Theorem occllem 31962

Description: Lemma for occl 31963. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
occl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℋ)
occl.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Cauchy)
occl.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(⊥‘𝐴))
occl.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
occllem	⊢ (𝜑 → (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵) = 0)

Proof of Theorem occllem

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldhaus 25158	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus)
4		occl.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Cauchy)
5		ax-hcompl 31861	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)
6		hlimf 31896	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
7		ffn 6739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣
9		fnbr 6677	. . . . . . . . 9 ⊢ (( ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
10	8, 9	mpan 703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
11	10	rexlimivw 3163	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
12	4, 5, 11	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
13		ffun 6742	. . . . . . 7 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → Fun ⇝𝑣 )
14		funfvbrb 7081	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹)))
15	6, 13, 14	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹))
16	12, 15	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹))
17		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
18		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (normℎ ∘ −ℎ )
19	17, 18	hhims 31831	. . . . . . . 8 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
20		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) = (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))
21	17, 19, 20	hhlm 31858	. . . . . . 7 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
22		resss 6008	. . . . . . 7 ⊢ ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
23	21, 22	eqsstri 3959	. . . . . 6 ⊢ ⇝𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
24	23	ssbri 5156	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹) → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))( ⇝𝑣 ‘𝐹))
25	16, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))( ⇝𝑣 ‘𝐹))
26	18	hilxmet 31854	. . . . . 6 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ)
27	20	mopntopon 24813	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
28	26, 27	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
29	28	cnmptid 24035	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℋ ↦ 𝑥) ∈ ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))))
30		occl.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℋ)
31		occl.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
32	30, 31	sseldd 3914	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℋ)
33	28, 28, 32	cnmptc 24036	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℋ ↦ 𝐵) ∈ ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))))
34	17	hhnv 31824	. . . . . 6 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec
35	17	hhip 31836	. . . . . . 7 ⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
36	35, 19, 20, 1	dipcn 31379	. . . . . 6 ⊢ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec → ·ih ∈ (((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ×t (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
37	34, 36	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ·ih ∈ (((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ×t (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
38	28, 29, 33, 37	cnmpt12f 24040	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∈ ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
39	25, 38	lmcn 23678	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘( ⇝𝑣 ‘𝐹)))
40		occl.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(⊥‘𝐴))
41	40	ffvelcdmda 7116	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ (⊥‘𝐴))
42		ocel 31940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ((𝐹‘𝑘) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0)))
43	30, 42	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑘) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0)))
44	43	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0)))
45	41, 44	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0))
46	45	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℋ)
47		oveq1 7458	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑘) → (𝑥 ·ih 𝐵) = ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵))
48		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))
49		ovex 7484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵) ∈ V
50	47, 48, 49	fvmpt 7024	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵))
51	46, 50	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵))
52		oveq2 7459	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵))
53	52	eqeq1d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵) = 0))
54	45	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0)
55	31	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ 𝐴)
56	53, 54, 55	rspcdva 3581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵) = 0)
57	51, 56	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹‘𝑘)) = 0)
58		ocss 31944	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
59	30, 58	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
60	40, 59	fssd 6757	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ ℋ)
61		fvco3 7016	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹‘𝑘)))
62	60, 61	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹‘𝑘)))
63		c0ex 11339	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
64	63	fvconst2 7241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑘) = 0)
65	64	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {0})‘𝑘) = 0)
66	57, 62, 65	3eqtr4d 2808	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘))
67	66	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘))
68		ovex 7484	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ·ih 𝐵) ∈ V
69	68, 48	fnmpti 6712	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) Fn ℋ
70		fnfco 6777	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) Fn ℋ ∧ 𝐹:ℕ⟶ ℋ) → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) Fn ℕ)
71	69, 60, 70	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) Fn ℕ)
72	63	fconst 6798	. . . . . 6 ⊢ (ℕ × {0}):ℕ⟶{0}
73		ffn 6739	. . . . . 6 ⊢ ((ℕ × {0}):ℕ⟶{0} → (ℕ × {0}) Fn ℕ)
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℕ × {0}) Fn ℕ
75		eqfnfv 7060	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) Fn ℕ ∧ (ℕ × {0}) Fn ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘)))
76	71, 74, 75	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘)))
77	67, 76	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) = (ℕ × {0}))
78		fvex 6929	. . . . 5 ⊢ ( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ V
79	78	hlimveci 31849	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹) → ( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ ℋ)
80		oveq1 7458	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ( ⇝𝑣 ‘𝐹) → (𝑥 ·ih 𝐵) = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵))
81		ovex 7484	. . . . 5 ⊢ (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵) ∈ V
82	80, 48, 81	fvmpt 7024	. . . 4 ⊢ (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘( ⇝𝑣 ‘𝐹)) = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵))
83	16, 79, 82	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘( ⇝𝑣 ‘𝐹)) = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵))
84	39, 77, 83	3brtr3d 5142	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))(( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵))
85	1	cnfldtopon 25156	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
86	85	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
87		0cnd 11338	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
88		1zzd 12767	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
89		nnuz 13044	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
90	89	lmconst 23634	. . 3 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
91	86, 87, 88, 90	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
92	3, 84, 91	lmmo 23753	1 ⊢ (𝜑 → (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  {csn 4588  ⟨cop 4840   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192   × cxp 5656  dom cdm 5658   ↾ cres 5660   ∘ ccom 5662  Fun wfun 6560   Fn wfn 6561  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885  ℂcc 11237  0cc0 11239  1c1 11240  ℕcn 12375  ℤcz 12733  TopOpenctopn 17642  ∞Metcxmet 21714  MetOpencmopn 21719  ℂ_fldccnfld 21729  TopOnctopon 23283   Cn ccn 23597  ⇝_𝑡clm 23599  Hauscha 23681   ×_t ctx 23934  NrmCVeccnv 31243   ℋchba 31578   +_ℎ cva 31579   ·_ℎ csm 31580   ·_ih csp 31581  norm_ℎcno 31582   −_ℎ cmv 31584  Cauchyccauold 31585   ⇝_𝑣 chli 31586  ⊥cort 31589

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318  ax-mulf 11319  ax-hilex 31658  ax-hfvadd 31659  ax-hvcom 31660  ax-hvass 31661  ax-hv0cl 31662  ax-hvaddid 31663  ax-hfvmul 31664  ax-hvmulid 31665  ax-hvmulass 31666  ax-hvdistr1 31667  ax-hvdistr2 31668  ax-hvmul0 31669  ax-hfi 31738  ax-his1 31741  ax-his2 31742  ax-his3 31743  ax-his4 31744  ax-hcompl 31861

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-sum 15898  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-mulg 19328  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-lm 23602  df-haus 23688  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-xms 24694  df-ms 24695  df-tms 24696  df-grpo 31152  df-gid 31153  df-ginv 31154  df-gdiv 31155  df-ablo 31204  df-vc 31218  df-nv 31251  df-va 31254  df-ba 31255  df-sm 31256  df-0v 31257  df-vs 31258  df-nmcv 31259  df-ims 31260  df-dip 31360  df-hnorm 31627  df-hvsub 31630  df-hlim 31631  df-sh 31866  df-oc 31911

This theorem is used by:  occl  31963