MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqgcpbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqgcpbl 18985
Description: The subgroup coset equivalence relation is compatible with addition when the subgroup is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqger.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
eqger.r = (𝐺 ~QG 𝑌)
eqgcpbl.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
eqgcpbl (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝐴 𝐶𝐵 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) (𝐶 + 𝐷)))

Proof of Theorem eqgcpbl
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 18961 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
21adantr 482 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 subgrcl 18934 . . . . 5 (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝐺 ∈ Grp)
5 simprl 770 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝐴 𝐶)
6 eqger.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝐺)
76subgss 18930 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑌𝑋)
82, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝑌𝑋)
9 eqid 2737 . . . . . . . 8 (invg𝐺) = (invg𝐺)
10 eqgcpbl.p . . . . . . . 8 + = (+g𝐺)
11 eqger.r . . . . . . . 8 = (𝐺 ~QG 𝑌)
126, 9, 10, 11eqgval 18980 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑋) → (𝐴 𝐶 ↔ (𝐴𝑋𝐶𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌)))
134, 8, 12syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐴 𝐶 ↔ (𝐴𝑋𝐶𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌)))
145, 13mpbid 231 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐴𝑋𝐶𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌))
1514simp1d 1143 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝐴𝑋)
16 simprr 772 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝐵 𝐷)
176, 9, 10, 11eqgval 18980 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑋) → (𝐵 𝐷 ↔ (𝐵𝑋𝐷𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌)))
184, 8, 17syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐵 𝐷 ↔ (𝐵𝑋𝐷𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌)))
1916, 18mpbid 231 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐵𝑋𝐷𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌))
2019simp1d 1143 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝐵𝑋)
216, 10grpcl 18757 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
224, 15, 20, 21syl3anc 1372 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
2314simp2d 1144 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝐶𝑋)
2419simp2d 1144 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝐷𝑋)
256, 10grpcl 18757 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐶𝑋𝐷𝑋) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋)
264, 23, 24, 25syl3anc 1372 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋)
276, 10, 9grpinvadd 18826 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((invg𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) = (((invg𝐺)‘𝐵) + ((invg𝐺)‘𝐴)))
284, 15, 20, 27syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((invg𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) = (((invg𝐺)‘𝐵) + ((invg𝐺)‘𝐴)))
2928oveq1d 7373 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) = ((((invg𝐺)‘𝐵) + ((invg𝐺)‘𝐴)) + (𝐶 + 𝐷)))
306, 9grpinvcl 18799 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑋) → ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
314, 20, 30syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
326, 9grpinvcl 18799 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
334, 15, 32syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
346, 10grpass 18758 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝐵) + ((invg𝐺)‘𝐴)) + (𝐶 + 𝐷)) = (((invg𝐺)‘𝐵) + (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))))
354, 31, 33, 26, 34syl13anc 1373 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((((invg𝐺)‘𝐵) + ((invg𝐺)‘𝐴)) + (𝐶 + 𝐷)) = (((invg𝐺)‘𝐵) + (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))))
3629, 35eqtrd 2777 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) = (((invg𝐺)‘𝐵) + (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))))
376, 10grpass 18758 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋𝐶𝑋𝐷𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) = (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)))
384, 33, 23, 24, 37syl13anc 1373 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) = (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)))
3938oveq1d 7373 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) + ((invg𝐺)‘𝐵)) = ((((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg𝐺)‘𝐵)))
406, 10grpcl 18757 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋𝐶𝑋) → (((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑋)
414, 33, 23, 40syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑋)
426, 10grpass 18758 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑋𝐷𝑋 ∧ ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)) → (((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) + ((invg𝐺)‘𝐵)) = ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵))))
434, 41, 24, 31, 42syl13anc 1373 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) + ((invg𝐺)‘𝐵)) = ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵))))
4439, 43eqtr3d 2779 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg𝐺)‘𝐵)) = ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵))))
4514simp3d 1145 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌)
4619simp3d 1145 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌)
47 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
486, 10nsgbi 18960 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋𝐷𝑋) → ((((invg𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌 ↔ (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌))
4947, 31, 24, 48syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((((invg𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌 ↔ (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌))
5046, 49mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌)
5110subgcl 18939 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌 ∧ (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌) → ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵))) ∈ 𝑌)
522, 45, 50, 51syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵))) ∈ 𝑌)
5344, 52eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌)
546, 10grpcl 18757 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋) → (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑋)
554, 33, 26, 54syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑋)
566, 10nsgbi 18960 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑋 ∧ ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋) → (((((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌 ↔ (((invg𝐺)‘𝐵) + (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))) ∈ 𝑌))
5747, 55, 31, 56syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌 ↔ (((invg𝐺)‘𝐵) + (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))) ∈ 𝑌))
5853, 57mpbid 231 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘𝐵) + (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))) ∈ 𝑌)
5936, 58eqeltrd 2838 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑌)
606, 9, 10, 11eqgval 18980 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑋) → ((𝐴 + 𝐵) (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑌)))
614, 8, 60syl2anc 585 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐵) (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑌)))
6222, 26, 59, 61mpbir3and 1343 . 2 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) (𝐶 + 𝐷))
6362ex 414 1 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝐴 𝐶𝐵 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) (𝐶 + 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3911   class class class wbr 5106  cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  +gcplusg 17134  Grpcgrp 18749  invgcminusg 18750  SubGrpcsubg 18923  NrmSGrpcnsg 18924   ~QG cqg 18925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-0g 17324  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-subg 18926  df-nsg 18927  df-eqg 18928
This theorem is referenced by:  qusgrp  18986  qusadd  18988  qus1  20708  quslmod  32149
  Copyright terms: Public domain W3C validator