MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqgcpbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqgcpbl 17965
Description: The subgroup coset equivalence relation is compatible with addition when the subgroup is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqger.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
eqger.r = (𝐺 ~QG 𝑌)
eqgcpbl.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
eqgcpbl (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝐴 𝐶𝐵 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) (𝐶 + 𝐷)))

Proof of Theorem eqgcpbl
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 17943 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
21adantr 473 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 subgrcl 17916 . . . . 5 (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝐺 ∈ Grp)
5 simprl 788 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝐴 𝐶)
6 eqger.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝐺)
76subgss 17912 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑌𝑋)
82, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝑌𝑋)
9 eqid 2803 . . . . . . . 8 (invg𝐺) = (invg𝐺)
10 eqgcpbl.p . . . . . . . 8 + = (+g𝐺)
11 eqger.r . . . . . . . 8 = (𝐺 ~QG 𝑌)
126, 9, 10, 11eqgval 17960 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑋) → (𝐴 𝐶 ↔ (𝐴𝑋𝐶𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌)))
134, 8, 12syl2anc 580 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐴 𝐶 ↔ (𝐴𝑋𝐶𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌)))
145, 13mpbid 224 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐴𝑋𝐶𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌))
1514simp1d 1173 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝐴𝑋)
16 simprr 790 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝐵 𝐷)
176, 9, 10, 11eqgval 17960 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑋) → (𝐵 𝐷 ↔ (𝐵𝑋𝐷𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌)))
184, 8, 17syl2anc 580 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐵 𝐷 ↔ (𝐵𝑋𝐷𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌)))
1916, 18mpbid 224 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐵𝑋𝐷𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌))
2019simp1d 1173 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝐵𝑋)
216, 10grpcl 17750 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
224, 15, 20, 21syl3anc 1491 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
2314simp2d 1174 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝐶𝑋)
2419simp2d 1174 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝐷𝑋)
256, 10grpcl 17750 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐶𝑋𝐷𝑋) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋)
264, 23, 24, 25syl3anc 1491 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋)
276, 10, 9grpinvadd 17813 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((invg𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) = (((invg𝐺)‘𝐵) + ((invg𝐺)‘𝐴)))
284, 15, 20, 27syl3anc 1491 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((invg𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) = (((invg𝐺)‘𝐵) + ((invg𝐺)‘𝐴)))
2928oveq1d 6897 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) = ((((invg𝐺)‘𝐵) + ((invg𝐺)‘𝐴)) + (𝐶 + 𝐷)))
306, 9grpinvcl 17787 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑋) → ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
314, 20, 30syl2anc 580 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
326, 9grpinvcl 17787 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
334, 15, 32syl2anc 580 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
346, 10grpass 17751 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝐵) + ((invg𝐺)‘𝐴)) + (𝐶 + 𝐷)) = (((invg𝐺)‘𝐵) + (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))))
354, 31, 33, 26, 34syl13anc 1492 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((((invg𝐺)‘𝐵) + ((invg𝐺)‘𝐴)) + (𝐶 + 𝐷)) = (((invg𝐺)‘𝐵) + (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))))
3629, 35eqtrd 2837 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) = (((invg𝐺)‘𝐵) + (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))))
376, 10grpass 17751 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋𝐶𝑋𝐷𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) = (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)))
384, 33, 23, 24, 37syl13anc 1492 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) = (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)))
3938oveq1d 6897 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) + ((invg𝐺)‘𝐵)) = ((((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg𝐺)‘𝐵)))
406, 10grpcl 17750 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋𝐶𝑋) → (((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑋)
414, 33, 23, 40syl3anc 1491 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑋)
