Theorem occllem 31335

Description: Lemma for occl 31336. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
occl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℋ)
occl.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Cauchy)
occl.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(⊥‘𝐴))
occl.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
occllem	⊢ (𝜑 → (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵) = 0)

Proof of Theorem occllem

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldhaus 24826	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus)
4		occl.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Cauchy)
5		ax-hcompl 31234	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)
6		hlimf 31269	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
7		ffn 6747	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣
9		fnbr 6687	. . . . . . . . 9 ⊢ (( ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
10	8, 9	mpan 689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
11	10	rexlimivw 3157	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
12	4, 5, 11	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
13		ffun 6750	. . . . . . 7 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → Fun ⇝𝑣 )
14		funfvbrb 7084	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹)))
15	6, 13, 14	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹))
16	12, 15	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹))
17		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
18		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (normℎ ∘ −ℎ )
19	17, 18	hhims 31204	. . . . . . . 8 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
20		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) = (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))
21	17, 19, 20	hhlm 31231	. . . . . . 7 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
22		resss 6031	. . . . . . 7 ⊢ ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
23	21, 22	eqsstri 4043	. . . . . 6 ⊢ ⇝𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
24	23	ssbri 5211	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹) → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))( ⇝𝑣 ‘𝐹))
25	16, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))( ⇝𝑣 ‘𝐹))
26	18	hilxmet 31227	. . . . . 6 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ)
27	20	mopntopon 24470	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
28	26, 27	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
29	28	cnmptid 23690	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℋ ↦ 𝑥) ∈ ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))))
30		occl.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℋ)
31		occl.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
32	30, 31	sseldd 4009	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℋ)
33	28, 28, 32	cnmptc 23691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℋ ↦ 𝐵) ∈ ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))))
34	17	hhnv 31197	. . . . . 6 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec
35	17	hhip 31209	. . . . . . 7 ⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
36	35, 19, 20, 1	dipcn 30752	. . . . . 6 ⊢ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec → ·ih ∈ (((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ×t (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
37	34, 36	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ·ih ∈ (((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ×t (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
38	28, 29, 33, 37	cnmpt12f 23695	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∈ ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
39	25, 38	lmcn 23334	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘( ⇝𝑣 ‘𝐹)))
40		occl.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(⊥‘𝐴))
41	40	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ (⊥‘𝐴))
42		ocel 31313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ((𝐹‘𝑘) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0)))
43	30, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑘) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0)))
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0)))
45	41, 44	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0))
46	45	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℋ)
47		oveq1 7455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑘) → (𝑥 ·ih 𝐵) = ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵))
48		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))
49		ovex 7481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵) ∈ V
50	47, 48, 49	fvmpt 7029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵))
51	46, 50	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵))
52		oveq2 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵))
53	52	eqeq1d 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵) = 0))
54	45	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0)
55	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ 𝐴)
56	53, 54, 55	rspcdva 3636	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵) = 0)
57	51, 56	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹‘𝑘)) = 0)
58		ocss 31317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
59	30, 58	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
60	40, 59	fssd 6764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ ℋ)
61		fvco3 7021	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹‘𝑘)))
62	60, 61	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹‘𝑘)))
63		c0ex 11284	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
64	63	fvconst2 7241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑘) = 0)
65	64	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {0})‘𝑘) = 0)
66	57, 62, 65	3eqtr4d 2790	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘))
67	66	ralrimiva 3152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘))
68		ovex 7481	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ·ih 𝐵) ∈ V
69	68, 48	fnmpti 6723	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) Fn ℋ
70		fnfco 6786	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) Fn ℋ ∧ 𝐹:ℕ⟶ ℋ) → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) Fn ℕ)
71	69, 60, 70	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) Fn ℕ)
72	63	fconst 6807	. . . . . 6 ⊢ (ℕ × {0}):ℕ⟶{0}
73		ffn 6747	. . . . . 6 ⊢ ((ℕ × {0}):ℕ⟶{0} → (ℕ × {0}) Fn ℕ)
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℕ × {0}) Fn ℕ
75		eqfnfv 7064	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) Fn ℕ ∧ (ℕ × {0}) Fn ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘)))
76	71, 74, 75	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘)))
77	67, 76	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) = (ℕ × {0}))
78		fvex 6933	. . . . 5 ⊢ ( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ V
79	78	hlimveci 31222	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹) → ( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ ℋ)
80		oveq1 7455	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ( ⇝𝑣 ‘𝐹) → (𝑥 ·ih 𝐵) = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵))
81		ovex 7481	. . . . 5 ⊢ (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵) ∈ V
82	80, 48, 81	fvmpt 7029	. . . 4 ⊢ (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘( ⇝𝑣 ‘𝐹)) = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵))
83	16, 79, 82	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘( ⇝𝑣 ‘𝐹)) = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵))
84	39, 77, 83	3brtr3d 5197	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))(( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵))
85	1	cnfldtopon 24824	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
86	85	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
87		0cnd 11283	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
88		1zzd 12674	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
89		nnuz 12946	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
90	89	lmconst 23290	. . 3 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
91	86, 87, 88, 90	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
92	3, 84, 91	lmmo 23409	1 ⊢ (𝜑 → (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  {csn 4648  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698  dom cdm 5700   ↾ cres 5702   ∘ ccom 5704  Fun wfun 6567   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185  ℕcn 12293  ℤcz 12639  TopOpenctopn 17481  ∞Metcxmet 21372  MetOpencmopn 21377  ℂ_fldccnfld 21387  TopOnctopon 22937   Cn ccn 23253  ⇝_𝑡clm 23255  Hauscha 23337   ×_t ctx 23589  NrmCVeccnv 30616   ℋchba 30951   +_ℎ cva 30952   ·_ℎ csm 30953   ·_ih csp 30954  norm_ℎcno 30955   −_ℎ cmv 30957  Cauchyccauold 30958   ⇝_𝑣 chli 30959  ⊥cort 30962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263  ax-mulf 11264  ax-hilex 31031  ax-hfvadd 31032  ax-hvcom 31033  ax-hvass 31034  ax-hv0cl 31035  ax-hvaddid 31036  ax-hfvmul 31037  ax-hvmulid 31038  ax-hvmulass 31039  ax-hvdistr1 31040  ax-hvdistr2 31041  ax-hvmul0 31042  ax-hfi 31111  ax-his1 31114  ax-his2 31115  ax-his3 31116  ax-his4 31117  ax-hcompl 31234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-lm 23258  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-grpo 30525  df-gid 30526  df-ginv 30527  df-gdiv 30528  df-ablo 30577  df-vc 30591  df-nv 30624  df-va 30627  df-ba 30628  df-sm 30629  df-0v 30630  df-vs 30631  df-nmcv 30632  df-ims 30633  df-dip 30733  df-hnorm 31000  df-hvsub 31003  df-hlim 31004  df-sh 31239  df-oc 31284

This theorem is referenced by:  occl  31336