HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  occllem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem occllem 30544
Description: Lemma for occl 30545. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
occl.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‹)
occl.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Cauchy)
occl.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(βŠ₯β€˜π΄))
occl.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
occllem (πœ‘ β†’ (( ⇝𝑣 β€˜πΉ) Β·ih 𝐡) = 0)
Proof of Theorem occllem
Dummy variables π‘₯ π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
21cnfldhaus 24293 . . 3 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Haus
32a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Haus)
4 occl.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Cauchy)
5 ax-hcompl 30443 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Cauchy β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ 𝐹 ⇝𝑣 π‘₯)
6 hlimf 30478 . . . . . . . . . 10 ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟢ β„‹
7 ffn 6715 . . . . . . . . . 10 ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟢ β„‹ β†’ ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣
9 fnbr 6655 . . . . . . . . 9 (( ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
108, 9mpan 689 . . . . . . . 8 (𝐹 ⇝𝑣 π‘₯ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
1110rexlimivw 3152 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ 𝐹 ⇝𝑣 π‘₯ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
124, 5, 113syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
13 ffun 6718 . . . . . . 7 ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟢ β„‹ β†’ Fun ⇝𝑣 )
14 funfvbrb 7050 . . . . . . 7 (Fun ⇝𝑣 β†’ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜πΉ)))
156, 13, 14mp2b 10 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜πΉ))
1612, 15sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜πΉ))
17 eqid 2733 . . . . . . . 8 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
18 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) = (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )
1917, 18hhims 30413 . . . . . . . 8 (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) = (IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
20 eqid 2733 . . . . . . . 8 (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) = (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))
2117, 19, 20hhlm 30440 . . . . . . 7 ⇝𝑣 = ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•))
22 resss 6005 . . . . . . 7 ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•)) βŠ† (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))
2321, 22eqsstri 4016 . . . . . 6 ⇝𝑣 βŠ† (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))
2423ssbri 5193 . . . . 5 (𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜πΉ) β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))( ⇝𝑣 β€˜πΉ))
2516, 24syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))( ⇝𝑣 β€˜πΉ))
2618hilxmet 30436 . . . . . 6 (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹)
2720mopntopon 23937 . . . . . 6 ((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹) β†’ (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∈ (TopOnβ€˜ β„‹))
2826, 27mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∈ (TopOnβ€˜ β„‹))
2928cnmptid 23157 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ π‘₯) ∈ ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Cn (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))))
30 occl.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‹)
31 occl.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
3230, 31sseldd 3983 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‹)
3328, 28, 32cnmptc 23158 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ 𝐡) ∈ ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Cn (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))))
3417hhnv 30406 . . . . . 6 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec
3517hhip 30418 . . . . . . 7 Β·ih = (·𝑖OLDβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
3635, 19, 20, 1dipcn 29961 . . . . . 6 (⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec β†’ Β·ih ∈ (((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Γ—t (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
3734, 36mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β·ih ∈ (((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Γ—t (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
3828, 29, 33, 37cnmpt12f 23162 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) ∈ ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
3925, 38lmcn 22801 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) ∘ 𝐹)(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡))β€˜( ⇝𝑣 β€˜πΉ)))
40 occl.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(βŠ₯β€˜π΄))
4140ffvelcdmda 7084 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (βŠ₯β€˜π΄))
42 ocel 30522 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 βŠ† β„‹ β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (βŠ₯β€˜π΄) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘˜) Β·ih π‘₯) = 0)))
4330, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (βŠ₯β€˜π΄) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘˜) Β·ih π‘₯) = 0)))
4443adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (βŠ₯β€˜π΄) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘˜) Β·ih π‘₯) = 0)))
4541, 44mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘˜) Β·ih π‘₯) = 0))
4645simpld 496 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‹)
47 oveq1 7413 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (π‘₯ Β·ih 𝐡) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β·ih 𝐡))
48 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡))
49 ovex 7439 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π‘˜) Β·ih 𝐡) ∈ V
5047, 48, 49fvmpt 6996 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‹ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡))β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β·ih 𝐡))
5146, 50syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡))β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β·ih 𝐡))
52 oveq2 7414 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐡 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) Β·ih π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β·ih 𝐡))
5352eqeq1d 2735 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) Β·ih π‘₯) = 0 ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) Β·ih 𝐡) = 0))
5445simprd 497 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘˜) Β·ih π‘₯) = 0)
5531adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
5653, 54, 55rspcdva 3614 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) Β·ih 𝐡) = 0)
5751, 56eqtrd 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡))β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = 0)
58 ocss 30526 . . . . . . . . 9 (𝐴 βŠ† β„‹ β†’ (βŠ₯β€˜π΄) βŠ† β„‹)
5930, 58syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βŠ₯β€˜π΄) βŠ† β„‹)
6040, 59fssd 6733 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ β„‹)
61 fvco3 6988 . . . . . . 7 ((𝐹:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) = ((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡))β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
6260, 61sylan 581 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) = ((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡))β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
63 c0ex 11205 . . . . . . . 8 0 ∈ V
6463fvconst2 7202 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((β„• Γ— {0})β€˜π‘˜) = 0)
6564adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {0})β€˜π‘˜) = 0)
6657, 62, 653eqtr4d 2783 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) = ((β„• Γ— {0})β€˜π‘˜))
6766ralrimiva 3147 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) = ((β„• Γ— {0})β€˜π‘˜))
68 ovex 7439 . . . . . . 7 (π‘₯ Β·ih 𝐡) ∈ V
6968, 48fnmpti 6691 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) Fn β„‹
70 fnfco 6754 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) Fn β„‹ ∧ 𝐹:β„•βŸΆ β„‹) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) ∘ 𝐹) Fn β„•)
7169, 60, 70sylancr 588 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) ∘ 𝐹) Fn β„•)
7263fconst 6775 . . . . . 6 (β„• Γ— {0}):β„•βŸΆ{0}
73 ffn 6715 . . . . . 6 ((β„• Γ— {0}):β„•βŸΆ{0} β†’ (β„• Γ— {0}) Fn β„•)
7472, 73ax-mp 5 . . . . 5 (β„• Γ— {0}) Fn β„•
75 eqfnfv 7030 . . . . 5 ((((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) ∘ 𝐹) Fn β„• ∧ (β„• Γ— {0}) Fn β„•) β†’ (((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) ∘ 𝐹) = (β„• Γ— {0}) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) = ((β„• Γ— {0})β€˜π‘˜)))
7671, 74, 75sylancl 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) ∘ 𝐹) = (β„• Γ— {0}) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) = ((β„• Γ— {0})β€˜π‘˜)))
7767, 76mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡)) ∘ 𝐹) = (β„• Γ— {0}))
78 fvex 6902 . . . . 5 ( ⇝𝑣 β€˜πΉ) ∈ V
7978hlimveci 30431 . . . 4 (𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜πΉ) β†’ ( ⇝𝑣 β€˜πΉ) ∈ β„‹)
80 oveq1 7413 . . . . 5 (π‘₯ = ( ⇝𝑣 β€˜πΉ) β†’ (π‘₯ Β·ih 𝐡) = (( ⇝𝑣 β€˜πΉ) Β·ih 𝐡))
81 ovex 7439 . . . . 5 (( ⇝𝑣 β€˜πΉ) Β·ih 𝐡) ∈ V
8280, 48, 81fvmpt 6996 . . . 4 (( ⇝𝑣 β€˜πΉ) ∈ β„‹ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡))β€˜( ⇝𝑣 β€˜πΉ)) = (( ⇝𝑣 β€˜πΉ) Β·ih 𝐡))
8316, 79, 823syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih 𝐡))β€˜( ⇝𝑣 β€˜πΉ)) = (( ⇝𝑣 β€˜πΉ) Β·ih 𝐡))
8439, 77, 833brtr3d 5179 . 2 (πœ‘ β†’ (β„• Γ— {0})(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))(( ⇝𝑣 β€˜πΉ) Β·ih 𝐡))
851cnfldtopon 24291 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
8685a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
87 0cnd 11204 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
88 1zzd 12590 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
89 nnuz 12862 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
9089lmconst 22757 . . 3 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 0 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (β„• Γ— {0})(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))0)
9186, 87, 88, 90syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (β„• Γ— {0})(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))0)
923, 84, 91lmmo 22876 1 (πœ‘ β†’ (( ⇝𝑣 β€˜πΉ) Β·ih 𝐡) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  Fun wfun 6535   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ↑m cmap 8817  β„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108  β„•cn 12209  β„€cz 12555  TopOpenctopn 17364  βˆžMetcxmet 20922  MetOpencmopn 20927  β„‚fldccnfld 20937  TopOnctopon 22404   Cn ccn 22720  β‡π‘‘clm 22722  Hauscha 22804   Γ—t ctx 23056  NrmCVeccnv 29825   β„‹chba 30160   +β„Ž cva 30161   Β·β„Ž csm 30162   Β·ih csp 30163  normβ„Žcno 30164   βˆ’β„Ž cmv 30166  Cauchyccauold 30167   ⇝𝑣 chli 30168  βŠ₯cort 30171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187  ax-hilex 30240  ax-hfvadd 30241  ax-hvcom 30242  ax-hvass 30243  ax-hv0cl 30244  ax-hvaddid 30245  ax-hfvmul 30246  ax-hvmulid 30247  ax-hvmulass 30248  ax-hvdistr1 30249  ax-hvdistr2 30250  ax-hvmul0 30251  ax-hfi 30320  ax-his1 30323  ax-his2 30324  ax-his3 30325  ax-his4 30326  ax-hcompl 30443
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-lm 22725  df-haus 22811  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-grpo 29734  df-gid 29735  df-ginv 29736  df-gdiv 29737  df-ablo 29786  df-vc 29800  df-nv 29833  df-va 29836  df-ba 29837  df-sm 29838  df-0v 29839  df-vs 29840  df-nmcv 29841  df-ims 29842  df-dip 29942  df-hnorm 30209  df-hvsub 30212  df-hlim 30213  df-sh 30448  df-oc 30493
This theorem is referenced by:  occl  30545
  Copyright terms: Public domain W3C validator