Theorem occl 29666

Description: Closure of complement of Hilbert subset. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 8-Aug-2000.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
occl	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )

Proof of Theorem occl

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocsh 29645	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
2		ax-hcompl 29564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
3		vex 3436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑓 ∈ V
4		vex 3436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	3, 4	breldm 5817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
6	5	rexlimivw 3211	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
7	2, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
8	7	ad2antlr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
9		hlimf 29599	. . . . . . . 8 ⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
10	9	ffvelrni 6960	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 → ( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ ℋ)
11	8, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → ( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ ℋ)
12		simplll 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℋ)
13		simpllr 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑓 ∈ Cauchy)
14		simplr 766	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴))
15		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
16	12, 13, 14, 15	occllem 29665	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ·ih 𝑥) = 0)
17	16	ralrimiva 3103	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ·ih 𝑥) = 0)
18		ocel 29643	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ·ih 𝑥) = 0)))
19	18	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (( ⇝𝑣 ‘𝑓) ·ih 𝑥) = 0)))
20	11, 17, 19	mpbir2and 710	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → ( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ (⊥‘𝐴))
21		ffun 6603	. . . . . . 7 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → Fun ⇝𝑣 )
22		funfvbrb 6928	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓)))
23	9, 21, 22	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓))
24	8, 23	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓))
25		breq2 5078	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ( ⇝𝑣 ‘𝑓) → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓)))
26	25	rspcev 3561	. . . . 5 ⊢ ((( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ (⊥‘𝐴) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓)) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
27	20, 24, 26	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
28	27	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) → (𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
29	28	ralrimiva 3103	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
30		isch3 29603	. 2 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ↔ ((⊥‘𝐴) ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
31	1, 29, 30	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  Fun wfun 6427  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  ℕcn 11973   ℋchba 29281   ·_ih csp 29284  Cauchyccauold 29288   ⇝_𝑣 chli 29289   S_ℋ csh 29290   C_ℋ cch 29291  ⊥cort 29292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hvcom 29363  ax-hvass 29364  ax-hv0cl 29365  ax-hvaddid 29366  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulid 29368  ax-hvmulass 29369  ax-hvdistr1 29370  ax-hvdistr2 29371  ax-hvmul0 29372  ax-hfi 29441  ax-his1 29444  ax-his2 29445  ax-his3 29446  ax-his4 29447  ax-hcompl 29564

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-lm 22380  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cau 24420  df-grpo 28855  df-gid 28856  df-ginv 28857  df-gdiv 28858  df-ablo 28907  df-vc 28921  df-nv 28954  df-va 28957  df-ba 28958  df-sm 28959  df-0v 28960  df-vs 28961  df-nmcv 28962  df-ims 28963  df-dip 29063  df-hnorm 29330  df-hvsub 29333  df-hlim 29334  df-hcau 29335  df-sh 29569  df-ch 29583  df-oc 29614

This theorem is referenced by:  shoccl  29667  hsupcl  29701  sshjcl  29717  dfch2  29769  ococin  29770  shjshsi  29854  sshhococi  29908  h1dei  29912  h1de2bi  29916  h1de2ctlem  29917  h1de2ci  29918  spansnch  29922  spansnpji  29940  h1da  30711  atom1d  30715