426, 10grpass 17751 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑋𝐷𝑋 ∧ ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)) → (((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) + ((invg𝐺)‘𝐵)) = ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵))))
434, 41, 24, 31, 42syl13anc 1492 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) + ((invg𝐺)‘𝐵)) = ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵))))
4439, 43eqtr3d 2839 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg𝐺)‘𝐵)) = ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵))))
4514simp3d 1175 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌)
4619simp3d 1175 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌)
47 simpl 475 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
486, 10nsgbi 17942 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋𝐷𝑋) → ((((invg𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌 ↔ (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌))
4947, 31, 24, 48syl3anc 1491 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((((invg𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌 ↔ (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌))
5046, 49mpbid 224 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌)
5110subgcl 17921 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌 ∧ (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌) → ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵))) ∈ 𝑌)
522, 45, 50, 51syl3anc 1491 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵))) ∈ 𝑌)
5344, 52eqeltrd 2882 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌)
546, 10grpcl 17750 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋) → (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑋)
554, 33, 26, 54syl3anc 1491 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑋)
566, 10nsgbi 17942 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑋 ∧ ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋) → (((((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌 ↔ (((invg𝐺)‘𝐵) + (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))) ∈ 𝑌))
5747, 55, 31, 56syl3anc 1491 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌 ↔ (((invg𝐺)‘𝐵) + (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))) ∈ 𝑌))
5853, 57mpbid 224 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘𝐵) + (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))) ∈ 𝑌)
5936, 58eqeltrd 2882 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑌)
606, 9, 10, 11eqgval 17960 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑋) → ((𝐴 + 𝐵) (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑌)))
614, 8, 60syl2anc 580 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐵) (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑌)))
6222, 26, 59, 61mpbir3and 1443 . 2 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) (𝐶 + 𝐷))
6362ex 402 1 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝐴 𝐶𝐵 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) (𝐶 + 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wss 3773   class class class wbr 4847  cfv 6105  (class class class)co 6882  Basecbs 16188  +gcplusg 16271  Grpcgrp 17742  invgcminusg 17743  SubGrpcsubg 17905  NrmSGrpcnsg 17906   ~QG cqg 17907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2379  ax-ext 2781  ax-rep 4968  ax-sep 4979  ax-nul 4987  ax-pow 5039  ax-pr 5101  ax-un 7187  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2593  df-eu 2611  df-clab 2790  df-cleq 2796  df-clel 2799  df-nfc 2934  df-ne 2976  df-nel 3079  df-ral 3098  df-rex 3099  df-reu 3100  df-rmo 3101  df-rab 3102  df-v 3391  df-sbc 3638  df-csb 3733  df-dif 3776  df-un 3778  df-in 3780  df-ss 3787  df-pss 3789  df-nul 4120  df-if 4282  df-pw 4355  df-sn 4373  df-pr 4375  df-tp 4377  df-op 4379  df-uni 4633  df-iun 4716  df-br 4848  df-opab 4910  df-mpt 4927  df-tr 4950  df-id 5224  df-eprel 5229  df-po 5237  df-so 5238  df-fr 5275  df-we 5277  df-xp 5322  df-rel 5323  df-cnv 5324  df-co 5325  df-dm 5326  df-rn 5327  df-res 5328  df-ima 5329  df-pred 5902  df-ord 5948  df-on 5949  df-lim 5950  df-suc 5951  df-iota 6068  df-fun 6107  df-fn 6108  df-f 6109  df-f1 6110  df-fo 6111  df-f1o 6112  df-fv 6113  df-riota 6843  df-ov 6885  df-oprab 6886  df-mpt2 6887  df-om 7304  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-er 7986  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-pnf 10369  df-mnf 10370  df-xr 10371  df-ltxr 10372  df-le 10373  df-sub 10562  df-neg 10563  df-nn 11317  df-2 11380  df-ndx 16191  df-slot 16192  df-base 16194  df-sets 16195  df-ress 16196  df-plusg 16284  df-0g 16421  df-mgm 17561  df-sgrp 17603  df-mnd 17614  df-grp 17745  df-minusg 17746  df-subg 17908  df-nsg 17909  df-eqg 17910
This theorem is referenced by:  qusgrp  17966  qusadd  17968  qus1  19562
  Copyright terms: Public domain W3C validator