HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlimf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlimf 31040
Description: Function-like behavior of the convergence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hlimf ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟢ β„‹

Proof of Theorem hlimf
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . . . 7 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
2 eqid 2728 . . . . . . 7 (IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©) = (IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
31, 2hhxmet 30978 . . . . . 6 (IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹)
4 eqid 2728 . . . . . . 7 (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)) = (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©))
54methaus 24422 . . . . . 6 ((IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹) β†’ (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)) ∈ Haus)
6 lmfun 23278 . . . . . 6 ((MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)) ∈ Haus β†’ Fun (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©))))
73, 5, 6mp2b 10 . . . . 5 Fun (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)))
8 funres 6589 . . . . 5 (Fun (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©))) β†’ Fun ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•)))
97, 8ax-mp 5 . . . 4 Fun ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•))
101, 2, 4hhlm 31002 . . . . 5 ⇝𝑣 = ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•))
1110funeqi 6568 . . . 4 (Fun ⇝𝑣 ↔ Fun ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•)))
129, 11mpbir 230 . . 3 Fun ⇝𝑣
13 funfn 6577 . . 3 (Fun ⇝𝑣 ↔ ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 )
1412, 13mpbi 229 . 2 ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣
15 funfvbrb 7054 . . . . 5 (Fun ⇝𝑣 β†’ (π‘₯ ∈ dom ⇝𝑣 ↔ π‘₯ ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘₯)))
1612, 15ax-mp 5 . . . 4 (π‘₯ ∈ dom ⇝𝑣 ↔ π‘₯ ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘₯))
17 fvex 6904 . . . . 5 ( ⇝𝑣 β€˜π‘₯) ∈ V
1817hlimveci 30993 . . . 4 (π‘₯ ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘₯) β†’ ( ⇝𝑣 β€˜π‘₯) ∈ β„‹)
1916, 18sylbi 216 . . 3 (π‘₯ ∈ dom ⇝𝑣 β†’ ( ⇝𝑣 β€˜π‘₯) ∈ β„‹)
2019rgen 3059 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ dom ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘₯) ∈ β„‹
21 ffnfv 7123 . 2 ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟢ β„‹ ↔ ( ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘₯) ∈ β„‹))
2214, 20, 21mpbir2an 710 1 ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟢ β„‹
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3057  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5142  dom cdm 5672   β†Ύ cres 5674  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8838  β„•cn 12236  βˆžMetcxmet 21257  MetOpencmopn 21262  β‡π‘‘clm 23123  Hauscha 23205  IndMetcims 30394   β„‹chba 30722   +β„Ž cva 30723   Β·β„Ž csm 30724  normβ„Žcno 30726   ⇝𝑣 chli 30730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210  ax-addf 11211  ax-mulf 11212  ax-hilex 30802  ax-hfvadd 30803  ax-hvcom 30804  ax-hvass 30805  ax-hv0cl 30806  ax-hvaddid 30807  ax-hfvmul 30808  ax-hvmulid 30809  ax-hvmulass 30810  ax-hvdistr1 30811  ax-hvdistr2 30812  ax-hvmul0 30813  ax-hfi 30882  ax-his1 30885  ax-his2 30886  ax-his3 30887  ax-his4 30888
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-icc 13357  df-seq 13993  df-exp 14053  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-topgen 17418  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-met 21266  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-top 22789  df-topon 22806  df-bases 22842  df-lm 23126  df-haus 23212  df-grpo 30296  df-gid 30297  df-ginv 30298  df-gdiv 30299  df-ablo 30348  df-vc 30362  df-nv 30395  df-va 30398  df-ba 30399  df-sm 30400  df-0v 30401  df-vs 30402  df-nmcv 30403  df-ims 30404  df-hnorm 30771  df-hvsub 30774  df-hlim 30775
This theorem is referenced by:  hlimuni  31041  hhsscms  31081  occllem  31106  occl  31107  chscllem2  31441  chscllem4  31443
  Copyright terms: Public domain W3C validator