Theorem occl 31336

Description: Closure of complement of Hilbert subset. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 8-Aug-2000.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
occl	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )

Proof of Theorem occl

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocsh 31315	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
2		ax-hcompl 31234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
3		vex 3492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑓 ∈ V
4		vex 3492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	3, 4	breldm 5933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
6	5	rexlimivw 3157	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
7	2, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
8	7	ad2antlr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
9		hlimf 31269	. . . . . . . 8 ⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
10	9	ffvelcdmi 7117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 → ( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ ℋ)
11	8, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → ( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ ℋ)
12		simplll 774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℋ)
13		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑓 ∈ Cauchy)
14		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴))
15		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
16	12, 13, 14, 15	occllem 31335	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ·ih 𝑥) = 0)
17	16	ralrimiva 3152	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ·ih 𝑥) = 0)
18		ocel 31313	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ·ih 𝑥) = 0)))
19	18	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ·ih 𝑥) = 0)))
20	11, 17, 19	mpbir2and 712	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → ( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ (⊥‘𝐴))
21		ffun 6750	. . . . . . 7 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → Fun ⇝𝑣 )
22		funfvbrb 7084	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓)))
23	9, 21, 22	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓))
24	8, 23	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓))
25		breq2 5170	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ( ⇝𝑣 ‘𝑓) → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓)))
26	25	rspcev 3635	. . . . 5 ⊢ ((( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ (⊥‘𝐴) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓)) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
27	20, 24, 26	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
28	27	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) → (𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
29	28	ralrimiva 3152	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
30		isch3 31273	. 2 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ↔ ((⊥‘𝐴) ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
31	1, 29, 30	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  Fun wfun 6567  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  ℕcn 12293   ℋchba 30951   ·_ih csp 30954  Cauchyccauold 30958   ⇝_𝑣 chli 30959   S_ℋ csh 30960   C_ℋ cch 30961  ⊥cort 30962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263  ax-mulf 11264  ax-hilex 31031  ax-hfvadd 31032  ax-hvcom 31033  ax-hvass 31034  ax-hv0cl 31035  ax-hvaddid 31036  ax-hfvmul 31037  ax-hvmulid 31038  ax-hvmulass 31039  ax-hvdistr1 31040  ax-hvdistr2 31041  ax-hvmul0 31042  ax-hfi 31111  ax-his1 31114  ax-his2 31115  ax-his3 31116  ax-his4 31117  ax-hcompl 31234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-lm 23258  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cau 25309  df-grpo 30525  df-gid 30526  df-ginv 30527  df-gdiv 30528  df-ablo 30577  df-vc 30591  df-nv 30624  df-va 30627  df-ba 30628  df-sm 30629  df-0v 30630  df-vs 30631  df-nmcv 30632  df-ims 30633  df-dip 30733  df-hnorm 31000  df-hvsub 31003  df-hlim 31004  df-hcau 31005  df-sh 31239  df-ch 31253  df-oc 31284

This theorem is referenced by:  shoccl  31337  hsupcl  31371  sshjcl  31387  dfch2  31439  ococin  31440  shjshsi  31524  sshhococi  31578  h1dei  31582  h1de2bi  31586  h1de2ctlem  31587  h1de2ci  31588  spansnch  31592  spansnpji  31610  h1da  32381  atom1d  32385