Theorem hlimf 30962

Description: Function-like behavior of the convergence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hlimf	⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ

Proof of Theorem hlimf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
2		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
3	1, 2	hhxmet 30900	. . . . . 6 ⊢ (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ)
4		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) = (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))
5	4	methaus 24353	. . . . . 6 ⊢ ((IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∈ Haus)
6		lmfun 23209	. . . . . 6 ⊢ ((MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))))
7	3, 5, 6	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))
8		funres 6581	. . . . 5 ⊢ (Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) → Fun ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
10	1, 2, 4	hhlm 30924	. . . . 5 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
11	10	funeqi 6560	. . . 4 ⊢ (Fun ⇝𝑣 ↔ Fun ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)))
12	9, 11	mpbir 230	. . 3 ⊢ Fun ⇝𝑣
13		funfn 6569	. . 3 ⊢ (Fun ⇝𝑣 ↔ ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 )
14	12, 13	mpbi 229	. 2 ⊢ ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣
15		funfvbrb 7043	. . . . 5 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑥 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑥)))
16	12, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑥 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑥))
17		fvex 6895	. . . . 5 ⊢ ( ⇝𝑣 ‘𝑥) ∈ V
18	17	hlimveci 30915	. . . 4 ⊢ (𝑥 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑥) → ( ⇝𝑣 ‘𝑥) ∈ ℋ)
19	16, 18	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 → ( ⇝𝑣 ‘𝑥) ∈ ℋ)
20	19	rgen 3055	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑥) ∈ ℋ
21		ffnfv 7111	. 2 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ ↔ ( ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 ∧ ∀𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑥) ∈ ℋ))
22	14, 20, 21	mpbir2an 708	1 ⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  ⟨cop 4627   class class class wbr 5139  dom cdm 5667   ↾ cres 5669  Fun wfun 6528   Fn wfn 6529  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402   ↑_m cmap 8817  ℕcn 12210  ∞Metcxmet 21215  MetOpencmopn 21220  ⇝_𝑡clm 23054  Hauscha 23136  IndMetcims 30316   ℋchba 30644   +_ℎ cva 30645   ·_ℎ csm 30646  norm_ℎcno 30648   ⇝_𝑣 chli 30652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187  ax-hilex 30724  ax-hfvadd 30725  ax-hvcom 30726  ax-hvass 30727  ax-hv0cl 30728  ax-hvaddid 30729  ax-hfvmul 30730  ax-hvmulid 30731  ax-hvmulass 30732  ax-hvdistr1 30733  ax-hvdistr2 30734  ax-hvmul0 30735  ax-hfi 30804  ax-his1 30807  ax-his2 30808  ax-his3 30809  ax-his4 30810

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-xneg 13090  df-xadd 13091  df-xmul 13092  df-icc 13329  df-seq 13965  df-exp 14026  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-topgen 17390  df-psmet 21222  df-xmet 21223  df-met 21224  df-bl 21225  df-mopn 21226  df-top 22720  df-topon 22737  df-bases 22773  df-lm 23057  df-haus 23143  df-grpo 30218  df-gid 30219  df-ginv 30220  df-gdiv 30221  df-ablo 30270  df-vc 30284  df-nv 30317  df-va 30320  df-ba 30321  df-sm 30322  df-0v 30323  df-vs 30324  df-nmcv 30325  df-ims 30326  df-hnorm 30693  df-hvsub 30696  df-hlim 30697

This theorem is referenced by:  hlimuni  30963  hhsscms  31003  occllem  31028  occl  31029  chscllem2  31363  chscllem4  31365