MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcjbr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcjbr 25313
Description: The derivative of the conjugate of a function. For the (simpler but more limited) function version, see dvcj 25314. (This doesn't follow from dvcobr 25310 because is not a function on the reals, and even if we used complex derivatives, is not complex-differentiable.) (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcj.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcj.x (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
dvcj.c (𝜑𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
Assertion
Ref Expression
dvcjbr (𝜑𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))

Proof of Theorem dvcjbr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 11108 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3 dvcj.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
4 dvcj.x . . . 4 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
5 eqid 2736 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
65tgioo2 24166 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
72, 3, 4, 6, 5dvbssntr 25264 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
8 dvcj.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
97, 8sseldd 3945 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
104, 1sstrdi 3956 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
111a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
12 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
13 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝑋 ⊆ ℝ)
1411, 12, 13dvbss 25265 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
153, 4, 14syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
1615, 8sseldd 3945 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑋)
173, 10, 16dvlem 25260 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)) ∈ ℂ)
1817fmpttd 7063 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶))):(𝑋 ∖ {𝐶})⟶ℂ)
19 ssidd 3967 . . . 4 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
205cnfldtopon 24146 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
2120toponrestid 22270 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
22 dvf 25271 . . . . . . . 8 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
23 ffun 6671 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℝ D 𝐹))
24 funfvbrb 7001 . . . . . . . 8 (Fun (ℝ D 𝐹) → (𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
2522, 23, 24mp2b 10 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶))
268, 25sylib 217 . . . . . 6 (𝜑𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶))
27 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)))
286, 5, 27, 2, 3, 4eldv 25262 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶))) lim 𝐶))))
2926, 28mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶))) lim 𝐶)))
3029simprd 496 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶))) lim 𝐶))
31 cjcncf 24267 . . . . . 6 ∗ ∈ (ℂ–cn→ℂ)
325cncfcn1 24274 . . . . . 6 (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3331, 32eleqtri 2836 . . . . 5 ∗ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3422ffvelcdmi 7034 . . . . . 6 (𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹) → ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
358, 34syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
36 unicntop 24149 . . . . . 6 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
3736cncnpi 22629 . . . . 5 ((∗ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ) → ∗ ∈ (((TopOpen‘ℂfld) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
3833, 35, 37sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → ∗ ∈ (((TopOpen‘ℂfld) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
3918, 19, 5, 21, 30, 38limccnp 25255 . . 3 (𝜑 → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((∗ ∘ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)))) lim 𝐶))
40 cjf 14989 . . . . . . 7 ∗:ℂ⟶ℂ
4140a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ∗:ℂ⟶ℂ)
4241, 17cofmpt 7078 . . . . 5 (𝜑 → (∗ ∘ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (∗‘(((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)))))
433adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
44 eldifi 4086 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) → 𝑥𝑋)
4544adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑥𝑋)
4643, 45ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
473, 16ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
4847adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
4946, 48subcld 11512 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
504sselda 3944 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
5144, 50sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑥 ∈ ℝ)
524, 16sseldd 3945 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
5352adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ ℝ)
5451, 53resubcld 11583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝑥𝐶) ∈ ℝ)
5554recnd 11183 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝑥𝐶) ∈ ℂ)
5651recnd 11183 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑥 ∈ ℂ)
5753recnd 11183 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ ℂ)
58 eldifsni 4750 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) → 𝑥𝐶)
5958adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑥𝐶)
6056, 57, 59subne0d 11521 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝑥𝐶) ≠ 0)
6149, 55, 60cjdivd 15108 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (∗‘(((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶))) = ((∗‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶))) / (∗‘(𝑥𝐶))))
62 cjsub 15034 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐶) ∈ ℂ) → (∗‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶))) = ((∗‘(𝐹𝑥)) − (∗‘(𝐹𝐶))))
6346, 48, 62syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (∗‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶))) = ((∗‘(𝐹𝑥)) − (∗‘(𝐹𝐶))))
64 fvco3 6940 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑥𝑋) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) = (∗‘(𝐹𝑥)))
653, 44, 64syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) = (∗‘(𝐹𝑥)))
66 fvco3 6940 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐶𝑋) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹𝐶)))
673, 16, 66syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹𝐶)))
6867adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹𝐶)))
6965, 68oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) = ((∗‘(𝐹𝑥)) − (∗‘(𝐹𝐶))))
7063, 69eqtr4d 2779 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (∗‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶))) = (((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)))
7154cjred 15111 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (∗‘(𝑥𝐶)) = (𝑥𝐶))
7270, 71oveq12d 7375 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((∗‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶))) / (∗‘(𝑥𝐶))) = ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶)))
7361, 72eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (∗‘(((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶))) = ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶)))
7473mpteq2dva 5205 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (∗‘(((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶))))
7542, 74eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → (∗ ∘ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶))))
7675oveq1d 7372 . . 3 (𝜑 → ((∗ ∘ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)))) lim 𝐶) = ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶))) lim 𝐶))
7739, 76eleqtrd 2840 . 2 (𝜑 → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶))) lim 𝐶))
78 eqid 2736 . . 3 (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶)))
79 fco 6692 . . . 4 ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
8040, 3, 79sylancr 587 . . 3 (𝜑 → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
816, 5, 78, 2, 80, 4eldv 25262 . 2 (𝜑 → (𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶))) lim 𝐶))))
829, 77, 81mpbir2and 711 1 (𝜑𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cdif 3907  wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  ran crn 5634  ccom 5637  Fun wfun 6490  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  cmin 11385   / cdiv 11812  (,)cioo 13264  ccj 14981  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  fldccnfld 20796  intcnt 22368   Cn ccn 22575   CnP ccnp 22576  cnccncf 24239   lim climc 25226   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-icc 13271  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-rest 17304  df-topn 17305  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  dvcj  25314
  Copyright terms: Public domain W3C validator