HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  occllem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem occllem 30587
Description: Lemma for occl 30588. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
occl.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‹)
occl.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Cauchy)
occl.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(βŠ₯β€˜π΄))
occl.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
occllem (πœ‘ β†’ (( ⇝𝑣 β€˜πΉ) Β·ih 𝐡) = 0)
Proof of Theorem occllem
Dummy variables π‘₯ π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
21cnfldhaus 24301 . . 3 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Haus
32a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Haus)
4 occl.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Cauchy)
5 ax-hcompl 30486 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Cauchy β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ 𝐹 ⇝𝑣 π‘₯)
6 hlimf 30521 . . . . . . . . . 10 ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟢ β„‹
7 ffn 6718 . . . . . . . . . 10 ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟢ β„‹ β†’ ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣
9 fnbr 6658 . . . . . . . . 9 (( ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
108, 9mpan 689 . . . . . . . 8 (𝐹 ⇝𝑣 π‘₯ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
1110rexlimivw 3152 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ 𝐹 ⇝𝑣 π‘₯ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
124, 5, 113syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
13 ffun 6721 . . . . . . 7 ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟢ β„‹ β†’ Fun ⇝𝑣 )
14 funfvbrb 7053 . . . . . . 7 (Fun ⇝𝑣 β†’ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜πΉ)))
156, 13, 14mp2b 10 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜πΉ))
1612, 15sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜πΉ))
17 eqid 2733 . . . . . . . 8 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
18 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) = (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )
1917, 18hhims 30456 . . . . . . . 8 (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) = (IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
20 eqid 2733 . . . . . . . 8 (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) = (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))
2117, 19, 20hhlm 30483 . . . . . . 7 ⇝𝑣 = ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•))
22 resss 6007 . . . . . . 7 ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•)) βŠ† (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))
2321, 22eqsstri 4017 . . . . . 6 ⇝𝑣 βŠ† (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))
2423ssbri 5194 . . . . 5 (𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜πΉ) β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))( ⇝𝑣 β€˜πΉ))
2516, 24syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))( ⇝𝑣 β€˜πΉ))
2618hilxmet 30479 . . . . . 6 (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹)
2720mopntopon 23945 . . . . . 6 ((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹) β†’ (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∈ (TopOnβ€˜ β„‹))
2826, 27mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∈ (TopOnβ€˜ β„‹))
2928cnmptid 23165 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ π‘₯) ∈ ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Cn (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))))
30 occl.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‹)
31 occl.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
3230, 31sseldd 3984 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‹)
3328, 28, 32cnmptc 23166 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ 𝐡) ∈ ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Cn (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))))
3417hhnv 30449 . . . . . 6 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec
3517hhip 30461 . . . . . . 7 Β·ih = (·𝑖OLDβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
3635, 19, 20, 1dipcn 30004 . . . . . 6 (⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec β†’ Β·ih ∈ (((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Γ—t (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
3734, 36mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β·ih ∈ (((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Γ—t (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
3828, 29, 33, 37cnmpt12f 23170 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) ∈ ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
3925, 38lmcn 22809 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) ∘ 𝐹)(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡))β€˜( ⇝𝑣 β€˜πΉ)))
40 occl.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(βŠ₯β€˜π΄))
4140ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (βŠ₯β€˜π΄))
42 ocel 30565 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 βŠ† β„‹ β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (βŠ₯β€˜π΄) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘˜) Β·ih π‘₯) = 0)))
4330, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (βŠ₯β€˜π΄) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘˜) Β·ih π‘₯) = 0)))
4443adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (βŠ₯β€˜π΄) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘˜) Β·ih π‘₯) = 0)))
4541, 44mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘˜) Β·ih π‘₯) = 0))
4645simpld 496 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‹)
47 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (π‘₯ Β·ih 𝐡) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β·ih 𝐡))
48 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡))
49 ovex 7442 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π‘˜) Β·ih 𝐡) ∈ V
