MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setciso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setciso 17912
Description: An isomorphism in the category of sets is a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcmon.c 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
setcmon.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
setcmon.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
setcmon.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
setciso.n 𝐼 = (Isoβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
setciso (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ↔ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ))

Proof of Theorem setciso
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . . 4 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
2 eqid 2738 . . . 4 (Invβ€˜πΆ) = (Invβ€˜πΆ)
3 setcmon.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
4 setcmon.c . . . . . 6 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
54setccat 17906 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ Cat)
63, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
7 setcmon.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
84, 3setcbas 17899 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΆ))
97, 8eleqtrd 2841 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
10 setcmon.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
1110, 8eleqtrd 2841 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
12 setciso.n . . . 4 𝐼 = (Isoβ€˜πΆ)
131, 2, 6, 9, 11, 12isoval 17583 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘‹πΌπ‘Œ) = dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ))
1413eleq2d 2824 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ↔ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)))
151, 2, 6, 9, 11invfun 17582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ))
16 funfvbrb 6997 . . . . 5 (Fun (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) β†’ (𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) ↔ 𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)((𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)β€˜πΉ)))
1715, 16syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) ↔ 𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)((𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)β€˜πΉ)))
184, 3, 7, 10, 2setcinv 17911 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)((𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)β€˜πΉ) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ ((𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)β€˜πΉ) = ◑𝐹)))
19 simpl 484 . . . . 5 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ ((𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)β€˜πΉ) = ◑𝐹) β†’ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ)
2018, 19syl6bi 253 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)((𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)β€˜πΉ) β†’ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ))
2117, 20sylbid 239 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) β†’ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ))
22 eqid 2738 . . . 4 ◑𝐹 = ◑𝐹
234, 3, 7, 10, 2setcinv 17911 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)◑𝐹 ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ ◑𝐹 = ◑𝐹)))
24 funrel 6514 . . . . . . 7 (Fun (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) β†’ Rel (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ))
2515, 24syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Rel (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ))
26 releldm 5896 . . . . . . 7 ((Rel (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)◑𝐹) β†’ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ))
2726ex 414 . . . . . 6 (Rel (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) β†’ (𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)◑𝐹 β†’ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)))
2825, 27syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)◑𝐹 β†’ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)))
2923, 28sylbird 260 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ ◑𝐹 = ◑𝐹) β†’ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)))
3022, 29mpan2i 696 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)))
3121, 30impbid 211 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) ↔ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ))
3214, 31bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ↔ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5104  β—‘ccnv 5630  dom cdm 5631  Rel wrel 5636  Fun wfun 6486  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6491  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  Basecbs 17018  Catccat 17479  Invcinv 17563  Isociso 17564  SetCatcsetc 17896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-map 8701  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12552  df-uz 12697  df-fz 13354  df-struct 16954  df-slot 16989  df-ndx 17001  df-base 17019  df-hom 17092  df-cco 17093  df-cat 17483  df-cid 17484  df-sect 17565  df-inv 17566  df-iso 17567  df-setc 17897
This theorem is referenced by:  yonffthlem  18106
  Copyright terms: Public domain W3C validator