Theorem occl 31231

Description: Closure of complement of Hilbert subset. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 8-Aug-2000.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
occl	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )

Proof of Theorem occl

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocsh 31210	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
2		ax-hcompl 31129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
3		vex 3463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑓 ∈ V
4		vex 3463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	3, 4	breldm 5888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
6	5	rexlimivw 3137	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
7	2, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
8	7	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
9		hlimf 31164	. . . . . . . 8 ⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
10	9	ffvelcdmi 7072	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 → ( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ ℋ)
11	8, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → ( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ ℋ)
12		simplll 774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℋ)
13		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑓 ∈ Cauchy)
14		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴))
15		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
16	12, 13, 14, 15	occllem 31230	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ·ih 𝑥) = 0)
17	16	ralrimiva 3132	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ·ih 𝑥) = 0)
18		ocel 31208	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ·ih 𝑥) = 0)))
19	18	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ·ih 𝑥) = 0)))
20	11, 17, 19	mpbir2and 713	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → ( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ (⊥‘𝐴))
21		ffun 6708	. . . . . . 7 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → Fun ⇝𝑣 )
22		funfvbrb 7040	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓)))
23	9, 21, 22	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓))
24	8, 23	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓))
25		breq2 5123	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ( ⇝𝑣 ‘𝑓) → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓)))
26	25	rspcev 3601	. . . . 5 ⊢ ((( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ (⊥‘𝐴) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓)) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
27	20, 24, 26	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
28	27	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) → (𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
29	28	ralrimiva 3132	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
30		isch3 31168	. 2 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ↔ ((⊥‘𝐴) ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
31	1, 29, 30	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  dom cdm 5654  Fun wfun 6524  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  0cc0 11127  ℕcn 12238   ℋchba 30846   ·_ih csp 30849  Cauchyccauold 30853   ⇝_𝑣 chli 30854   S_ℋ csh 30855   C_ℋ cch 30856  ⊥cort 30857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207  ax-hilex 30926  ax-hfvadd 30927  ax-hvcom 30928  ax-hvass 30929  ax-hv0cl 30930  ax-hvaddid 30931  ax-hfvmul 30932  ax-hvmulid 30933  ax-hvmulass 30934  ax-hvdistr1 30935  ax-hvdistr2 30936  ax-hvmul0 30937  ax-hfi 31006  ax-his1 31009  ax-his2 31010  ax-his3 31011  ax-his4 31012  ax-hcompl 31129

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-fi 9421  df-sup 9452  df-inf 9453  df-oi 9522  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-ioo 13364  df-icc 13367  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14018  df-exp 14078  df-hash 14347  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-clim 15502  df-sum 15701  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17514  df-qtop 17519  df-imas 17520  df-xps 17522  df-mre 17596  df-mrc 17597  df-acs 17599  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-submnd 18760  df-mulg 19049  df-cntz 19298  df-cmn 19761  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-cnfld 21314  df-top 22830  df-topon 22847  df-topsp 22869  df-bases 22882  df-cn 23163  df-cnp 23164  df-lm 23165  df-haus 23251  df-tx 23498  df-hmeo 23691  df-xms 24257  df-ms 24258  df-tms 24259  df-cau 25206  df-grpo 30420  df-gid 30421  df-ginv 30422  df-gdiv 30423  df-ablo 30472  df-vc 30486  df-nv 30519  df-va 30522  df-ba 30523  df-sm 30524  df-0v 30525  df-vs 30526  df-nmcv 30527  df-ims 30528  df-dip 30628  df-hnorm 30895  df-hvsub 30898  df-hlim 30899  df-hcau 30900  df-sh 31134  df-ch 31148  df-oc 31179

This theorem is referenced by:  shoccl  31232  hsupcl  31266  sshjcl  31282  dfch2  31334  ococin  31335  shjshsi  31419  sshhococi  31473  h1dei  31477  h1de2bi  31481  h1de2ctlem  31482  h1de2ci  31483  spansnch  31487  spansnpji  31505  h1da  32276  atom1d  32280