MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgaddcomlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgaddcomlem 19014
Description: Lemma for mulgaddcom 19015. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgaddcom.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgaddcom.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgaddcom.p + = (+gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgaddcomlem (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)))

Proof of Theorem mulgaddcomlem
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
21adantr 480 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
3 simp3 1137 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
43adantr 480 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
5 znegcl 12602 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
6 mulgaddcom.b . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
7 mulgaddcom.t . . . . . . . 8 ยท = (.gโ€˜๐บ)
86, 7mulgcl 19008 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง -๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
95, 8syl3an2 1163 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
109adantr 480 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
11 eqid 2731 . . . . . . . 8 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
126, 11grpinvcl 18909 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
13123adant2 1130 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
1413adantr 480 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
15 mulgaddcom.p . . . . . 6 + = (+gโ€˜๐บ)
166, 15grpass 18865 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹)) = (๐‘‹ + ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹))))
172, 4, 10, 14, 16syl13anc 1371 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ ((๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹)) = (๐‘‹ + ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹))))
186, 7, 11mulgneg 19009 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘‹)))
1918adantr 480 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘‹)))
2019oveq1d 7427 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹)) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹)))
216, 7mulgcl 19008 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
2221adantr 480 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
236, 15, 11grpinvadd 18938 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹)))
242, 4, 22, 23syl3anc 1370 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹)))
2519oveq2d 7428 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘‹))))
266, 15, 11grpinvadd 18938 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹)) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘‹))))
272, 22, 4, 26syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹)) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘‹))))
28 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹)) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))))
2928adantl 481 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹)) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))))
3025, 27, 293eqtr2rd 2778 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)))
3120, 24, 303eqtr2d 2777 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹)) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)))
3231oveq2d 7428 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ (๐‘‹ + ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹))) = (๐‘‹ + (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹))))
336, 15, 11grpasscan1 18923 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ + (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) = (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹))
342, 4, 10, 33syl3anc 1370 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ (๐‘‹ + (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) = (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹))
3517, 32, 343eqtrd 2775 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ ((๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹)) = (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹))
3635oveq1d 7427 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ (((๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹)) + ๐‘‹) = ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹))
376, 15grpcl 18864 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต)
381, 3, 9, 37syl3anc 1370 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต)
3938adantr 480 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ (๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต)
406, 15, 11grpasscan2 18924 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹)) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)))
412, 39, 4, 40syl3anc 1370 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ (((๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹)) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)))
4236, 41eqtr3d 2773 1 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  -cneg 11450  โ„คcz 12563  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  Grpcgrp 18856  invgcminusg 18857  .gcmg 18987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-seq 13972  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-mulg 18988
This theorem is referenced by:  mulgaddcom  19015
  Copyright terms: Public domain W3C validator