HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  occllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem occllem 28502
Description: Lemma for occl 28503. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
occl.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℋ)
occl.2 (𝜑𝐹 ∈ Cauchy)
occl.3 (𝜑𝐹:ℕ⟶(⊥‘𝐴))
occl.4 (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
occllem (𝜑 → (( ⇝𝑣𝐹) ·ih 𝐵) = 0)

Proof of Theorem occllem
Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldhaus 22808 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
32a1i 11 . 2 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus)
4 occl.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ Cauchy)
5 ax-hcompl 28399 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥)
6 hlimf 28434 . . . . . . . . . 10 𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
7 ffn 6184 . . . . . . . . . 10 ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑣 Fn dom ⇝𝑣
9 fnbr 6132 . . . . . . . . 9 (( ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣𝐹𝑣 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
108, 9mpan 670 . . . . . . . 8 (𝐹𝑣 𝑥𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
1110rexlimivw 3177 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
124, 5, 113syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
13 ffun 6187 . . . . . . 7 ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → Fun ⇝𝑣 )
14 funfvbrb 6475 . . . . . . 7 (Fun ⇝𝑣 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣𝐹𝑣 ( ⇝𝑣𝐹)))
156, 13, 14mp2b 10 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣𝐹𝑣 ( ⇝𝑣𝐹))
1612, 15sylib 208 . . . . 5 (𝜑𝐹𝑣 ( ⇝𝑣𝐹))
17 eqid 2771 . . . . . . . 8 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
18 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (norm ∘ − ) = (norm ∘ − )
1917, 18hhims 28369 . . . . . . . 8 (norm ∘ − ) = (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
20 eqid 2771 . . . . . . . 8 (MetOpen‘(norm ∘ − )) = (MetOpen‘(norm ∘ − ))
2117, 19, 20hhlm 28396 . . . . . . 7 𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
22 resss 5562 . . . . . . 7 ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
2321, 22eqsstri 3784 . . . . . 6 𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
2423ssbri 4832 . . . . 5 (𝐹𝑣 ( ⇝𝑣𝐹) → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))( ⇝𝑣𝐹))
2516, 24syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))( ⇝𝑣𝐹))
2618hilxmet 28392 . . . . . 6 (norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ)
2720mopntopon 22464 . . . . . 6 ((norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
2826, 27mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
2928cnmptid 21685 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℋ ↦ 𝑥) ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
30 occl.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℋ)
31 occl.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐴)
3230, 31sseldd 3753 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℋ)
3328, 28, 32cnmptc 21686 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℋ ↦ 𝐵) ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
3417hhnv 28362 . . . . . 6 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec
3517hhip 28374 . . . . . . 7 ·ih = (·𝑖OLD‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
3635, 19, 20, 1dipcn 27915 . . . . . 6 (⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec → ·ih ∈ (((MetOpen‘(norm ∘ − )) ×t (MetOpen‘(norm ∘ − ))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3734, 36mp1i 13 . . . . 5 (𝜑·ih ∈ (((MetOpen‘(norm ∘ − )) ×t (MetOpen‘(norm ∘ − ))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3828, 29, 33, 37cnmpt12f 21690 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3925, 38lmcn 21330 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘( ⇝𝑣𝐹)))
40 occl.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℕ⟶(⊥‘𝐴))
4140ffvelrnda 6504 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ (⊥‘𝐴))
42 ocel 28480 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ ℋ → ((𝐹𝑘) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑘) ·ih 𝑥) = 0)))
4330, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹𝑘) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑘) ·ih 𝑥) = 0)))
4443adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑘) ·ih 𝑥) = 0)))
4541, 44mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑘) ·ih 𝑥) = 0))
4645simpld 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℋ)
47 oveq1 6803 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (𝑥 ·ih 𝐵) = ((𝐹𝑘) ·ih 𝐵))
48 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))
49 ovex 6827 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑘) ·ih 𝐵) ∈ V
