Theorem rngciso 42551

Description: An isomorphism in the category of non-unital rings is a bijection. (Contributed by AV, 28-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcsect.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcsect.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rngcsect.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcsect.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rngcsect.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
rngciso.n	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rngciso	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌)))

Proof of Theorem rngciso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcsect.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2813	. . . 4 ⊢ (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3		rngcsect.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		rngcsect.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
5	4	rngccat 42547	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
6	3, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
7		rngcsect.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		rngcsect.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		rngciso.n	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
10	1, 2, 6, 7, 8, 9	isoval 16632	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
11	10	eleq2d 2878	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
12	1, 2, 6, 7, 8	invfun 16631	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
13		funfvbrb 6555	. . . . 5 ⊢ (Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹)))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹)))
15	4, 1, 3, 7, 8, 2	rngcinv 42550	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌) ∧ ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) = ◡𝐹)))
16		simpl 470	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌) ∧ ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) = ◡𝐹) → 𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌))
17	15, 16	syl6bi 244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) → 𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌)))
18	14, 17	sylbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → 𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌)))
19		eqid 2813	. . . 4 ⊢ ◡𝐹 = ◡𝐹
20	4, 1, 3, 7, 8, 2	rngcinv 42550	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)◡𝐹 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌) ∧ ◡𝐹 = ◡𝐹)))
21		funrel 6121	. . . . . . 7 ⊢ (Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
22	12, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
23		releldm 5566	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)◡𝐹) → 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
24	23	ex 399	. . . . . 6 ⊢ (Rel (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)◡𝐹 → 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
25	22, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)◡𝐹 → 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
26	20, 25	sylbird 251	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌) ∧ ◡𝐹 = ◡𝐹) → 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
27	19, 26	mpan2i 680	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌) → 𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)))
28	18, 27	impbid 203	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌)))
29	11, 28	bitrd 270	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 RngIsom 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   = wceq 1637   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4851  ^◡ccnv 5317  dom cdm 5318  Rel wrel 5323  Fun wfun 6098  ‘cfv 6104  (class class class)co 6877  Basecbs 16071  Catccat 16532  Invcinv 16612  Isociso 16613   RngIsom crngs 42455  RngCatcrngc 42526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-4 11369  df-5 11370  df-6 11371  df-7 11372  df-8 11373  df-9 11374  df-n0 11563  df-z 11647  df-dec 11763  df-uz 11908  df-fz 12553  df-struct 16073  df-ndx 16074  df-slot 16075  df-base 16077  df-sets 16078  df-ress 16079  df-plusg 16169  df-hom 16180  df-cco 16181  df-0g 16310  df-cat 16536  df-cid 16537  df-homf 16538  df-sect 16614  df-inv 16615  df-iso 16616  df-ssc 16677  df-resc 16678  df-subc 16679  df-estrc 16970  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-grp 17633  df-ghm 17863  df-abl 18400  df-mgp 18695  df-mgmhm 42348  df-rng0 42444  df-rnghomo 42456  df-rngisom 42457  df-rngc 42528

This theorem is referenced by: (None)