Theorem ringciso 43804

Description: An isomorphism in the category of unital rings is a bijection. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcsect.c	⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
ringcsect.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
ringcsect.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
ringcsect.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringcsect.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ringciso.n	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ringciso	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 RingIso 𝑌)))

Proof of Theorem ringciso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcsect.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2797	. . . 4 ⊢ (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3		ringcsect.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		ringcsect.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
5	4	ringccat 43795	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
6	3, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
7		ringcsect.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		ringcsect.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		ringciso.n	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
10	1, 2, 6, 7, 8, 9	isoval 16868	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
11	10	eleq2d 2870	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
12	1, 2, 6, 7, 8	invfun 16867	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
13		funfvbrb 6693	. . . . 5 ⊢ (Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹)))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹)))
15	4, 1, 3, 7, 8, 2	ringcinv 43803	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RingIso 𝑌) ∧ ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) = ◡𝐹)))
16		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋 RingIso 𝑌) ∧ ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) = ◡𝐹) → 𝐹 ∈ (𝑋 RingIso 𝑌))
17	15, 16	syl6bi 254	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) → 𝐹 ∈ (𝑋 RingIso 𝑌)))
18	14, 17	sylbid 241	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → 𝐹 ∈ (𝑋 RingIso 𝑌)))
19		eqid 2797	. . . 4 ⊢ ◡𝐹 = ◡𝐹
20	4, 1, 3, 7, 8, 2	ringcinv 43803	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)◡𝐹 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RingIso 𝑌) ∧ ◡𝐹 = ◡𝐹)))
21		funrel 6249	. . . . . . 7 ⊢ (Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
22	12, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
23		releldm 5703	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)◡𝐹) → 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
24	23	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)◡𝐹 → 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
25	22, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)◡𝐹 → 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
26	20, 25	sylbird 261	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋 RingIso 𝑌) ∧ ◡𝐹 = ◡𝐹) → 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
27	19, 26	mpan2i 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋 RingIso 𝑌) → 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
28	18, 27	impbid 213	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 RingIso 𝑌)))
29	11, 28	bitrd 280	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 RingIso 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1525   ∈ wcel 2083   class class class wbr 4968  ^◡ccnv 5449  dom cdm 5450  Rel wrel 5455  Fun wfun 6226  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  Basecbs 16316  Catccat 16768  Invcinv 16848  Isociso 16849   RingIso crs 19159  RingCatcringc 43774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-fz 12747  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-hom 16422  df-cco 16423  df-0g 16548  df-cat 16772  df-cid 16773  df-homf 16774  df-sect 16850  df-inv 16851  df-iso 16852  df-ssc 16913  df-resc 16914  df-subc 16915  df-estrc 17206  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-mhm 17778  df-grp 17868  df-ghm 18101  df-mgp 18934  df-ur 18946  df-ring 18993  df-rnghom 19161  df-rngiso 19162  df-ringc 43776

This theorem is referenced by: (None)