MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqgcpbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqgcpbl 18907
Description: The subgroup coset equivalence relation is compatible with addition when the subgroup is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqger.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
eqger.r = (𝐺 ~QG 𝑌)
eqgcpbl.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
eqgcpbl (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝐴 𝐶𝐵 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) (𝐶 + 𝐷)))

Proof of Theorem eqgcpbl
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 18883 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
21adantr 482 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 subgrcl 18857 . . . . 5 (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝐺 ∈ Grp)
5 simprl 769 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝐴 𝐶)
6 eqger.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝐺)
76subgss 18853 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑌𝑋)
82, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝑌𝑋)
9 eqid 2737 . . . . . . . 8 (invg𝐺) = (invg𝐺)
10 eqgcpbl.p . . . . . . . 8 + = (+g𝐺)
11 eqger.r . . . . . . . 8 = (𝐺 ~QG 𝑌)
126, 9, 10, 11eqgval 18902 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑋) → (𝐴 𝐶 ↔ (𝐴𝑋𝐶𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌)))
134, 8, 12syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐴 𝐶 ↔ (𝐴𝑋𝐶𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌)))
145, 13mpbid 231 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐴𝑋𝐶𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌))
1514simp1d 1142 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝐴𝑋)
16 simprr 771 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝐵 𝐷)
176, 9, 10, 11eqgval 18902 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑋) → (𝐵 𝐷 ↔ (𝐵𝑋𝐷𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌)))
184, 8, 17syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐵 𝐷 ↔ (𝐵𝑋𝐷𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌)))
1916, 18mpbid 231 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐵𝑋𝐷𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌))
2019simp1d 1142 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝐵𝑋)
216, 10grpcl 18682 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
224, 15, 20, 21syl3anc 1371 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
2314simp2d 1143 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝐶𝑋)
2419simp2d 1143 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝐷𝑋)
256, 10grpcl 18682 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐶𝑋𝐷𝑋) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋)
264, 23, 24, 25syl3anc 1371 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋)
276, 10, 9grpinvadd 18750 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((invg𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) = (((invg𝐺)‘𝐵) + ((invg𝐺)‘𝐴)))
284, 15, 20, 27syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((invg𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) = (((invg𝐺)‘𝐵) + ((invg𝐺)‘𝐴)))
2928oveq1d 7357 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) = ((((invg𝐺)‘𝐵) + ((invg𝐺)‘𝐴)) + (𝐶 + 𝐷)))
306, 9grpinvcl 18724 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑋) → ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
314, 20, 30syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
326, 9grpinvcl 18724 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
334, 15, 32syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
346, 10grpass 18683 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝐵) + ((invg𝐺)‘𝐴)) + (𝐶 + 𝐷)) = (((invg𝐺)‘𝐵) + (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))))
354, 31, 33, 26, 34syl13anc 1372 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((((invg𝐺)‘𝐵) + ((invg𝐺)‘𝐴)) + (𝐶 + 𝐷)) = (((invg𝐺)‘𝐵) + (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))))
3629, 35eqtrd 2777 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) = (((invg𝐺)‘𝐵) + (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))))
376, 10grpass 18683 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋𝐶𝑋𝐷𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) = (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)))
384, 33, 23, 24, 37syl13anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) = (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)))
3938oveq1d 7357 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) + ((invg𝐺)‘𝐵)) = ((((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg𝐺)‘𝐵)))
406, 10grpcl 18682 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋𝐶𝑋) → (((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑋)
414, 33, 23, 40syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑋)
426, 10grpass 18683 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑋𝐷𝑋 ∧ ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)) → (((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) + ((invg𝐺)‘𝐵)) = ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵))))
434, 41, 24, 31, 42syl13anc 1372 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) + ((invg𝐺)‘𝐵)) = ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵))))
4439, 43eqtr3d 2779 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg𝐺)‘𝐵)) = ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵))))
4514simp3d 1144 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌)
4619simp3d 1144 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌)
47 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
486, 10nsgbi 18882 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋𝐷𝑋) → ((((invg𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌 ↔ (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌))
4947, 31, 24, 48syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((((invg𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌 ↔ (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌))
5046, 49mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌)
5110subgcl 18862 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌 ∧ (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌) → ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵))) ∈ 𝑌)
522, 45, 50, 51syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((((invg𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg𝐺)‘𝐵))) ∈ 𝑌)
5344, 52eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌)
546, 10grpcl 18682 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋) → (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑋)
554, 33, 26, 54syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑋)
566, 10nsgbi 18882 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑋 ∧ ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋) → (((((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌 ↔ (((invg𝐺)‘𝐵) + (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))) ∈ 𝑌))
5747, 55, 31, 56syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌 ↔ (((invg𝐺)‘𝐵) + (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))) ∈ 𝑌))
5853, 57mpbid 231 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘𝐵) + (((invg𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))) ∈ 𝑌)
5936, 58eqeltrd 2838 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (((invg𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑌)
606, 9, 10, 11eqgval 18902 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑋) → ((𝐴 + 𝐵) (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑌)))
614, 8, 60syl2anc 585 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐵) (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑌)))
6222, 26, 59, 61mpbir3and 1342 . 2 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 𝐶𝐵 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) (𝐶 + 𝐷))
6362ex 414 1 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝐴 𝐶𝐵 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) (𝐶 + 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3902   class class class wbr 5097  cfv 6484  (class class class)co 7342  Basecbs 17010  +gcplusg 17060  Grpcgrp 18674  invgcminusg 18675  SubGrpcsubg 18846  NrmSGrpcnsg 18847   ~QG cqg 18848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-er 8574  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-nn 12080  df-2 12142  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-0g 17250  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-grp 18677  df-minusg 18678  df-subg 18849  df-nsg 18850  df-eqg 18851
This theorem is referenced by:  qusgrp  18908  qusadd  18910  qus1  20612  quslmod  31848
  Copyright terms: Public domain W3C validator