Theorem occl 31390

Description: Closure of complement of Hilbert subset. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 8-Aug-2000.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
occl	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )

Proof of Theorem occl

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocsh 31369	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
2		ax-hcompl 31288	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
3		vex 3434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑓 ∈ V
4		vex 3434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	3, 4	breldm 5857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
6	5	rexlimivw 3135	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
7	2, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
8	7	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
9		hlimf 31323	. . . . . . . 8 ⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
10	9	ffvelcdmi 7029	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 → ( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ ℋ)
11	8, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → ( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ ℋ)
12		simplll 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℋ)
13		simpllr 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑓 ∈ Cauchy)
14		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴))
15		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
16	12, 13, 14, 15	occllem 31389	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ·ih 𝑥) = 0)
17	16	ralrimiva 3130	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ·ih 𝑥) = 0)
18		ocel 31367	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ·ih 𝑥) = 0)))
19	18	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ·ih 𝑥) = 0)))
20	11, 17, 19	mpbir2and 714	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → ( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ (⊥‘𝐴))
21		ffun 6665	. . . . . . 7 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → Fun ⇝𝑣 )
22		funfvbrb 6997	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓)))
23	9, 21, 22	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓))
24	8, 23	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓))
25		breq2 5090	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ( ⇝𝑣 ‘𝑓) → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓)))
26	25	rspcev 3565	. . . . 5 ⊢ ((( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ (⊥‘𝐴) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓)) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
27	20, 24, 26	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
28	27	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) → (𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
29	28	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
30		isch3 31327	. 2 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ↔ ((⊥‘𝐴) ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
31	1, 29, 30	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  dom cdm 5624  Fun wfun 6486  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  ℕcn 12165   ℋchba 31005   ·_ih csp 31008  Cauchyccauold 31012   ⇝_𝑣 chli 31013   S_ℋ csh 31014   C_ℋ cch 31015  ⊥cort 31016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109  ax-hilex 31085  ax-hfvadd 31086  ax-hvcom 31087  ax-hvass 31088  ax-hv0cl 31089  ax-hvaddid 31090  ax-hfvmul 31091  ax-hvmulid 31092  ax-hvmulass 31093  ax-hvdistr1 31094  ax-hvdistr2 31095  ax-hvmul0 31096  ax-hfi 31165  ax-his1 31168  ax-his2 31169  ax-his3 31170  ax-his4 31171  ax-hcompl 31288

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-lm 23204  df-haus 23290  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cau 25233  df-grpo 30579  df-gid 30580  df-ginv 30581  df-gdiv 30582  df-ablo 30631  df-vc 30645  df-nv 30678  df-va 30681  df-ba 30682  df-sm 30683  df-0v 30684  df-vs 30685  df-nmcv 30686  df-ims 30687  df-dip 30787  df-hnorm 31054  df-hvsub 31057  df-hlim 31058  df-hcau 31059  df-sh 31293  df-ch 31307  df-oc 31338

This theorem is referenced by:  shoccl  31391  hsupcl  31425  sshjcl  31441  dfch2  31493  ococin  31494  shjshsi  31578  sshhococi  31632  h1dei  31636  h1de2bi  31640  h1de2ctlem  31641  h1de2ci  31642  spansnch  31646  spansnpji  31664  h1da  32435  atom1d  32439