![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > occl | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Closure of complement of Hilbert subset. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 8-Aug-2000.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
occl | โข (๐ด โ โ โ (โฅโ๐ด) โ Cโ ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ocsh 31086 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (โฅโ๐ด) โ Sโ ) | |
2 | ax-hcompl 31005 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โ Cauchy โ โ๐ฅ โ โ ๐ โ๐ฃ ๐ฅ) | |
3 | vex 3474 | . . . . . . . . . . 11 โข ๐ โ V | |
4 | vex 3474 | . . . . . . . . . . 11 โข ๐ฅ โ V | |
5 | 3, 4 | breldm 5905 | . . . . . . . . . 10 โข (๐ โ๐ฃ ๐ฅ โ ๐ โ dom โ๐ฃ ) |
6 | 5 | rexlimivw 3147 | . . . . . . . . 9 โข (โ๐ฅ โ โ ๐ โ๐ฃ ๐ฅ โ ๐ โ dom โ๐ฃ ) |
7 | 2, 6 | syl 17 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ Cauchy โ ๐ โ dom โ๐ฃ ) |
8 | 7 | ad2antlr 726 | . . . . . . 7 โข (((๐ด โ โ โง ๐ โ Cauchy) โง ๐:โโถ(โฅโ๐ด)) โ ๐ โ dom โ๐ฃ ) |
9 | hlimf 31040 | . . . . . . . 8 โข โ๐ฃ :dom โ๐ฃ โถ โ | |
10 | 9 | ffvelcdmi 7087 | . . . . . . 7 โข (๐ โ dom โ๐ฃ โ ( โ๐ฃ โ๐) โ โ) |
11 | 8, 10 | syl 17 | . . . . . 6 โข (((๐ด โ โ โง ๐ โ Cauchy) โง ๐:โโถ(โฅโ๐ด)) โ ( โ๐ฃ โ๐) โ โ) |
12 | simplll 774 | . . . . . . . 8 โข ((((๐ด โ โ โง ๐ โ Cauchy) โง ๐:โโถ(โฅโ๐ด)) โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ด โ โ) | |
13 | simpllr 775 | . . . . . . . 8 โข ((((๐ด โ โ โง ๐ โ Cauchy) โง ๐:โโถ(โฅโ๐ด)) โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ โ Cauchy) | |
14 | simplr 768 | . . . . . . . 8 โข ((((๐ด โ โ โง ๐ โ Cauchy) โง ๐:โโถ(โฅโ๐ด)) โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐:โโถ(โฅโ๐ด)) | |
15 | simpr 484 | . . . . . . . 8 โข ((((๐ด โ โ โง ๐ โ Cauchy) โง ๐:โโถ(โฅโ๐ด)) โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ฅ โ ๐ด) | |
16 | 12, 13, 14, 15 | occllem 31106 | . . . . . . 7 โข ((((๐ด โ โ โง ๐ โ Cauchy) โง ๐:โโถ(โฅโ๐ด)) โง ๐ฅ โ ๐ด) โ (( โ๐ฃ โ๐) ยทih ๐ฅ) = 0) |
17 | 16 | ralrimiva 3142 | . . . . . 6 โข (((๐ด โ โ โง ๐ โ Cauchy) โง ๐:โโถ(โฅโ๐ด)) โ โ๐ฅ โ ๐ด (( โ๐ฃ โ๐) ยทih ๐ฅ) = 0) |
18 | ocel 31084 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ โ (( โ๐ฃ โ๐) โ (โฅโ๐ด) โ (( โ๐ฃ โ๐) โ โ โง โ๐ฅ โ ๐ด (( โ๐ฃ โ๐) ยทih ๐ฅ) = 0))) | |
19 | 18 | ad2antrr 725 | . . . . . 6 โข (((๐ด โ โ โง ๐ โ Cauchy) โง ๐:โโถ(โฅโ๐ด)) โ (( โ๐ฃ โ๐) โ (โฅโ๐ด) โ (( โ๐ฃ โ๐) โ โ โง โ๐ฅ โ ๐ด (( โ๐ฃ โ๐) ยทih ๐ฅ) = 0))) |
20 | 11, 17, 19 | mpbir2and 712 | . . . . 5 โข (((๐ด โ โ โง ๐ โ Cauchy) โง ๐:โโถ(โฅโ๐ด)) โ ( โ๐ฃ โ๐) โ (โฅโ๐ด)) |
