Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngcisoALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngcisoALTV 47450
Description: An isomorphism in the category of non-unital rings is a bijection. (Contributed by AV, 28-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcsectALTV.c 𝐢 = (RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)
rngcsectALTV.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
rngcsectALTV.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rngcsectALTV.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
rngcsectALTV.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
rngcisoALTV.n 𝐼 = (Isoβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
rngcisoALTV (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 RngIso π‘Œ)))

Proof of Theorem rngcisoALTV
StepHypRef Expression
1 rngcsectALTV.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
2 eqid 2725 . . . 4 (Invβ€˜πΆ) = (Invβ€˜πΆ)
3 rngcsectALTV.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
4 rngcsectALTV.c . . . . . 6 𝐢 = (RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)
54rngccatALTV 47446 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ Cat)
63, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
7 rngcsectALTV.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
8 rngcsectALTV.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
9 rngcisoALTV.n . . . 4 𝐼 = (Isoβ€˜πΆ)
101, 2, 6, 7, 8, 9isoval 17745 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘‹πΌπ‘Œ) = dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ))
1110eleq2d 2811 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ↔ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)))
121, 2, 6, 7, 8invfun 17744 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ))
13 funfvbrb 7054 . . . . 5 (Fun (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) β†’ (𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) ↔ 𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)((𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)β€˜πΉ)))
1412, 13syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) ↔ 𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)((𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)β€˜πΉ)))
154, 1, 3, 7, 8, 2rngcinvALTV 47449 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)((𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)β€˜πΉ) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngIso π‘Œ) ∧ ((𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)β€˜πΉ) = ◑𝐹)))
16 simpl 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑋 RngIso π‘Œ) ∧ ((𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)β€˜πΉ) = ◑𝐹) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 RngIso π‘Œ))
1715, 16biimtrdi 252 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)((𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)β€˜πΉ) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 RngIso π‘Œ)))
1814, 17sylbid 239 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 RngIso π‘Œ)))
19 eqid 2725 . . . 4 ◑𝐹 = ◑𝐹
204, 1, 3, 7, 8, 2rngcinvALTV 47449 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)◑𝐹 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngIso π‘Œ) ∧ ◑𝐹 = ◑𝐹)))
21 funrel 6564 . . . . . . 7 (Fun (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) β†’ Rel (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ))
2212, 21syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Rel (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ))
23 releldm 5940 . . . . . . 7 ((Rel (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)◑𝐹) β†’ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ))
2423ex 411 . . . . . 6 (Rel (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) β†’ (𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)◑𝐹 β†’ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)))
2522, 24syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)◑𝐹 β†’ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)))
2620, 25sylbird 259 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∈ (𝑋 RngIso π‘Œ) ∧ ◑𝐹 = ◑𝐹) β†’ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)))
2719, 26mpan2i 695 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝑋 RngIso π‘Œ) β†’ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)))
2818, 27impbid 211 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 RngIso π‘Œ)))
2911, 28bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 RngIso π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  β—‘ccnv 5671  dom cdm 5672  Rel wrel 5677  Fun wfun 6536  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  Catccat 17641  Invcinv 17725  Isociso 17726   RngIso crngim 20376  RngCatALTVcrngcALTV 47436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-plusg 17243  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-cat 17645  df-cid 17646  df-sect 17727  df-inv 17728  df-iso 17729  df-mgm 18597  df-mgmhm 18649  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-grp 18895  df-ghm 19170  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-rnghm 20377  df-rngim 20378  df-rngcALTV 47437
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator