Theorem occllem 31284

Description: Lemma for occl 31285. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
occl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℋ)
occl.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Cauchy)
occl.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(⊥‘𝐴))
occl.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
occllem	⊢ (𝜑 → (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵) = 0)

Proof of Theorem occllem

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldhaus 24723	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus)
4		occl.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Cauchy)
5		ax-hcompl 31183	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)
6		hlimf 31218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
7		ffn 6706	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣
9		fnbr 6646	. . . . . . . . 9 ⊢ (( ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
10	8, 9	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
11	10	rexlimivw 3137	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
12	4, 5, 11	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
13		ffun 6709	. . . . . . 7 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → Fun ⇝𝑣 )
14		funfvbrb 7041	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹)))
15	6, 13, 14	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹))
16	12, 15	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹))
17		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
18		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (normℎ ∘ −ℎ )
19	17, 18	hhims 31153	. . . . . . . 8 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
20		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) = (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))
21	17, 19, 20	hhlm 31180	. . . . . . 7 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
22		resss 5988	. . . . . . 7 ⊢ ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
23	21, 22	eqsstri 4005	. . . . . 6 ⊢ ⇝𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
24	23	ssbri 5164	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹) → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))( ⇝𝑣 ‘𝐹))
25	16, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))( ⇝𝑣 ‘𝐹))
26	18	hilxmet 31176	. . . . . 6 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ)
27	20	mopntopon 24378	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
28	26, 27	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
29	28	cnmptid 23599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℋ ↦ 𝑥) ∈ ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))))
30		occl.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℋ)
31		occl.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
32	30, 31	sseldd 3959	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℋ)
33	28, 28, 32	cnmptc 23600	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℋ ↦ 𝐵) ∈ ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))))
34	17	hhnv 31146	. . . . . 6 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec
35	17	hhip 31158	. . . . . . 7 ⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
36	35, 19, 20, 1	dipcn 30701	. . . . . 6 ⊢ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec → ·ih ∈ (((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ×t (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
37	34, 36	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ·ih ∈ (((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ×t (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
38	28, 29, 33, 37	cnmpt12f 23604	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∈ ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
39	25, 38	lmcn 23243	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘( ⇝𝑣 ‘𝐹)))
40		occl.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(⊥‘𝐴))
41	40	ffvelcdmda 7074	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ (⊥‘𝐴))
42		ocel 31262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ((𝐹‘𝑘) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0)))
43	30, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑘) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0)))
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0)))
45	41, 44	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0))
46	45	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℋ)
47		oveq1 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑘) → (𝑥 ·ih 𝐵) = ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵))
48		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))
49		ovex 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵) ∈ V
50	47, 48, 49	fvmpt 6986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵))
51	46, 50	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵))
52		oveq2 7413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵))
53	52	eqeq1d 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵) = 0))
54	45	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0)
55	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ 𝐴)
56	53, 54, 55	rspcdva 3602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵) = 0)
57	51, 56	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹‘𝑘)) = 0)
58		ocss 31266	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
59	30, 58	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
60	40, 59	fssd 6723	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ ℋ)
61		fvco3 6978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹‘𝑘)))
62	60, 61	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹‘𝑘)))
63		c0ex 11229	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
64	63	fvconst2 7196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑘) = 0)
65	64	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {0})‘𝑘) = 0)
66	57, 62, 65	3eqtr4d 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘))
67	66	ralrimiva 3132	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘))
68		ovex 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ·ih 𝐵) ∈ V
69	68, 48	fnmpti 6681	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) Fn ℋ
70		fnfco 6743	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) Fn ℋ ∧ 𝐹:ℕ⟶ ℋ) → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) Fn ℕ)
71	69, 60, 70	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) Fn ℕ)
72	63	fconst 6764	. . . . . 6 ⊢ (ℕ × {0}):ℕ⟶{0}
73		ffn 6706	. . . . . 6 ⊢ ((ℕ × {0}):ℕ⟶{0} → (ℕ × {0}) Fn ℕ)
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℕ × {0}) Fn ℕ
75		eqfnfv 7021	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) Fn ℕ ∧ (ℕ × {0}) Fn ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘)))
76	71, 74, 75	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘)))
77	67, 76	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) = (ℕ × {0}))
78		fvex 6889	. . . . 5 ⊢ ( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ V
79	78	hlimveci 31171	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹) → ( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ ℋ)
80		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ( ⇝𝑣 ‘𝐹) → (𝑥 ·ih 𝐵) = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵))
81		ovex 7438	. . . . 5 ⊢ (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵) ∈ V
82	80, 48, 81	fvmpt 6986	. . . 4 ⊢ (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘( ⇝𝑣 ‘𝐹)) = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵))
83	16, 79, 82	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘( ⇝𝑣 ‘𝐹)) = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵))
84	39, 77, 83	3brtr3d 5150	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))(( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵))
85	1	cnfldtopon 24721	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
86	85	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
87		0cnd 11228	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
88		1zzd 12623	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
89		nnuz 12895	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
90	89	lmconst 23199	. . 3 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
91	86, 87, 88, 90	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
92	3, 84, 91	lmmo 23318	1 ⊢ (𝜑 → (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3926  {csn 4601  ⟨cop 4607   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201   × cxp 5652  dom cdm 5654   ↾ cres 5656   ∘ ccom 5658  Fun wfun 6525   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8840  ℂcc 11127  0cc0 11129  1c1 11130  ℕcn 12240  ℤcz 12588  TopOpenctopn 17435  ∞Metcxmet 21300  MetOpencmopn 21305  ℂ_fldccnfld 21315  TopOnctopon 22848   Cn ccn 23162  ⇝_𝑡clm 23164  Hauscha 23246   ×_t ctx 23498  NrmCVeccnv 30565   ℋchba 30900   +_ℎ cva 30901   ·_ℎ csm 30902   ·_ih csp 30903  norm_ℎcno 30904   −_ℎ cmv 30906  Cauchyccauold 30907   ⇝_𝑣 chli 30908  ⊥cort 30911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208  ax-mulf 11209  ax-hilex 30980  ax-hfvadd 30981  ax-hvcom 30982  ax-hvass 30983  ax-hv0cl 30984  ax-hvaddid 30985  ax-hfvmul 30986  ax-hvmulid 30987  ax-hvmulass 30988  ax-hvdistr1 30989  ax-hvdistr2 30990  ax-hvmul0 30991  ax-hfi 31060  ax-his1 31063  ax-his2 31064  ax-his3 31065  ax-his4 31066  ax-hcompl 31183

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-sum 15703  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-lm 23167  df-haus 23253  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-xms 24259  df-ms 24260  df-tms 24261  df-grpo 30474  df-gid 30475  df-ginv 30476  df-gdiv 30477  df-ablo 30526  df-vc 30540  df-nv 30573  df-va 30576  df-ba 30577  df-sm 30578  df-0v 30579  df-vs 30580  df-nmcv 30581  df-ims 30582  df-dip 30682  df-hnorm 30949  df-hvsub 30952  df-hlim 30953  df-sh 31188  df-oc 31233

This theorem is referenced by:  occl  31285