21 | ffun 6719 | . . . . . . 7 โข ( โ๐ฃ :dom โ๐ฃ โถ โ โ Fun โ๐ฃ ) | |
22 | funfvbrb 7054 | . . . . . . 7 โข (Fun โ๐ฃ โ (๐ โ dom โ๐ฃ โ ๐ โ๐ฃ ( โ๐ฃ โ๐))) | |
23 | 9, 21, 22 | mp2b 10 | . . . . . 6 โข (๐ โ dom โ๐ฃ โ ๐ โ๐ฃ ( โ๐ฃ โ๐)) |
24 | 8, 23 | sylib 217 | . . . . 5 โข (((๐ด โ โ โง ๐ โ Cauchy) โง ๐:โโถ(โฅโ๐ด)) โ ๐ โ๐ฃ ( โ๐ฃ โ๐)) |
25 | breq2 5146 | . . . . . 6 โข (๐ฅ = ( โ๐ฃ โ๐) โ (๐ โ๐ฃ ๐ฅ โ ๐ โ๐ฃ ( โ๐ฃ โ๐))) | |
26 | 25 | rspcev 3608 | . . . . 5 โข ((( โ๐ฃ โ๐) โ (โฅโ๐ด) โง ๐ โ๐ฃ ( โ๐ฃ โ๐)) โ โ๐ฅ โ (โฅโ๐ด)๐ โ๐ฃ ๐ฅ) |
27 | 20, 24, 26 | syl2anc 583 | . . . 4 โข (((๐ด โ โ โง ๐ โ Cauchy) โง ๐:โโถ(โฅโ๐ด)) โ โ๐ฅ โ (โฅโ๐ด)๐ โ๐ฃ ๐ฅ) |
28 | 27 | ex 412 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ Cauchy) โ (๐:โโถ(โฅโ๐ด) โ โ๐ฅ โ (โฅโ๐ด)๐ โ๐ฃ ๐ฅ)) |
29 | 28 | ralrimiva 3142 | . 2 โข (๐ด โ โ โ โ๐ โ Cauchy (๐:โโถ(โฅโ๐ด) โ โ๐ฅ โ (โฅโ๐ด)๐ โ๐ฃ ๐ฅ)) |
30 | isch3 31044 | . 2 โข ((โฅโ๐ด) โ Cโ โ ((โฅโ๐ด) โ Sโ โง โ๐ โ Cauchy (๐:โโถ(โฅโ๐ด) โ โ๐ฅ โ (โฅโ๐ด)๐ โ๐ฃ ๐ฅ))) | |
31 | 1, 29, 30 | sylanbrc 582 | 1 โข (๐ด โ โ โ (โฅโ๐ด) โ Cโ ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1534 โ wcel 2099 โwral 3057 โwrex 3066 โ wss 3945 class class class wbr 5142 dom cdm 5672 Fun wfun 6536 โถwf 6538 โcfv 6542 (class class class)co 7414 0cc0 11132 โcn 12236 โchba 30722 ยทih csp 30725 Cauchyccauold 30729 โ๐ฃ chli 30730 Sโ csh 30731 Cโ cch 30732 โฅcort 30733 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-rep 5279 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7734 ax-inf2 9658 ax-cnex 11188 ax-resscn 11189 ax-1cn 11190 ax-icn 11191 ax-addcl 11192 ax-addrcl 11193 ax-mulcl 11194 ax-mulrcl 11195 ax-mulcom 11196 ax-addass 11197 ax-mulass 11198 ax-distr 11199 ax-i2m1 11200 ax-1ne0 11201 ax-1rid 11202 ax-rnegex 11203 ax-rrecex 11204 ax-cnre 11205 ax-pre-lttri 11206 ax-pre-lttrn 11207 ax-pre-ltadd 11208 ax-pre-mulgt0 11209 ax-pre-sup 11210 ax-addf 11211 ax-mulf 11212 ax-hilex 30802 ax-hfvadd 30803 ax-hvcom 30804 ax-hvass 30805 ax-hv0cl 30806 ax-hvaddid 30807 ax-hfvmul 30808 ax-hvmulid 30809 ax-hvmulass 30810 ax-hvdistr1 30811 ax-hvdistr2 30812 ax-hvmul0 30813 ax-hfi 30882 ax-his1 30885 ax-his2 30886 ax-his3 30887 ax-his4 30888 ax-hcompl 31005 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2937 df-nel 3043 df-ral 3058 df-rex 3067 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3429 df-v 3472 df-sbc 3776 df-csb 3891 df-dif 3948 df-un 3950 df-in 3952 df-ss 3962 df-pss 3964 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-tp 