MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgaddcomlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgaddcomlem 19091
Description: Lemma for mulgaddcom 19092. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgaddcom.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgaddcom.t · = (.g𝐺)
mulgaddcom.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgaddcomlem (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgaddcomlem
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
21adantr 479 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → 𝐺 ∈ Grp)
3 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
43adantr 479 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → 𝑋𝐵)
5 znegcl 12649 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
6 mulgaddcom.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 mulgaddcom.t . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
86, 7mulgcl 19085 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
95, 8syl3an2 1161 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
109adantr 479 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
11 eqid 2726 . . . . . . . 8 (invg𝐺) = (invg𝐺)
126, 11grpinvcl 18982 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)
13123adant2 1128 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)
1413adantr 479 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)
15 mulgaddcom.p . . . . . 6 + = (+g𝐺)
166, 15grpass 18937 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵 ∧ (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘𝑋)) = (𝑋 + ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg𝐺)‘𝑋))))
172, 4, 10, 14, 16syl13anc 1369 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘𝑋)) = (𝑋 + ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg𝐺)‘𝑋))))
186, 7, 11mulgneg 19086 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)))
1918adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)))
2019oveq1d 7439 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg𝐺)‘𝑋)) = (((invg𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘𝑋)))
216, 7mulgcl 19085 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
2221adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
236, 15, 11grpinvadd 19012 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((invg𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) = (((invg𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘𝑋)))
242, 4, 22, 23syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) = (((invg𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘𝑋)))
2519oveq2d 7440 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((invg𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋)) = (((invg𝐺)‘𝑋) + ((invg𝐺)‘(𝑦 · 𝑋))))
266, 15, 11grpinvadd 19012 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((invg𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = (((invg𝐺)‘𝑋) + ((invg𝐺)‘(𝑦 · 𝑋))))
272, 22, 4, 26syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = (((invg𝐺)‘𝑋) + ((invg𝐺)‘(𝑦 · 𝑋))))
28 fveq2 6901 . . . . . . . 8 (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((invg𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = ((invg𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))))
2928adantl 480 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = ((invg𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))))
3025, 27, 293eqtr2rd 2773 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) = (((invg𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋)))
3120, 24, 303eqtr2d 2772 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg𝐺)‘𝑋)) = (((invg𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋)))
3231oveq2d 7440 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg𝐺)‘𝑋))) = (𝑋 + (((invg𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋))))
336, 15, 11grpasscan1 18996 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑋 + (((invg𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋))) = (-𝑦 · 𝑋))
342, 4, 10, 33syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + (((invg𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋))) = (-𝑦 · 𝑋))
3517, 32, 343eqtrd 2770 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘𝑋)) = (-𝑦 · 𝑋))
3635oveq1d 7439 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘𝑋)) + 𝑋) = ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
376, 15grpcl 18936 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
381, 3, 9, 37syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
3938adantr 479 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
406, 15, 11grpasscan2 18997 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → (((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
412, 39, 4, 40syl3anc 1368 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
4236, 41eqtr3d 2768 1 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6554  (class class class)co 7424  -cneg 11495  cz 12610  Basecbs 17213  +gcplusg 17266  Grpcgrp 18928  invgcminusg 18929  .gcmg 19061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-seq 14022  df-0g 17456  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-mulg 19062
This theorem is referenced by:  mulgaddcom  19092
  Copyright terms: Public domain W3C validator