5047, 48, 49fvmpt 6426 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑘) ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘) ·ih 𝐵))
5146, 50syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘) ·ih 𝐵))
52 oveq2 6804 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝑘) ·ih 𝑥) = ((𝐹𝑘) ·ih 𝐵))
5352eqeq1d 2773 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (((𝐹𝑘) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝐹𝑘) ·ih 𝐵) = 0))
5445simprd 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑘) ·ih 𝑥) = 0)
5531adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵𝐴)
5653, 54, 55rspcdva 3466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) ·ih 𝐵) = 0)
5751, 56eqtrd 2805 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹𝑘)) = 0)
58 ocss 28484 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
5930, 58syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
6040, 59fssd 6198 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℕ⟶ ℋ)
61 fvco3 6419 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹𝑘)))
6260, 61sylan 569 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹𝑘)))
63 c0ex 10240 . . . . . . . 8 0 ∈ V
6463fvconst2 6616 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑘) = 0)
6564adantl 467 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {0})‘𝑘) = 0)
6657, 62, 653eqtr4d 2815 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘))
6766ralrimiva 3115 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘))
68 ovex 6827 . . . . . . 7 (𝑥 ·ih 𝐵) ∈ V
6968, 48fnmpti 6161 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) Fn ℋ
70 fnfco 6210 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) Fn ℋ ∧ 𝐹:ℕ⟶ ℋ) → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) Fn ℕ)
7169, 60, 70sylancr 575 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) Fn ℕ)
7263fconst 6232 . . . . . 6 (ℕ × {0}):ℕ⟶{0}
73 ffn 6184 . . . . . 6 ((ℕ × {0}):ℕ⟶{0} → (ℕ × {0}) Fn ℕ)
7472, 73ax-mp 5 . . . . 5 (ℕ × {0}) Fn ℕ
75 eqfnfv 6456 . . . . 5 ((((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) Fn ℕ ∧ (ℕ × {0}) Fn ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘)))
7671, 74, 75sylancl 574 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘)))
7767, 76mpbird 247 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) = (ℕ × {0}))
78 fvex 6344 . . . . 5 ( ⇝𝑣𝐹) ∈ V
7978hlimveci 28387 . . . 4 (𝐹𝑣 ( ⇝𝑣𝐹) → ( ⇝𝑣𝐹) ∈ ℋ)
80 oveq1 6803 . . . . 5 (𝑥 = ( ⇝𝑣𝐹) → (𝑥 ·ih 𝐵) = (( ⇝𝑣𝐹) ·ih 𝐵))
81 ovex 6827 . . . . 5 (( ⇝𝑣𝐹) ·ih 𝐵) ∈ V
8280, 48, 81fvmpt 6426 . . . 4 (( ⇝𝑣𝐹) ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘( ⇝𝑣𝐹)) = (( ⇝𝑣𝐹) ·ih 𝐵))
8316, 79, 823syl 18 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘( ⇝𝑣𝐹)) = (( ⇝𝑣𝐹) ·ih 𝐵))
8439, 77, 833brtr3d 4818 . 2 (𝜑 → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))(( ⇝𝑣𝐹) ·ih 𝐵))
851cnfldtopon 22806 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
8685a1i 11 . . 3 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
87 0cnd 10239 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
88 1zzd 11615 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
89 nnuz 11930 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
9089lmconst 21286 . . 3 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
9186, 87, 88, 90syl3anc 1476 . 2 (𝜑 → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
923, 84, 91lmmo 21405 1 (𝜑 → (( ⇝𝑣𝐹) ·ih 𝐵) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  wss 3723  {csn 4317  cop 4323   class class class wbr 4787  cmpt 4864   × cxp 5248  dom cdm 5250  cres 5252  ccom 5254  Fun wfun 6024   Fn wfn 6025  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  𝑚 cmap 8013  cc 10140  0cc0 10142  1c1 10143  cn 11226  cz 11584  TopOpenctopn 16290  ∞Metcxmt 19946  MetOpencmopn 19951  fldccnfld 19961  TopOnctopon 20935   Cn ccn 21249  𝑡clm 21251  Hauscha 21333   ×t ctx 21584  NrmCVeccnv 27779  chil 28116   + cva 28117   · csm 28118   ·ih csp 28119  normcno 28120   cmv 28122  Cauchyccau 28123  𝑣 chli 28124  cort 28127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222  ax-hilex 28196  ax-hfvadd 28197  ax-hvcom 28198  ax-hvass 28199  ax-hv0cl 28200  ax-hvaddid 28201  ax-hfvmul 28202  ax-hvmulid 28203  ax-hvmulass 28204  ax-hvdistr1 28205  ax-hvdistr2 28206  ax-hvmul0 28207  ax-hfi 28276  ax-his1 28279  ax-his2 28280  ax-his3 28281  ax-his4 28282  ax-hcompl 28399
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-lm 21254  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ginv 27689  df-gdiv 27690  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-vs 27794  df-nmcv 27795  df-ims 27796  df-dip 27896  df-hnorm 28165  df-hvsub 28168  df-hlim 28169  df-sh 28404  df-oc 28449
This theorem is referenced by:  occl  28503
  Copyright terms: Public domain W3C validator