MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcjbr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcjbr 25466
Description: The derivative of the conjugate of a function. For the (simpler but more limited) function version, see dvcj 25467. (This doesn't follow from dvcobr 25463 because βˆ— is not a function on the reals, and even if we used complex derivatives, βˆ— is not complex-differentiable.) (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcj.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvcj.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
dvcj.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
Assertion
Ref Expression
dvcjbr (πœ‘ β†’ 𝐢(ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))(βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)))

Proof of Theorem dvcjbr
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 11167 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
21a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
3 dvcj.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
4 dvcj.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
5 eqid 2733 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
65tgioo2 24319 . . . 4 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
72, 3, 4, 6, 5dvbssntr 25417 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) βŠ† ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘‹))
8 dvcj.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
97, 8sseldd 3984 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘‹))
104, 1sstrdi 3995 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
111a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
12 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
13 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
1411, 12, 13dvbss 25418 . . . . . . . 8 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ dom (ℝ D 𝐹) βŠ† 𝑋)
153, 4, 14syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) βŠ† 𝑋)
1615, 8sseldd 3984 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
173, 10, 16dvlem 25413 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
1817fmpttd 7115 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))):(𝑋 βˆ– {𝐢})βŸΆβ„‚)
19 ssidd 4006 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
205cnfldtopon 24299 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
2120toponrestid 22423 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
22 dvf 25424 . . . . . . . 8 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚
23 ffun 6721 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚ β†’ Fun (ℝ D 𝐹))
24 funfvbrb 7053 . . . . . . . 8 (Fun (ℝ D 𝐹) β†’ (𝐢 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐢(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)))
2522, 23, 24mp2b 10 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐢(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ))
268, 25sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ))
27 eqid 2733 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) = (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))
286, 5, 27, 2, 3, 4eldv 25415 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ) ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘‹) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ) ∈ ((π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
2926, 28mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘‹) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ) ∈ ((π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢)))
3029simprd 497 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ) ∈ ((π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
31 cjcncf 24420 . . . . . 6 βˆ— ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
325cncfcn1 24427 . . . . . 6 (ℂ–cnβ†’β„‚) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
3331, 32eleqtri 2832 . . . . 5 βˆ— ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
3422ffvelcdmi 7086 . . . . . 6 (𝐢 ∈ dom (ℝ D 𝐹) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ) ∈ β„‚)
358, 34syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ) ∈ β„‚)
36 unicntop 24302 . . . . . 6 β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
3736cncnpi 22782 . . . . 5 ((βˆ— ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ) ∈ β„‚) β†’ βˆ— ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)))
3833, 35, 37sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ— ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)))
3918, 19, 5, 21, 30, 38limccnp 25408 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)) ∈ ((βˆ— ∘ (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢))
40 cjf 15051 . . . . . . 7 βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚
4140a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚)
4241, 17cofmpt 7130 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ— ∘ (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))) = (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (βˆ—β€˜(((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))))
433adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
44 eldifi 4127 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
4544adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
4643, 45ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
473, 16ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
4847adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
4946, 48subcld 11571 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
504sselda 3983 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5144, 50sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
524, 16sseldd 3984 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
5352adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
5451, 53resubcld 11642 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐢) ∈ ℝ)
5554recnd 11242 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
5651recnd 11242 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
5753recnd 11242 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
58 eldifsni 4794 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) β†’ π‘₯ β‰  𝐢)
5958adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ π‘₯ β‰  𝐢)
6056, 57, 59subne0d 11580 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐢) β‰  0)
6149, 55, 60cjdivd 15170 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (βˆ—β€˜(((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) = ((βˆ—β€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) / (βˆ—β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐢))))
62 cjsub 15096 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) = ((βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜πΆ))))
6346, 48, 62syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (βˆ—β€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) = ((βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜πΆ))))
64 fvco3 6991 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
653, 44, 64syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
66 fvco3 6991 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ) = (βˆ—β€˜(πΉβ€˜πΆ)))
673, 16, 66syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ) = (βˆ—β€˜(πΉβ€˜πΆ)))
6867adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ) = (βˆ—β€˜(πΉβ€˜πΆ)))
6965, 68oveq12d 7427 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) = ((βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜πΆ))))
7063, 69eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (βˆ—β€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) = (((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)))
7154cjred 15173 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (βˆ—β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐢)) = (π‘₯ βˆ’ 𝐢))
7270, 71oveq12d 7427 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ ((βˆ—β€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) / (βˆ—β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐢))) = ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))
7361, 72eqtrd 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (βˆ—β€˜(((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) = ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))
7473mpteq2dva 5249 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (βˆ—β€˜(((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))) = (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))))
7542, 74eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ— ∘ (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))) = (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))))
7675oveq1d 7424 . . 3 (πœ‘ β†’ ((βˆ— ∘ (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢) = ((π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
7739, 76eleqtrd 2836 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)) ∈ ((π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
78 eqid 2733 . . 3 (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) = (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))
79 fco 6742 . . . 4 ((βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚) β†’ (βˆ— ∘ 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚)
8040, 3, 79sylancr 588 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ— ∘ 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚)
816, 5, 78, 2, 80, 4eldv 25415 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢(ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))(βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)) ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘‹) ∧ (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)) ∈ ((π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
829, 77, 81mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ 𝐢(ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))(βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678   ∘ ccom 5681  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  (,)cioo 13324  βˆ—ccj 15043  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  β„‚fldccnfld 20944  intcnt 22521   Cn ccn 22728   CnP ccnp 22729  β€“cnβ†’ccncf 24392   limβ„‚ climc 25379   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-icc 13331  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  dvcj  25467
  Copyright terms: Public domain W3C validator