Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngcisoALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngcisoALTV 47252
Description: An isomorphism in the category of non-unital rings is a bijection. (Contributed by AV, 28-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcsectALTV.c 𝐢 = (RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)
rngcsectALTV.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
rngcsectALTV.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rngcsectALTV.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
rngcsectALTV.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
rngcisoALTV.n 𝐼 = (Isoβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
rngcisoALTV (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 RngIso π‘Œ)))

Proof of Theorem rngcisoALTV
StepHypRef Expression
1 rngcsectALTV.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
2 eqid 2727 . . . 4 (Invβ€˜πΆ) = (Invβ€˜πΆ)
3 rngcsectALTV.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
4 rngcsectALTV.c . . . . . 6 𝐢 = (RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)
54rngccatALTV 47248 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ Cat)
63, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
7 rngcsectALTV.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
8 rngcsectALTV.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
9 rngcisoALTV.n . . . 4 𝐼 = (Isoβ€˜πΆ)
101, 2, 6, 7, 8, 9isoval 17733 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘‹πΌπ‘Œ) = dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ))
1110eleq2d 2814 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ↔ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)))
121, 2, 6, 7, 8invfun 17732 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ))
13 funfvbrb 7054 . . . . 5 (Fun (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) β†’ (𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) ↔ 𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)((𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)β€˜πΉ)))
1412, 13syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) ↔ 𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)((𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)β€˜πΉ)))
154, 1, 3, 7, 8, 2rngcinvALTV 47251 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)((𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)β€˜πΉ) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngIso π‘Œ) ∧ ((𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)β€˜πΉ) = ◑𝐹)))
16 simpl 482 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑋 RngIso π‘Œ) ∧ ((𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)β€˜πΉ) = ◑𝐹) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 RngIso π‘Œ))
1715, 16syl6bi 253 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)((𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)β€˜πΉ) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 RngIso π‘Œ)))
1814, 17sylbid 239 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 RngIso π‘Œ)))
19 eqid 2727 . . . 4 ◑𝐹 = ◑𝐹
204, 1, 3, 7, 8, 2rngcinvALTV 47251 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)◑𝐹 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngIso π‘Œ) ∧ ◑𝐹 = ◑𝐹)))
21 funrel 6564 . . . . . . 7 (Fun (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) β†’ Rel (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ))
2212, 21syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Rel (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ))
23 releldm 5940 . . . . . . 7 ((Rel (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)◑𝐹) β†’ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ))
2423ex 412 . . . . . 6 (Rel (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) β†’ (𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)◑𝐹 β†’ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)))
2522, 24syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)◑𝐹 β†’ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)))
2620, 25sylbird 260 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∈ (𝑋 RngIso π‘Œ) ∧ ◑𝐹 = ◑𝐹) β†’ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)))
2719, 26mpan2i 696 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝑋 RngIso π‘Œ) β†’ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)))
2818, 27impbid 211 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 RngIso π‘Œ)))
2911, 28bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 RngIso π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  β—‘ccnv 5671  dom cdm 5672  Rel wrel 5677  Fun wfun 6536  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  Catccat 17629  Invcinv 17713  Isociso 17714   RngIso crngim 20356  RngCatALTVcrngcALTV 47238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-plusg 17231  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-cat 17633  df-cid 17634  df-sect 17715  df-inv 17716  df-iso 17717  df-mgm 18585  df-mgmhm 18637  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-grp 18878  df-ghm 19152  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-rnghm 20357  df-rngim 20358  df-rngcALTV 47239
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator