Theorem mulgdir 19139

Description: Sum of group multiples, generalized to ℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnndir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnndir.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnndir.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgdir	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnndir.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mulgnndir.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		mulgnndir.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	1, 2, 3	mulgdirlem 19138	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
5	4	3expa 1130	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
6		simpll 776	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
7		simpr2 1208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
9	8	znegcld 12673	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℤ)
10		simpr1 1207	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
11	10	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
12	11	znegcld 12673	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℤ)
13		simplr3 1230	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	11	zcnd 12672	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
15	14	negcld 11523	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℂ)
16	8	zcnd 12672	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
17	16	negcld 11523	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℂ)
18	14, 16	negdid 11549	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) = (-𝑀 + -𝑁))
19	15, 17, 18	comraddd 11391	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) = (-𝑁 + -𝑀))
20		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
21	19, 20	eqeltrrd 2862	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-𝑁 + -𝑀) ∈ ℕ0)
22	1, 2, 3	mulgdirlem 19138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (-𝑁 + -𝑀) ∈ ℕ0) → ((-𝑁 + -𝑀) · 𝑋) = ((-𝑁 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)))
23	6, 9, 12, 13, 21, 22	syl131anc 1401	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((-𝑁 + -𝑀) · 𝑋) = ((-𝑁 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)))
24	19	oveq1d 7406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((-𝑁 + -𝑀) · 𝑋))
25	10, 7	zaddcld 12675	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
26	25	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
27		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
28	1, 2, 27	mulgneg 19125	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-(𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
29	6, 26, 13, 28	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
30	24, 29	eqtr3d 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((-𝑁 + -𝑀) · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
31	1, 2, 27	mulgneg 19125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
32	6, 8, 13, 31	syl3anc 1389	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
33	1, 2, 27	mulgneg 19125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
34	6, 11, 13, 33	syl3anc 1389	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
35	32, 34	oveq12d 7409	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((-𝑁 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))))
36	1, 2	mulgcl 19124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
37	6, 11, 13, 36	syl3anc 1389	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
38	1, 2	mulgcl 19124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
39	6, 8, 13, 38	syl3anc 1389	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
40	1, 3, 27	grpinvadd 19051	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))))
41	6, 37, 39, 40	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))))
42	35, 41	eqtr4d 2799	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((-𝑁 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))))
43	23, 30, 42	3eqtr3d 2804	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))))
44	43	fveq2d 6866	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))) = ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))))
45	1, 2	mulgcl 19124	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
46	6, 26, 13, 45	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
47	1, 27	grpinvinv 19038	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
48	6, 46, 47	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
49	1, 3	grpcl 18974	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
50	6, 37, 39, 49	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
51	1, 27	grpinvinv 19038	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
52	6, 50, 51	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
53	44, 48, 52	3eqtr3d 2804	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
54		elznn0 12577	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ↔ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)))
55	54	simprbi 501	. . 3 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0))
56	25, 55	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0))
57	5, 53, 56	mpjaodan 971	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℝcr 11066   + caddc 11070  -cneg 11409  ℕ₀cn0 12475  ℤcz 12562  Basecbs 17236  +_gcplusg 17277  Grpcgrp 18966  inv_gcminusg 18967  ._gcmg 19100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-fz 13507  df-seq 14009  df-0g 17461  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-mulg 19101

This theorem is referenced by:  mulgp1  19140  mulgneg2  19141  mulgmodid  19146  mulgsubdir  19147  cycsubgcl  19238  odbezout  19589  cygabl  19922  ablfacrp  20099  pgpfac1lem2  20108  pgpfac1lem3  20110  mulgghm2  21516  zlmlmod  21562  cygznlem3  21609  dchrptlem2  27317  archirngz  33330  archiabllem1a  33332  archiabllem1  33334  archiabllem2c  33336  elrgspnlem1  33384  primrootscoprmpow  42677  primrootscoprbij  42680  primrootspoweq0  42684  aks6d1c6isolem1  42752  aks6d1c6isolem2  42753  aks6d1c6lem5  42755