
2	1	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)))
3		oveq1 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 − 𝑈) = (𝑧 − 𝑈))
4	2, 3	oveq12d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)))
5		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))
6		ovex 7442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) → ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)))
8	7	fvoveq1d 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) = (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
9		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) → 𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
10	8, 9	breqan12rd 5166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})) → ((abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦 ↔ (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
11	10	imbi2d 341	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})) → (((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦) ↔ ((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
12	11	ralbidva 3176	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) → (∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
13	12	rexbidv 3179	. . . 4 ⊢ (𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) → (∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
14		dvferm.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
15		dvf 25424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
16		ffun 6721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℝ D 𝐹))
17		funfvbrb 7053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun (ℝ D 𝐹) → (𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
19	14, 18	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
20		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
21		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22		ax-resscn 11167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
24		dvferm.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
25		fss 6735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
26	24, 22, 25	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
27		dvferm.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
28	20, 21, 5, 23, 26, 27	eldv 25415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ (𝑈 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) limℂ 𝑈))))
29	19, 28	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) limℂ 𝑈)))
30	29	simprd 497	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) limℂ 𝑈))
31	30	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) limℂ 𝑈))
32	27, 22	sstrdi 3995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
33		dvferm.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
34		dvferm.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
35	33, 34	sseldd 3984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑋)
36	26, 32, 35	dvlem 25413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})) → (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)) ∈ ℂ)
37	36	fmpttd 7115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))):(𝑋 ∖ {𝑈})⟶ℂ)
38	37	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))):(𝑋 ∖ {𝑈})⟶ℂ)
39	32	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → 𝑋 ⊆ ℂ)
40	39	ssdifssd 4143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → (𝑋 ∖ {𝑈}) ⊆ ℂ)
41	32, 35	sseldd 3984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
42	41	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → 𝑈 ∈ ℂ)
43	38, 40, 42	ellimc3 25396	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) limℂ 𝑈) ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦))))
44	31, 43	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦)))
45	44	simprd 497	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦))
46		dvfre 25468	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
47	24, 27, 46	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
48	47, 14	ffvelcdmd 7088	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
49	48	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
50	49	renegcld 11641	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
51	48	lt0neg1d 11783	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0 ↔ 0 < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
52	51	biimpa 478	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → 0 < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
53	50, 52	elrpd 13013	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ+)
54	13, 45, 53	rspcdva 3614	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
55	24	ad3antrrr 729	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
56	27	ad3antrrr 729	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑋 ⊆ ℝ)
57	34	ad3antrrr 729	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
58	33	ad3antrrr 729	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
59	14	ad3antrrr 729	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
60		dvferm2.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
61	60	ad3antrrr 729	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
62		simpllr 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0)
63		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑢 ∈ ℝ+)
64		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
65		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑢), (𝑈 − 𝑢), 𝐴) + 𝑈) / 2) = ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑢), (𝑈 − 𝑢), 𝐴) + 𝑈) / 2)
66	55, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64, 65	dvferm2lem 25503	. . . . 5 ⊢ ¬ (((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
67	66	imnani 402	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
68	67	nrexdv 3150	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → ¬ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
69	54, 68	pm2.65da 816	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0)
70		0re 11216	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
71		lenlt 11292	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ¬ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0))
72	70, 48, 71	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ¬ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0))
73	69, 72	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   ∖ cdif 3946   ⊆ wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  Fun wfun 6538  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  ℝcr 11109  0cc0 11110   + caddc 11113   < clt 11248   ≤ cle 11249   − cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  2c2 12267  ℝ⁺crp 12974  (,)cioo 13324  abscabs 15181   ↾_t crest 17366  TopOpenctopn 17367  ℂ_fldccnfld 20944  intcnt 22521   lim_ℂ climc 25379   D cdv 25380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-icc 13331  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384

This theorem is referenced by:  dvferm  25505  dvivthlem1  25525