MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcjbr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcjbr 25690
Description: The derivative of the conjugate of a function. For the (simpler but more limited) function version, see dvcj 25691. (This doesn't follow from dvcobr 25687 because βˆ— is not a function on the reals, and even if we used complex derivatives, βˆ— is not complex-differentiable.) (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcj.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvcj.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
dvcj.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
Assertion
Ref Expression
dvcjbr (πœ‘ β†’ 𝐢(ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))(βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)))

Proof of Theorem dvcjbr
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 11169 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
21a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
3 dvcj.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
4 dvcj.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
5 eqid 2732 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
65tgioo2 24539 . . . 4 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
72, 3, 4, 6, 5dvbssntr 25641 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) βŠ† ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘‹))
8 dvcj.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
97, 8sseldd 3983 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘‹))
104, 1sstrdi 3994 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
111a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
12 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
13 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
1411, 12, 13dvbss 25642 . . . . . . . 8 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ dom (ℝ D 𝐹) βŠ† 𝑋)
153, 4, 14syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) βŠ† 𝑋)
1615, 8sseldd 3983 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
173, 10, 16dvlem 25637 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
1817fmpttd 7116 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))):(𝑋 βˆ– {𝐢})βŸΆβ„‚)
19 ssidd 4005 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
205cnfldtopon 24519 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
2120toponrestid 22643 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
22 dvf 25648 . . . . . . . 8 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚
23 ffun 6720 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚ β†’ Fun (ℝ D 𝐹))
24 funfvbrb 7052 . . . . . . . 8 (Fun (ℝ D 𝐹) β†’ (𝐢 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐢(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)))
2522, 23, 24mp2b 10 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐢(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ))
268, 25sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ))
27 eqid 2732 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) = (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))
286, 5, 27, 2, 3, 4eldv 25639 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ) ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘‹) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ) ∈ ((π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
2926, 28mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘‹) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ) ∈ ((π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢)))
3029simprd 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ) ∈ ((π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
31 cjcncf 24644 . . . . . 6 βˆ— ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
325cncfcn1 24651 . . . . . 6 (ℂ–cnβ†’β„‚) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
3331, 32eleqtri 2831 . . . . 5 βˆ— ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
3422ffvelcdmi 7085 . . . . . 6 (𝐢 ∈ dom (ℝ D 𝐹) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ) ∈ β„‚)
358, 34syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ) ∈ β„‚)
36 unicntop 24522 . . . . . 6 β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
3736cncnpi 23002 . . . . 5 ((βˆ— ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ) ∈ β„‚) β†’ βˆ— ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)))
3833, 35, 37sylancr 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ— ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)))
3918, 19, 5, 21, 30, 38limccnp 25632 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)) ∈ ((βˆ— ∘ (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢))
40 cjf 15055 . . . . . . 7 βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚
4140a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚)
4241, 17cofmpt 7132 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ— ∘ (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))) = (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (βˆ—β€˜(((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))))
433adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
44 eldifi 4126 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
4544adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
4643, 45ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
473, 16ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
4847adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
4946, 48subcld 11575 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
504sselda 3982 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5144, 50sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
524, 16sseldd 3983 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
5352adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
5451, 53resubcld 11646 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐢) ∈ ℝ)
5554recnd 11246 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
5651recnd 11246 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
5753recnd 11246 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
58 eldifsni 4793 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) β†’ π‘₯ β‰  𝐢)
5958adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ π‘₯ β‰  𝐢)
6056, 57, 59subne0d 11584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐢) β‰  0)
6149, 55, 60cjdivd 15174 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (βˆ—β€˜(((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) = ((βˆ—β€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) / (βˆ—β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐢))))
62 cjsub 15100 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) = ((βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜πΆ))))
6346, 48, 62syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (βˆ—β€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) = ((βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜πΆ))))
64 fvco3 6990 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
653, 44, 64syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
66 fvco3 6990 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ) = (βˆ—β€˜(πΉβ€˜πΆ)))
673, 16, 66syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ) = (βˆ—β€˜(πΉβ€˜πΆ)))
6867adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ) = (βˆ—β€˜(πΉβ€˜πΆ)))
6965, 68oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) = ((βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜πΆ))))
7063, 69eqtr4d 2775 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (βˆ—β€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) = (((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)))
7154cjred 15177 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (βˆ—β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐢)) = (π‘₯ βˆ’ 𝐢))
7270, 71oveq12d 7429 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ ((βˆ—β€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) / (βˆ—β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐢))) = ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))
7361, 72eqtrd 2772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (βˆ—β€˜(((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) = ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))
7473mpteq2dva 5248 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (βˆ—β€˜(((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))) = (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))))
7542, 74eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ— ∘ (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))) = (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))))
7675oveq1d 7426 . . 3 (πœ‘ β†’ ((βˆ— ∘ (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢) = ((π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
7739, 76eleqtrd 2835 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)) ∈ ((π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
78 eqid 2732 . . 3 (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) = (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))
79 fco 6741 . . . 4 ((βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚) β†’ (βˆ— ∘ 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚)
8040, 3, 79sylancr 587 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ— ∘ 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚)
816, 5, 78, 2, 80, 4eldv 25639 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢(ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))(βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)) ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘‹) ∧ (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)) ∈ ((π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
829, 77, 81mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ 𝐢(ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))(βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677   ∘ ccom 5680  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  (,)cioo 13328  βˆ—ccj 15047  TopOpenctopn 17371  topGenctg 17387  β„‚fldccnfld 21144  intcnt 22741   Cn ccn 22948   CnP ccnp 22949  β€“cnβ†’ccncf 24616   limβ„‚ climc 25603   D cdv 25604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-icc 13335  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-rest 17372  df-topn 17373  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-cncf 24618  df-limc 25607  df-dv 25608
This theorem is referenced by:  dvcj  25691
  Copyright terms: Public domain W3C validator