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Theorem mulginvcom 18801
Description: The group multiple operator commutes with the group inverse function. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulginvcom.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulginvcom.t · = (.g𝐺)
mulginvcom.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulginvcom ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulginvcom
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7323 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = (0 · (𝐼𝑋)))
2 fvoveq1 7339 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘(0 · 𝑋)))
31, 2eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ (0 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(0 · 𝑋))))
4 oveq1 7323 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝑦 · (𝐼𝑋)))
5 fvoveq1 7339 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)))
64, 5eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
7 oveq1 7323 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)))
8 fvoveq1 7339 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)))
97, 8eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋))))
10 oveq1 7323 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = (-𝑦 · (𝐼𝑋)))
11 fvoveq1 7339 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑦 → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)))
1210, 11eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋))))
13 oveq1 7323 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝑁 · (𝐼𝑋)))
14 fvoveq1 7339 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
1513, 14eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ (𝑁 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋))))
16 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) = (0g𝐺)
17 mulginvcom.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (invg𝐺)
1816, 17grpinvid 18709 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → (𝐼‘(0g𝐺)) = (0g𝐺))
1918eqcomd 2742 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) = (𝐼‘(0g𝐺)))
2019adantr 481 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (0g𝐺) = (𝐼‘(0g𝐺)))
21 mulginvcom.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
2221, 17grpinvcl 18700 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
23 mulginvcom.t . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
2421, 16, 23mulg0 18780 . . . . . . 7 ((𝐼𝑋) ∈ 𝐵 → (0 · (𝐼𝑋)) = (0g𝐺))
2522, 24syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (0 · (𝐼𝑋)) = (0g𝐺))
2621, 16, 23mulg0 18780 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
2726adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
2827fveq2d 6815 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼‘(0 · 𝑋)) = (𝐼‘(0g𝐺)))
2920, 25, 283eqtr4d 2786 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (0 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(0 · 𝑋)))
30 oveq2 7324 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑦 · (𝐼𝑋))) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
3130adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑦 · (𝐼𝑋))) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
32 grpmnd 18657 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
33323ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
34 simp2 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → 𝑦 ∈ ℕ0)
35223adant2 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
36 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3721, 23, 36mulgnn0p1 18788 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = ((𝑦 · (𝐼𝑋))(+g𝐺)(𝐼𝑋)))
3833, 34, 35, 37syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = ((𝑦 · (𝐼𝑋))(+g𝐺)(𝐼𝑋)))
39 simp1 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
40 nn0z 12422 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)
41403ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → 𝑦 ∈ ℤ)
4221, 23, 36mulgaddcom 18800 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑦 · (𝐼𝑋))(+g𝐺)(𝐼𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑦 · (𝐼𝑋))))
4339, 41, 35, 42syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑦 · (𝐼𝑋))(+g𝐺)(𝐼𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑦 · (𝐼𝑋))))
4438, 43eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑦 · (𝐼𝑋))))
4544adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑦 · (𝐼𝑋))))
4621, 23, 36mulgnn0p1 18788 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g𝐺)𝑋))
4732, 46syl3an1 1162 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g𝐺)𝑋))
4847fveq2d 6815 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 · 𝑋)(+g𝐺)𝑋)))
4921, 23mulgcl 18794 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
5040, 49syl3an2 1163 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
5121, 36, 17grpinvadd 18726 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → (𝐼‘((𝑦 · 𝑋)(+g𝐺)𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
5250, 51syld3an2 1410 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝐼‘((𝑦 · 𝑋)(+g𝐺)𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
5348, 52eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
5453adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
5531, 45, 543eqtr4d 2786 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)))
56553exp1 1351 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑋𝐵 → ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋))))))
5756com23 86 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (𝑋𝐵 → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋))))))
5857imp 407 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)))))
59 nnz 12421 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
60223adant2 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
6121, 23, 17mulgneg 18795 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝐵) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · (𝐼𝑋))))
6260, 61syld3an3 1408 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · (𝐼𝑋))))
6362adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · (𝐼𝑋))))
6421, 23, 17mulgneg 18795 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)))
6564adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)))
66 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)))
6765, 66eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) = (𝑦 · (𝐼𝑋)))
6867fveq2d 6815 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · (𝐼𝑋))))
6963, 68eqtr4d 2779 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)))
70693exp1 1351 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋𝐵 → ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋))))))
7170com23 86 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (𝑋𝐵 → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋))))))
7271imp 407 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)))))
7359, 72syl5 34 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)))))
743, 6, 9, 12, 15, 29, 58, 73zindd 12500 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋))))
7574ex 413 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))))
7675com23 86 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑋𝐵 → (𝑁 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))))
77763imp 1110 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  cfv 6465  (class class class)co 7316  0cc0 10950  1c1 10951   + caddc 10953  -cneg 11285  cn 12052  0cn0 12312  cz 12398  Basecbs 16986  +gcplusg 17036  0gc0g 17224  Mndcmnd 18459  Grpcgrp 18650  invgcminusg 18651  .gcmg 18773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-nn 12053  df-n0 12313  df-z 12399  df-uz 12662  df-fz 13319  df-seq 13801  df-0g 17226  df-mgm 18400  df-sgrp 18449  df-mnd 18460  df-grp 18653  df-minusg 18654  df-mulg 18774
This theorem is referenced by:  mulginvinv  18802  mulgsubdi  19503
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