Theorem occllem 31332

Description: Lemma for occl 31333. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
occl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℋ)
occl.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Cauchy)
occl.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(⊥‘𝐴))
occl.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
occllem	⊢ (𝜑 → (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵) = 0)

Proof of Theorem occllem

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldhaus 24821	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus)
4		occl.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Cauchy)
5		ax-hcompl 31231	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)
6		hlimf 31266	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
7		ffn 6737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣
9		fnbr 6677	. . . . . . . . 9 ⊢ (( ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
10	8, 9	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
11	10	rexlimivw 3149	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
12	4, 5, 11	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
13		ffun 6740	. . . . . . 7 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → Fun ⇝𝑣 )
14		funfvbrb 7071	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹)))
15	6, 13, 14	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹))
16	12, 15	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹))
17		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
18		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (normℎ ∘ −ℎ )
19	17, 18	hhims 31201	. . . . . . . 8 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
20		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) = (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))
21	17, 19, 20	hhlm 31228	. . . . . . 7 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
22		resss 6022	. . . . . . 7 ⊢ ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
23	21, 22	eqsstri 4030	. . . . . 6 ⊢ ⇝𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
24	23	ssbri 5193	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹) → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))( ⇝𝑣 ‘𝐹))
25	16, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))( ⇝𝑣 ‘𝐹))
26	18	hilxmet 31224	. . . . . 6 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ)
27	20	mopntopon 24465	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
28	26, 27	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
29	28	cnmptid 23685	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℋ ↦ 𝑥) ∈ ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))))
30		occl.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℋ)
31		occl.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
32	30, 31	sseldd 3996	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℋ)
33	28, 28, 32	cnmptc 23686	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℋ ↦ 𝐵) ∈ ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))))
34	17	hhnv 31194	. . . . . 6 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec
35	17	hhip 31206	. . . . . . 7 ⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
36	35, 19, 20, 1	dipcn 30749	. . . . . 6 ⊢ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec → ·ih ∈ (((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ×t (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
37	34, 36	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ·ih ∈ (((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ×t (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
38	28, 29, 33, 37	cnmpt12f 23690	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∈ ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
39	25, 38	lmcn 23329	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘( ⇝𝑣 ‘𝐹)))
40		occl.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(⊥‘𝐴))
41	40	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ (⊥‘𝐴))
42		ocel 31310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ((𝐹‘𝑘) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0)))
43	30, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑘) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0)))
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0)))
45	41, 44	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0))
46	45	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℋ)
47		oveq1 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑘) → (𝑥 ·ih 𝐵) = ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵))
48		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))
49		ovex 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵) ∈ V
50	47, 48, 49	fvmpt 7016	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵))
51	46, 50	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵))
52		oveq2 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵))
53	52	eqeq1d 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵) = 0))
54	45	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝑥) = 0)
55	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ 𝐴)
56	53, 54, 55	rspcdva 3623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) ·ih 𝐵) = 0)
57	51, 56	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹‘𝑘)) = 0)
58		ocss 31314	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
59	30, 58	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
60	40, 59	fssd 6754	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ ℋ)
61		fvco3 7008	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹‘𝑘)))
62	60, 61	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹‘𝑘)))
63		c0ex 11253	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
64	63	fvconst2 7224	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑘) = 0)
65	64	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {0})‘𝑘) = 0)
66	57, 62, 65	3eqtr4d 2785	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘))
67	66	ralrimiva 3144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘))
68		ovex 7464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ·ih 𝐵) ∈ V
69	68, 48	fnmpti 6712	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) Fn ℋ
70		fnfco 6774	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) Fn ℋ ∧ 𝐹:ℕ⟶ ℋ) → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) Fn ℕ)
71	69, 60, 70	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) Fn ℕ)
72	63	fconst 6795	. . . . . 6 ⊢ (ℕ × {0}):ℕ⟶{0}
73		ffn 6737	. . . . . 6 ⊢ ((ℕ × {0}):ℕ⟶{0} → (ℕ × {0}) Fn ℕ)
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℕ × {0}) Fn ℕ
75		eqfnfv 7051	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) Fn ℕ ∧ (ℕ × {0}) Fn ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘)))
76	71, 74, 75	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘)))
77	67, 76	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) = (ℕ × {0}))
78		fvex 6920	. . . . 5 ⊢ ( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ V
79	78	hlimveci 31219	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹) → ( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ ℋ)
80		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ( ⇝𝑣 ‘𝐹) → (𝑥 ·ih 𝐵) = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵))
81		ovex 7464	. . . . 5 ⊢ (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵) ∈ V
82	80, 48, 81	fvmpt 7016	. . . 4 ⊢ (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘( ⇝𝑣 ‘𝐹)) = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵))
83	16, 79, 82	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘( ⇝𝑣 ‘𝐹)) = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵))
84	39, 77, 83	3brtr3d 5179	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))(( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵))
85	1	cnfldtopon 24819	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
86	85	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
87		0cnd 11252	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
88		1zzd 12646	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
89		nnuz 12919	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
90	89	lmconst 23285	. . 3 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
91	86, 87, 88, 90	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
92	3, 84, 91	lmmo 23404	1 ⊢ (𝜑 → (( ⇝𝑣 ‘𝐹) ·ih 𝐵) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3963  {csn 4631  ⟨cop 4637   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   × cxp 5687  dom cdm 5689   ↾ cres 5691   ∘ ccom 5693  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154  ℕcn 12264  ℤcz 12611  TopOpenctopn 17468  ∞Metcxmet 21367  MetOpencmopn 21372  ℂ_fldccnfld 21382  TopOnctopon 22932   Cn ccn 23248  ⇝_𝑡clm 23250  Hauscha 23332   ×_t ctx 23584  NrmCVeccnv 30613   ℋchba 30948   +_ℎ cva 30949   ·_ℎ csm 30950   ·_ih csp 30951  norm_ℎcno 30952   −_ℎ cmv 30954  Cauchyccauold 30955   ⇝_𝑣 chli 30956  ⊥cort 30959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr1 31037  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his2 31112  ax-his3 31113  ax-his4 31114  ax-hcompl 31231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-lm 23253  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630  df-dip 30730  df-hnorm 30997  df-hvsub 31000  df-hlim 31001  df-sh 31236  df-oc 31281

This theorem is referenced by:  occl  31333