Theorem dvco 26075

Description: The chain rule for derivatives at a point. For the (more general) relation version, see dvcobr 26074. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvco.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvco.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑌⟶𝑋)
dvco.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑇)
dvco.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvco.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ {ℝ, ℂ})
dvco.df	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
dvco.dg	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))

Assertion

Ref	Expression
dvco	⊢ (𝜑 → ((𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))‘𝐶) = (((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝐶)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝐶)))

Proof of Theorem dvco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvco.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ {ℝ, ℂ})
2		dvfg 26034	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺)):dom (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))⟶ℂ)
3		ffun 6709	. . 3 ⊢ ((𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺)):dom (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))⟶ℂ → Fun (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺)))
4	1, 2, 3	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺)))
5		dvco.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
6		dvco.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
7		dvco.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑌⟶𝑋)
8		dvco.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑇)
9		dvco.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
10		recnprss 26032	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
12		recnprss 26032	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑇 ⊆ ℂ)
13	1, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ ℂ)
14		dvco.df	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
15		dvfg 26034	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
16		ffun 6709	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐹))
17		funfvbrb 7047	. . . . 5 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐹) → ((𝐺‘𝐶) ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ (𝐺‘𝐶)(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝐶))))
18	9, 15, 16, 17	4syl 20	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐶) ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ (𝐺‘𝐶)(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝐶))))
19	14, 18	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶)(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝐶)))
20		dvco.dg	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))
21		dvfg 26034	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑇 D 𝐺):dom (𝑇 D 𝐺)⟶ℂ)
22		ffun 6709	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 D 𝐺):dom (𝑇 D 𝐺)⟶ℂ → Fun (𝑇 D 𝐺))
23		funfvbrb 7047	. . . . 5 ⊢ (Fun (𝑇 D 𝐺) → (𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺) ↔ 𝐶(𝑇 D 𝐺)((𝑇 D 𝐺)‘𝐶)))
24	1, 21, 22, 23	4syl 20	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺) ↔ 𝐶(𝑇 D 𝐺)((𝑇 D 𝐺)‘𝐶)))
25	20, 24	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑇 D 𝐺)((𝑇 D 𝐺)‘𝐶))
26		eqid 2769	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
27	5, 6, 7, 8, 11, 13, 19, 25, 26	dvcobr 26074	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝐶)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝐶)))
28		funbrfv 6930	. 2 ⊢ (Fun (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺)) → (𝐶(𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝐶)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝐶)) → ((𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))‘𝐶) = (((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝐶)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝐶))))
29	4, 27, 28	sylc 66	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))‘𝐶) = (((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝐶)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  {cpr 4596   class class class wbr 5113  dom cdm 5662   ∘ ccom 5666  Fun wfun 6531  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  ℝcr 11099   · cmul 11105  TopOpenctopn 17474  ℂ_fldccnfld 21491   D cdv 25991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-mulg 19134  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-fbas 21488  df-fg 21489  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cld 23145  df-ntr 23146  df-cls 23147  df-nei 23224  df-lp 23262  df-perf 23263  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-haus 23441  df-tx 23688  df-hmeo 23881  df-fil 23972  df-fm 24064  df-flim 24065  df-flf 24066  df-xms 24446  df-ms 24447  df-tms 24448  df-cncf 25006  df-limc 25994  df-dv 25995

This theorem is referenced by:  dvcof  26076