Theorem hlimf 31396

Description: Function-like behavior of the convergence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hlimf	⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ

Proof of Theorem hlimf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
2		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
3	1, 2	hhxmet 31334	. . . . . 6 ⊢ (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ)
4		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) = (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))
5	4	methaus 24567	. . . . . 6 ⊢ ((IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∈ Haus)
6		lmfun 23428	. . . . . 6 ⊢ ((MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))))
7	3, 5, 6	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))
8		funres 6557	. . . . 5 ⊢ (Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) → Fun ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
10	1, 2, 4	hhlm 31358	. . . . 5 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
11	10	funeqi 6536	. . . 4 ⊢ (Fun ⇝𝑣 ↔ Fun ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)))
12	9, 11	mpbir 233	. . 3 ⊢ Fun ⇝𝑣
13		funfn 6545	. . 3 ⊢ (Fun ⇝𝑣 ↔ ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 )
14	12, 13	mpbi 232	. 2 ⊢ ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣
15		funfvbrb 7026	. . . . 5 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑥 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑥)))
16	12, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑥 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑥))
17		fvex 6874	. . . . 5 ⊢ ( ⇝𝑣 ‘𝑥) ∈ V
18	17	hlimveci 31349	. . . 4 ⊢ (𝑥 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑥) → ( ⇝𝑣 ‘𝑥) ∈ ℋ)
19	16, 18	sylbi 219	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 → ( ⇝𝑣 ‘𝑥) ∈ ℋ)
20	19	rgen 3077	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑥) ∈ ℋ
21		ffnfv 7094	. 2 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ ↔ ( ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 ∧ ∀𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑥) ∈ ℋ))
22	14, 20, 21	mpbir2an 721	1 ⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ⟨cop 4585   class class class wbr 5097  dom cdm 5643   ↾ cres 5645  Fun wfun 6509   Fn wfn 6510  ⟶wf 6511  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8801  ℕcn 12203  ∞Metcxmet 21396  MetOpencmopn 21401  ⇝_𝑡clm 23273  Hauscha 23355  IndMetcims 30750   ℋchba 31078   +_ℎ cva 31079   ·_ℎ csm 31080  norm_ℎcno 31082   ⇝_𝑣 chli 31086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144  ax-addf 11145  ax-mulf 11146  ax-hilex 31158  ax-hfvadd 31159  ax-hvcom 31160  ax-hvass 31161  ax-hv0cl 31162  ax-hvaddid 31163  ax-hfvmul 31164  ax-hvmulid 31165  ax-hvmulass 31166  ax-hvdistr1 31167  ax-hvdistr2 31168  ax-hvmul0 31169  ax-hfi 31238  ax-his1 31241  ax-his2 31242  ax-his3 31243  ax-his4 31244

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-map 8803  df-pm 8804  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9381  df-inf 9382  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-q 12943  df-rp 12987  df-xneg 13107  df-xadd 13108  df-xmul 13109  df-icc 13349  df-seq 14008  df-exp 14068  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-topgen 17462  df-psmet 21403  df-xmet 21404  df-met 21405  df-bl 21406  df-mopn 21407  df-top 22941  df-topon 22958  df-bases 22993  df-lm 23276  df-haus 23362  df-grpo 30652  df-gid 30653  df-ginv 30654  df-gdiv 30655  df-ablo 30704  df-vc 30718  df-nv 30751  df-va 30754  df-ba 30755  df-sm 30756  df-0v 30757  df-vs 30758  df-nmcv 30759  df-ims 30760  df-hnorm 31127  df-hvsub 31130  df-hlim 31131

This theorem is referenced by:  hlimuni  31397  hhsscms  31437  occllem  31462  occl  31463  chscllem2  31797  chscllem4  31799