MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgdir 19033
Description: Sum of group multiples, generalized to โ„ค. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgnndir.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgnndir.p + = (+gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgdir ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))

Proof of Theorem mulgdir
StepHypRef Expression
1 mulgnndir.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
2 mulgnndir.t . . . 4 ยท = (.gโ€˜๐บ)
3 mulgnndir.p . . . 4 + = (+gโ€˜๐บ)
41, 2, 3mulgdirlem 19032 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
543expa 1115 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
6 simpll 764 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
7 simpr2 1192 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
87adantr 480 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
98znegcld 12672 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
10 simpr1 1191 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
1110adantr 480 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
1211znegcld 12672 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„ค)
13 simplr3 1214 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
1411zcnd 12671 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
1514negcld 11562 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„‚)
168zcnd 12671 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1716negcld 11562 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„‚)
1814, 16negdid 11588 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ -(๐‘€ + ๐‘) = (-๐‘€ + -๐‘))
1915, 17, 18comraddd 11432 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ -(๐‘€ + ๐‘) = (-๐‘ + -๐‘€))
20 simpr 484 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0)
2119, 20eqeltrrd 2828 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘ + -๐‘€) โˆˆ โ„•0)
221, 2, 3mulgdirlem 19032 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (-๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (-๐‘ + -๐‘€) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘ + -๐‘€) ยท ๐‘‹) = ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)))
236, 9, 12, 13, 21, 22syl131anc 1380 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘ + -๐‘€) ยท ๐‘‹) = ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)))
2419oveq1d 7420 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-(๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((-๐‘ + -๐‘€) ยท ๐‘‹))
2510, 7zaddcld 12674 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค)
2625adantr 480 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค)
27 eqid 2726 . . . . . . . 8 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
281, 2, 27mulgneg 19019 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-(๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)))
296, 26, 13, 28syl3anc 1368 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-(๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)))
3024, 29eqtr3d 2768 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘ + -๐‘€) ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)))
311, 2, 27mulgneg 19019 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
326, 8, 13, 31syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
331, 2, 27mulgneg 19019 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹)))
346, 11, 13, 33syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹)))
3532, 34oveq12d 7423 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹))))
361, 2mulgcl 19018 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
376, 11, 13, 36syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
381, 2mulgcl 19018 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
396, 8, 13, 38syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
401, 3, 27grpinvadd 18946 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹))) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹))))
416, 37, 39, 40syl3anc 1368 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹))) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹))))
4235, 41eqtr4d 2769 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹))))
4323, 30, 423eqtr3d 2774 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹))))
4443fveq2d 6889 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))))
451, 2mulgcl 19018 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
466, 26, 13, 45syl3anc 1368 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
471, 27grpinvinv 18935 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))) = ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))
486, 46, 47syl2anc 583 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))) = ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))
491, 3grpcl 18871 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต)
506, 37, 39, 49syl3anc 1368 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต)
511, 27grpinvinv 18935 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
526, 50, 51syl2anc 583 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
5344, 48, 523eqtr3d 2774 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
54 elznn0 12577 . . . 4 ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค โ†” ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆจ -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0)))
5554simprbi 496 . . 3 ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆจ -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0))
5625, 55syl 17 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆจ -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0))
575, 53, 56mpjaodan 955 1 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„cr 11111   + caddc 11115  -cneg 11449  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Grpcgrp 18863  invgcminusg 18864  .gcmg 18995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996
This theorem is referenced by:  mulgp1  19034  mulgneg2  19035  mulgmodid  19040  mulgsubdir  19041  cycsubgcl  19132  odbezout  19478  cygabl  19811  ablfacrp  19988  pgpfac1lem2  19997  pgpfac1lem3  19999  mulgghm2  21363  zlmlmod  21413  cygznlem3  21464  dchrptlem2  27153  archirngz  32841  archiabllem1a  32843  archiabllem1  32845  archiabllem2c  32847  primrootscoprmpow  41479  primrootscoprbij  41482
  Copyright terms: Public domain W3C validator