Theorem eqgcpbl 19206

Description: The subgroup coset equivalence relation is compatible with addition when the subgroup is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqger.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
eqger.r	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑌)
eqgcpbl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
eqgcpbl	⊢ (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ∼ (𝐶 + 𝐷)))

Proof of Theorem eqgcpbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 19182	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2	1	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		subgrcl 19156	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝐺 ∈ Grp)
5		simprl 780	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝐴 ∼ 𝐶)
6		eqger.x	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
7	6	subgss 19152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
8	2, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
9		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
10		eqgcpbl.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11		eqger.r	. . . . . . . 8 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑌)
12	6, 9, 10, 11	eqgval 19201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∼ 𝐶 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌)))
13	4, 8, 12	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐴 ∼ 𝐶 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌)))
14	5, 13	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌))
15	14	simp1d 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
16		simprr 782	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝐵 ∼ 𝐷)
17	6, 9, 10, 11	eqgval 19201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐵 ∼ 𝐷 ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌)))
18	4, 8, 17	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐵 ∼ 𝐷 ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌)))
19	16, 18	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌))
20	19	simp1d 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
21	6, 10	grpcl 18966	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
22	4, 15, 20, 21	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
23	14	simp2d 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑋)
24	19	simp2d 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑋)
25	6, 10	grpcl 18966	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋)
26	4, 23, 24, 25	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋)
27	6, 10, 9	grpinvadd 19043	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) + ((invg‘𝐺)‘𝐴)))
28	4, 15, 20, 27	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((invg‘𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) + ((invg‘𝐺)‘𝐴)))
29	28	oveq1d 7407	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) = ((((invg‘𝐺)‘𝐵) + ((invg‘𝐺)‘𝐴)) + (𝐶 + 𝐷)))
30	6, 9	grpinvcl 19012	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
31	4, 20, 30	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
32	6, 9	grpinvcl 19012	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
33	4, 15, 32	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
34	6, 10	grpass 18967	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵) + ((invg‘𝐺)‘𝐴)) + (𝐶 + 𝐷)) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) + (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))))
35	4, 31, 33, 26, 34	syl13anc 1390	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵) + ((invg‘𝐺)‘𝐴)) + (𝐶 + 𝐷)) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) + (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))))
36	29, 35	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) + (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))))
37	6, 10	grpass 18967	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) = (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)))
38	4, 33, 23, 24, 37	syl13anc 1390	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) = (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)))
39	38	oveq1d 7407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) = ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)))
40	6, 10	grpcl 18966	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑋)
41	4, 33, 23, 40	syl3anc 1389	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑋)
42	6, 10	grpass 18967	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)) → (((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) = ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵))))
43	4, 41, 24, 31, 42	syl13anc 1390	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) = ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵))))
44	39, 43	eqtr3d 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) = ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵))))
45	14	simp3d 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌)
46	19	simp3d 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌)
47		simpl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
48	6, 10	nsgbi 19181	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌 ↔ (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌))
49	47, 31, 24, 48	syl3anc 1389	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌 ↔ (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌))
50	46, 49	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌)
51	10	subgcl 19161	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌 ∧ (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌) → ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵))) ∈ 𝑌)
52	2, 45, 50, 51	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵))) ∈ 𝑌)
53	44, 52	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌)
54	6, 10	grpcl 18966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋) → (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑋)
55	4, 33, 26, 54	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑋)
56	6, 10	nsgbi 19181	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑋 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋) → (((((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝐵) + (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))) ∈ 𝑌))
57	47, 55, 31, 56	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝐵) + (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))) ∈ 𝑌))
58	53, 57	mpbid 234	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘𝐵) + (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))) ∈ 𝑌)
59	36, 58	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑌)
60	6, 9, 10, 11	eqgval 19201	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → ((𝐴 + 𝐵) ∼ (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑌)))
61	4, 8, 60	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐵) ∼ (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑌)))
62	22, 26, 59, 61	mpbir3and 1355	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) ∼ (𝐶 + 𝐷))
63	62	ex 416	1 ⊢ (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ∼ (𝐶 + 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  +_gcplusg 17269  Grpcgrp 18958  inv_gcminusg 18959  SubGrpcsubg 19145  NrmSGrpcnsg 19146   ~_QG cqg 19147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-subg 19148  df-nsg 19149  df-eqg 19150

This theorem is referenced by:  qusgrp  19210  qusadd  19212  qus0subgadd  19223  qus2idrng  21323  qus1  21324  quslmod  33505