Theorem hlimf 31896

Description: Function-like behavior of the convergence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hlimf	⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ

Proof of Theorem hlimf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
2		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
3	1, 2	hhxmet 31834	. . . . . 6 ⊢ (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ)
4		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) = (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))
5	4	methaus 24894	. . . . . 6 ⊢ ((IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∈ Haus)
6		lmfun 23754	. . . . . 6 ⊢ ((MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))))
7	3, 5, 6	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))
8		funres 6610	. . . . 5 ⊢ (Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) → Fun ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
10	1, 2, 4	hhlm 31858	. . . . 5 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
11	10	funeqi 6588	. . . 4 ⊢ (Fun ⇝𝑣 ↔ Fun ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)))
12	9, 11	mpbir 234	. . 3 ⊢ Fun ⇝𝑣
13		funfn 6598	. . 3 ⊢ (Fun ⇝𝑣 ↔ ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 )
14	12, 13	mpbi 233	. 2 ⊢ ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣
15		funfvbrb 7081	. . . . 5 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑥 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑥)))
16	12, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑥 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑥))
17		fvex 6929	. . . . 5 ⊢ ( ⇝𝑣 ‘𝑥) ∈ V
18	17	hlimveci 31849	. . . 4 ⊢ (𝑥 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑥) → ( ⇝𝑣 ‘𝑥) ∈ ℋ)
19	16, 18	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 → ( ⇝𝑣 ‘𝑥) ∈ ℋ)
20	19	rgen 3082	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑥) ∈ ℋ
21		ffnfv 7151	. 2 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ ↔ ( ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 ∧ ∀𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑥) ∈ ℋ))
22	14, 20, 21	mpbir2an 724	1 ⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ⟨cop 4840   class class class wbr 5108  dom cdm 5658   ↾ cres 5660  Fun wfun 6560   Fn wfn 6561  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885  ℕcn 12375  ∞Metcxmet 21714  MetOpencmopn 21719  ⇝_𝑡clm 23599  Hauscha 23681  IndMetcims 31250   ℋchba 31578   +_ℎ cva 31579   ·_ℎ csm 31580  norm_ℎcno 31582   ⇝_𝑣 chli 31586

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318  ax-mulf 11319  ax-hilex 31658  ax-hfvadd 31659  ax-hvcom 31660  ax-hvass 31661  ax-hv0cl 31662  ax-hvaddid 31663  ax-hfvmul 31664  ax-hvmulid 31665  ax-hvmulass 31666  ax-hvdistr1 31667  ax-hvdistr2 31668  ax-hvmul0 31669  ax-hfi 31738  ax-his1 31741  ax-his2 31742  ax-his3 31743  ax-his4 31744

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-icc 13523  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-topgen 17664  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-top 23267  df-topon 23284  df-bases 23319  df-lm 23602  df-haus 23688  df-grpo 31152  df-gid 31153  df-ginv 31154  df-gdiv 31155  df-ablo 31204  df-vc 31218  df-nv 31251  df-va 31254  df-ba 31255  df-sm 31256  df-0v 31257  df-vs 31258  df-nmcv 31259  df-ims 31260  df-hnorm 31627  df-hvsub 31630  df-hlim 31631

This theorem is used by:  hlimuni  31897  hhsscms  31937  occllem  31962  occl  31963  chscllem2  32297  chscllem4  32299