Theorem dvco 25927

Description: The chain rule for derivatives at a point. For the (more general) relation version, see dvcobr 25926. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvco.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvco.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑌⟶𝑋)
dvco.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑇)
dvco.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvco.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ {ℝ, ℂ})
dvco.df	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
dvco.dg	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))

Assertion

Ref	Expression
dvco	⊢ (𝜑 → ((𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))‘𝐶) = (((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝐶)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝐶)))

Proof of Theorem dvco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvco.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ {ℝ, ℂ})
2		dvfg 25886	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺)):dom (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))⟶ℂ)
3		ffun 6666	. . 3 ⊢ ((𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺)):dom (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))⟶ℂ → Fun (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺)))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺)))
5		dvco.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
6		dvco.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
7		dvco.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑌⟶𝑋)
8		dvco.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑇)
9		dvco.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
10		recnprss 25884	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
12		recnprss 25884	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑇 ⊆ ℂ)
13	1, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ ℂ)
14		dvco.df	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
15		dvfg 25886	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
16		ffun 6666	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐹))
17		funfvbrb 6998	. . . . 5 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐹) → ((𝐺‘𝐶) ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ (𝐺‘𝐶)(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝐶))))
18	9, 15, 16, 17	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐶) ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ (𝐺‘𝐶)(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝐶))))
19	14, 18	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶)(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝐶)))
20		dvco.dg	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))
21		dvfg 25886	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑇 D 𝐺):dom (𝑇 D 𝐺)⟶ℂ)
22		ffun 6666	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 D 𝐺):dom (𝑇 D 𝐺)⟶ℂ → Fun (𝑇 D 𝐺))
23		funfvbrb 6998	. . . . 5 ⊢ (Fun (𝑇 D 𝐺) → (𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺) ↔ 𝐶(𝑇 D 𝐺)((𝑇 D 𝐺)‘𝐶)))
24	1, 21, 22, 23	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺) ↔ 𝐶(𝑇 D 𝐺)((𝑇 D 𝐺)‘𝐶)))
25	20, 24	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑇 D 𝐺)((𝑇 D 𝐺)‘𝐶))
26		eqid 2737	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
27	5, 6, 7, 8, 11, 13, 19, 25, 26	dvcobr 25926	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝐶)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝐶)))
28		funbrfv 6883	. 2 ⊢ (Fun (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺)) → (𝐶(𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝐶)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝐶)) → ((𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))‘𝐶) = (((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝐶)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝐶))))
29	4, 27, 28	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))‘𝐶) = (((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝐶)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  {cpr 4570   class class class wbr 5086  dom cdm 5625   ∘ ccom 5629  Fun wfun 6487  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  ℝcr 11031   · cmul 11037  TopOpenctopn 17378  ℂ_fldccnfld 21347   D cdv 25843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-icc 13299  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-rest 17379  df-topn 17380  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-topgen 17400  df-pt 17401  df-prds 17404  df-xrs 17460  df-qtop 17465  df-imas 17466  df-xps 17468  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-mulg 19038  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22872  df-topon 22889  df-topsp 22911  df-bases 22924  df-cld 22997  df-ntr 22998  df-cls 22999  df-nei 23076  df-lp 23114  df-perf 23115  df-cn 23205  df-cnp 23206  df-haus 23293  df-tx 23540  df-hmeo 23733  df-fil 23824  df-fm 23916  df-flim 23917  df-flf 23918  df-xms 24298  df-ms 24299  df-tms 24300  df-cncf 24858  df-limc 25846  df-dv 25847

This theorem is referenced by:  dvcof  25928