Theorem mulgdir 18958

Description: Sum of group multiples, generalized to ℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnndir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnndir.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnndir.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgdir	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnndir.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mulgnndir.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		mulgnndir.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	1, 2, 3	mulgdirlem 18957	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
5	4	3expa 1118	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
6		simpll 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
7		simpr2 1195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
9	8	znegcld 12650	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℤ)
10		simpr1 1194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
11	10	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
12	11	znegcld 12650	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℤ)
13		simplr3 1217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	11	zcnd 12649	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
15	14	negcld 11540	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℂ)
16	8	zcnd 12649	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
17	16	negcld 11540	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℂ)
18	14, 16	negdid 11566	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) = (-𝑀 + -𝑁))
19	15, 17, 18	comraddd 11410	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) = (-𝑁 + -𝑀))
20		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
21	19, 20	eqeltrrd 2833	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-𝑁 + -𝑀) ∈ ℕ0)
22	1, 2, 3	mulgdirlem 18957	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (-𝑁 + -𝑀) ∈ ℕ0) → ((-𝑁 + -𝑀) · 𝑋) = ((-𝑁 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)))
23	6, 9, 12, 13, 21, 22	syl131anc 1383	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((-𝑁 + -𝑀) · 𝑋) = ((-𝑁 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)))
24	19	oveq1d 7408	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((-𝑁 + -𝑀) · 𝑋))
25	10, 7	zaddcld 12652	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
26	25	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
27		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
28	1, 2, 27	mulgneg 18944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-(𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
29	6, 26, 13, 28	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
30	24, 29	eqtr3d 2773	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((-𝑁 + -𝑀) · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
31	1, 2, 27	mulgneg 18944	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
32	6, 8, 13, 31	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
33	1, 2, 27	mulgneg 18944	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
34	6, 11, 13, 33	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
35	32, 34	oveq12d 7411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((-𝑁 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))))
36	1, 2	mulgcl 18943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
37	6, 11, 13, 36	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
38	1, 2	mulgcl 18943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
39	6, 8, 13, 38	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
40	1, 3, 27	grpinvadd 18875	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))))
41	6, 37, 39, 40	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))))
42	35, 41	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((-𝑁 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))))
43	23, 30, 42	3eqtr3d 2779	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))))
44	43	fveq2d 6882	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))) = ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))))
45	1, 2	mulgcl 18943	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
46	6, 26, 13, 45	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
47	1, 27	grpinvinv 18864	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
48	6, 46, 47	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
49	1, 3	grpcl 18802	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
50	6, 37, 39, 49	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
51	1, 27	grpinvinv 18864	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
52	6, 50, 51	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
53	44, 48, 52	3eqtr3d 2779	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
54		elznn0 12555	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ↔ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)))
55	54	simprbi 497	. . 3 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0))
56	25, 55	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0))
57	5, 53, 56	mpjaodan 957	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  ℝcr 11091   + caddc 11095  -cneg 11427  ℕ₀cn0 12454  ℤcz 12540  Basecbs 17126  +_gcplusg 17179  Grpcgrp 18794  inv_gcminusg 18795  ._gcmg 18922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-seq 13949  df-0g 17369  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-mulg 18923

This theorem is referenced by:  mulgp1  18959  mulgneg2  18960  mulgmodid  18965  mulgsubdir  18966  cycsubgcl  19049  odbezout  19390  cygabl  19718  ablfacrp  19895  pgpfac1lem2  19904  pgpfac1lem3  19906  mulgghm2  20979  zlmlmod  21009  cygznlem3  21058  dchrptlem2  26695  archirngz  32206  archiabllem1a  32208  archiabllem1  32210  archiabllem2c  32212