Theorem dvcjbr 25018

Description: The derivative of the conjugate of a function. For the (simpler but more limited) function version, see dvcj 25019. (This doesn't follow from dvcobr 25015 because ∗ is not a function on the reals, and even if we used complex derivatives, ∗ is not complex-differentiable.) (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcj.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcj.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
dvcj.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
dvcjbr	⊢ (𝜑 → 𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))

Proof of Theorem dvcjbr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 10859	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		dvcj.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
4		dvcj.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
5		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6	5	tgioo2 23872	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
7	2, 3, 4, 6, 5	dvbssntr 24969	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
8		dvcj.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
9	7, 8	sseldd 3918	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
10	4, 1	sstrdi 3929	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
11	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
12		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
13		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝑋 ⊆ ℝ)
14	11, 12, 13	dvbss 24970	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
15	3, 4, 14	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
16	15, 8	sseldd 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
17	3, 10, 16	dvlem 24965	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)) ∈ ℂ)
18	17	fmpttd 6971	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))):(𝑋 ∖ {𝐶})⟶ℂ)
19		ssidd 3940	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
20	5	cnfldtopon 23852	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
21	20	toponrestid 21978	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
22		dvf 24976	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
23		ffun 6587	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℝ D 𝐹))
24		funfvbrb 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun (ℝ D 𝐹) → (𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
25	22, 23, 24	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶))
26	8, 25	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶))
27		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
28	6, 5, 27, 2, 3, 4	eldv 24967	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
29	26, 28	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶)))
30	29	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
31		cjcncf 23973	. . . . . 6 ⊢ ∗ ∈ (ℂ–cn→ℂ)
32	5	cncfcn1 23980	. . . . . 6 ⊢ (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
33	31, 32	eleqtri 2837	. . . . 5 ⊢ ∗ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
34	22	ffvelrni 6942	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹) → ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
35	8, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
36		unicntop 23855	. . . . . 6 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
37	36	cncnpi 22337	. . . . 5 ⊢ ((∗ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ) → ∗ ∈ (((TopOpen‘ℂfld) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
38	33, 35, 37	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∗ ∈ (((TopOpen‘ℂfld) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
39	18, 19, 5, 21, 30, 38	limccnp 24960	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((∗ ∘ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) limℂ 𝐶))
40		cjf 14743	. . . . . . 7 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
41	40	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∗:ℂ⟶ℂ)
42	41, 17	cofmpt 6986	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))))
43	3	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
44		eldifi 4057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) → 𝑥 ∈ 𝑋)
45	44	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑥 ∈ 𝑋)
46	43, 45	ffvelrnd 6944	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
47	3, 16	ffvelrnd 6944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
48	47	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
49	46, 48	subcld 11262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
50	4	sselda 3917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
51	44, 50	sylan2 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑥 ∈ ℝ)
52	4, 16	sseldd 3918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
53	52	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ ℝ)
54	51, 53	resubcld 11333	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝑥 − 𝐶) ∈ ℝ)
55	54	recnd 10934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝑥 − 𝐶) ∈ ℂ)
56	51	recnd 10934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑥 ∈ ℂ)
57	53	recnd 10934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ ℂ)
58		eldifsni 4720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) → 𝑥 ≠ 𝐶)
59	58	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑥 ≠ 𝐶)
60	56, 57, 59	subne0d 11271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝑥 − 𝐶) ≠ 0)
61	49, 55, 60	cjdivd 14862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = ((∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) / (∗‘(𝑥 − 𝐶))))
62		cjsub 14788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ) → (∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) = ((∗‘(𝐹‘𝑥)) − (∗‘(𝐹‘𝐶))))
63	46, 48, 62	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) = ((∗‘(𝐹‘𝑥)) − (∗‘(𝐹‘𝐶))))
64		fvco3 6849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) = (∗‘(𝐹‘𝑥)))
65	3, 44, 64	syl2an 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) = (∗‘(𝐹‘𝑥)))
66		fvco3 6849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹‘𝐶)))
67	3, 16, 66	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹‘𝐶)))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹‘𝐶)))
69	65, 68	oveq12d 7273	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) = ((∗‘(𝐹‘𝑥)) − (∗‘(𝐹‘𝐶))))
70	63, 69	eqtr4d 2781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) = (((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)))
71	54	cjred 14865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (∗‘(𝑥 − 𝐶)) = (𝑥 − 𝐶))
72	70, 71	oveq12d 7273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) / (∗‘(𝑥 − 𝐶))) = ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
73	61, 72	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
74	73	mpteq2dva 5170	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))))
75	42, 74	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))))
76	75	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) limℂ 𝐶) = ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
77	39, 76	eleqtrd 2841	. 2 ⊢ (𝜑 → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
78		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
79		fco 6608	. . . 4 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
80	40, 3, 79	sylancr 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
81	6, 5, 78, 2, 80, 4	eldv 24967	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
82	9, 77, 81	mpbir2and 709	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {csn 4558   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580  ran crn 5581   ∘ ccom 5584  Fun wfun 6412  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801   − cmin 11135   / cdiv 11562  (,)cioo 13008  ∗ccj 14735  TopOpenctopn 17049  topGenctg 17065  ℂ_fldccnfld 20510  intcnt 22076   Cn ccn 22283   CnP ccnp 22284  –cn→ccncf 23945   lim_ℂ climc 24931   D cdv 24932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-icc 13015  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-rest 17050  df-topn 17051  df-topgen 17071  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936

This theorem is referenced by:  dvcj  25019