Theorem hlimf 31312

Description: Function-like behavior of the convergence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hlimf	⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ

Proof of Theorem hlimf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
2		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
3	1, 2	hhxmet 31250	. . . . . 6 ⊢ (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ)
4		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) = (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))
5	4	methaus 24464	. . . . . 6 ⊢ ((IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∈ Haus)
6		lmfun 23325	. . . . . 6 ⊢ ((MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))))
7	3, 5, 6	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))
8		funres 6534	. . . . 5 ⊢ (Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) → Fun ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
10	1, 2, 4	hhlm 31274	. . . . 5 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
11	10	funeqi 6513	. . . 4 ⊢ (Fun ⇝𝑣 ↔ Fun ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)))
12	9, 11	mpbir 231	. . 3 ⊢ Fun ⇝𝑣
13		funfn 6522	. . 3 ⊢ (Fun ⇝𝑣 ↔ ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 )
14	12, 13	mpbi 230	. 2 ⊢ ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣
15		funfvbrb 6996	. . . . 5 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑥 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑥)))
16	12, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑥 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑥))
17		fvex 6847	. . . . 5 ⊢ ( ⇝𝑣 ‘𝑥) ∈ V
18	17	hlimveci 31265	. . . 4 ⊢ (𝑥 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑥) → ( ⇝𝑣 ‘𝑥) ∈ ℋ)
19	16, 18	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 → ( ⇝𝑣 ‘𝑥) ∈ ℋ)
20	19	rgen 3053	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑥) ∈ ℋ
21		ffnfv 7064	. 2 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ ↔ ( ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 ∧ ∀𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑥) ∈ ℋ))
22	14, 20, 21	mpbir2an 711	1 ⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ⟨cop 4586   class class class wbr 5098  dom cdm 5624   ↾ cres 5626  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763  ℕcn 12145  ∞Metcxmet 21294  MetOpencmopn 21299  ⇝_𝑡clm 23170  Hauscha 23252  IndMetcims 30666   ℋchba 30994   +_ℎ cva 30995   ·_ℎ csm 30996  norm_ℎcno 30998   ⇝_𝑣 chli 31002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105  ax-mulf 11106  ax-hilex 31074  ax-hfvadd 31075  ax-hvcom 31076  ax-hvass 31077  ax-hv0cl 31078  ax-hvaddid 31079  ax-hfvmul 31080  ax-hvmulid 31081  ax-hvmulass 31082  ax-hvdistr1 31083  ax-hvdistr2 31084  ax-hvmul0 31085  ax-hfi 31154  ax-his1 31157  ax-his2 31158  ax-his3 31159  ax-his4 31160

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-icc 13268  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-topgen 17363  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-top 22838  df-topon 22855  df-bases 22890  df-lm 23173  df-haus 23259  df-grpo 30568  df-gid 30569  df-ginv 30570  df-gdiv 30571  df-ablo 30620  df-vc 30634  df-nv 30667  df-va 30670  df-ba 30671  df-sm 30672  df-0v 30673  df-vs 30674  df-nmcv 30675  df-ims 30676  df-hnorm 31043  df-hvsub 31046  df-hlim 31047

This theorem is referenced by:  hlimuni  31313  hhsscms  31353  occllem  31378  occl  31379  chscllem2  31713  chscllem4  31715