Theorem dvferm2 26214

Description: One-sided version of dvferm 26215. A point 𝑈 which is the local maximum of its left neighborhood has derivative at least zero. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvferm.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm2.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))

Assertion

Ref	Expression
dvferm2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Proof of Theorem dvferm2

Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
2	1	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)))
3		oveq1 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 − 𝑈) = (𝑧 − 𝑈))
4	2, 3	oveq12d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)))
5		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))
6		ovex 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) → ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)))
8	7	fvoveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) = (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
9		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) → 𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
10	8, 9	breqan12rd 5120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})) → ((abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦 ↔ (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
11	10	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})) → (((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦) ↔ ((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
12	11	ralbidva 3183	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) → (∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
13	12	rexbidv 3186	. . . 4 ⊢ (𝑦 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) → (∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
14		dvferm.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
15		dvf 26134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
16		ffun 6705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℝ D 𝐹))
17		funfvbrb 7043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun (ℝ D 𝐹) → (𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
19	14, 18	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
20		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
21		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22		ax-resscn 11181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
24		dvferm.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
25		fss 6719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
26	24, 22, 25	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
27		dvferm.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
28	20, 21, 5, 23, 26, 27	eldv 26125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ (𝑈 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) limℂ 𝑈))))
29	19, 28	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) limℂ 𝑈)))
30	29	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) limℂ 𝑈))
31	30	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) limℂ 𝑈))
32	27, 22	sstrdi 3943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
33		dvferm.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
34		dvferm.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
35	33, 34	sseldd 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑋)
36	26, 32, 35	dvlem 26123	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})) → (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)) ∈ ℂ)
37	36	fmpttd 7108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))):(𝑋 ∖ {𝑈})⟶ℂ)
38	37	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))):(𝑋 ∖ {𝑈})⟶ℂ)
39	32	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → 𝑋 ⊆ ℂ)
40	39	ssdifssd 4094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → (𝑋 ∖ {𝑈}) ⊆ ℂ)
41	32, 35	sseldd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
42	41	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → 𝑈 ∈ ℂ)
43	38, 40, 42	ellimc3 26106	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈))) limℂ 𝑈) ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦))))
44	31, 43	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦)))
45	44	simprd 501	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑥 − 𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦))
46		dvfre 26178	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
47	24, 27, 46	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
48	47, 14	ffvelcdmd 7078	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
49	48	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
50	49	renegcld 11665	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
51	48	lt0neg1d 11807	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0 ↔ 0 < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
52	51	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → 0 < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
53	50, 52	elrpd 13083	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ+)
54	13, 45, 53	rspcdva 3577	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
55	24	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
56	27	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑋 ⊆ ℝ)
57	34	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
58	33	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
59	14	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
60		dvferm2.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
61	60	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
62		simpllr 788	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0)
63		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑢 ∈ ℝ+)
64		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
65		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑢), (𝑈 − 𝑢), 𝐴) + 𝑈) / 2) = ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑢), (𝑈 − 𝑢), 𝐴) + 𝑈) / 2)
66	55, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64, 65	dvferm2lem 26213	. . . . 5 ⊢ ¬ (((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
67	66	imnani 406	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
68	67	nrexdv 3157	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0) → ¬ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
69	54, 68	pm2.65da 829	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0)
70		0re 11234	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
71		lenlt 11312	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ¬ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0))
72	70, 48, 71	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ¬ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0))
73	69, 72	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ifcif 4482  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5655  Fun wfun 6527  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124   + caddc 11127   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11465  -cneg 11466   / cdiv 11895  2c2 12319  ℝ⁺crp 13042  (,)cioo 13398  abscabs 15321   ↾_t crest 17505  TopOpenctopn 17506  ℂ_fldccnfld 21585  intcnt 23242   lim_ℂ climc 26089   D cdv 26090

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-icc 13405  df-fz 13562  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-struct 17239  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-rest 17507  df-topn 17508  df-topgen 17528  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-fbas 21582  df-fg 21583  df-cnfld 21586  df-top 23119  df-topon 23136  df-topsp 23158  df-bases 23171  df-cld 23244  df-ntr 23245  df-cls 23246  df-nei 23323  df-lp 23361  df-perf 23362  df-cn 23452  df-cnp 23453  df-haus 23540  df-fil 24072  df-fm 24164  df-flim 24165  df-flf 24166  df-xms 24546  df-ms 24547  df-cncf 25106  df-limc 26093  df-dv 26094

This theorem is used by:  dvferm  26215  dvivthlem1  26235