MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgdir 19068
Description: Sum of group multiples, generalized to โ„ค. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgnndir.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgnndir.p + = (+gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgdir ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))

Proof of Theorem mulgdir
StepHypRef Expression
1 mulgnndir.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
2 mulgnndir.t . . . 4 ยท = (.gโ€˜๐บ)
3 mulgnndir.p . . . 4 + = (+gโ€˜๐บ)
41, 2, 3mulgdirlem 19067 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
543expa 1115 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
6 simpll 765 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
7 simpr2 1192 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
87adantr 479 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
98znegcld 12706 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
10 simpr1 1191 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
1110adantr 479 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
1211znegcld 12706 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„ค)
13 simplr3 1214 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
1411zcnd 12705 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
1514negcld 11596 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„‚)
168zcnd 12705 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1716negcld 11596 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„‚)
1814, 16negdid 11622 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ -(๐‘€ + ๐‘) = (-๐‘€ + -๐‘))
1915, 17, 18comraddd 11466 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ -(๐‘€ + ๐‘) = (-๐‘ + -๐‘€))
20 simpr 483 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0)
2119, 20eqeltrrd 2830 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘ + -๐‘€) โˆˆ โ„•0)
221, 2, 3mulgdirlem 19067 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (-๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (-๐‘ + -๐‘€) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘ + -๐‘€) ยท ๐‘‹) = ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)))
236, 9, 12, 13, 21, 22syl131anc 1380 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘ + -๐‘€) ยท ๐‘‹) = ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)))
2419oveq1d 7441 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-(๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((-๐‘ + -๐‘€) ยท ๐‘‹))
2510, 7zaddcld 12708 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค)
2625adantr 479 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค)
27 eqid 2728 . . . . . . . 8 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
281, 2, 27mulgneg 19054 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-(๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)))
296, 26, 13, 28syl3anc 1368 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-(๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)))
3024, 29eqtr3d 2770 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘ + -๐‘€) ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)))
311, 2, 27mulgneg 19054 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
326, 8, 13, 31syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
331, 2, 27mulgneg 19054 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹)))
346, 11, 13, 33syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹)))
3532, 34oveq12d 7444 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹))))
361, 2mulgcl 19053 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
376, 11, 13, 36syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
381, 2mulgcl 19053 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
396, 8, 13, 38syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
401, 3, 27grpinvadd 18981 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹))) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹))))
416, 37, 39, 40syl3anc 1368 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹))) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹))))
4235, 41eqtr4d 2771 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹))))
4323, 30, 423eqtr3d 2776 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹))))
4443fveq2d 6906 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))))
451, 2mulgcl 19053 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
466, 26, 13, 45syl3anc 1368 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
471, 27grpinvinv 18969 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))) = ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))
486, 46, 47syl2anc 582 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))) = ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))
491, 3grpcl 18905 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต)
506, 37, 39, 49syl3anc 1368 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต)
511, 27grpinvinv 18969 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
526, 50, 51syl2anc 582 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
5344, 48, 523eqtr3d 2776 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
54 elznn0 12611 . . . 4 ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค โ†” ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆจ -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0)))
5554simprbi 495 . . 3 ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆจ -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0))
5625, 55syl 17 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆจ -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0))
575, 53, 56mpjaodan 956 1 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„cr 11145   + caddc 11149  -cneg 11483  โ„•0cn0 12510  โ„คcz 12596  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  Grpcgrp 18897  invgcminusg 18898  .gcmg 19030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-seq 14007  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-mulg 19031
This theorem is referenced by:  mulgp1  19069  mulgneg2  19070  mulgmodid  19075  mulgsubdir  19076  cycsubgcl  19168  odbezout  19520  cygabl  19853  ablfacrp  20030  pgpfac1lem2  20039  pgpfac1lem3  20041  mulgghm2  21409  zlmlmod  21459  cygznlem3  21510  dchrptlem2  27218  archirngz  32918  archiabllem1a  32920  archiabllem1  32922  archiabllem2c  32924  primrootscoprmpow  41602  primrootscoprbij  41605  primrootspoweq0  41609  aks6d1c6isolem1  41678  aks6d1c6isolem2  41679  aks6d1c6lem5  41681
  Copyright terms: Public domain W3C validator