HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  occllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem occllem 31239
Description: Lemma for occl 31240. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
occl.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℋ)
occl.2 (𝜑𝐹 ∈ Cauchy)
occl.3 (𝜑𝐹:ℕ⟶(⊥‘𝐴))
occl.4 (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
occllem (𝜑 → (( ⇝𝑣𝐹) ·ih 𝐵) = 0)

Proof of Theorem occllem
Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldhaus 24795 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
32a1i 11 . 2 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus)
4 occl.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ Cauchy)
5 ax-hcompl 31138 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥)
6 hlimf 31173 . . . . . . . . . 10 𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
7 ffn 6730 . . . . . . . . . 10 ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑣 Fn dom ⇝𝑣
9 fnbr 6670 . . . . . . . . 9 (( ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣𝐹𝑣 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
108, 9mpan 688 . . . . . . . 8 (𝐹𝑣 𝑥𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
1110rexlimivw 3141 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
124, 5, 113syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
13 ffun 6733 . . . . . . 7 ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → Fun ⇝𝑣 )
14 funfvbrb 7066 . . . . . . 7 (Fun ⇝𝑣 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣𝐹𝑣 ( ⇝𝑣𝐹)))
156, 13, 14mp2b 10 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣𝐹𝑣 ( ⇝𝑣𝐹))
1612, 15sylib 217 . . . . 5 (𝜑𝐹𝑣 ( ⇝𝑣𝐹))
17 eqid 2726 . . . . . . . 8 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
18 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (norm ∘ − ) = (norm ∘ − )
1917, 18hhims 31108 . . . . . . . 8 (norm ∘ − ) = (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
20 eqid 2726 . . . . . . . 8 (MetOpen‘(norm ∘ − )) = (MetOpen‘(norm ∘ − ))
2117, 19, 20hhlm 31135 . . . . . . 7 𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
22 resss 6013 . . . . . . 7 ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
2321, 22eqsstri 4014 . . . . . 6 𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
2423ssbri 5200 . . . . 5 (𝐹𝑣 ( ⇝𝑣𝐹) → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))( ⇝𝑣𝐹))
2516, 24syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))( ⇝𝑣𝐹))
2618hilxmet 31131 . . . . . 6 (norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ)
2720mopntopon 24439 . . . . . 6 ((norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
2826, 27mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
2928cnmptid 23659 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℋ ↦ 𝑥) ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
30 occl.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℋ)
31 occl.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐴)
3230, 31sseldd 3980 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℋ)
3328, 28, 32cnmptc 23660 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℋ ↦ 𝐵) ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
3417hhnv 31101 . . . . . 6 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec
3517hhip 31113 . . . . . . 7 ·ih = (·𝑖OLD‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
3635, 19, 20, 1dipcn 30656 . . . . . 6 (⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec → ·ih ∈ (((MetOpen‘(norm ∘ − )) ×t (MetOpen‘(norm ∘ − ))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3734, 36mp1i 13 . . . . 5 (𝜑·ih ∈ (((MetOpen‘(norm ∘ − )) ×t (MetOpen‘(norm ∘ − ))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3828, 29, 33, 37cnmpt12f 23664 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3925, 38lmcn 23303 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘( ⇝𝑣𝐹)))
40 occl.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℕ⟶(⊥‘𝐴))
4140ffvelcdmda 7100 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ (⊥‘𝐴))
42 ocel 31217 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ ℋ → ((𝐹𝑘) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑘) ·ih 𝑥) = 0)))
4330, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹𝑘) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑘) ·ih 𝑥) = 0)))
4443adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑘) ·ih 𝑥) = 0)))
4541, 44mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑘) ·ih 𝑥) = 0))
4645simpld 493 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℋ)
47 oveq1 7433 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (𝑥 ·ih 𝐵) = ((𝐹𝑘) ·ih 𝐵))
48 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))
49 ovex 7459 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑘) ·ih 𝐵) ∈ V
5047, 48, 49fvmpt 7011 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑘) ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘) ·ih 𝐵))
5146, 50syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘) ·ih 𝐵))
52 oveq2 7434 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝑘) ·ih 𝑥) = ((𝐹𝑘) ·ih 𝐵))
5352eqeq1d 2728 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (((𝐹𝑘) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝐹𝑘) ·ih 𝐵) = 0))
5445simprd 494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑘) ·ih 𝑥) = 0)
5531adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵𝐴)
5653, 54, 55rspcdva 3609 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) ·ih 𝐵) = 0)
5751, 56eqtrd 2766 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹𝑘)) = 0)
58 ocss 31221 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
5930, 58syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
