Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngciso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngciso 45074
Description: An isomorphism in the category of non-unital rings is a bijection. (Contributed by AV, 28-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcsect.c 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcsect.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
rngcsect.u (𝜑𝑈𝑉)
rngcsect.x (𝜑𝑋𝐵)
rngcsect.y (𝜑𝑌𝐵)
rngciso.n 𝐼 = (Iso‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
rngciso (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌)))

Proof of Theorem rngciso
StepHypRef Expression
1 rngcsect.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 eqid 2738 . . . 4 (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3 rngcsect.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑉)
4 rngcsect.c . . . . . 6 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
54rngccat 45070 . . . . 5 (𝑈𝑉𝐶 ∈ Cat)
63, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
7 rngcsect.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
8 rngcsect.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
9 rngciso.n . . . 4 𝐼 = (Iso‘𝐶)
101, 2, 6, 7, 8, 9isoval 17140 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
1110eleq2d 2818 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
121, 2, 6, 7, 8invfun 17139 . . . . 5 (𝜑 → Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
13 funfvbrb 6828 . . . . 5 (Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹)))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹)))
154, 1, 3, 7, 8, 2rngcinv 45073 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌) ∧ ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) = 𝐹)))
16 simpl 486 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌) ∧ ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) = 𝐹) → 𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌))
1715, 16syl6bi 256 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) → 𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌)))
1814, 17sylbid 243 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → 𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌)))
19 eqid 2738 . . . 4 𝐹 = 𝐹
204, 1, 3, 7, 8, 2rngcinv 45073 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝐹 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌) ∧ 𝐹 = 𝐹)))
21 funrel 6356 . . . . . . 7 (Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
2212, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
23 releldm 5787 . . . . . . 7 ((Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝐹) → 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
2423ex 416 . . . . . 6 (Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝐹𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
2522, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝐹𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
2620, 25sylbird 263 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌) ∧ 𝐹 = 𝐹) → 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
2719, 26mpan2i 697 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌) → 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
2818, 27impbid 215 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌)))
2911, 28bitrd 282 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114   class class class wbr 5030  ccnv 5524  dom cdm 5525  Rel wrel 5530  Fun wfun 6333  cfv 6339  (class class class)co 7170  Basecbs 16586  Catccat 17038  Invcinv 17120  Isociso 17121   RngIsom crngs 44978  RngCatcrngc 45049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-fz 12982  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-hom 16692  df-cco 16693  df-0g 16818  df-cat 17042  df-cid 17043  df-homf 17044  df-sect 17122  df-inv 17123  df-iso 17124  df-ssc 17185  df-resc 17186  df-subc 17187  df-estrc 17489  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-mhm 18072  df-grp 18222  df-ghm 18474  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-mgmhm 44867  df-rng0 44967  df-rnghomo 44979  df-rngisom 44980  df-rngc 45051
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator