Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcjbr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcjbr 24461
 Description: The derivative of the conjugate of a function. For the (simpler but more limited) function version, see dvcj 24462. (This doesn't follow from dvcobr 24458 because ∗ is not a function on the reals, and even if we used complex derivatives, ∗ is not complex-differentiable.) (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcj.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcj.x (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
dvcj.c (𝜑𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
Assertion
Ref Expression
dvcjbr (𝜑𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))

Proof of Theorem dvcjbr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 10586 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3 dvcj.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
4 dvcj.x . . . 4 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
5 eqid 2824 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
65tgioo2 23326 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
72, 3, 4, 6, 5dvbssntr 24413 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
8 dvcj.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
97, 8sseldd 3971 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
104, 1syl6ss 3982 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
111a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
12 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
13 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝑋 ⊆ ℝ)
1411, 12, 13dvbss 24414 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
153, 4, 14syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
1615, 8sseldd 3971 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑋)
173, 10, 16dvlem 24409 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)) ∈ ℂ)
1817fmpttd 6874 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶))):(𝑋 ∖ {𝐶})⟶ℂ)
19 ssidd 3993 . . . 4 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
205cnfldtopon 23306 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
2120toponrestid 21445 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
22 dvf 24420 . . . . . . . 8 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
23 ffun 6513 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℝ D 𝐹))
24 funfvbrb 6816 . . . . . . . 8 (Fun (ℝ D 𝐹) → (𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
2522, 23, 24mp2b 10 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶))
268, 25sylib 219 . . . . . 6 (𝜑𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶))
27 eqid 2824 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)))
286, 5, 27, 2, 3, 4eldv 24411 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶))) lim 𝐶))))
2926, 28mpbid 233 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶))) lim 𝐶)))
3029simprd 496 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶))) lim 𝐶))
31 cjcncf 23427 . . . . . 6 ∗ ∈ (ℂ–cn→ℂ)
325cncfcn1 23433 . . . . . 6 (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3331, 32eleqtri 2915 . . . . 5 ∗ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3422ffvelrni 6845 . . . . . 6 (𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹) → ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
358, 34syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
36 unicntop 23309 . . . . . 6 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
3736cncnpi 21802 . . . . 5 ((∗ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ) → ∗ ∈ (((TopOpen‘ℂfld) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
3833, 35, 37sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → ∗ ∈ (((TopOpen‘ℂfld) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
3918, 19, 5, 21, 30, 38limccnp 24404 . . 3 (𝜑 → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((∗ ∘ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)))) lim 𝐶))
40 cjf 14456 . . . . . . 7 ∗:ℂ⟶ℂ
4140a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ∗:ℂ⟶ℂ)
4241, 17cofmpt 6889 . . . . 5 (𝜑 → (∗ ∘ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (∗‘(((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)))))
433adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
44 eldifi 4106 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) → 𝑥𝑋)
4544adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑥𝑋)
4643, 45ffvelrnd 6847 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
473, 16ffvelrnd 6847 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
4847adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
4946, 48subcld 10989 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
504sselda 3970 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
5144, 50sylan2 592 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑥 ∈ ℝ)
524, 16sseldd 3971 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
5352adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ ℝ)
5451, 53resubcld 11060 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝑥𝐶) ∈ ℝ)
5554recnd 10661 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝑥𝐶) ∈ ℂ)
5651recnd 10661 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑥 ∈ ℂ)
5753recnd 10661 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ ℂ)
58 eldifsni 4720 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) → 𝑥𝐶)
5958adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑥𝐶)
6056, 57, 59subne0d 10998 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝑥𝐶) ≠ 0)
6149, 55, 60cjdivd 14575 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (∗‘(((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶))) = ((∗‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶))) / (∗‘(𝑥𝐶))))
62 cjsub 14501 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐶) ∈ ℂ) → (∗‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶))) = ((∗‘(𝐹𝑥)) − (∗‘(𝐹𝐶))))
6346, 48, 62syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (∗‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶))) = ((∗‘(𝐹𝑥)) − (∗‘(𝐹𝐶))))
64 fvco3 6756 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑥𝑋) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) = (∗‘(𝐹𝑥)))
653, 44, 64syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) = (∗‘(𝐹𝑥)))
66 fvco3 6756 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐶𝑋) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹𝐶)))
673, 16, 66syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹𝐶)))
6867adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹𝐶)))
6965, 68oveq12d 7169 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) = ((∗‘(𝐹𝑥)) − (∗‘(𝐹𝐶))))
7063, 69eqtr4d 2863 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (∗‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶))) = (((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)))
7154cjred 14578 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (∗‘(𝑥𝐶)) = (𝑥𝐶))
7270, 71oveq12d 7169 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((∗‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶))) / (∗‘(𝑥𝐶))) = ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶)))
7361, 72eqtrd 2860 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (∗‘(((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶))) = ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶)))
7473mpteq2dva 5157 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (∗‘(((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶))))
7542, 74eqtrd 2860 . . . 4 (𝜑 → (∗ ∘ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶))))
7675oveq1d 7166 . . 3 (𝜑 → ((∗ ∘ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)))) lim 𝐶) = ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶))) lim 𝐶))
7739, 76eleqtrd 2919 . 2 (𝜑 → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶))) lim 𝐶))
78 eqid 2824 . . 3 (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶)))
79 fco 6527 . . . 4 ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
8040, 3, 79sylancr 587 . . 3 (𝜑 → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
816, 5, 78, 2, 80, 4eldv 24411 . 2 (𝜑 → (𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶))) lim 𝐶))))
829, 77, 81mpbir2and 709 1 (𝜑𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2106   ≠ wne 3020   ∖ cdif 3936   ⊆ wss 3939  {csn 4563   class class class wbr 5062   ↦ cmpt 5142  dom cdm 5553  ran crn 5554   ∘ ccom 5557  Fun wfun 6345  ⟶wf 6347  ‘cfv 6351  (class class class)co 7151  ℂcc 10527  ℝcr 10528   − cmin 10862   / cdiv 11289  (,)cioo 12731  ∗ccj 14448  TopOpenctopn 16687  topGenctg 16703  ℂfldccnfld 20461  intcnt 21541   Cn ccn 21748   CnP ccnp 21749  –cn→ccncf 23399   limℂ climc 24375   D cdv 24376 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-13 2385  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-icc 12738  df-fz 12886  df-seq 13363  df-exp 13423  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-rest 16688  df-topn 16689  df-topgen 16709  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-fbas 20458  df-fg 20459  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cld 21543  df-ntr 21544  df-cls 21545  df-nei 21622  df-lp 21660  df-perf 21661  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-haus 21839  df-fil 22370  df-fm 22462  df-flim 22463  df-flf 22464  df-xms 22845  df-ms 22846  df-cncf 23401  df-limc 24379  df-dv 24380 This theorem is referenced by:  dvcj  24462
 Copyright terms: Public domain W3C validator