HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlimf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlimf 30477
Description: Function-like behavior of the convergence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hlimf 𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ

Proof of Theorem hlimf
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . . . 7 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
2 eqid 2732 . . . . . . 7 (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) = (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
31, 2hhxmet 30415 . . . . . 6 (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ)
4 eqid 2732 . . . . . . 7 (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)) = (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))
54methaus 24020 . . . . . 6 ((IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)) ∈ Haus)
6 lmfun 22876 . . . . . 6 ((MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)) ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))))
73, 5, 6mp2b 10 . . . . 5 Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)))
8 funres 6587 . . . . 5 (Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) → Fun ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)))
97, 8ax-mp 5 . . . 4 Fun ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
101, 2, 4hhlm 30439 . . . . 5 𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
1110funeqi 6566 . . . 4 (Fun ⇝𝑣 ↔ Fun ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)))
129, 11mpbir 230 . . 3 Fun ⇝𝑣
13 funfn 6575 . . 3 (Fun ⇝𝑣 ↔ ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 )
1412, 13mpbi 229 . 2 𝑣 Fn dom ⇝𝑣
15 funfvbrb 7049 . . . . 5 (Fun ⇝𝑣 → (𝑥 ∈ dom ⇝𝑣𝑥𝑣 ( ⇝𝑣𝑥)))
1612, 15ax-mp 5 . . . 4 (𝑥 ∈ dom ⇝𝑣𝑥𝑣 ( ⇝𝑣𝑥))
17 fvex 6901 . . . . 5 ( ⇝𝑣𝑥) ∈ V
1817hlimveci 30430 . . . 4 (𝑥𝑣 ( ⇝𝑣𝑥) → ( ⇝𝑣𝑥) ∈ ℋ)
1916, 18sylbi 216 . . 3 (𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 → ( ⇝𝑣𝑥) ∈ ℋ)
2019rgen 3063 . 2 𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 ( ⇝𝑣𝑥) ∈ ℋ
21 ffnfv 7114 . 2 ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ ↔ ( ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 ∧ ∀𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 ( ⇝𝑣𝑥) ∈ ℋ))
2214, 20, 21mpbir2an 709 1 𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wcel 2106  wral 3061  cop 4633   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  cres 5677  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7405  m cmap 8816  cn 12208  ∞Metcxmet 20921  MetOpencmopn 20926  𝑡clm 22721  Hauscha 22803  IndMetcims 29831  chba 30159   + cva 30160   · csm 30161  normcno 30163  𝑣 chli 30167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-hilex 30239  ax-hfvadd 30240  ax-hvcom 30241  ax-hvass 30242  ax-hv0cl 30243  ax-hvaddid 30244  ax-hfvmul 30245  ax-hvmulid 30246  ax-hvmulass 30247  ax-hvdistr1 30248  ax-hvdistr2 30249  ax-hvmul0 30250  ax-hfi 30319  ax-his1 30322  ax-his2 30323  ax-his3 30324  ax-his4 30325
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-icc 13327  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-lm 22724  df-haus 22810  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-ims 29841  df-hnorm 30208  df-hvsub 30211  df-hlim 30212
This theorem is referenced by:  hlimuni  30478  hhsscms  30518  occllem  30543  occl  30544  chscllem2  30878  chscllem4  30880
  Copyright terms: Public domain W3C validator