Theorem dvcjbr 25887

Description: The derivative of the conjugate of a function. For the (simpler but more limited) function version, see dvcj 25888. (This doesn't follow from dvcobr 25883 because ∗ is not a function on the reals, and even if we used complex derivatives, ∗ is not complex-differentiable.) (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcj.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcj.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
dvcj.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
dvcjbr	⊢ (𝜑 → 𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))

Proof of Theorem dvcjbr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11103	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		dvcj.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
4		dvcj.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
5		tgioo4 24727	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
6		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
7	2, 3, 4, 5, 6	dvbssntr 25835	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
8		dvcj.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
9	7, 8	sseldd 3944	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
10	4, 1	sstrdi 3956	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
11	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
12		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
13		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝑋 ⊆ ℝ)
14	11, 12, 13	dvbss 25836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
15	3, 4, 14	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
16	15, 8	sseldd 3944	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
17	3, 10, 16	dvlem 25831	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)) ∈ ℂ)
18	17	fmpttd 7069	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))):(𝑋 ∖ {𝐶})⟶ℂ)
19		ssidd 3967	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
20	6	cnfldtopon 24704	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
21	20	toponrestid 22842	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
22		dvf 25842	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
23		ffun 6673	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℝ D 𝐹))
24		funfvbrb 7005	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun (ℝ D 𝐹) → (𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
25	22, 23, 24	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶))
26	8, 25	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶))
27		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
28	5, 6, 27, 2, 3, 4	eldv 25833	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
29	26, 28	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶)))
30	29	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
31		cjcncf 24831	. . . . . 6 ⊢ ∗ ∈ (ℂ–cn→ℂ)
32	6	cncfcn1 24838	. . . . . 6 ⊢ (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
33	31, 32	eleqtri 2826	. . . . 5 ⊢ ∗ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
34	22	ffvelcdmi 7037	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹) → ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
35	8, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
36		unicntop 24707	. . . . . 6 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
37	36	cncnpi 23199	. . . . 5 ⊢ ((∗ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ) → ∗ ∈ (((TopOpen‘ℂfld) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
38	33, 35, 37	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∗ ∈ (((TopOpen‘ℂfld) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
39	18, 19, 6, 21, 30, 38	limccnp 25826	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((∗ ∘ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) limℂ 𝐶))
40		cjf 15047	. . . . . . 7 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
41	40	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∗:ℂ⟶ℂ)
42	41, 17	cofmpt 7086	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))))
43	3	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
44		eldifi 4090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) → 𝑥 ∈ 𝑋)
45	44	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑥 ∈ 𝑋)
46	43, 45	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
47	3, 16	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
48	47	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
49	46, 48	subcld 11511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
50	4	sselda 3943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
51	44, 50	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑥 ∈ ℝ)
52	4, 16	sseldd 3944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
53	52	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ ℝ)
54	51, 53	resubcld 11584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝑥 − 𝐶) ∈ ℝ)
55	54	recnd 11180	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝑥 − 𝐶) ∈ ℂ)
56	51	recnd 11180	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑥 ∈ ℂ)
57	53	recnd 11180	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ ℂ)
58		eldifsni 4750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) → 𝑥 ≠ 𝐶)
59	58	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑥 ≠ 𝐶)
60	56, 57, 59	subne0d 11520	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝑥 − 𝐶) ≠ 0)
61	49, 55, 60	cjdivd 15166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = ((∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) / (∗‘(𝑥 − 𝐶))))
62		cjsub 15092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ) → (∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) = ((∗‘(𝐹‘𝑥)) − (∗‘(𝐹‘𝐶))))
63	46, 48, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) = ((∗‘(𝐹‘𝑥)) − (∗‘(𝐹‘𝐶))))
64		fvco3 6942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) = (∗‘(𝐹‘𝑥)))
65	3, 44, 64	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) = (∗‘(𝐹‘𝑥)))
66		fvco3 6942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹‘𝐶)))
67	3, 16, 66	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹‘𝐶)))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹‘𝐶)))
69	65, 68	oveq12d 7387	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) = ((∗‘(𝐹‘𝑥)) − (∗‘(𝐹‘𝐶))))
70	63, 69	eqtr4d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) = (((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)))
71	54	cjred 15169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (∗‘(𝑥 − 𝐶)) = (𝑥 − 𝐶))
72	70, 71	oveq12d 7387	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) / (∗‘(𝑥 − 𝐶))) = ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
73	61, 72	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
74	73	mpteq2dva 5195	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))))
75	42, 74	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))))
76	75	oveq1d 7384	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) limℂ 𝐶) = ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
77	39, 76	eleqtrd 2830	. 2 ⊢ (𝜑 → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
78		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
79		fco 6694	. . . 4 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
80	40, 3, 79	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
81	5, 6, 78, 2, 80, 4	eldv 25833	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
82	9, 77, 81	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3908   ⊆ wss 3911  {csn 4585   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  dom cdm 5631  ran crn 5632   ∘ ccom 5635  Fun wfun 6493  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11044  ℝcr 11045   − cmin 11383   / cdiv 11813  (,)cioo 13284  ∗ccj 15039  TopOpenctopn 17361  topGenctg 17377  ℂ_fldccnfld 21297  intcnt 22938   Cn ccn 23145   CnP ccnp 23146  –cn→ccncf 24803   lim_ℂ climc 25797   D cdv 25798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123  ax-pre-sup 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-4 12229  df-5 12230  df-6 12231  df-7 12232  df-8 12233  df-9 12234  df-n0 12421  df-z 12508  df-dec 12628  df-uz 12772  df-q 12886  df-rp 12930  df-xneg 13050  df-xadd 13051  df-xmul 13052  df-ioo 13288  df-icc 13291  df-fz 13447  df-seq 13945  df-exp 14005  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17094  df-slot 17129  df-ndx 17141  df-base 17157  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17362  df-topn 17363  df-topgen 17383  df-psmet 21289  df-xmet 21290  df-met 21291  df-bl 21292  df-mopn 21293  df-fbas 21294  df-fg 21295  df-cnfld 21298  df-top 22815  df-topon 22832  df-topsp 22854  df-bases 22867  df-cld 22940  df-ntr 22941  df-cls 22942  df-nei 23019  df-lp 23057  df-perf 23058  df-cn 23148  df-cnp 23149  df-haus 23236  df-fil 23767  df-fm 23859  df-flim 23860  df-flf 23861  df-xms 24242  df-ms 24243  df-cncf 24805  df-limc 25801  df-dv 25802

This theorem is referenced by:  dvcj  25888