Theorem rdivmuldivd 20349

Description: Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrdir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrdir.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrdir.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
dvrdir.t	⊢ / = (/r‘𝑅)
rdivmuldivd.p	⊢ · = (.r‘𝑅)
rdivmuldivd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rdivmuldivd.a	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rdivmuldivd.b	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
rdivmuldivd.c	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
rdivmuldivd.d	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
rdivmuldivd	⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))

Proof of Theorem rdivmuldivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdivmuldivd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		rdivmuldivd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
3		dvrdir.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		rdivmuldivd.p	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		dvrdir.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
7		dvrdir.t	. . . . . 6 ⊢ / = (/r‘𝑅)
8	3, 4, 5, 6, 7	dvrval 20339	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
9	8	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)))
10	1, 2, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)))
11		rdivmuldivd.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
12		crngring 20180	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	3, 5	unitss 20312	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
15	5, 6	unitinvcl 20326	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
16	13, 2, 15	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
17	14, 16	sselid 3931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
18		rdivmuldivd.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
19		rdivmuldivd.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑈)
20	3, 5, 7	dvrcl 20340	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)
21	13, 18, 19, 20	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)
22	3, 4	ringass 20188	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))))
23	13, 1, 17, 21, 22	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))))
24	3, 4	crngcom 20186	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵) → (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
25	11, 17, 21, 24	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
26	25	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
27	10, 23, 26	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
28		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
29	5, 28	unitgrp 20319	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
30	13, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
31	5, 28	unitgrpbas 20318	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
32		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
33	5, 28, 6	invrfval 20325	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
34	31, 32, 33	grpinvadd 18948	. . . . . 6 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = (((invr‘𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr‘𝑅)‘𝑌)))
35	30, 2, 19, 34	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = (((invr‘𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr‘𝑅)‘𝑌)))
36		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈))
37	5	fvexi 6848	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ V
38		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑈) = (𝑅 ↾s 𝑈)
39	38, 4	ressmulr 17227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ V → · = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
40	37, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈))
41	36, 40	mgpplusg 20079	. . . . . . . 8 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
42		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
43	38, 42	mgpress 20085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ V) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
44	13, 37, 43	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
45	44	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
46	41, 45	eqtr4id 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
47	46	oveqd 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑊) = (𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊))
48	47	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊)) = ((invr‘𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)))
49	46	oveqd 7375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (((invr‘𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr‘𝑅)‘𝑌)))
50	35, 48, 49	3eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊)) = (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
51	50	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
52	3, 4	ringcl 20185	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
53	13, 1, 18, 52	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
54	5, 4	unitmulcl 20316	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈)
55	13, 2, 19, 54	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈)
56	3, 4, 5, 6, 7	dvrval 20339	. . . 4 ⊢ (((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))))
57	53, 55, 56	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))))
58	5, 6	unitinvcl 20326	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝑈)
59	13, 19, 58	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝑈)
60	14, 59	sselid 3931	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵)
61	3, 4	ringass 20188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊))))
62	13, 1, 18, 60, 61	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊))))
63	3, 4, 5, 6, 7	dvrval 20339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → (𝑍 / 𝑊) = (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊)))
64	18, 19, 63	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑊) = (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊)))
65	64	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊))))
66	62, 65	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 / 𝑊)))
67	66	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
68	3, 4	ringass 20188	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
69	13, 53, 60, 17, 68	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
70	3, 4	ringass 20188	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
71	13, 1, 21, 17, 70	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
72	67, 69, 71	3eqtr3rd 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
73	51, 57, 72	3eqtr4rd 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))
74	27, 73	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  +_gcplusg 17177  ._rcmulr 17178  Grpcgrp 18863  mulGrpcmgp 20075  Ringcrg 20168  CRingccrg 20169  Unitcui 20291  inv_rcinvr 20323  /_rcdvr 20336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-dvr 20337

This theorem is referenced by:  qqhrhm  34146