MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rdivmuldivd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rdivmuldivd 20304
Description: Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrdir.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
dvrdir.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
dvrdir.p + = (+gβ€˜π‘…)
dvrdir.t / = (/rβ€˜π‘…)
rdivmuldivd.p Β· = (.rβ€˜π‘…)
rdivmuldivd.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
rdivmuldivd.a (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
rdivmuldivd.b (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
rdivmuldivd.c (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
rdivmuldivd.d (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
rdivmuldivd (πœ‘ β†’ ((𝑋 / π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š)) = ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· π‘Š)))
Proof of Theorem rdivmuldivd
StepHypRef Expression
1 rdivmuldivd.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2 rdivmuldivd.b . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
3 dvrdir.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
4 rdivmuldivd.p . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π‘…)
5 dvrdir.u . . . . . 6 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
6 eqid 2730 . . . . . 6 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
7 dvrdir.t . . . . . 6 / = (/rβ€˜π‘…)
83, 4, 5, 6, 7dvrval 20294 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
98oveq1d 7426 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 / π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š)) = ((𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) Β· (𝑍 / π‘Š)))
101, 2, 9syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 / π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š)) = ((𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) Β· (𝑍 / π‘Š)))
11 rdivmuldivd.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
12 crngring 20139 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1311, 12syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
143, 5unitss 20267 . . . . 5 π‘ˆ βŠ† 𝐡
155, 6unitinvcl 20281 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
1613, 2, 15syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
1714, 16sselid 3979 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
18 rdivmuldivd.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
19 rdivmuldivd.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ π‘ˆ)
203, 5, 7dvrcl 20295 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑍 / π‘Š) ∈ 𝐡)
2113, 18, 19, 20syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑍 / π‘Š) ∈ 𝐡)
223, 4ringass 20147 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 / π‘Š) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) Β· (𝑍 / π‘Š)) = (𝑋 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š))))
2313, 1, 17, 21, 22syl13anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) Β· (𝑍 / π‘Š)) = (𝑋 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š))))
243, 4crngcom 20145 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 / π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š)) = ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
2511, 17, 21, 24syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š)) = ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
2625oveq2d 7427 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š))) = (𝑋 Β· ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
2710, 23, 263eqtrd 2774 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋 / π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š)) = (𝑋 Β· ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
28 eqid 2730 . . . . . . . 8 ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
295, 28unitgrp 20274 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
3013, 29syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
315, 28unitgrpbas 20273 . . . . . . 7 π‘ˆ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
32 eqid 2730 . . . . . . 7 (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)) = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
335, 28, 6invrfval 20280 . . . . . . 7 (invrβ€˜π‘…) = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
3431, 32, 33grpinvadd 18937 . . . . . 6 ((((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Š ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))π‘Š)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
3530, 2, 19, 34syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))π‘Š)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
36 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (mulGrpβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ)) = (mulGrpβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ))
375fvexi 6904 . . . . . . . . . 10 π‘ˆ ∈ V
38 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 β†Ύs π‘ˆ) = (𝑅 β†Ύs π‘ˆ)
3938, 4ressmulr 17256 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ V β†’ Β· = (.rβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ)))
4037, 39ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Β· = (.rβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ))
4136, 40mgpplusg 20032 . . . . . . . 8 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ)))
42 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
4338, 42mgpress 20043 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ V) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = (mulGrpβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ)))
4413, 37, 43sylancl 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = (mulGrpβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ)))
4544fveq2d 6894 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ))))
4641, 45eqtr4id 2789 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β· = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
4746oveqd 7428 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Β· π‘Š) = (π‘Œ(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))π‘Š))
4847fveq2d 6894 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· π‘Š)) = ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))π‘Š)))
4946oveqd 7428 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
5035, 48, 493eqtr4d 2780 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· π‘Š)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
5150oveq2d 7427 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· π‘Š))) = ((𝑋 Β· 𝑍) Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
523, 4ringcl 20144 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡)
5313, 1, 18, 52syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡)
545, 4unitmulcl 20271 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Š ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Œ Β· π‘Š) ∈ π‘ˆ)
5513, 2, 19, 54syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Β· π‘Š) ∈ π‘ˆ)
563, 4, 5, 6, 7dvrval 20294 . . . 4 (((𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ Β· π‘Š) ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· π‘Š)) = ((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· π‘Š))))
5753, 55, 56syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· π‘Š)) = ((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· π‘Š))))
585, 6unitinvcl 20281 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Š ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) ∈ π‘ˆ)
5913, 19, 58syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) ∈ π‘ˆ)
6014, 59sselid 3979 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
613, 4ringass 20147 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)) = (𝑋 Β· (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š))))
6213, 1, 18, 60, 61syl13anc 1370 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)) = (𝑋 Β· (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š))))
633, 4, 5, 6, 7dvrval 20294 . . . . . . . 8 ((𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑍 / π‘Š) = (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)))
6418, 19, 63syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑍 / π‘Š) = (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)))
6564oveq2d 7427 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· (𝑍 / π‘Š)) = (𝑋 Β· (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š))))
6662, 65eqtr4d 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)) = (𝑋 Β· (𝑍 / π‘Š)))
6766oveq1d 7426 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = ((𝑋 Β· (𝑍 / π‘Š)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
683, 4ringass 20147 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = ((𝑋 Β· 𝑍) Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
6913, 53, 60, 17, 68syl13anc 1370 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = ((𝑋 Β· 𝑍) Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
703, 4ringass 20147 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 / π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 Β· (𝑍 / π‘Š)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = (𝑋 Β· ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
7113, 1, 21, 17, 70syl13anc 1370 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· (𝑍 / π‘Š)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = (𝑋 Β· ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
7267, 69, 713eqtr3rd 2779 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))) = ((𝑋 Β· 𝑍) Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
7351, 57, 723eqtr4rd 2781 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))) = ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· π‘Š)))
7427, 73eqtrd 2770 1 (πœ‘ β†’ ((𝑋 / π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š)) = ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148   β†Ύs cress 17177  +gcplusg 17201  .rcmulr 17202  Grpcgrp 18855  mulGrpcmgp 20028  Ringcrg 20127  CRingccrg 20128  Unitcui 20246  invrcinvr 20278  /rcdvr 20291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292
This theorem is referenced by:  qqhrhm  33267
  Copyright terms: Public domain W3C validator