Theorem mulginvcom 19012

Description: The group multiple operator commutes with the group inverse function. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulginvcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulginvcom.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulginvcom.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulginvcom	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulginvcom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7353	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (0 · (𝐼‘𝑋)))
2		fvoveq1 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘(0 · 𝑋)))
3	1, 2	eqeq12d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ (0 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(0 · 𝑋))))
4		oveq1 7353	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝑦 · (𝐼‘𝑋)))
5		fvoveq1 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)))
6	4, 5	eqeq12d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
7		oveq1 7353	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)))
8		fvoveq1 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)))
9	7, 8	eqeq12d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋))))
10		oveq1 7353	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)))
11		fvoveq1 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)))
12	10, 11	eqeq12d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋))))
13		oveq1 7353	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋)))
14		fvoveq1 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
15	13, 14	eqeq12d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ (𝑁 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋))))
16		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
17		mulginvcom.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
18	16, 17	grpinvid 18912	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐼‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
19	18	eqcomd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) = (𝐼‘(0g‘𝐺)))
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐺) = (𝐼‘(0g‘𝐺)))
21		mulginvcom.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
22	21, 17	grpinvcl 18900	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
23		mulginvcom.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
24	21, 16, 23	mulg0 18987	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵 → (0 · (𝐼‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
25	22, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · (𝐼‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
26	21, 16, 23	mulg0 18987	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
27	26	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
28	27	fveq2d 6826	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(0 · 𝑋)) = (𝐼‘(0g‘𝐺)))
29	20, 25, 28	3eqtr4d 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(0 · 𝑋)))
30		oveq2 7354	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑦 · (𝐼‘𝑋))) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑦 · (𝐼‘𝑋))) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
32		grpmnd 18853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
33	32	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
34		simp2 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℕ0)
35	22	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
36		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
37	21, 23, 36	mulgnn0p1 18998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = ((𝑦 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
38	33, 34, 35, 37	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = ((𝑦 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
39		simp1 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
40		nn0z 12493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
41	40	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℤ)
42	21, 23, 36	mulgaddcom 19011	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑦 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑦 · (𝐼‘𝑋))))
43	39, 41, 35, 42	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑦 · (𝐼‘𝑋))))
44	38, 43	eqtrd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑦 · (𝐼‘𝑋))))
45	44	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑦 · (𝐼‘𝑋))))
46	21, 23, 36	mulgnn0p1 18998	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝐺)𝑋))
47	32, 46	syl3an1 1163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝐺)𝑋))
48	47	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝐺)𝑋)))
49	21, 23	mulgcl 19004	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
50	40, 49	syl3an2 1164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
51	21, 36, 17	grpinvadd 18931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝐺)𝑋)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
52	50, 51	syld3an2 1413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝐺)𝑋)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
53	48, 52	eqtrd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
54	53	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
55	31, 45, 54	3eqtr4d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)))
56	55	3exp1 1353	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋))))))
57	56	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋))))))
58	57	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)))))
59		nnz 12489	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
60	22	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
61	21, 23, 17	mulgneg 19005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · (𝐼‘𝑋))))
62	60, 61	syld3an3 1411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · (𝐼‘𝑋))))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · (𝐼‘𝑋))))
64	21, 23, 17	mulgneg 19005	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)))
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)))
66		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)))
67	65, 66	eqtr4d 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) = (𝑦 · (𝐼‘𝑋)))
68	67	fveq2d 6826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · (𝐼‘𝑋))))
69	63, 68	eqtr4d 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)))
70	69	3exp1 1353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋))))))
71	70	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋))))))
72	71	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)))))
73	59, 72	syl5 34	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)))))
74	3, 6, 9, 12, 15, 29, 58, 73	zindd 12574	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋))))
75	74	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))))
76	75	com23 86	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))))
77	76	3imp 1110	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009  -cneg 11345  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  0_gc0g 17343  Mndcmnd 18642  Grpcgrp 18846  inv_gcminusg 18847  ._gcmg 18980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-seq 13909  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-mulg 18981

This theorem is referenced by:  mulginvinv  19013  mulgsubdi  19742