MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcjbr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcjbr 25336
Description: The derivative of the conjugate of a function. For the (simpler but more limited) function version, see dvcj 25337. (This doesn't follow from dvcobr 25333 because βˆ— is not a function on the reals, and even if we used complex derivatives, βˆ— is not complex-differentiable.) (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcj.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvcj.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
dvcj.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
Assertion
Ref Expression
dvcjbr (πœ‘ β†’ 𝐢(ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))(βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)))

Proof of Theorem dvcjbr
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 11116 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
21a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
3 dvcj.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
4 dvcj.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
5 eqid 2733 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
65tgioo2 24189 . . . 4 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
72, 3, 4, 6, 5dvbssntr 25287 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) βŠ† ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘‹))
8 dvcj.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
97, 8sseldd 3949 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘‹))
104, 1sstrdi 3960 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
111a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
12 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
13 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
1411, 12, 13dvbss 25288 . . . . . . . 8 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ dom (ℝ D 𝐹) βŠ† 𝑋)
153, 4, 14syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) βŠ† 𝑋)
1615, 8sseldd 3949 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
173, 10, 16dvlem 25283 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
1817fmpttd 7067 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))):(𝑋 βˆ– {𝐢})βŸΆβ„‚)
19 ssidd 3971 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
205cnfldtopon 24169 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
2120toponrestid 22293 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
22 dvf 25294 . . . . . . . 8 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚
23 ffun 6675 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚ β†’ Fun (ℝ D 𝐹))
24 funfvbrb 7005 . . . . . . . 8 (Fun (ℝ D 𝐹) β†’ (𝐢 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐢(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)))
2522, 23, 24mp2b 10 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐢(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ))
268, 25sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ))
27 eqid 2733 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) = (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))
286, 5, 27, 2, 3, 4eldv 25285 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ) ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘‹) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ) ∈ ((π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
2926, 28mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘‹) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ) ∈ ((π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢)))
3029simprd 497 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ) ∈ ((π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
31 cjcncf 24290 . . . . . 6 βˆ— ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
325cncfcn1 24297 . . . . . 6 (ℂ–cnβ†’β„‚) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
3331, 32eleqtri 2832 . . . . 5 βˆ— ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
3422ffvelcdmi 7038 . . . . . 6 (𝐢 ∈ dom (ℝ D 𝐹) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ) ∈ β„‚)
358, 34syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ) ∈ β„‚)
36 unicntop 24172 . . . . . 6 β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
3736cncnpi 22652 . . . . 5 ((βˆ— ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ) ∈ β„‚) β†’ βˆ— ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)))
3833, 35, 37sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ— ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)))
3918, 19, 5, 21, 30, 38limccnp 25278 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)) ∈ ((βˆ— ∘ (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢))
40 cjf 14998 . . . . . . 7 βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚
4140a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚)
4241, 17cofmpt 7082 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ— ∘ (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))) = (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (βˆ—β€˜(((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))))
433adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
44 eldifi 4090 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
4544adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
4643, 45ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
473, 16ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
4847adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
4946, 48subcld 11520 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
504sselda 3948 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5144, 50sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
524, 16sseldd 3949 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
5352adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
5451, 53resubcld 11591 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐢) ∈ ℝ)
5554recnd 11191 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
5651recnd 11191 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
5753recnd 11191 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
58 eldifsni 4754 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) β†’ π‘₯ β‰  𝐢)
5958adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ π‘₯ β‰  𝐢)
6056, 57, 59subne0d 11529 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐢) β‰  0)
6149, 55, 60cjdivd 15117 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (βˆ—β€˜(((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) = ((βˆ—β€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) / (βˆ—β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐢))))
62 cjsub 15043 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) = ((βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜πΆ))))
6346, 48, 62syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (βˆ—β€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) = ((βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜πΆ))))
64 fvco3 6944 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
653, 44, 64syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
66 fvco3 6944 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ) = (βˆ—β€˜(πΉβ€˜πΆ)))
673, 16, 66syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ) = (βˆ—β€˜(πΉβ€˜πΆ)))
6867adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ) = (βˆ—β€˜(πΉβ€˜πΆ)))
6965, 68oveq12d 7379 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) = ((βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜πΆ))))
7063, 69eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (βˆ—β€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) = (((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)))
7154cjred 15120 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (βˆ—β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐢)) = (π‘₯ βˆ’ 𝐢))
7270, 71oveq12d 7379 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ ((βˆ—β€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) / (βˆ—β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐢))) = ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))
7361, 72eqtrd 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (βˆ—β€˜(((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) = ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))
7473mpteq2dva 5209 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (βˆ—β€˜(((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))) = (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))))
7542, 74eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ— ∘ (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))) = (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))))
7675oveq1d 7376 . . 3 (πœ‘ β†’ ((βˆ— ∘ (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢) = ((π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
7739, 76eleqtrd 2836 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)) ∈ ((π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
78 eqid 2733 . . 3 (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) = (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))
79 fco 6696 . . . 4 ((βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚) β†’ (βˆ— ∘ 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚)
8040, 3, 79sylancr 588 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ— ∘ 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚)
816, 5, 78, 2, 80, 4eldv 25285 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢(ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))(βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)) ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘‹) ∧ (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)) ∈ ((π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
829, 77, 81mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ 𝐢(ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))(βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  {csn 4590   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5637  ran crn 5638   ∘ ccom 5641  Fun wfun 6494  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058   βˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  (,)cioo 13273  βˆ—ccj 14990  TopOpenctopn 17311  topGenctg 17327  β„‚fldccnfld 20819  intcnt 22391   Cn ccn 22598   CnP ccnp 22599  β€“cnβ†’ccncf 24262   limβ„‚ climc 25249   D cdv 25250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-icc 13280  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-rest 17312  df-topn 17313  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-cncf 24264  df-limc 25253  df-dv 25254
This theorem is referenced by:  dvcj  25337
  Copyright terms: Public domain W3C validator