6040, 59fssd 6747 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℕ⟶ ℋ)
61 fvco3 7003 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹𝑘)))
6260, 61sylan 578 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹𝑘)))
63 c0ex 11260 . . . . . . . 8 0 ∈ V
6463fvconst2 7223 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑘) = 0)
6564adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {0})‘𝑘) = 0)
6657, 62, 653eqtr4d 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘))
6766ralrimiva 3136 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘))
68 ovex 7459 . . . . . . 7 (𝑥 ·ih 𝐵) ∈ V
6968, 48fnmpti 6706 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) Fn ℋ
70 fnfco 6769 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) Fn ℋ ∧ 𝐹:ℕ⟶ ℋ) → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) Fn ℕ)
7169, 60, 70sylancr 585 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) Fn ℕ)
7263fconst 6790 . . . . . 6 (ℕ × {0}):ℕ⟶{0}
73 ffn 6730 . . . . . 6 ((ℕ × {0}):ℕ⟶{0} → (ℕ × {0}) Fn ℕ)
7472, 73ax-mp 5 . . . . 5 (ℕ × {0}) Fn ℕ
75 eqfnfv 7046 . . . . 5 ((((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) Fn ℕ ∧ (ℕ × {0}) Fn ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘)))
7671, 74, 75sylancl 584 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘)))
7767, 76mpbird 256 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) = (ℕ × {0}))
78 fvex 6916 . . . . 5 ( ⇝𝑣𝐹) ∈ V
7978hlimveci 31126 . . . 4 (𝐹𝑣 ( ⇝𝑣𝐹) → ( ⇝𝑣𝐹) ∈ ℋ)
80 oveq1 7433 . . . . 5 (𝑥 = ( ⇝𝑣𝐹) → (𝑥 ·ih 𝐵) = (( ⇝𝑣𝐹) ·ih 𝐵))
81 ovex 7459 . . . . 5 (( ⇝𝑣𝐹) ·ih 𝐵) ∈ V
8280, 48, 81fvmpt 7011 . . . 4 (( ⇝𝑣𝐹) ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘( ⇝𝑣𝐹)) = (( ⇝𝑣𝐹) ·ih 𝐵))
8316, 79, 823syl 18 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘( ⇝𝑣𝐹)) = (( ⇝𝑣𝐹) ·ih 𝐵))
8439, 77, 833brtr3d 5186 . 2 (𝜑 → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))(( ⇝𝑣𝐹) ·ih 𝐵))
851cnfldtopon 24793 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
8685a1i 11 . . 3 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
87 0cnd 11259 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
88 1zzd 12647 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
89 nnuz 12919 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
9089lmconst 23259 . . 3 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
9186, 87, 88, 90syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
923, 84, 91lmmo 23378 1 (𝜑 → (( ⇝𝑣𝐹) ·ih 𝐵) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  wrex 3060  wss 3947  {csn 4633  cop 4639   class class class wbr 5155  cmpt 5238   × cxp 5682  dom cdm 5684  cres 5686  ccom 5688  Fun wfun 6550   Fn wfn 6551  wf 6552  cfv 6556  (class class class)co 7426  m cmap 8857  cc 11158  0cc0 11160  1c1 11161  cn 12266  cz 12612  TopOpenctopn 17438  ∞Metcxmet 21330  MetOpencmopn 21335  fldccnfld 21345  TopOnctopon 22906   Cn ccn 23222  𝑡clm 23224  Hauscha 23306   ×t ctx 23558  NrmCVeccnv 30520  chba 30855   + cva 30856   · csm 30857   ·ih csp 30858  normcno 30859   cmv 30861  Cauchyccauold 30862  𝑣 chli 30863  cort 30866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-inf2 9686  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237  ax-pre-sup 11238  ax-addf 11239  ax-mulf 11240  ax-hilex 30935  ax-hfvadd 30936  ax-hvcom 30937  ax-hvass 30938  ax-hv0cl 30939  ax-hvaddid 30940  ax-hfvmul 30941  ax-hvmulid 30942  ax-hvmulass 30943  ax-hvdistr1 30944  ax-hvdistr2 30945  ax-hvmul0 30946  ax-hfi 31015  ax-his1 31018  ax-his2 31019  ax-his3 31020  ax-his4 31021  ax-hcompl 31138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4916  df-int 4957  df-iun 5005  df-iin 5006  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-se 5640  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-isom 6565  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8177  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-2o 8499  df-er 8736  df-map 8859  df-pm 8860  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9408  df-fi 9456  df-sup 9487  df-inf 9488  df-oi 9555  df-card 9984  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11924  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12613  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12987  df-rp 13031  df-xneg 13148  df-xadd 13149  df-xmul 13150  df-ioo 13384  df-icc 13387  df-fz 13541  df-fzo 13684  df-seq 14024  df-exp 14084  df-hash 14350  df-cj 15106  df-re 15107  df-im 15108  df-sqrt 15242  df-abs 15243  df-clim 15492  df-sum 15693  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17216  df-ress 17245  df-plusg 17281  df-mulr 17282  df-starv 17283  df-sca 17284  df-vsca 17285  df-ip 17286  df-tset 17287  df-ple 17288  df-ds 17290  df-unif 17291  df-hom 17292  df-cco 17293  df-rest 17439  df-topn 17440  df-0g 17458  df-gsum 17459  df-topgen 17460  df-pt 17461  df-prds 17464  df-xrs 17519  df-qtop 17524  df-imas 17525  df-xps 17527  df-mre 17601  df-mrc 17602  df-acs 17604  df-mgm 18635  df-sgrp 18714  df-mnd 18730  df-submnd 18776  df-mulg 19064  df-cntz 19313  df-cmn 19782  df-psmet 21337  df-xmet 21338  df-met 21339  df-bl 21340  df-mopn 21341  df-cnfld 21346  df-top 22890  df-topon 22907  df-topsp 22929  df-bases 22943  df-cn 23225  df-cnp 23226  df-lm 23227  df-haus 23313  df-tx 23560  df-hmeo 23753  df-xms 24320  df-ms 24321  df-tms 24322  df-grpo 30429  df-gid 30430  df-ginv 30431  df-gdiv 30432  df-ablo 30481  df-vc 30495  df-nv 30528  df-va 30531  df-ba 30532  df-sm 30533  df-0v 30534  df-vs 30535  df-nmcv 30536  df-ims 30537  df-dip 30637  df-hnorm 30904  df-hvsub 30907  df-hlim 30908  df-sh 31143  df-oc 31188
This theorem is referenced by:  occl  31240
  Copyright terms: Public domain W3C validator