MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgaddcomlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgaddcomlem 19128
Description: Lemma for mulgaddcom 19129. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgaddcom.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgaddcom.t · = (.g𝐺)
mulgaddcom.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgaddcomlem (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgaddcomlem
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
21adantr 480 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → 𝐺 ∈ Grp)
3 simp3 1137 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
43adantr 480 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → 𝑋𝐵)
5 znegcl 12650 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
6 mulgaddcom.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 mulgaddcom.t . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
86, 7mulgcl 19122 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
95, 8syl3an2 1163 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
109adantr 480 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
11 eqid 2735 . . . . . . . 8 (invg𝐺) = (invg𝐺)
126, 11grpinvcl 19018 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)
13123adant2 1130 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)
1413adantr 480 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)
15 mulgaddcom.p . . . . . 6 + = (+g𝐺)
166, 15grpass 18973 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵 ∧ (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘𝑋)) = (𝑋 + ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg𝐺)‘𝑋))))
172, 4, 10, 14, 16syl13anc 1371 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘𝑋)) = (𝑋 + ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg𝐺)‘𝑋))))
186, 7, 11mulgneg 19123 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)))
1918adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)))
2019oveq1d 7446 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg𝐺)‘𝑋)) = (((invg𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘𝑋)))
216, 7mulgcl 19122 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
2221adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
236, 15, 11grpinvadd 19049 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((invg𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) = (((invg𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘𝑋)))
242, 4, 22, 23syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) = (((invg𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘𝑋)))
2519oveq2d 7447 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((invg𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋)) = (((invg𝐺)‘𝑋) + ((invg𝐺)‘(𝑦 · 𝑋))))
266, 15, 11grpinvadd 19049 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((invg𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = (((invg𝐺)‘𝑋) + ((invg𝐺)‘(𝑦 · 𝑋))))
272, 22, 4, 26syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = (((invg𝐺)‘𝑋) + ((invg𝐺)‘(𝑦 · 𝑋))))
28 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((invg𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = ((invg𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))))
2928adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = ((invg𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))))
3025, 27, 293eqtr2rd 2782 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) = (((invg𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋)))
3120, 24, 303eqtr2d 2781 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg𝐺)‘𝑋)) = (((invg𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋)))
3231oveq2d 7447 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg𝐺)‘𝑋))) = (𝑋 + (((invg𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋))))
336, 15, 11grpasscan1 19032 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑋 + (((invg𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋))) = (-𝑦 · 𝑋))
342, 4, 10, 33syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + (((invg𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋))) = (-𝑦 · 𝑋))
3517, 32, 343eqtrd 2779 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘𝑋)) = (-𝑦 · 𝑋))
3635oveq1d 7446 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘𝑋)) + 𝑋) = ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
376, 15grpcl 18972 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
381, 3, 9, 37syl3anc 1370 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
3938adantr 480 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
406, 15, 11grpasscan2 19033 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → (((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
412, 39, 4, 40syl3anc 1370 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
4236, 41eqtr3d 2777 1 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  -cneg 11491  cz 12611  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965  .gcmg 19098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099
This theorem is referenced by:  mulgaddcom  19129
  Copyright terms: Public domain W3C validator