Theorem dvco 25849

Description: The chain rule for derivatives at a point. For the (more general) relation version, see dvcobr 25847. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvco.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvco.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑌⟶𝑋)
dvco.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑇)
dvco.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvco.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ {ℝ, ℂ})
dvco.df	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
dvco.dg	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))

Assertion

Ref	Expression
dvco	⊢ (𝜑 → ((𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))‘𝐶) = (((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝐶)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝐶)))

Proof of Theorem dvco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvco.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ {ℝ, ℂ})
2		dvfg 25805	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺)):dom (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))⟶ℂ)
3		ffun 6655	. . 3 ⊢ ((𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺)):dom (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))⟶ℂ → Fun (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺)))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺)))
5		dvco.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
6		dvco.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
7		dvco.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑌⟶𝑋)
8		dvco.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑇)
9		dvco.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
10		recnprss 25803	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
12		recnprss 25803	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑇 ⊆ ℂ)
13	1, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ ℂ)
14		dvco.df	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
15		dvfg 25805	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
16		ffun 6655	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐹))
17		funfvbrb 6985	. . . . 5 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐹) → ((𝐺‘𝐶) ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ (𝐺‘𝐶)(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝐶))))
18	9, 15, 16, 17	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐶) ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ (𝐺‘𝐶)(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝐶))))
19	14, 18	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶)(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝐶)))
20		dvco.dg	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))
21		dvfg 25805	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑇 D 𝐺):dom (𝑇 D 𝐺)⟶ℂ)
22		ffun 6655	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 D 𝐺):dom (𝑇 D 𝐺)⟶ℂ → Fun (𝑇 D 𝐺))
23		funfvbrb 6985	. . . . 5 ⊢ (Fun (𝑇 D 𝐺) → (𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺) ↔ 𝐶(𝑇 D 𝐺)((𝑇 D 𝐺)‘𝐶)))
24	1, 21, 22, 23	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺) ↔ 𝐶(𝑇 D 𝐺)((𝑇 D 𝐺)‘𝐶)))
25	20, 24	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑇 D 𝐺)((𝑇 D 𝐺)‘𝐶))
26		eqid 2729	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
27	5, 6, 7, 8, 11, 13, 19, 25, 26	dvcobr 25847	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝐶)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝐶)))
28		funbrfv 6871	. 2 ⊢ (Fun (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺)) → (𝐶(𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝐶)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝐶)) → ((𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))‘𝐶) = (((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝐶)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝐶))))
29	4, 27, 28	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))‘𝐶) = (((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝐶)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903  {cpr 4579   class class class wbr 5092  dom cdm 5619   ∘ ccom 5623  Fun wfun 6476  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008   · cmul 11014  TopOpenctopn 17325  ℂ_fldccnfld 21261   D cdv 25762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-nei 22983  df-lp 23021  df-perf 23022  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-haus 23200  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-fil 23731  df-fm 23823  df-flim 23824  df-flf 23825  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208  df-cncf 24769  df-limc 25765  df-dv 25766

This theorem is referenced by:  dvcof  25850