5047, 48, 49fvmpt 6999 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‹ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡))β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β·ih 𝐡))
5146, 50syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡))β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β·ih 𝐡))
52 oveq2 7417 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐡 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) Β·ih π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β·ih 𝐡))
5352eqeq1d 2735 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) Β·ih π‘₯) = 0 ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) Β·ih 𝐡) = 0))
5445simprd 497 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘˜) Β·ih π‘₯) = 0)
5531adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
5653, 54, 55rspcdva 3614 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) Β·ih 𝐡) = 0)
5751, 56eqtrd 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡))β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = 0)
58 ocss 30569 . . . . . . . . 9 (𝐴 βŠ† β„‹ β†’ (βŠ₯β€˜π΄) βŠ† β„‹)
5930, 58syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βŠ₯β€˜π΄) βŠ† β„‹)
6040, 59fssd 6736 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ β„‹)
61 fvco3 6991 . . . . . . 7 ((𝐹:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) = ((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡))β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
6260, 61sylan 581 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) = ((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡))β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
63 c0ex 11208 . . . . . . . 8 0 ∈ V
6463fvconst2 7205 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((β„• Γ— {0})β€˜π‘˜) = 0)
6564adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {0})β€˜π‘˜) = 0)
6657, 62, 653eqtr4d 2783 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) = ((β„• Γ— {0})β€˜π‘˜))
6766ralrimiva 3147 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) = ((β„• Γ— {0})β€˜π‘˜))
68 ovex 7442 . . . . . . 7 (π‘₯ Β·ih 𝐡) ∈ V
6968, 48fnmpti 6694 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) Fn β„‹
70 fnfco 6757 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) Fn β„‹ ∧ 𝐹:β„•βŸΆ β„‹) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) ∘ 𝐹) Fn β„•)
7169, 60, 70sylancr 588 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) ∘ 𝐹) Fn β„•)
7263fconst 6778 . . . . . 6 (β„• Γ— {0}):β„•βŸΆ{0}
73 ffn 6718 . . . . . 6 ((β„• Γ— {0}):β„•βŸΆ{0} β†’ (β„• Γ— {0}) Fn β„•)
7472, 73ax-mp 5 . . . . 5 (β„• Γ— {0}) Fn β„•
75 eqfnfv 7033 . . . . 5 ((((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) ∘ 𝐹) Fn β„• ∧ (β„• Γ— {0}) Fn β„•) β†’ (((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) ∘ 𝐹) = (β„• Γ— {0}) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) = ((β„• Γ— {0})β€˜π‘˜)))
7671, 74, 75sylancl 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) ∘ 𝐹) = (β„• Γ— {0}) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) = ((β„• Γ— {0})β€˜π‘˜)))
7767, 76mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) ∘ 𝐹) = (β„• Γ— {0}))
78 fvex 6905 . . . . 5 ( ⇝𝑣 β€˜πΉ) ∈ V
7978hlimveci 30474 . . . 4 (𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜πΉ) β†’ ( ⇝𝑣 β€˜πΉ) ∈ β„‹)
80 oveq1 7416 . . . . 5 (π‘₯ = ( ⇝𝑣 β€˜πΉ) β†’ (π‘₯ Β·ih 𝐡) = (( ⇝𝑣 β€˜πΉ) Β·ih 𝐡))
81 ovex 7442 . . . . 5 (( ⇝𝑣 β€˜πΉ) Β·ih 𝐡) ∈ V
8280, 48, 81fvmpt 6999 . . . 4 (( ⇝𝑣 β€˜πΉ) ∈ β„‹ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡))β€˜( ⇝𝑣 β€˜πΉ)) = (( ⇝𝑣 β€˜πΉ) Β·ih 𝐡))
8316, 79, 823syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡))β€˜( ⇝𝑣 β€˜πΉ)) = (( ⇝𝑣 β€˜πΉ) Β·ih 𝐡))
8439, 77, 833brtr3d 5180 . 2 (πœ‘ β†’ (β„• Γ— {0})(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))(( ⇝𝑣 β€˜πΉ) Β·ih 𝐡))
851cnfldtopon 24299 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
8685a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
87 0cnd 11207 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
88 1zzd 12593 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
89 nnuz 12865 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
9089lmconst 22765 . . 3 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 0 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (β„• Γ— {0})(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))0)
9186, 87, 88, 90syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (β„• Γ— {0})(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))0)
923, 84, 91lmmo 22884 1 (πœ‘ β†’ (( ⇝𝑣 β€˜πΉ) Β·ih 𝐡) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949  {csn 4629  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111  β„•cn 12212  β„€cz 12558  TopOpenctopn 17367  βˆžMetcxmet 20929  MetOpencmopn 20934  β„‚fldccnfld 20944  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728  β‡π‘‘clm 22730  Hauscha 22812   Γ—t ctx 23064  NrmCVeccnv 29868   β„‹chba 30203   +β„Ž cva 30204   Β·β„Ž csm 30205   Β·ih csp 30206  normβ„Žcno 30207   βˆ’β„Ž cmv 30209  Cauchyccauold 30210   ⇝𝑣 chli 30211  βŠ₯cort 30214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190  ax-hilex 30283  ax-hfvadd 30284  ax-hvcom 30285  ax-hvass 30286  ax-hv0cl 30287  ax-hvaddid 30288  ax-hfvmul 30289  ax-hvmulid 30290  ax-hvmulass 30291  ax-hvdistr1 30292  ax-hvdistr2 30293  ax-hvmul0 30294  ax-hfi 30363  ax-his1 30366  ax-his2 30367  ax-his3 30368  ax-his4 30369  ax-hcompl 30486
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-lm 22733  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-grpo 29777  df-gid 29778  df-ginv 29779  df-gdiv 29780  df-ablo 29829  df-vc 29843  df-nv 29876  df-va 29879  df-ba 29880  df-sm 29881  df-0v 29882  df-vs 29883  df-nmcv 29884  df-ims 29885  df-dip 29985  df-hnorm 30252  df-hvsub 30255  df-hlim 30256  df-sh 30491  df-oc 30536
This theorem is referenced by:  occl  30588
  Copyright terms: Public domain W3C validator