Theorem mulgaddcomlem 19129

Description: Lemma for mulgaddcom 19130. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgaddcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgaddcom.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgaddcom.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgaddcomlem	⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgaddcomlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
2	1	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → 𝐺 ∈ Grp)
3		simp3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4	3	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		znegcl 12599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
6		mulgaddcom.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		mulgaddcom.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
8	6, 7	mulgcl 19123	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
9	5, 8	syl3an2 1176	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
10	9	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
11		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
12	6, 11	grpinvcl 19019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)
13	12	3adant2 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)
14	13	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)
15		mulgaddcom.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
16	6, 15	grpass 18974	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) = (𝑋 + ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘𝑋))))
17	2, 4, 10, 14, 16	syl13anc 1390	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) = (𝑋 + ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘𝑋))))
18	6, 7, 11	mulgneg 19124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)))
19	18	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)))
20	19	oveq1d 7405	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)))
21	6, 7	mulgcl 19123	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
22	21	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
23	6, 15, 11	grpinvadd 19050	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)))
24	2, 4, 22, 23	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg‘𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)))
25	19	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘𝑋) + ((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋))))
26	6, 15, 11	grpinvadd 19050	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘𝑋) + ((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋))))
27	2, 22, 4, 26	syl3anc 1389	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg‘𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘𝑋) + ((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋))))
28		fveq2 6861	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))))
29	28	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg‘𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))))
30	25, 27, 29	3eqtr2rd 2803	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg‘𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) = (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋)))
31	20, 24, 30	3eqtr2d 2802	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋)))
32	31	oveq2d 7406	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘𝑋))) = (𝑋 + (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋))))
33	6, 15, 11	grpasscan1 19033	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑋 + (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋))) = (-𝑦 · 𝑋))
34	2, 4, 10, 33	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋))) = (-𝑦 · 𝑋))
35	17, 32, 34	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) = (-𝑦 · 𝑋))
36	35	oveq1d 7405	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) + 𝑋) = ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
37	6, 15	grpcl 18973	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
38	1, 3, 9, 37	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
39	38	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
40	6, 15, 11	grpasscan2 19034	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
41	2, 39, 4, 40	syl3anc 1389	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
42	36, 41	eqtr3d 2798	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  -cneg 11408  ℤcz 12561  Basecbs 17235  +_gcplusg 17276  Grpcgrp 18965  inv_gcminusg 18966  ._gcmg 19099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-fz 13506  df-seq 14008  df-0g 17460  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-grp 18968  df-minusg 18969  df-mulg 19100

This theorem is referenced by:  mulgaddcom  19130