Theorem occllem 29566

Description: Lemma for occl 29567. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
occl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℋ)
occl.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Cauchy)
occl.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(⊥‘𝐴))
occl.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
occllem	⊢ (𝜑 → (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵) = 0)

Proof of Theorem occllem

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldhaus 23854	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus)
4		occl.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Cauchy)
5		ax-hcompl 29465	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)
6		hlimf 29500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
7		ffn 6584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣
9		fnbr 6525	. . . . . . . . 9 ⊢ (( ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
10	8, 9	mpan 686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
11	10	rexlimivw 3210	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
12	4, 5, 11	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
13		ffun 6587	. . . . . . 7 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → Fun ⇝𝑣 )
14		funfvbrb 6910	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹)))
15	6, 13, 14	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹))
16	12, 15	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹))
17		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
18		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (normℎ ∘ −ℎ )
19	17, 18	hhims 29435	. . . . . . . 8 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
20		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) = (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))
21	17, 19, 20	hhlm 29462	. . . . . . 7 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
22		resss 5905	. . . . . . 7 ⊢ ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
23	21, 22	eqsstri 3951	. . . . . 6 ⊢ ⇝𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
24	23	ssbri 5115	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹) → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))( ⇝𝑣 ‘𝐹))
25	16, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))( ⇝𝑣 ‘𝐹))
26	18	hilxmet 29458	. . . . . 6 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ)
27	20	mopntopon 23500	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
28	26, 27	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
29	28	cnmptid 22720	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℋ ↦ 𝑥) ∈ ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))))
30		occl.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℋ)
31		occl.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
32	30, 31	sseldd 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℋ)
33	28, 28, 32	cnmptc 22721	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℋ ↦ 𝐵) ∈ ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))))
34	17	hhnv 29428	. . . . . 6 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec
35	17	hhip 29440	. . . . . . 7 ⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
36	35, 19, 20, 1	dipcn 28983	. . . . . 6 ⊢ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec → ·ih ∈ (((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ×t (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
37	34, 36	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ·ih ∈ (((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ×t (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
38	28, 29, 33, 37	cnmpt12f 22725	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∈ ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
39	25, 38	lmcn 22364	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘( ⇝𝑣 ‘𝐹)))
40		occl.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(⊥‘𝐴))
41	40	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ (⊥‘𝐴))
42		ocel 29544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ((𝐹‘𝑘) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0)))
43	30, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑘) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0)))
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0)))
45	41, 44	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0))
46	45	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℋ)
47		oveq1 7262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑘) → (𝑥 ·ih 𝐵) = ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵))
48		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))
49		ovex 7288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵) ∈ V
50	47, 48, 49	fvmpt 6857	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵))
51	46, 50	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵))
52		oveq2 7263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵))
53	52	eqeq1d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵) = 0))
54	45	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0)
55	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ 𝐴)
56	53, 54, 55	rspcdva 3554	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵) = 0)
57	51, 56	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹‘𝑘)) = 0)
58		ocss 29548	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
59	30, 58	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
60	40, 59	fssd 6602	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ ℋ)
61		fvco3 6849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹‘𝑘)))
62	60, 61	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹‘𝑘)))
63		c0ex 10900	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
64	63	fvconst2 7061	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑘) = 0)
65	64	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {0})‘𝑘) = 0)
66	57, 62, 65	3eqtr4d 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘))
67	66	ralrimiva 3107	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘))
68		ovex 7288	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ·ih 𝐵) ∈ V
69	68, 48	fnmpti 6560	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) Fn ℋ
70		fnfco 6623	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) Fn ℋ ∧ 𝐹:ℕ⟶ ℋ) → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) Fn ℕ)
71	69, 60, 70	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) Fn ℕ)
72	63	fconst 6644	. . . . . 6 ⊢ (ℕ × {0}):ℕ⟶{0}
73		ffn 6584	. . . . . 6 ⊢ ((ℕ × {0}):ℕ⟶{0} → (ℕ × {0}) Fn ℕ)
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℕ × {0}) Fn ℕ
75		eqfnfv 6891	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) Fn ℕ ∧ (ℕ × {0}) Fn ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘)))
76	71, 74, 75	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘)))
77	67, 76	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) = (ℕ × {0}))
78		fvex 6769	. . . . 5 ⊢ ( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ V
79	78	hlimveci 29453	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹) → ( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ ℋ)
80		oveq1 7262	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ( ⇝𝑣 ‘𝐹) → (𝑥 ·ih 𝐵) = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵))
81		ovex 7288	. . . . 5 ⊢ (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵) ∈ V
82	80, 48, 81	fvmpt 6857	. . . 4 ⊢ (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘( ⇝𝑣 ‘𝐹)) = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵))
83	16, 79, 82	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘( ⇝𝑣 ‘𝐹)) = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵))
84	39, 77, 83	3brtr3d 5101	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))(( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵))
85	1	cnfldtopon 23852	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
86	85	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
87		0cnd 10899	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
88		1zzd 12281	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
89		nnuz 12550	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
90	89	lmconst 22320	. . 3 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
91	86, 87, 88, 90	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
92	3, 84, 91	lmmo 22439	1 ⊢ (𝜑 → (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  dom cdm 5580   ↾ cres 5582   ∘ ccom 5584  Fun wfun 6412   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803  ℕcn 11903  ℤcz 12249  TopOpenctopn 17049  ∞Metcxmet 20495  MetOpencmopn 20500  ℂ_fldccnfld 20510  TopOnctopon 21967   Cn ccn 22283  ⇝_𝑡clm 22285  Hauscha 22367   ×_t ctx 22619  NrmCVeccnv 28847   ℋchba 29182   +_ℎ cva 29183   ·_ℎ csm 29184   ·_ih csp 29185  norm_ℎcno 29186   −_ℎ cmv 29188  Cauchyccauold 29189   ⇝_𝑣 chli 29190  ⊥cort 29193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882  ax-hilex 29262  ax-hfvadd 29263  ax-hvcom 29264  ax-hvass 29265  ax-hv0cl 29266  ax-hvaddid 29267  ax-hfvmul 29268  ax-hvmulid 29269  ax-hvmulass 29270  ax-hvdistr1 29271  ax-hvdistr2 29272  ax-hvmul0 29273  ax-hfi 29342  ax-his1 29345  ax-his2 29346  ax-his3 29347  ax-his4 29348  ax-hcompl 29465

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-lm 22288  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-grpo 28756  df-gid 28757  df-ginv 28758  df-gdiv 28759  df-ablo 28808  df-vc 28822  df-nv 28855  df-va 28858  df-ba 28859  df-sm 28860  df-0v 28861  df-vs 28862  df-nmcv 28863  df-ims 28864  df-dip 28964  df-hnorm 29231  df-hvsub 29234  df-hlim 29235  df-sh 29470  df-oc 29515

This theorem is referenced by:  occl  29567