Theorem eqgcpbl 19200

Description: The subgroup coset equivalence relation is compatible with addition when the subgroup is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqger.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
eqger.r	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑌)
eqgcpbl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
eqgcpbl	⊢ (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ∼ (𝐶 + 𝐷)))

Proof of Theorem eqgcpbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 19176	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		subgrcl 19149	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝐺 ∈ Grp)
5		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝐴 ∼ 𝐶)
6		eqger.x	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
7	6	subgss 19145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
8	2, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
9		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
10		eqgcpbl.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11		eqger.r	. . . . . . . 8 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑌)
12	6, 9, 10, 11	eqgval 19195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∼ 𝐶 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌)))
13	4, 8, 12	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐴 ∼ 𝐶 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌)))
14	5, 13	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌))
15	14	simp1d 1143	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
16		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝐵 ∼ 𝐷)
17	6, 9, 10, 11	eqgval 19195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐵 ∼ 𝐷 ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌)))
18	4, 8, 17	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐵 ∼ 𝐷 ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌)))
19	16, 18	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌))
20	19	simp1d 1143	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
21	6, 10	grpcl 18959	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
22	4, 15, 20, 21	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
23	14	simp2d 1144	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑋)
24	19	simp2d 1144	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑋)
25	6, 10	grpcl 18959	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋)
26	4, 23, 24, 25	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋)
27	6, 10, 9	grpinvadd 19036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) + ((invg‘𝐺)‘𝐴)))
28	4, 15, 20, 27	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((invg‘𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) + ((invg‘𝐺)‘𝐴)))
29	28	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) = ((((invg‘𝐺)‘𝐵) + ((invg‘𝐺)‘𝐴)) + (𝐶 + 𝐷)))
30	6, 9	grpinvcl 19005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
31	4, 20, 30	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
32	6, 9	grpinvcl 19005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
33	4, 15, 32	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
34	6, 10	grpass 18960	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵) + ((invg‘𝐺)‘𝐴)) + (𝐶 + 𝐷)) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) + (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))))
35	4, 31, 33, 26, 34	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵) + ((invg‘𝐺)‘𝐴)) + (𝐶 + 𝐷)) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) + (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))))
36	29, 35	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) + (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))))
37	6, 10	grpass 18960	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) = (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)))
38	4, 33, 23, 24, 37	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) = (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)))
39	38	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) = ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)))
40	6, 10	grpcl 18959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑋)
41	4, 33, 23, 40	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑋)
42	6, 10	grpass 18960	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)) → (((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) = ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵))))
43	4, 41, 24, 31, 42	syl13anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) = ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵))))
44	39, 43	eqtr3d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) = ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵))))
45	14	simp3d 1145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌)
46	19	simp3d 1145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌)
47		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
48	6, 10	nsgbi 19175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌 ↔ (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌))
49	47, 31, 24, 48	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌 ↔ (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌))
50	46, 49	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌)
51	10	subgcl 19154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌 ∧ (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌) → ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵))) ∈ 𝑌)
52	2, 45, 50, 51	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵))) ∈ 𝑌)
53	44, 52	eqeltrd 2841	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌)
54	6, 10	grpcl 18959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋) → (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑋)
55	4, 33, 26, 54	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑋)
56	6, 10	nsgbi 19175	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑋 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋) → (((((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝐵) + (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))) ∈ 𝑌))
57	47, 55, 31, 56	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝐵) + (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))) ∈ 𝑌))
58	53, 57	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘𝐵) + (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))) ∈ 𝑌)
59	36, 58	eqeltrd 2841	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑌)
60	6, 9, 10, 11	eqgval 19195	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → ((𝐴 + 𝐵) ∼ (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑌)))
61	4, 8, 60	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐵) ∼ (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑌)))
62	22, 26, 59, 61	mpbir3and 1343	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) ∼ (𝐶 + 𝐷))
63	62	ex 412	1 ⊢ (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ∼ (𝐶 + 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  Grpcgrp 18951  inv_gcminusg 18952  SubGrpcsubg 19138  NrmSGrpcnsg 19139   ~_QG cqg 19140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143

This theorem is referenced by:  qusgrp  19204  qusadd  19206  qus0subgadd  19217  qus2idrng  21283  qus1  21284  quslmod  33386