Theorem dvferm2 26040

Description: One-sided version of dvferm 26041. A point 𝑈 which is the local maximum of its left neighborhood has derivative at least zero. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvferm.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm2.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))

Assertion

Ref	Expression
dvferm2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Proof of Theorem dvferm2

Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
2	1	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)))
3		oveq1 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 − 𝑈) = (𝑧 − 𝑈))
4	2, 3	oveq12d 7449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)))
5		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))
6		ovex 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 7016	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) → ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)))
8	7	fvoveq1d 7453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) = (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
9		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) → 𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
10	8, 9	breqan12rd 5165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})) → ((abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦 ↔ (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
11	10	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})) → (((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦) ↔ ((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
12	11	ralbidva 3174	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) → (∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
13	12	rexbidv 3177	. . . 4 ⊢ (𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) → (∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
14		dvferm.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
15		dvf 25957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
16		ffun 6740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℝ D 𝐹))
17		funfvbrb 7071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun (ℝ D 𝐹) → (𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
19	14, 18	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
20		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
21		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22		ax-resscn 11210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
24		dvferm.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
25		fss 6753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
26	24, 22, 25	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
27		dvferm.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
28	20, 21, 5, 23, 26, 27	eldv 25948	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ (𝑈 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) limℂ 𝑈))))
29	19, 28	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) limℂ 𝑈)))
30	29	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) limℂ 𝑈))
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) limℂ 𝑈))
32	27, 22	sstrdi 4008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
33		dvferm.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
34		dvferm.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
35	33, 34	sseldd 3996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑋)
36	26, 32, 35	dvlem 25946	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})) → (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)) ∈ ℂ)
37	36	fmpttd 7135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))):(𝑋 ∖ {𝑈})⟶ℂ)
38	37	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))):(𝑋 ∖ {𝑈})⟶ℂ)
39	32	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → 𝑋 ⊆ ℂ)
40	39	ssdifssd 4157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → (𝑋 ∖ {𝑈}) ⊆ ℂ)
41	32, 35	sseldd 3996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
42	41	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → 𝑈 ∈ ℂ)
43	38, 40, 42	ellimc3 25929	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) limℂ 𝑈) ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦))))
44	31, 43	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦)))
45	44	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦))
46		dvfre 26004	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
47	24, 27, 46	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
48	47, 14	ffvelcdmd 7105	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
49	48	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
50	49	renegcld 11688	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
51	48	lt0neg1d 11830	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0 ↔ 0 < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
52	51	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → 0 < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
53	50, 52	elrpd 13072	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ+)
54	13, 45, 53	rspcdva 3623	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
55	24	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
56	27	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑋 ⊆ ℝ)
57	34	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
58	33	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
59	14	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
60		dvferm2.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
61	60	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
62		simpllr 776	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0)
63		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑢 ∈ ℝ+)
64		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
65		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑢), (𝑈 − 𝑢), 𝐴) + 𝑈) / 2) = ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑢), (𝑈 − 𝑢), 𝐴) + 𝑈) / 2)
66	55, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64, 65	dvferm2lem 26039	. . . . 5 ⊢ ¬ (((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
67	66	imnani 400	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
68	67	nrexdv 3147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → ¬ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
69	54, 68	pm2.65da 817	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0)
70		0re 11261	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
71		lenlt 11337	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ¬ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0))
72	70, 48, 71	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ¬ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0))
73	69, 72	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  ifcif 4531  {csn 4631   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5689  Fun wfun 6557  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  2c2 12319  ℝ⁺crp 13032  (,)cioo 13384  abscabs 15270   ↾_t crest 17467  TopOpenctopn 17468  ℂ_fldccnfld 21382  intcnt 23041   lim_ℂ climc 25912   D cdv 25913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-icc 13391  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17469  df-topn 17470  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917

This theorem is referenced by:  dvferm  26041  dvivthlem1  26062