MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulginvcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulginvcom 18901
Description: The group multiple operator commutes with the group inverse function. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulginvcom.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulginvcom.t · = (.g𝐺)
mulginvcom.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulginvcom ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulginvcom
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = (0 · (𝐼𝑋)))
2 fvoveq1 7380 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘(0 · 𝑋)))
31, 2eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ (0 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(0 · 𝑋))))
4 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝑦 · (𝐼𝑋)))
5 fvoveq1 7380 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)))
64, 5eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
7 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)))
8 fvoveq1 7380 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)))
97, 8eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋))))
10 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = (-𝑦 · (𝐼𝑋)))
11 fvoveq1 7380 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑦 → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)))
1210, 11eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋))))
13 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝑁 · (𝐼𝑋)))
14 fvoveq1 7380 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
1513, 14eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ (𝑁 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋))))
16 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) = (0g𝐺)
17 mulginvcom.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (invg𝐺)
1816, 17grpinvid 18808 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → (𝐼‘(0g𝐺)) = (0g𝐺))
1918eqcomd 2742 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) = (𝐼‘(0g𝐺)))
2019adantr 481 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (0g𝐺) = (𝐼‘(0g𝐺)))
21 mulginvcom.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
2221, 17grpinvcl 18798 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
23 mulginvcom.t . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
2421, 16, 23mulg0 18879 . . . . . . 7 ((𝐼𝑋) ∈ 𝐵 → (0 · (𝐼𝑋)) = (0g𝐺))
2522, 24syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (0 · (𝐼𝑋)) = (0g𝐺))
2621, 16, 23mulg0 18879 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
2726adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
2827fveq2d 6846 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼‘(0 · 𝑋)) = (𝐼‘(0g𝐺)))
2920, 25, 283eqtr4d 2786 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (0 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(0 · 𝑋)))
30 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑦 · (𝐼𝑋))) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
3130adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑦 · (𝐼𝑋))) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
32 grpmnd 18755 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
33323ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
34 simp2 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → 𝑦 ∈ ℕ0)
35223adant2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
36 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3721, 23, 36mulgnn0p1 18887 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = ((𝑦 · (𝐼𝑋))(+g𝐺)(𝐼𝑋)))
3833, 34, 35, 37syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = ((𝑦 · (𝐼𝑋))(+g𝐺)(𝐼𝑋)))
39 simp1 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
40 nn0z 12524 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)
41403ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → 𝑦 ∈ ℤ)
4221, 23, 36mulgaddcom 18900 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑦 · (𝐼𝑋))(+g𝐺)(𝐼𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑦 · (𝐼𝑋))))
4339, 41, 35, 42syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑦 · (𝐼𝑋))(+g𝐺)(𝐼𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑦 · (𝐼𝑋))))
4438, 43eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑦 · (𝐼𝑋))))
4544adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑦 · (𝐼𝑋))))
4621, 23, 36mulgnn0p1 18887 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g𝐺)𝑋))
4732, 46syl3an1 1163 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g𝐺)𝑋))
4847fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 · 𝑋)(+g𝐺)𝑋)))
4921, 23mulgcl 18893 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
5040, 49syl3an2 1164 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
5121, 36, 17grpinvadd 18825 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → (𝐼‘((𝑦 · 𝑋)(+g𝐺)𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
5250, 51syld3an2 1411 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝐼‘((𝑦 · 𝑋)(+g𝐺)𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
5348, 52eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
5453adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
5531, 45, 543eqtr4d 2786 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)))
56553exp1 1352 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑋𝐵 → ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋))))))
5756com23 86 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (𝑋𝐵 → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋))))))
5857imp 407 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)))))
59 nnz 12520 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
60223adant2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
6121, 23, 17mulgneg 18894 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝐵) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · (𝐼𝑋))))
6260, 61syld3an3 1409 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · (𝐼𝑋))))
6362adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · (𝐼𝑋))))
6421, 23, 17mulgneg 18894 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)))
6564adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)))
66 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)))
6765, 66eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) = (𝑦 · (𝐼𝑋)))
6867fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · (𝐼𝑋))))
6963, 68eqtr4d 2779 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)))
70693exp1 1352 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋𝐵 → ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋))))))
7170com23 86 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (𝑋𝐵 → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋))))))
7271imp 407 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)))))
7359, 72syl5 34 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)))))
743, 6, 9, 12, 15, 29, 58, 73zindd 12604 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋))))
7574ex 413 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))))
7675com23 86 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑋𝐵 → (𝑁 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))))
77763imp 1111 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  -cneg 11386  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  0gc0g 17321  Mndcmnd 18556  Grpcgrp 18748  invgcminusg 18749  .gcmg 18872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-seq 13907  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873
This theorem is referenced by:  mulginvinv  18902  mulgsubdi  19608
  Copyright terms: Public domain W3C validator