HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  occl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem occl 29085
Description: Closure of complement of Hilbert subset. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 8-Aug-2000.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
occl (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ C )

Proof of Theorem occl
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ocsh 29064 . 2 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ S )
2 ax-hcompl 28983 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓𝑣 𝑥)
3 vex 3483 . . . . . . . . . . 11 𝑓 ∈ V
4 vex 3483 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
53, 4breldm 5765 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝑣 𝑥𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
65rexlimivw 3275 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓𝑣 𝑥𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
72, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ Cauchy → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
87ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
9 hlimf 29018 . . . . . . . 8 𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
109ffvelrni 6839 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 → ( ⇝𝑣𝑓) ∈ ℋ)
118, 10syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → ( ⇝𝑣𝑓) ∈ ℋ)
12 simplll 774 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ ℋ)
13 simpllr 775 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑓 ∈ Cauchy)
14 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴))
15 simpr 488 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
1612, 13, 14, 15occllem 29084 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (( ⇝𝑣𝑓) ·ih 𝑥) = 0)
1716ralrimiva 3177 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → ∀𝑥𝐴 (( ⇝𝑣𝑓) ·ih 𝑥) = 0)
18 ocel 29062 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℋ → (( ⇝𝑣𝑓) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ (( ⇝𝑣𝑓) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥𝐴 (( ⇝𝑣𝑓) ·ih 𝑥) = 0)))
1918ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → (( ⇝𝑣𝑓) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ (( ⇝𝑣𝑓) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥𝐴 (( ⇝𝑣𝑓) ·ih 𝑥) = 0)))
2011, 17, 19mpbir2and 712 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → ( ⇝𝑣𝑓) ∈ (⊥‘𝐴))
21 ffun 6506 . . . . . . 7 ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → Fun ⇝𝑣 )
22 funfvbrb 6810 . . . . . . 7 (Fun ⇝𝑣 → (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣𝑓𝑣 ( ⇝𝑣𝑓)))
239, 21, 22mp2b 10 . . . . . 6 (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣𝑓𝑣 ( ⇝𝑣𝑓))
248, 23sylib 221 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → 𝑓𝑣 ( ⇝𝑣𝑓))
25 breq2 5057 . . . . . 6 (𝑥 = ( ⇝𝑣𝑓) → (𝑓𝑣 𝑥𝑓𝑣 ( ⇝𝑣𝑓)))
2625rspcev 3609 . . . . 5 ((( ⇝𝑣𝑓) ∈ (⊥‘𝐴) ∧ 𝑓𝑣 ( ⇝𝑣𝑓)) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓𝑣 𝑥)
2720, 24, 26syl2anc 587 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓𝑣 𝑥)
2827ex 416 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) → (𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓𝑣 𝑥))
2928ralrimiva 3177 . 2 (𝐴 ⊆ ℋ → ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓𝑣 𝑥))
30 isch3 29022 . 2 ((⊥‘𝐴) ∈ C ↔ ((⊥‘𝐴) ∈ S ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓𝑣 𝑥)))
311, 29, 30sylanbrc 586 1 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  wrex 3134  wss 3919   class class class wbr 5053  dom cdm 5543  Fun wfun 6338  wf 6340  cfv 6344  (class class class)co 7146  0cc0 10531  cn 11632  chba 28700   ·ih csp 28703  Cauchyccauold 28707  𝑣 chli 28708   S csh 28709   C cch 28710  cort 28711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-inf2 9097  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611  ax-hilex 28780  ax-hfvadd 28781  ax-hvcom 28782  ax-hvass 28783  ax-hv0cl 28784  ax-hvaddid 28785  ax-hfvmul 28786  ax-hvmulid 28787  ax-hvmulass 28788  ax-hvdistr1 28789  ax-hvdistr2 28790  ax-hvmul0 28791  ax-hfi 28860  ax-his1 28863  ax-his2 28864  ax-his3 28865  ax-his4 28866  ax-hcompl 28983
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-of 7400  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8827  df-fi 8868  df-sup 8899  df-inf 8900  df-oi 8967  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-icc 12740  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-seq 13372  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-sqrt 14592  df-abs 14593  df-clim 14843  df-sum 15041  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-starv 16578  df-sca 16579  df-vsca 16580  df-ip 16581  df-tset 16582  df-ple 16583  df-ds 16585  df-unif 16586  df-hom 16587  df-cco 16588  df-rest 16694  df-topn 16695  df-0g 16713  df-gsum 16714  df-topgen 16715  df-pt 16716  df-prds 16719  df-xrs 16773  df-qtop 16778  df-imas 16779  df-xps 16781  df-mre 16855  df-mrc 16856  df-acs 16858  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-submnd 17955  df-mulg 18223  df-cntz 18445  df-cmn 18906  df-psmet 20532  df-xmet 20533  df-met 20534  df-bl 20535  df-mopn 20536  df-cnfld 20541  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-lm 21832  df-haus 21918  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-cau 23858  df-grpo 28274  df-gid 28275  df-ginv 28276  df-gdiv 28277  df-ablo 28326  df-vc 28340  df-nv 28373  df-va 28376  df-ba 28377  df-sm 28378  df-0v 28379  df-vs 28380  df-nmcv 28381  df-ims 28382  df-dip 28482  df-hnorm 28749  df-hvsub 28752  df-hlim 28753  df-hcau 28754  df-sh 28988  df-ch 29002  df-oc 29033
This theorem is referenced by:  shoccl  29086  hsupcl  29120  sshjcl  29136  dfch2  29188  ococin  29189  shjshsi  29273  sshhococi  29327  h1dei  29331  h1de2bi  29335  h1de2ctlem  29336  h1de2ci  29337  spansnch  29341  spansnpji  29359  h1da  30130  atom1d  30134
  Copyright terms: Public domain W3C validator