Theorem hlimf 28434

Description: Function-like behavior of the convergence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hlimf	⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ

Proof of Theorem hlimf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2771	. . . . . . 7 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
2		eqid 2771	. . . . . . 7 ⊢ (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
3	1, 2	hhxmet 28372	. . . . . 6 ⊢ (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ)
4		eqid 2771	. . . . . . 7 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) = (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))
5	4	methaus 22545	. . . . . 6 ⊢ ((IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∈ Haus)
6		lmfun 21406	. . . . . 6 ⊢ ((MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))))
7	3, 5, 6	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))
8		funres 6071	. . . . 5 ⊢ (Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) → Fun ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
10	1, 2, 4	hhlm 28396	. . . . 5 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
11	10	funeqi 6051	. . . 4 ⊢ (Fun ⇝𝑣 ↔ Fun ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
12	9, 11	mpbir 221	. . 3 ⊢ Fun ⇝𝑣
13		funfn 6060	. . 3 ⊢ (Fun ⇝𝑣 ↔ ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 )
14	12, 13	mpbi 220	. 2 ⊢ ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣
15		funfvbrb 6475	. . . . 5 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑥 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑥)))
16	12, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑥 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑥))
17		fvex 6344	. . . . 5 ⊢ ( ⇝𝑣 ‘𝑥) ∈ V
18	17	hlimveci 28387	. . . 4 ⊢ (𝑥 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑥) → ( ⇝𝑣 ‘𝑥) ∈ ℋ)
19	16, 18	sylbi 207	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 → ( ⇝𝑣 ‘𝑥) ∈ ℋ)
20	19	rgen 3071	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑥) ∈ ℋ
21		ffnfv 6533	. 2 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ ↔ ( ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 ∧ ∀𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑥) ∈ ℋ))
22	14, 20, 21	mpbir2an 690	1 ⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ⟨cop 4323   class class class wbr 4787  dom cdm 5250   ↾ cres 5252  Fun wfun 6024   Fn wfn 6025  ⟶wf 6026  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796   ↑_𝑚 cmap 8013  ℕcn 11226  ∞Metcxmt 19946  MetOpencmopn 19951  ⇝_𝑡clm 21251  Hauscha 21333  IndMetcims 27786   ℋchil 28116   +_ℎ cva 28117   ·_ℎ csm 28118  norm_ℎcno 28120   ⇝_𝑣 chli 28124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222  ax-hilex 28196  ax-hfvadd 28197  ax-hvcom 28198  ax-hvass 28199  ax-hv0cl 28200  ax-hvaddid 28201  ax-hfvmul 28202  ax-hvmulid 28203  ax-hvmulass 28204  ax-hvdistr1 28205  ax-hvdistr2 28206  ax-hvmul0 28207  ax-hfi 28276  ax-his1 28279  ax-his2 28280  ax-his3 28281  ax-his4 28282

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-icc 12387  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-topgen 16312  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971  df-lm 21254  df-haus 21340  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ginv 27689  df-gdiv 27690  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-vs 27794  df-nmcv 27795  df-ims 27796  df-hnorm 28165  df-hvsub 28168  df-hlim 28169

This theorem is referenced by:  hlimuni  28435  hhsscms  28476  occllem  28502  occl  28503  chscllem2  28837  chscllem4  28839