Theorem dvcjbr 25350

Description: The derivative of the conjugate of a function. For the (simpler but more limited) function version, see dvcj 25351. (This doesn't follow from dvcobr 25347 because ∗ is not a function on the reals, and even if we used complex derivatives, ∗ is not complex-differentiable.) (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcj.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcj.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
dvcj.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
dvcjbr	⊢ (𝜑 → 𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))

Proof of Theorem dvcjbr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11117	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		dvcj.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
4		dvcj.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
5		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6	5	tgioo2 24203	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
7	2, 3, 4, 6, 5	dvbssntr 25301	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
8		dvcj.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
9	7, 8	sseldd 3948	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
10	4, 1	sstrdi 3959	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
11	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
12		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
13		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝑋 ⊆ ℝ)
14	11, 12, 13	dvbss 25302	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
15	3, 4, 14	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
16	15, 8	sseldd 3948	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
17	3, 10, 16	dvlem 25297	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)) ∈ ℂ)
18	17	fmpttd 7068	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))):(𝑋 ∖ {𝐶})⟶ℂ)
19		ssidd 3970	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
20	5	cnfldtopon 24183	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
21	20	toponrestid 22307	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
22		dvf 25308	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
23		ffun 6676	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℝ D 𝐹))
24		funfvbrb 7006	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun (ℝ D 𝐹) → (𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
25	22, 23, 24	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶))
26	8, 25	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶))
27		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
28	6, 5, 27, 2, 3, 4	eldv 25299	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
29	26, 28	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶)))
30	29	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
31		cjcncf 24304	. . . . . 6 ⊢ ∗ ∈ (ℂ–cn→ℂ)
32	5	cncfcn1 24311	. . . . . 6 ⊢ (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
33	31, 32	eleqtri 2830	. . . . 5 ⊢ ∗ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
34	22	ffvelcdmi 7039	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹) → ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
35	8, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
36		unicntop 24186	. . . . . 6 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
37	36	cncnpi 22666	. . . . 5 ⊢ ((∗ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ) → ∗ ∈ (((TopOpen‘ℂfld) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
38	33, 35, 37	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∗ ∈ (((TopOpen‘ℂfld) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
39	18, 19, 5, 21, 30, 38	limccnp 25292	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((∗ ∘ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) limℂ 𝐶))
40		cjf 15001	. . . . . . 7 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
41	40	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∗:ℂ⟶ℂ)
42	41, 17	cofmpt 7083	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))))
43	3	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
44		eldifi 4091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) → 𝑥 ∈ 𝑋)
45	44	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑥 ∈ 𝑋)
46	43, 45	ffvelcdmd 7041	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
47	3, 16	ffvelcdmd 7041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
48	47	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
49	46, 48	subcld 11521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
50	4	sselda 3947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
51	44, 50	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑥 ∈ ℝ)
52	4, 16	sseldd 3948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ ℝ)
54	51, 53	resubcld 11592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝑥 − 𝐶) ∈ ℝ)
55	54	recnd 11192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝑥 − 𝐶) ∈ ℂ)
56	51	recnd 11192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑥 ∈ ℂ)
57	53	recnd 11192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ ℂ)
58		eldifsni 4755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) → 𝑥 ≠ 𝐶)
59	58	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑥 ≠ 𝐶)
60	56, 57, 59	subne0d 11530	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝑥 − 𝐶) ≠ 0)
61	49, 55, 60	cjdivd 15120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = ((∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) / (∗‘(𝑥 − 𝐶))))
62		cjsub 15046	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ) → (∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) = ((∗‘(𝐹‘𝑥)) − (∗‘(𝐹‘𝐶))))
63	46, 48, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) = ((∗‘(𝐹‘𝑥)) − (∗‘(𝐹‘𝐶))))
64		fvco3 6945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) = (∗‘(𝐹‘𝑥)))
65	3, 44, 64	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) = (∗‘(𝐹‘𝑥)))
66		fvco3 6945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹‘𝐶)))
67	3, 16, 66	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹‘𝐶)))
68	67	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹‘𝐶)))
69	65, 68	oveq12d 7380	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) = ((∗‘(𝐹‘𝑥)) − (∗‘(𝐹‘𝐶))))
70	63, 69	eqtr4d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) = (((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)))
71	54	cjred 15123	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (∗‘(𝑥 − 𝐶)) = (𝑥 − 𝐶))
72	70, 71	oveq12d 7380	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) / (∗‘(𝑥 − 𝐶))) = ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
73	61, 72	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
74	73	mpteq2dva 5210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))))
75	42, 74	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))))
76	75	oveq1d 7377	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) limℂ 𝐶) = ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
77	39, 76	eleqtrd 2834	. 2 ⊢ (𝜑 → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
78		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
79		fco 6697	. . . 4 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
80	40, 3, 79	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
81	6, 5, 78, 2, 80, 4	eldv 25299	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
82	9, 77, 81	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  ran crn 5639   ∘ ccom 5642  Fun wfun 6495  ⟶wf 6497  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  ℂcc 11058  ℝcr 11059   − cmin 11394   / cdiv 11821  (,)cioo 13274  ∗ccj 14993  TopOpenctopn 17317  topGenctg 17333  ℂ_fldccnfld 20833  intcnt 22405   Cn ccn 22612   CnP ccnp 22613  –cn→ccncf 24276   lim_ℂ climc 25263   D cdv 25264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9356  df-sup 9387  df-inf 9388  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-q 12883  df-rp 12925  df-xneg 13042  df-xadd 13043  df-xmul 13044  df-ioo 13278  df-icc 13281  df-fz 13435  df-seq 13917  df-exp 13978  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-struct 17030  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-starv 17162  df-tset 17166  df-ple 17167  df-ds 17169  df-unif 17170  df-rest 17318  df-topn 17319  df-topgen 17339  df-psmet 20825  df-xmet 20826  df-met 20827  df-bl 20828  df-mopn 20829  df-fbas 20830  df-fg 20831  df-cnfld 20834  df-top 22280  df-topon 22297  df-topsp 22319  df-bases 22333  df-cld 22407  df-ntr 22408  df-cls 22409  df-nei 22486  df-lp 22524  df-perf 22525  df-cn 22615  df-cnp 22616  df-haus 22703  df-fil 23234  df-fm 23326  df-flim 23327  df-flf 23328  df-xms 23710  df-ms 23711  df-cncf 24278  df-limc 25267  df-dv 25268

This theorem is referenced by:  dvcj  25351