Theorem occl 29087

Description: Closure of complement of Hilbert subset. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 8-Aug-2000.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
occl	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )

Proof of Theorem occl

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocsh 29066	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
2		ax-hcompl 28985	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
3		vex 3444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑓 ∈ V
4		vex 3444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	3, 4	breldm 5741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
6	5	rexlimivw 3241	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
7	2, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
8	7	ad2antlr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
9		hlimf 29020	. . . . . . . 8 ⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
10	9	ffvelrni 6827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 → ( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ ℋ)
11	8, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → ( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ ℋ)
12		simplll 774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℋ)
13		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑓 ∈ Cauchy)
14		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴))
15		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
16	12, 13, 14, 15	occllem 29086	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ·ih 𝑥) = 0)
17	16	ralrimiva 3149	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ·ih 𝑥) = 0)
18		ocel 29064	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ·ih 𝑥) = 0)))
19	18	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ·ih 𝑥) = 0)))
20	11, 17, 19	mpbir2and 712	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → ( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ (⊥‘𝐴))
21		ffun 6490	. . . . . . 7 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → Fun ⇝𝑣 )
22		funfvbrb 6798	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓)))
23	9, 21, 22	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓))
24	8, 23	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓))
25		breq2 5034	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ( ⇝𝑣 ‘𝑓) → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓)))
26	25	rspcev 3571	. . . . 5 ⊢ ((( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ (⊥‘𝐴) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓)) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
27	20, 24, 26	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
28	27	ex 416	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) → (𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
29	28	ralrimiva 3149	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
30		isch3 29024	. 2 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ↔ ((⊥‘𝐴) ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
31	1, 29, 30	sylanbrc 586	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030  dom cdm 5519  Fun wfun 6318  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  ℕcn 11625   ℋchba 28702   ·_ih csp 28705  Cauchyccauold 28709   ⇝_𝑣 chli 28710   S_ℋ csh 28711   C_ℋ cch 28712  ⊥cort 28713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606  ax-hilex 28782  ax-hfvadd 28783  ax-hvcom 28784  ax-hvass 28785  ax-hv0cl 28786  ax-hvaddid 28787  ax-hfvmul 28788  ax-hvmulid 28789  ax-hvmulass 28790  ax-hvdistr1 28791  ax-hvdistr2 28792  ax-hvmul0 28793  ax-hfi 28862  ax-his1 28865  ax-his2 28866  ax-his3 28867  ax-his4 28868  ax-hcompl 28985

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-lm 21834  df-haus 21920  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cau 23860  df-grpo 28276  df-gid 28277  df-ginv 28278  df-gdiv 28279  df-ablo 28328  df-vc 28342  df-nv 28375  df-va 28378  df-ba 28379  df-sm 28380  df-0v 28381  df-vs 28382  df-nmcv 28383  df-ims 28384  df-dip 28484  df-hnorm 28751  df-hvsub 28754  df-hlim 28755  df-hcau 28756  df-sh 28990  df-ch 29004  df-oc 29035

This theorem is referenced by:  shoccl  29088  hsupcl  29122  sshjcl  29138  dfch2  29190  ococin  29191  shjshsi  29275  sshhococi  29329  h1dei  29333  h1de2bi  29337  h1de2ctlem  29338  h1de2ci  29339  spansnch  29343  spansnpji  29361  h1da  30132  atom1d  30136