Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngcisoALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngcisoALTV 44571
Description: An isomorphism in the category of non-unital rings is a bijection. (Contributed by AV, 28-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcsectALTV.c 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngcsectALTV.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
rngcsectALTV.u (𝜑𝑈𝑉)
rngcsectALTV.x (𝜑𝑋𝐵)
rngcsectALTV.y (𝜑𝑌𝐵)
rngcisoALTV.n 𝐼 = (Iso‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
rngcisoALTV (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌)))

Proof of Theorem rngcisoALTV
StepHypRef Expression
1 rngcsectALTV.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 eqid 2824 . . . 4 (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3 rngcsectALTV.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑉)
4 rngcsectALTV.c . . . . . 6 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
54rngccatALTV 44567 . . . . 5 (𝑈𝑉𝐶 ∈ Cat)
63, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
7 rngcsectALTV.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
8 rngcsectALTV.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
9 rngcisoALTV.n . . . 4 𝐼 = (Iso‘𝐶)
101, 2, 6, 7, 8, 9isoval 17037 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
1110eleq2d 2901 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
121, 2, 6, 7, 8invfun 17036 . . . . 5 (𝜑 → Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
13 funfvbrb 6814 . . . . 5 (Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹)))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹)))
154, 1, 3, 7, 8, 2rngcinvALTV 44570 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌) ∧ ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) = 𝐹)))
16 simpl 486 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌) ∧ ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) = 𝐹) → 𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌))
1715, 16syl6bi 256 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) → 𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌)))
1814, 17sylbid 243 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → 𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌)))
19 eqid 2824 . . . 4 𝐹 = 𝐹
204, 1, 3, 7, 8, 2rngcinvALTV 44570 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝐹 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌) ∧ 𝐹 = 𝐹)))
21 funrel 6362 . . . . . . 7 (Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
2212, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
23 releldm 5802 . . . . . . 7 ((Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝐹) → 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
2423ex 416 . . . . . 6 (Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝐹𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
2522, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝐹𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
2620, 25sylbird 263 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌) ∧ 𝐹 = 𝐹) → 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
2719, 26mpan2i 696 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌) → 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
2818, 27impbid 215 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌)))
2911, 28bitrd 282 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5053  ccnv 5542  dom cdm 5543  Rel wrel 5548  Fun wfun 6339  cfv 6345  (class class class)co 7151  Basecbs 16485  Catccat 16937  Invcinv 17017  Isociso 17018   RngIsom crngs 44463  RngCatALTVcrngcALTV 44535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12897  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-plusg 16580  df-hom 16591  df-cco 16592  df-0g 16717  df-cat 16941  df-cid 16942  df-sect 17019  df-inv 17020  df-iso 17021  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-mhm 17958  df-grp 18108  df-ghm 18358  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-mgmhm 44352  df-rng0 44452  df-rnghomo 44464  df-rngisom 44465  df-rngcALTV 44537
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator