HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlimf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlimf 30485
Description: Function-like behavior of the convergence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hlimf ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟢ β„‹

Proof of Theorem hlimf
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . . . 7 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
2 eqid 2732 . . . . . . 7 (IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©) = (IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
31, 2hhxmet 30423 . . . . . 6 (IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹)
4 eqid 2732 . . . . . . 7 (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)) = (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©))
54methaus 24028 . . . . . 6 ((IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹) β†’ (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)) ∈ Haus)
6 lmfun 22884 . . . . . 6 ((MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)) ∈ Haus β†’ Fun (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©))))
73, 5, 6mp2b 10 . . . . 5 Fun (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)))
8 funres 6590 . . . . 5 (Fun (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©))) β†’ Fun ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•)))
97, 8ax-mp 5 . . . 4 Fun ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•))
101, 2, 4hhlm 30447 . . . . 5 ⇝𝑣 = ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•))
1110funeqi 6569 . . . 4 (Fun ⇝𝑣 ↔ Fun ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•)))
129, 11mpbir 230 . . 3 Fun ⇝𝑣
13 funfn 6578 . . 3 (Fun ⇝𝑣 ↔ ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 )
1412, 13mpbi 229 . 2 ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣
15 funfvbrb 7052 . . . . 5 (Fun ⇝𝑣 β†’ (π‘₯ ∈ dom ⇝𝑣 ↔ π‘₯ ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘₯)))
1612, 15ax-mp 5 . . . 4 (π‘₯ ∈ dom ⇝𝑣 ↔ π‘₯ ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘₯))
17 fvex 6904 . . . . 5 ( ⇝𝑣 β€˜π‘₯) ∈ V
1817hlimveci 30438 . . . 4 (π‘₯ ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘₯) β†’ ( ⇝𝑣 β€˜π‘₯) ∈ β„‹)
1916, 18sylbi 216 . . 3 (π‘₯ ∈ dom ⇝𝑣 β†’ ( ⇝𝑣 β€˜π‘₯) ∈ β„‹)
2019rgen 3063 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ dom ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘₯) ∈ β„‹
21 ffnfv 7117 . 2 ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟢ β„‹ ↔ ( ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘₯) ∈ β„‹))
2214, 20, 21mpbir2an 709 1 ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟢ β„‹
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑m cmap 8819  β„•cn 12211  βˆžMetcxmet 20928  MetOpencmopn 20933  β‡π‘‘clm 22729  Hauscha 22811  IndMetcims 29839   β„‹chba 30167   +β„Ž cva 30168   Β·β„Ž csm 30169  normβ„Žcno 30171   ⇝𝑣 chli 30175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189  ax-hilex 30247  ax-hfvadd 30248  ax-hvcom 30249  ax-hvass 30250  ax-hv0cl 30251  ax-hvaddid 30252  ax-hfvmul 30253  ax-hvmulid 30254  ax-hvmulass 30255  ax-hvdistr1 30256  ax-hvdistr2 30257  ax-hvmul0 30258  ax-hfi 30327  ax-his1 30330  ax-his2 30331  ax-his3 30332  ax-his4 30333
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-icc 13330  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-lm 22732  df-haus 22818  df-grpo 29741  df-gid 29742  df-ginv 29743  df-gdiv 29744  df-ablo 29793  df-vc 29807  df-nv 29840  df-va 29843  df-ba 29844  df-sm 29845  df-0v 29846  df-vs 29847  df-nmcv 29848  df-ims 29849  df-hnorm 30216  df-hvsub 30219  df-hlim 30220
This theorem is referenced by:  hlimuni  30486  hhsscms  30526  occllem  30551  occl  30552  chscllem2  30886  chscllem4  30888
  Copyright terms: Public domain W3C validator