MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngciso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngciso 20655
Description: An isomorphism in the category of non-unital rings is a bijection. (Contributed by AV, 28-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcsect.c 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcsect.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
rngcsect.u (𝜑𝑈𝑉)
rngcsect.x (𝜑𝑋𝐵)
rngcsect.y (𝜑𝑌𝐵)
rngciso.n 𝐼 = (Iso‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
rngciso (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 RngIso 𝑌)))

Proof of Theorem rngciso
StepHypRef Expression
1 rngcsect.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 eqid 2735 . . . 4 (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3 rngcsect.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑉)
4 rngcsect.c . . . . . 6 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
54rngccat 20651 . . . . 5 (𝑈𝑉𝐶 ∈ Cat)
63, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
7 rngcsect.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
8 rngcsect.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
9 rngciso.n . . . 4 𝐼 = (Iso‘𝐶)
101, 2, 6, 7, 8, 9isoval 17813 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
1110eleq2d 2825 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
121, 2, 6, 7, 8invfun 17812 . . . . 5 (𝜑 → Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
13 funfvbrb 7071 . . . . 5 (Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹)))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹)))
154, 1, 3, 7, 8, 2rngcinv 20654 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngIso 𝑌) ∧ ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) = 𝐹)))
16 simpl 482 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑋 RngIso 𝑌) ∧ ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) = 𝐹) → 𝐹 ∈ (𝑋 RngIso 𝑌))
1715, 16biimtrdi 253 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) → 𝐹 ∈ (𝑋 RngIso 𝑌)))
1814, 17sylbid 240 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → 𝐹 ∈ (𝑋 RngIso 𝑌)))
19 eqid 2735 . . . 4 𝐹 = 𝐹
204, 1, 3, 7, 8, 2rngcinv 20654 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝐹 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngIso 𝑌) ∧ 𝐹 = 𝐹)))
21 funrel 6585 . . . . . . 7 (Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
2212, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
23 releldm 5958 . . . . . . 7 ((Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝐹) → 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
2423ex 412 . . . . . 6 (Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝐹𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
2522, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝐹𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
2620, 25sylbird 260 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋 RngIso 𝑌) ∧ 𝐹 = 𝐹) → 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
2719, 26mpan2i 697 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋 RngIso 𝑌) → 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
2818, 27impbid 212 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 RngIso 𝑌)))
2911, 28bitrd 279 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 RngIso 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  ccnv 5688  dom cdm 5689  Rel wrel 5694  Fun wfun 6557  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  Catccat 17709  Invcinv 17793  Isociso 17794   RngIso crngim 20452  RngCatcrngc 20633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-cat 17713  df-cid 17714  df-homf 17715  df-sect 17795  df-inv 17796  df-iso 17797  df-ssc 17858  df-resc 17859  df-subc 17860  df-estrc 18178  df-mgm 18666  df-mgmhm 18718  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-ghm 19244  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-rnghm 20453  df-rngim 20454  df-rngc 20634
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator