MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setciso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setciso 16964
Description: An isomorphism in the category of sets is a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcmon.c 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
setcmon.u (𝜑𝑈𝑉)
setcmon.x (𝜑𝑋𝑈)
setcmon.y (𝜑𝑌𝑈)
setciso.n 𝐼 = (Iso‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
setciso (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌))

Proof of Theorem setciso
StepHypRef Expression
1 eqid 2817 . . . 4 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
2 eqid 2817 . . . 4 (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3 setcmon.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑉)
4 setcmon.c . . . . . 6 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
54setccat 16958 . . . . 5 (𝑈𝑉𝐶 ∈ Cat)
63, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
7 setcmon.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑈)
84, 3setcbas 16951 . . . . 5 (𝜑𝑈 = (Base‘𝐶))
97, 8eleqtrd 2898 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
10 setcmon.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑈)
1110, 8eleqtrd 2898 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
12 setciso.n . . . 4 𝐼 = (Iso‘𝐶)
131, 2, 6, 9, 11, 12isoval 16648 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
1413eleq2d 2882 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
151, 2, 6, 9, 11invfun 16647 . . . . 5 (𝜑 → Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
16 funfvbrb 6561 . . . . 5 (Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹)))
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹)))
184, 3, 7, 10, 2setcinv 16963 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) = 𝐹)))
19 simpl 470 . . . . 5 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) = 𝐹) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
2018, 19syl6bi 244 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌))
2117, 20sylbid 231 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌))
22 eqid 2817 . . . 4 𝐹 = 𝐹
234, 3, 7, 10, 2setcinv 16963 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝐹 ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 = 𝐹)))
24 funrel 6127 . . . . . . 7 (Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
2515, 24syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
26 releldm 5572 . . . . . . 7 ((Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝐹) → 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
2726ex 399 . . . . . 6 (Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝐹𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
2825, 27syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝐹𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
2923, 28sylbird 251 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 = 𝐹) → 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
3022, 29mpan2i 680 . . 3 (𝜑 → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
3121, 30impbid 203 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌))
3214, 31bitrd 270 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157   class class class wbr 4855  ccnv 5323  dom cdm 5324  Rel wrel 5329  Fun wfun 6104  1-1-ontowf1o 6109  cfv 6110  (class class class)co 6883  Basecbs 16087  Catccat 16548  Invcinv 16628  Isociso 16629  SetCatcsetc 16948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7188  ax-cnex 10286  ax-resscn 10287  ax-1cn 10288  ax-icn 10289  ax-addcl 10290  ax-addrcl 10291  ax-mulcl 10292  ax-mulrcl 10293  ax-mulcom 10294  ax-addass 10295  ax-mulass 10296  ax-distr 10297  ax-i2m1 10298  ax-1ne0 10299  ax-1rid 10300  ax-rnegex 10301  ax-rrecex 10302  ax-cnre 10303  ax-pre-lttri 10304  ax-pre-lttrn 10305  ax-pre-ltadd 10306  ax-pre-mulgt0 10307
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5906  df-ord 5952  df-on 5953  df-lim 5954  df-suc 5955  df-iota 6073  df-fun 6112  df-fn 6113  df-f 6114  df-f1 6115  df-fo 6116  df-f1o 6117  df-fv 6118  df-riota 6844  df-ov 6886  df-oprab 6887  df-mpt2 6888  df-om 7305  df-1st 7407  df-2nd 7408  df-wrecs 7651  df-recs 7713  df-rdg 7751  df-1o 7805  df-oadd 7809  df-er 7988  df-map 8103  df-en 8202  df-dom 8203  df-sdom 8204  df-fin 8205  df-pnf 10370  df-mnf 10371  df-xr 10372  df-ltxr 10373  df-le 10374  df-sub 10562  df-neg 10563  df-nn 11315  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11579  df-z 11663  df-dec 11779  df-uz 11924  df-fz 12569  df-struct 16089  df-ndx 16090  df-slot 16091  df-base 16093  df-hom 16196  df-cco 16197  df-cat 16552  df-cid 16553  df-sect 16630  df-inv 16631  df-iso 16632  df-setc 16949
This theorem is referenced by:  yonffthlem  17146
  Copyright terms: Public domain W3C validator