MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setciso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setciso 18041
Description: An isomorphism in the category of sets is a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcmon.c 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
setcmon.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
setcmon.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
setcmon.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
setciso.n 𝐼 = (Isoβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
setciso (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ↔ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ))

Proof of Theorem setciso
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
2 eqid 2733 . . . 4 (Invβ€˜πΆ) = (Invβ€˜πΆ)
3 setcmon.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
4 setcmon.c . . . . . 6 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
54setccat 18035 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ Cat)
63, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
7 setcmon.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
84, 3setcbas 18028 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΆ))
97, 8eleqtrd 2836 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
10 setcmon.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
1110, 8eleqtrd 2836 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
12 setciso.n . . . 4 𝐼 = (Isoβ€˜πΆ)
131, 2, 6, 9, 11, 12isoval 17712 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘‹πΌπ‘Œ) = dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ))
1413eleq2d 2820 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ↔ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)))
151, 2, 6, 9, 11invfun 17711 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ))
16 funfvbrb 7053 . . . . 5 (Fun (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) β†’ (𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) ↔ 𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)((𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)β€˜πΉ)))
1715, 16syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) ↔ 𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)((𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)β€˜πΉ)))
184, 3, 7, 10, 2setcinv 18040 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)((𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)β€˜πΉ) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ ((𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)β€˜πΉ) = ◑𝐹)))
19 simpl 484 . . . . 5 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ ((𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)β€˜πΉ) = ◑𝐹) β†’ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ)
2018, 19syl6bi 253 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)((𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)β€˜πΉ) β†’ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ))
2117, 20sylbid 239 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) β†’ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ))
22 eqid 2733 . . . 4 ◑𝐹 = ◑𝐹
234, 3, 7, 10, 2setcinv 18040 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)◑𝐹 ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ ◑𝐹 = ◑𝐹)))
24 funrel 6566 . . . . . . 7 (Fun (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) β†’ Rel (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ))
2515, 24syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Rel (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ))
26 releldm 5944 . . . . . . 7 ((Rel (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)◑𝐹) β†’ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ))
2726ex 414 . . . . . 6 (Rel (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) β†’ (𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)◑𝐹 β†’ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)))
2825, 27syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)◑𝐹 β†’ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)))
2923, 28sylbird 260 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ ◑𝐹 = ◑𝐹) β†’ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)))
3022, 29mpan2i 696 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)))
3121, 30impbid 211 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) ↔ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ))
3214, 31bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ↔ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  Rel wrel 5682  Fun wfun 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  Catccat 17608  Invcinv 17692  Isociso 17693  SetCatcsetc 18025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-hom 17221  df-cco 17222  df-cat 17612  df-cid 17613  df-sect 17694  df-inv 17695  df-iso 17696  df-setc 18026
This theorem is referenced by:  yonffthlem  18235
  Copyright terms: Public domain W3C validator