Theorem dvferm2 26197

Description: One-sided version of dvferm 26198. A point 𝑈 which is the local maximum of its left neighborhood has derivative at least zero. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvferm.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm2.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))

Assertion

Ref	Expression
dvferm2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Proof of Theorem dvferm2

Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
2	1	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)))
3		oveq1 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 − 𝑈) = (𝑧 − 𝑈))
4	2, 3	oveq12d 7437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)))
5		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))
6		ovex 7452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) → ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)))
8	7	fvoveq1d 7441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) = (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
9		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) → 𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
10	8, 9	breqan12rd 5128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})) → ((abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦 ↔ (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
11	10	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})) → (((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦) ↔ ((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
12	11	ralbidva 3188	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) → (∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
13	12	rexbidv 3191	. . . 4 ⊢ (𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) → (∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
14		dvferm.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
15		dvf 26117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
16		ffun 6712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℝ D 𝐹))
17		funfvbrb 7050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun (ℝ D 𝐹) → (𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
19	14, 18	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
20		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
21		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22		ax-resscn 11172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
24		dvferm.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
25		fss 6726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
26	24, 22, 25	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
27		dvferm.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
28	20, 21, 5, 23, 26, 27	eldv 26108	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ (𝑈 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) limℂ 𝑈))))
29	19, 28	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) limℂ 𝑈)))
30	29	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) limℂ 𝑈))
31	30	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) limℂ 𝑈))
32	27, 22	sstrdi 3950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
33		dvferm.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
34		dvferm.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
35	33, 34	sseldd 3939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑋)
36	26, 32, 35	dvlem 26106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})) → (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)) ∈ ℂ)
37	36	fmpttd 7114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))):(𝑋 ∖ {𝑈})⟶ℂ)
38	37	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))):(𝑋 ∖ {𝑈})⟶ℂ)
39	32	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → 𝑋 ⊆ ℂ)
40	39	ssdifssd 4101	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → (𝑋 ∖ {𝑈}) ⊆ ℂ)
41	32, 35	sseldd 3939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
42	41	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → 𝑈 ∈ ℂ)
43	38, 40, 42	ellimc3 26089	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) limℂ 𝑈) ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦))))
44	31, 43	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦)))
45	44	simprd 501	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦))
46		dvfre 26161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
47	24, 27, 46	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
48	47, 14	ffvelcdmd 7084	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
49	48	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
50	49	renegcld 11656	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
51	48	lt0neg1d 11798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0 ↔ 0 < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
52	51	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → 0 < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
53	50, 52	elrpd 13073	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ+)
54	13, 45, 53	rspcdva 3584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
55	24	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
56	27	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑋 ⊆ ℝ)
57	34	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
58	33	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
59	14	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
60		dvferm2.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
61	60	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
62		simpllr 788	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0)
63		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑢 ∈ ℝ+)
64		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
65		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑢), (𝑈 − 𝑢), 𝐴) + 𝑈) / 2) = ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑢), (𝑈 − 𝑢), 𝐴) + 𝑈) / 2)
66	55, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64, 65	dvferm2lem 26196	. . . . 5 ⊢ ¬ (((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
67	66	imnani 406	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
68	67	nrexdv 3162	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → ¬ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
69	54, 68	pm2.65da 829	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0)
70		0re 11225	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
71		lenlt 11303	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ¬ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0))
72	70, 48, 71	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ¬ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0))
73	69, 72	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  ifcif 4489  {csn 4591   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  dom cdm 5663  Fun wfun 6534  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  ℝcr 11114  0cc0 11115   + caddc 11118   < clt 11258   ≤ cle 11259   − cmin 11456  -cneg 11457   / cdiv 11886  2c2 12310  ℝ⁺crp 13032  (,)cioo 13388  abscabs 15309   ↾_t crest 17495  TopOpenctopn 17496  ℂ_fldccnfld 21572  intcnt 23224   lim_ℂ climc 26072   D cdv 26073

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-ioo 13392  df-icc 13395  df-fz 13552  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-struct 17229  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-rest 17497  df-topn 17498  df-topgen 17518  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-met 21566  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-fbas 21569  df-fg 21570  df-cnfld 21573  df-top 23101  df-topon 23118  df-topsp 23140  df-bases 23153  df-cld 23226  df-ntr 23227  df-cls 23228  df-nei 23305  df-lp 23343  df-perf 23344  df-cn 23434  df-cnp 23435  df-haus 23522  df-fil 24054  df-fm 24146  df-flim 24147  df-flf 24148  df-xms 24528  df-ms 24529  df-cncf 25088  df-limc 26076  df-dv 26077

This theorem is used by:  dvferm  26198  dvivthlem1  26218