HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  occllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem occllem 29008
Description: Lemma for occl 29009. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
occl.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℋ)
occl.2 (𝜑𝐹 ∈ Cauchy)
occl.3 (𝜑𝐹:ℕ⟶(⊥‘𝐴))
occl.4 (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
occllem (𝜑 → (( ⇝𝑣𝐹) ·ih 𝐵) = 0)

Proof of Theorem occllem
Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2821 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldhaus 23322 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
32a1i 11 . 2 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus)
4 occl.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ Cauchy)
5 ax-hcompl 28907 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥)
6 hlimf 28942 . . . . . . . . . 10 𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
7 ffn 6508 . . . . . . . . . 10 ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣 )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑣 Fn dom ⇝𝑣
9 fnbr 6453 . . . . . . . . 9 (( ⇝𝑣 Fn dom ⇝𝑣𝐹𝑣 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
108, 9mpan 686 . . . . . . . 8 (𝐹𝑣 𝑥𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
1110rexlimivw 3282 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
124, 5, 113syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
13 ffun 6511 . . . . . . 7 ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → Fun ⇝𝑣 )
14 funfvbrb 6814 . . . . . . 7 (Fun ⇝𝑣 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣𝐹𝑣 ( ⇝𝑣𝐹)))
156, 13, 14mp2b 10 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣𝐹𝑣 ( ⇝𝑣𝐹))
1612, 15sylib 219 . . . . 5 (𝜑𝐹𝑣 ( ⇝𝑣𝐹))
17 eqid 2821 . . . . . . . 8 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
18 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (norm ∘ − ) = (norm ∘ − )
1917, 18hhims 28877 . . . . . . . 8 (norm ∘ − ) = (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
20 eqid 2821 . . . . . . . 8 (MetOpen‘(norm ∘ − )) = (MetOpen‘(norm ∘ − ))
2117, 19, 20hhlm 28904 . . . . . . 7 𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
22 resss 5872 . . . . . . 7 ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
2321, 22eqsstri 4000 . . . . . 6 𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
2423ssbri 5103 . . . . 5 (𝐹𝑣 ( ⇝𝑣𝐹) → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))( ⇝𝑣𝐹))
2516, 24syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))( ⇝𝑣𝐹))
2618hilxmet 28900 . . . . . 6 (norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ)
2720mopntopon 22978 . . . . . 6 ((norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
2826, 27mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
2928cnmptid 22199 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℋ ↦ 𝑥) ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
30 occl.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℋ)
31 occl.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐴)
3230, 31sseldd 3967 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℋ)
3328, 28, 32cnmptc 22200 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℋ ↦ 𝐵) ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
3417hhnv 28870 . . . . . 6 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec
3517hhip 28882 . . . . . . 7 ·ih = (·𝑖OLD‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
3635, 19, 20, 1dipcn 28425 . . . . . 6 (⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec → ·ih ∈ (((MetOpen‘(norm ∘ − )) ×t (MetOpen‘(norm ∘ − ))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3734, 36mp1i 13 . . . . 5 (𝜑·ih ∈ (((MetOpen‘(norm ∘ − )) ×t (MetOpen‘(norm ∘ − ))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3828, 29, 33, 37cnmpt12f 22204 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3925, 38lmcn 21843 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘( ⇝𝑣𝐹)))
40 occl.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℕ⟶(⊥‘𝐴))
4140ffvelrnda 6844 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ (⊥‘𝐴))
42 ocel 28986 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ ℋ → ((𝐹𝑘) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑘) ·ih 𝑥) = 0)))
4330, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹𝑘) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑘) ·ih 𝑥) = 0)))
4443adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑘) ·ih 𝑥) = 0)))
4541, 44mpbid 233 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑘) ·ih 𝑥) = 0))
4645simpld 495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℋ)
47 oveq1 7152 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (𝑥 ·ih 𝐵) = ((𝐹𝑘) ·ih 𝐵))
48 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))
49 ovex 7178 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑘) ·ih 𝐵) ∈ V
5047, 48, 49fvmpt 6762 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑘) ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘) ·ih 𝐵))
5146, 50syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘) ·ih 𝐵))
