MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setciso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setciso 17339
Description: An isomorphism in the category of sets is a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcmon.c 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
setcmon.u (𝜑𝑈𝑉)
setcmon.x (𝜑𝑋𝑈)
setcmon.y (𝜑𝑌𝑈)
setciso.n 𝐼 = (Iso‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
setciso (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌))

Proof of Theorem setciso
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . 4 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
2 eqid 2818 . . . 4 (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3 setcmon.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑉)
4 setcmon.c . . . . . 6 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
54setccat 17333 . . . . 5 (𝑈𝑉𝐶 ∈ Cat)
63, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
7 setcmon.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑈)
84, 3setcbas 17326 . . . . 5 (𝜑𝑈 = (Base‘𝐶))
97, 8eleqtrd 2912 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
10 setcmon.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑈)
1110, 8eleqtrd 2912 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
12 setciso.n . . . 4 𝐼 = (Iso‘𝐶)
131, 2, 6, 9, 11, 12isoval 17023 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
1413eleq2d 2895 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
151, 2, 6, 9, 11invfun 17022 . . . . 5 (𝜑 → Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
16 funfvbrb 6813 . . . . 5 (Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹)))
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹)))
184, 3, 7, 10, 2setcinv 17338 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) = 𝐹)))
19 simpl 483 . . . . 5 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) = 𝐹) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
2018, 19syl6bi 254 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌))
2117, 20sylbid 241 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌))
22 eqid 2818 . . . 4 𝐹 = 𝐹
234, 3, 7, 10, 2setcinv 17338 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝐹 ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 = 𝐹)))
24 funrel 6365 . . . . . . 7 (Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
2515, 24syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
26 releldm 5807 . . . . . . 7 ((Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝐹) → 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
2726ex 413 . . . . . 6 (Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝐹𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
2825, 27syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝐹𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
2923, 28sylbird 261 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 = 𝐹) → 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
3022, 29mpan2i 693 . . 3 (𝜑 → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
3121, 30impbid 213 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌))
3214, 31bitrd 280 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  ccnv 5547  dom cdm 5548  Rel wrel 5553  Fun wfun 6342  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  Catccat 16923  Invcinv 17003  Isociso 17004  SetCatcsetc 17323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-hom 16577  df-cco 16578  df-cat 16927  df-cid 16928  df-sect 17005  df-inv 17006  df-iso 17007  df-setc 17324
This theorem is referenced by:  yonffthlem  17520
  Copyright terms: Public domain W3C validator