HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlimf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlimf 30228
Description: Function-like behavior of the convergence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hlimf ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟢ β„‹

Proof of Theorem hlimf
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . . 7 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
2 eqid 2733 . . . . . . 7 (IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©) = (IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
31, 2hhxmet 30166 . . . . . 6 (IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹)
4 eqid 2733 . . . . . . 7 (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)) = (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©))
54methaus 23899 . . . . . 6 ((IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹) β†’ (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)) ∈ Haus)
6 lmfun 22755 . . . . . 6 ((MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)) ∈ Haus β†’ Fun (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©))))
73, 5, 6mp2b 10 . . . . 5 Fun (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)))
8 funres 6547 . . . . 5 (Fun (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©))) β†’ Fun ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•)))
97, 8ax-mp 5 . . . 4 Fun ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•))
101, 2, 4hhlm 30190 . . . . 5 ⇝𝑣 = ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•))
1110funeqi 6526 . . . 4 (Fun ⇝𝑣 ↔ Fun ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•)))
129, 11mpbir 230 . . 3 Fun ⇝𝑣
13 funfn 6535 . . 3 (Fun ⇝𝑣 ↔ ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 )
1412, 13mpbi 229 . 2 ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣
15 funfvbrb 7005 . . . . 5 (Fun ⇝𝑣 β†’ (π‘₯ ∈ dom ⇝𝑣 ↔ π‘₯ ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘₯)))
1612, 15ax-mp 5 . . . 4 (π‘₯ ∈ dom ⇝𝑣 ↔ π‘₯ ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘₯))
17 fvex 6859 . . . . 5 ( ⇝𝑣 β€˜π‘₯) ∈ V
1817hlimveci 30181 . . . 4 (π‘₯ ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘₯) β†’ ( ⇝𝑣 β€˜π‘₯) ∈ β„‹)
1916, 18sylbi 216 . . 3 (π‘₯ ∈ dom ⇝𝑣 β†’ ( ⇝𝑣 β€˜π‘₯) ∈ β„‹)
2019rgen 3063 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ dom ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘₯) ∈ β„‹
21 ffnfv 7070 . 2 ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟢ β„‹ ↔ ( ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘₯) ∈ β„‹))
2214, 20, 21mpbir2an 710 1 ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟢ β„‹
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βŸ¨cop 4596   class class class wbr 5109  dom cdm 5637   β†Ύ cres 5639  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771  β„•cn 12161  βˆžMetcxmet 20804  MetOpencmopn 20809  β‡π‘‘clm 22600  Hauscha 22682  IndMetcims 29582   β„‹chba 29910   +β„Ž cva 29911   Β·β„Ž csm 29912  normβ„Žcno 29914   ⇝𝑣 chli 29918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139  ax-hilex 29990  ax-hfvadd 29991  ax-hvcom 29992  ax-hvass 29993  ax-hv0cl 29994  ax-hvaddid 29995  ax-hfvmul 29996  ax-hvmulid 29997  ax-hvmulass 29998  ax-hvdistr1 29999  ax-hvdistr2 30000  ax-hvmul0 30001  ax-hfi 30070  ax-his1 30073  ax-his2 30074  ax-his3 30075  ax-his4 30076
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-icc 13280  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-lm 22603  df-haus 22689  df-grpo 29484  df-gid 29485  df-ginv 29486  df-gdiv 29487  df-ablo 29536  df-vc 29550  df-nv 29583  df-va 29586  df-ba 29587  df-sm 29588  df-0v 29589  df-vs 29590  df-nmcv 29591  df-ims 29592  df-hnorm 29959  df-hvsub 29962  df-hlim 29963
This theorem is referenced by:  hlimuni  30229  hhsscms  30269  occllem  30294  occl  30295  chscllem2  30629  chscllem4  30631
  Copyright terms: Public domain W3C validator