HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlimf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlimf 28434
Description: Function-like behavior of the convergence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hlimf 𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ

Proof of Theorem hlimf
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . . . . . 7 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
2 eqid 2771 . . . . . . 7 (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) = (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
31, 2hhxmet 28372 . . . . . 6 (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ)
4 eqid 2771 . . . . . . 7 (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)) = (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))
54methaus 22545 . . . . . 6 ((IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)) ∈ Haus)
6 lmfun 21406 . . . . . 6 ((MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)) ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))))
73, 5, 6mp2b 10 . . . . 5 Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)))
8 funres 6071 . . . . 5 (Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) → Fun ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
97, 8ax-mp 5 . . . 4 Fun ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
101, 2, 4hhlm 28396 . . . . 5 𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
1110funeqi 6051 . . . 4 (Fun ⇝𝑣 ↔ Fun ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
129, 11mpbir 221 . . 3 Fun ⇝𝑣
13 funfn 6060 . . 3 (Fun ⇝𝑣 ↔ ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 )
1412, 13mpbi 220 . 2 𝑣 Fn dom ⇝𝑣
15 funfvbrb 6475 . . . . 5 (Fun ⇝𝑣 → (𝑥 ∈ dom ⇝𝑣𝑥𝑣 ( ⇝𝑣𝑥)))
1612, 15ax-mp 5 . . . 4 (𝑥 ∈ dom ⇝𝑣𝑥𝑣 ( ⇝𝑣𝑥))
17 fvex 6344 . . . . 5 ( ⇝𝑣𝑥) ∈ V
1817hlimveci 28387 . . . 4 (𝑥𝑣 ( ⇝𝑣𝑥) → ( ⇝𝑣𝑥) ∈ ℋ)
1916, 18sylbi 207 . . 3 (𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 → ( ⇝𝑣𝑥) ∈ ℋ)
2019rgen 3071 . 2 𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 ( ⇝𝑣𝑥) ∈ ℋ
21 ffnfv 6533 . 2 ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ ↔ ( ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 ∧ ∀𝑥 ∈ dom ⇝𝑣 ( ⇝𝑣𝑥) ∈ ℋ))
2214, 20, 21mpbir2an 690 1 𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wcel 2145  wral 3061  cop 4323   class class class wbr 4787  dom cdm 5250  cres 5252  Fun wfun 6024   Fn wfn 6025  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  𝑚 cmap 8013  cn 11226  ∞Metcxmt 19946  MetOpencmopn 19951  𝑡clm 21251  Hauscha 21333  IndMetcims 27786  chil 28116   + cva 28117   · csm 28118  normcno 28120  𝑣 chli 28124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222  ax-hilex 28196  ax-hfvadd 28197  ax-hvcom 28198  ax-hvass 28199  ax-hv0cl 28200  ax-hvaddid 28201  ax-hfvmul 28202  ax-hvmulid 28203  ax-hvmulass 28204  ax-hvdistr1 28205  ax-hvdistr2 28206  ax-hvmul0 28207  ax-hfi 28276  ax-his1 28279  ax-his2 28280  ax-his3 28281  ax-his4 28282
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-icc 12387  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-topgen 16312  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971  df-lm 21254  df-haus 21340  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ginv 27689  df-gdiv 27690  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-vs 27794  df-nmcv 27795  df-ims 27796  df-hnorm 28165  df-hvsub 28168  df-hlim 28169
This theorem is referenced by:  hlimuni  28435  hhsscms  28476  occllem  28502  occl  28503  chscllem2  28837  chscllem4  28839
  Copyright terms: Public domain W3C validator