52 oveq2 7153 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝑘) ·ih 𝑥) = ((𝐹𝑘) ·ih 𝐵))
5352eqeq1d 2823 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (((𝐹𝑘) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝐹𝑘) ·ih 𝐵) = 0))
5445simprd 496 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑘) ·ih 𝑥) = 0)
5531adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵𝐴)
5653, 54, 55rspcdva 3624 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) ·ih 𝐵) = 0)
5751, 56eqtrd 2856 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹𝑘)) = 0)
58 ocss 28990 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
5930, 58syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
6040, 59fssd 6522 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℕ⟶ ℋ)
61 fvco3 6754 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹𝑘)))
6260, 61sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘(𝐹𝑘)))
63 c0ex 10624 . . . . . . . 8 0 ∈ V
6463fvconst2 6959 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑘) = 0)
6564adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {0})‘𝑘) = 0)
6657, 62, 653eqtr4d 2866 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘))
6766ralrimiva 3182 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘))
68 ovex 7178 . . . . . . 7 (𝑥 ·ih 𝐵) ∈ V
6968, 48fnmpti 6485 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) Fn ℋ
70 fnfco 6537 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) Fn ℋ ∧ 𝐹:ℕ⟶ ℋ) → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) Fn ℕ)
7169, 60, 70sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) Fn ℕ)
7263fconst 6559 . . . . . 6 (ℕ × {0}):ℕ⟶{0}
73 ffn 6508 . . . . . 6 ((ℕ × {0}):ℕ⟶{0} → (ℕ × {0}) Fn ℕ)
7472, 73ax-mp 5 . . . . 5 (ℕ × {0}) Fn ℕ
75 eqfnfv 6795 . . . . 5 ((((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) Fn ℕ ∧ (ℕ × {0}) Fn ℕ) → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘)))
7671, 74, 75sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘)))
7767, 76mpbird 258 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵)) ∘ 𝐹) = (ℕ × {0}))
78 fvex 6677 . . . . 5 ( ⇝𝑣𝐹) ∈ V
7978hlimveci 28895 . . . 4 (𝐹𝑣 ( ⇝𝑣𝐹) → ( ⇝𝑣𝐹) ∈ ℋ)
80 oveq1 7152 . . . . 5 (𝑥 = ( ⇝𝑣𝐹) → (𝑥 ·ih 𝐵) = (( ⇝𝑣𝐹) ·ih 𝐵))
81 ovex 7178 . . . . 5 (( ⇝𝑣𝐹) ·ih 𝐵) ∈ V
8280, 48, 81fvmpt 6762 . . . 4 (( ⇝𝑣𝐹) ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘( ⇝𝑣𝐹)) = (( ⇝𝑣𝐹) ·ih 𝐵))
8316, 79, 823syl 18 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐵))‘( ⇝𝑣𝐹)) = (( ⇝𝑣𝐹) ·ih 𝐵))
8439, 77, 833brtr3d 5089 . 2 (𝜑 → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))(( ⇝𝑣𝐹) ·ih 𝐵))
851cnfldtopon 23320 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
8685a1i 11 . . 3 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
87 0cnd 10623 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
88 1zzd 12002 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
89 nnuz 12270 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
9089lmconst 21799 . . 3 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
9186, 87, 88, 90syl3anc 1363 . 2 (𝜑 → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
923, 84, 91lmmo 21918 1 (𝜑 → (( ⇝𝑣𝐹) ·ih 𝐵) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3138  wrex 3139  wss 3935  {csn 4559  cop 4565   class class class wbr 5058  cmpt 5138   × cxp 5547  dom cdm 5549  cres 5551  ccom 5553  Fun wfun 6343   Fn wfn 6344  wf 6345  cfv 6349  (class class class)co 7145  m cmap 8396  cc 10524  0cc0 10526  1c1 10527  cn 11627  cz 11970  TopOpenctopn 16685  ∞Metcxmet 20460  MetOpencmopn 20465  fldccnfld 20475  TopOnctopon 21448   Cn ccn 21762  𝑡clm 21764  Hauscha 21846   ×t ctx 22098  NrmCVeccnv 28289  chba 28624   + cva 28625   · csm 28626   ·ih csp 28627  normcno 28628   cmv 28630  Cauchyccauold 28631  𝑣 chli 28632  cort 28635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606  ax-hilex 28704  ax-hfvadd 28705  ax-hvcom 28706  ax-hvass 28707  ax-hv0cl 28708  ax-hvaddid 28709  ax-hfvmul 28710  ax-hvmulid 28711  ax-hvmulass 28712  ax-hvdistr1 28713  ax-hvdistr2 28714  ax-hvmul0 28715  ax-hfi 28784  ax-his1 28787  ax-his2 28788  ax-his3 28789  ax-his4 28790  ax-hcompl 28907
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-sum 15033  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17891  df-mnd 17902  df-submnd 17947  df-mulg 18165  df-cntz 18387  df-cmn 18839  df-psmet 20467  df-xmet 20468  df-met 20469  df-bl 20470  df-mopn 20471  df-cnfld 20476  df-top 21432  df-topon 21449  df-topsp 21471  df-bases 21484  df-cn 21765  df-cnp 21766  df-lm 21767  df-haus 21853  df-tx 22100  df-hmeo 22293  df-xms 22859  df-ms 22860  df-tms 22861  df-grpo 28198  df-gid 28199  df-ginv 28200  df-gdiv 28201  df-ablo 28250  df-vc 28264  df-nv 28297  df-va 28300  df-ba 28301  df-sm 28302  df-0v 28303  df-vs 28304  df-nmcv 28305  df-ims 28306  df-dip 28406  df-hnorm 28673  df-hvsub 28676  df-hlim 28677  df-sh 28912  df-oc 28957
This theorem is referenced by:  occl  29009
  Copyright terms: Public domain W3C validator