4629 df-op 4631 df-uni 4904 df-int 4945 df-iun 4993 df-iin 4994 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-se 5628 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-isom 6551 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-of 7679 df-om 7865 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-supp 8160 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-1o 8480 df-2o 8481 df-er 8718 df-map 8840 df-pm 8841 df-ixp 8910 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-fin 8961 df-fsupp 9380 df-fi 9428 df-sup 9459 df-inf 9460 df-oi 9527 df-card 9956 df-pnf 11274 df-mnf 11275 df-xr 11276 df-ltxr 11277 df-le 11278 df-sub 11470 df-neg 11471 df-div 11896 df-nn 12237 df-2 12299 df-3 12300 df-4 12301 df-5 12302 df-6 12303 df-7 12304 df-8 12305 df-9 12306 df-n0 12497 df-z 12583 df-dec 12702 df-uz 12847 df-q 12957 df-rp 13001 df-xneg 13118 df-xadd 13119 df-xmul 13120 df-ioo 13354 df-icc 13357 df-fz 13511 df-fzo 13654 df-seq 13993 df-exp 14053 df-hash 14316 df-cj 15072 df-re 15073 df-im 15074 df-sqrt 15208 df-abs 15209 df-clim 15458 df-sum 15659 df-struct 17109 df-sets 17126 df-slot 17144 df-ndx 17156 df-base 17174 df-ress 17203 df-plusg 17239 df-mulr 17240 df-starv 17241 df-sca 17242 df-vsca 17243 df-ip 17244 df-tset 17245 df-ple 17246 df-ds 17248 df-unif 17249 df-hom 17250 df-cco 17251 df-rest 17397 df-topn 17398 df-0g 17416 df-gsum 17417 df-topgen 17418 df-pt 17419 df-prds 17422 df-xrs 17477 df-qtop 17482 df-imas 17483 df-xps 17485 df-mre 17559 df-mrc 17560 df-acs 17562 df-mgm 18593 df-sgrp 18672 df-mnd 18688 df-submnd 18734 df-mulg 19017 df-cntz 19261 df-cmn 19730 df-psmet 21264 df-xmet 21265 df-met 21266 df-bl 21267 df-mopn 21268 df-cnfld 21273 df-top 22789 df-topon 22806 df-topsp 22828 df-bases 22842 df-cn 23124 df-cnp 23125 df-lm 23126 df-haus 23212 df-tx 23459 df-hmeo 23652 df-xms 24219 df-ms 24220 df-tms 24221 df-cau 25177 df-grpo 30296 df-gid 30297 df-ginv 30298 df-gdiv 30299 df-ablo 30348 df-vc 30362 df-nv 30395 df-va 30398 df-ba 30399 df-sm 30400 df-0v 30401 df-vs 30402 df-nmcv 30403 df-ims 30404 df-dip 30504 df-hnorm 30771 df-hvsub 30774 df-hlim 30775 df-hcau 30776 df-sh 31010 df-ch 31024 df-oc 31055 |
This theorem is referenced by: shoccl 31108 hsupcl 31142 sshjcl 31158 dfch2 31210 ococin 31211 shjshsi 31295 sshhococi 31349 h1dei 31353 h1de2bi 31357 h1de2ctlem 31358 h1de2ci 31359 spansnch 31363 spansnpji 31381 h1da 32152 atom1d 32156 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |