Theorem mulgaddcomlem 19027

Description: Lemma for mulgaddcom 19028. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgaddcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgaddcom.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgaddcom.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgaddcomlem	⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgaddcomlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → 𝐺 ∈ Grp)
3		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		znegcl 12526	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
6		mulgaddcom.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		mulgaddcom.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
8	6, 7	mulgcl 19021	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
9	5, 8	syl3an2 1164	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
11		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
12	6, 11	grpinvcl 18917	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)
13	12	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)
15		mulgaddcom.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
16	6, 15	grpass 18872	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) = (𝑋 + ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘𝑋))))
17	2, 4, 10, 14, 16	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) = (𝑋 + ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘𝑋))))
18	6, 7, 11	mulgneg 19022	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)))
19	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)))
20	19	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)))
21	6, 7	mulgcl 19021	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
22	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
23	6, 15, 11	grpinvadd 18948	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)))
24	2, 4, 22, 23	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg‘𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)))
25	19	oveq2d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘𝑋) + ((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋))))
26	6, 15, 11	grpinvadd 18948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘𝑋) + ((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋))))
27	2, 22, 4, 26	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg‘𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘𝑋) + ((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋))))
28		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))))
29	28	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg‘𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))))
30	25, 27, 29	3eqtr2rd 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg‘𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) = (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋)))
31	20, 24, 30	3eqtr2d 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋)))
32	31	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘𝑋))) = (𝑋 + (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋))))
33	6, 15, 11	grpasscan1 18931	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑋 + (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋))) = (-𝑦 · 𝑋))
34	2, 4, 10, 33	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋))) = (-𝑦 · 𝑋))
35	17, 32, 34	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) = (-𝑦 · 𝑋))
36	35	oveq1d 7373	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) + 𝑋) = ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
37	6, 15	grpcl 18871	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
38	1, 3, 9, 37	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
39	38	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
40	6, 15, 11	grpasscan2 18932	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
41	2, 39, 4, 40	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
42	36, 41	eqtr3d 2773	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  -cneg 11365  ℤcz 12488  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  Grpcgrp 18863  inv_gcminusg 18864  ._gcmg 18997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-seq 13925  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18998

This theorem is referenced by:  mulgaddcom  19028