Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setciso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setciso 17431
 Description: An isomorphism in the category of sets is a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcmon.c 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
setcmon.u (𝜑𝑈𝑉)
setcmon.x (𝜑𝑋𝑈)
setcmon.y (𝜑𝑌𝑈)
setciso.n 𝐼 = (Iso‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
setciso (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌))

Proof of Theorem setciso
StepHypRef Expression
1 eqid 2758 . . . 4 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
2 eqid 2758 . . . 4 (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3 setcmon.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑉)
4 setcmon.c . . . . . 6 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
54setccat 17425 . . . . 5 (𝑈𝑉𝐶 ∈ Cat)
63, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
7 setcmon.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑈)
84, 3setcbas 17418 . . . . 5 (𝜑𝑈 = (Base‘𝐶))
97, 8eleqtrd 2854 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
10 setcmon.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑈)
1110, 8eleqtrd 2854 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
12 setciso.n . . . 4 𝐼 = (Iso‘𝐶)
131, 2, 6, 9, 11, 12isoval 17108 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
1413eleq2d 2837 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
151, 2, 6, 9, 11invfun 17107 . . . . 5 (𝜑 → Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
16 funfvbrb 6817 . . . . 5 (Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹)))
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹)))
184, 3, 7, 10, 2setcinv 17430 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) = 𝐹)))
19 simpl 486 . . . . 5 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) = 𝐹) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
2018, 19syl6bi 256 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌))
2117, 20sylbid 243 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌))
22 eqid 2758 . . . 4 𝐹 = 𝐹
234, 3, 7, 10, 2setcinv 17430 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝐹 ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 = 𝐹)))
24 funrel 6357 . . . . . . 7 (Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
2515, 24syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
26 releldm 5790 . . . . . . 7 ((Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝐹) → 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
2726ex 416 . . . . . 6 (Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝐹𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
2825, 27syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝐹𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
2923, 28sylbird 263 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 = 𝐹) → 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
3022, 29mpan2i 696 . . 3 (𝜑 → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
3121, 30impbid 215 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌))
3214, 31bitrd 282 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5036  ◡ccnv 5527  dom cdm 5528  Rel wrel 5533  Fun wfun 6334  –1-1-onto→wf1o 6339  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  Basecbs 16555  Catccat 17007  Invcinv 17088  Isociso 17089  SetCatcsetc 17415 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-fz 12953  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-hom 16661  df-cco 16662  df-cat 17011  df-cid 17012  df-sect 17090  df-inv 17091  df-iso 17092  df-setc 17416 This theorem is referenced by:  yonffthlem  17612
 Copyright terms: Public domain W3C validator