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Theorem mulginvcom 19130
Description: The group multiple operator commutes with the group inverse function. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulginvcom.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulginvcom.t · = (.g𝐺)
mulginvcom.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulginvcom ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulginvcom
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = (0 · (𝐼𝑋)))
2 fvoveq1 7454 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘(0 · 𝑋)))
31, 2eqeq12d 2751 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ (0 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(0 · 𝑋))))
4 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝑦 · (𝐼𝑋)))
5 fvoveq1 7454 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)))
64, 5eqeq12d 2751 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
7 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)))
8 fvoveq1 7454 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)))
97, 8eqeq12d 2751 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋))))
10 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = (-𝑦 · (𝐼𝑋)))
11 fvoveq1 7454 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑦 → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)))
1210, 11eqeq12d 2751 . . . . 5 (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋))))
13 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝑁 · (𝐼𝑋)))
14 fvoveq1 7454 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
1513, 14eqeq12d 2751 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ (𝑁 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋))))
16 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) = (0g𝐺)
17 mulginvcom.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (invg𝐺)
1816, 17grpinvid 19030 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → (𝐼‘(0g𝐺)) = (0g𝐺))
1918eqcomd 2741 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) = (𝐼‘(0g𝐺)))
2019adantr 480 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (0g𝐺) = (𝐼‘(0g𝐺)))
21 mulginvcom.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
2221, 17grpinvcl 19018 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
23 mulginvcom.t . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
2421, 16, 23mulg0 19105 . . . . . . 7 ((𝐼𝑋) ∈ 𝐵 → (0 · (𝐼𝑋)) = (0g𝐺))
2522, 24syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (0 · (𝐼𝑋)) = (0g𝐺))
2621, 16, 23mulg0 19105 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
2726adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
2827fveq2d 6911 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼‘(0 · 𝑋)) = (𝐼‘(0g𝐺)))
2920, 25, 283eqtr4d 2785 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (0 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(0 · 𝑋)))
30 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑦 · (𝐼𝑋))) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
3130adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑦 · (𝐼𝑋))) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
32 grpmnd 18971 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
33323ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
34 simp2 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → 𝑦 ∈ ℕ0)
35223adant2 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
36 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3721, 23, 36mulgnn0p1 19116 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = ((𝑦 · (𝐼𝑋))(+g𝐺)(𝐼𝑋)))
3833, 34, 35, 37syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = ((𝑦 · (𝐼𝑋))(+g𝐺)(𝐼𝑋)))
39 simp1 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
40 nn0z 12636 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)
41403ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → 𝑦 ∈ ℤ)
4221, 23, 36mulgaddcom 19129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑦 · (𝐼𝑋))(+g𝐺)(𝐼𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑦 · (𝐼𝑋))))
4339, 41, 35, 42syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑦 · (𝐼𝑋))(+g𝐺)(𝐼𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑦 · (𝐼𝑋))))
4438, 43eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑦 · (𝐼𝑋))))
4544adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑦 · (𝐼𝑋))))
4621, 23, 36mulgnn0p1 19116 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g𝐺)𝑋))
4732, 46syl3an1 1162 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g𝐺)𝑋))
4847fveq2d 6911 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 · 𝑋)(+g𝐺)𝑋)))
4921, 23mulgcl 19122 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
5040, 49syl3an2 1163 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
5121, 36, 17grpinvadd 19049 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → (𝐼‘((𝑦 · 𝑋)(+g𝐺)𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
5250, 51syld3an2 1410 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝐼‘((𝑦 · 𝑋)(+g𝐺)𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
5348, 52eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
5453adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
5531, 45, 543eqtr4d 2785 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)))
56553exp1 1351 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑋𝐵 → ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋))))))
5756com23 86 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (𝑋𝐵 → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋))))))
5857imp 406 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)))))
59 nnz 12632 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
60223adant2 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
6121, 23, 17mulgneg 19123 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝐵) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · (𝐼𝑋))))
6260, 61syld3an3 1408 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · (𝐼𝑋))))
6362adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · (𝐼𝑋))))
6421, 23, 17mulgneg 19123 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)))
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)))
66 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)))
6765, 66eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) = (𝑦 · (𝐼𝑋)))
6867fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · (𝐼𝑋))))
6963, 68eqtr4d 2778 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)))
70693exp1 1351 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋𝐵 → ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋))))))
7170com23 86 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (𝑋𝐵 → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋))))))
7271imp 406 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)))))
7359, 72syl5 34 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)))))
743, 6, 9, 12, 15, 29, 58, 73zindd 12717 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋))))
7574ex 412 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))))
7675com23 86 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑋𝐵 → (𝑁 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))))
77763imp 1110 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  -cneg 11491  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  Mndcmnd 18760  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965  .gcmg 19098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099
This theorem is referenced by:  mulginvinv  19131  mulgsubdi  19862
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