Theorem mulginvcom 19031

Description: The group multiple operator commutes with the group inverse function. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulginvcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulginvcom.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulginvcom.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulginvcom	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulginvcom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7394	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (0 · (𝐼‘𝑋)))
2		fvoveq1 7410	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘(0 · 𝑋)))
3	1, 2	eqeq12d 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ (0 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(0 · 𝑋))))
4		oveq1 7394	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝑦 · (𝐼‘𝑋)))
5		fvoveq1 7410	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)))
6	4, 5	eqeq12d 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
7		oveq1 7394	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)))
8		fvoveq1 7410	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)))
9	7, 8	eqeq12d 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋))))
10		oveq1 7394	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)))
11		fvoveq1 7410	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)))
12	10, 11	eqeq12d 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋))))
13		oveq1 7394	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋)))
14		fvoveq1 7410	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
15	13, 14	eqeq12d 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ (𝑁 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋))))
16		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
17		mulginvcom.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
18	16, 17	grpinvid 18931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐼‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
19	18	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) = (𝐼‘(0g‘𝐺)))
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐺) = (𝐼‘(0g‘𝐺)))
21		mulginvcom.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
22	21, 17	grpinvcl 18919	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
23		mulginvcom.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
24	21, 16, 23	mulg0 19006	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵 → (0 · (𝐼‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
25	22, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · (𝐼‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
26	21, 16, 23	mulg0 19006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
27	26	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
28	27	fveq2d 6862	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(0 · 𝑋)) = (𝐼‘(0g‘𝐺)))
29	20, 25, 28	3eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(0 · 𝑋)))
30		oveq2 7395	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑦 · (𝐼‘𝑋))) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑦 · (𝐼‘𝑋))) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
32		grpmnd 18872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
33	32	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
34		simp2 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℕ0)
35	22	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
36		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
37	21, 23, 36	mulgnn0p1 19017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = ((𝑦 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
38	33, 34, 35, 37	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = ((𝑦 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
39		simp1 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
40		nn0z 12554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
41	40	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℤ)
42	21, 23, 36	mulgaddcom 19030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑦 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑦 · (𝐼‘𝑋))))
43	39, 41, 35, 42	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑦 · (𝐼‘𝑋))))
44	38, 43	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑦 · (𝐼‘𝑋))))
45	44	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑦 · (𝐼‘𝑋))))
46	21, 23, 36	mulgnn0p1 19017	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝐺)𝑋))
47	32, 46	syl3an1 1163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝐺)𝑋))
48	47	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝐺)𝑋)))
49	21, 23	mulgcl 19023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
50	40, 49	syl3an2 1164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
51	21, 36, 17	grpinvadd 18950	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝐺)𝑋)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
52	50, 51	syld3an2 1413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝐺)𝑋)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
53	48, 52	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
54	53	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
55	31, 45, 54	3eqtr4d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)))
56	55	3exp1 1353	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋))))))
57	56	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋))))))
58	57	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)))))
59		nnz 12550	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
60	22	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
61	21, 23, 17	mulgneg 19024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · (𝐼‘𝑋))))
62	60, 61	syld3an3 1411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · (𝐼‘𝑋))))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · (𝐼‘𝑋))))
64	21, 23, 17	mulgneg 19024	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)))
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)))
66		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)))
67	65, 66	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) = (𝑦 · (𝐼‘𝑋)))
68	67	fveq2d 6862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · (𝐼‘𝑋))))
69	63, 68	eqtr4d 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)))
70	69	3exp1 1353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋))))))
71	70	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋))))))
72	71	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)))))
73	59, 72	syl5 34	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)))))
74	3, 6, 9, 12, 15, 29, 58, 73	zindd 12635	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋))))
75	74	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))))
76	75	com23 86	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))))
77	76	3imp 1110	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071  -cneg 11406  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  Mndcmnd 18661  Grpcgrp 18865  inv_gcminusg 18866  ._gcmg 18999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-seq 13967  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-mulg 19000

This theorem is referenced by:  mulginvinv  19032  mulgsubdi  19759