MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rdivmuldivd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rdivmuldivd 20219
Description: Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrdir.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
dvrdir.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
dvrdir.p + = (+gβ€˜π‘…)
dvrdir.t / = (/rβ€˜π‘…)
rdivmuldivd.p Β· = (.rβ€˜π‘…)
rdivmuldivd.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
rdivmuldivd.a (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
rdivmuldivd.b (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
rdivmuldivd.c (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
rdivmuldivd.d (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
rdivmuldivd (πœ‘ β†’ ((𝑋 / π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š)) = ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· π‘Š)))
Proof of Theorem rdivmuldivd
StepHypRef Expression
1 rdivmuldivd.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2 rdivmuldivd.b . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
3 dvrdir.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
4 rdivmuldivd.p . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π‘…)
5 dvrdir.u . . . . . 6 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
6 eqid 2732 . . . . . 6 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
7 dvrdir.t . . . . . 6 / = (/rβ€˜π‘…)
83, 4, 5, 6, 7dvrval 20209 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
98oveq1d 7420 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 / π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š)) = ((𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) Β· (𝑍 / π‘Š)))
101, 2, 9syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 / π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š)) = ((𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) Β· (𝑍 / π‘Š)))
11 rdivmuldivd.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
12 crngring 20061 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1311, 12syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
143, 5unitss 20182 . . . . 5 π‘ˆ βŠ† 𝐡
155, 6unitinvcl 20196 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
1613, 2, 15syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
1714, 16sselid 3979 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
18 rdivmuldivd.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
19 rdivmuldivd.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ π‘ˆ)
203, 5, 7dvrcl 20210 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑍 / π‘Š) ∈ 𝐡)
2113, 18, 19, 20syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑍 / π‘Š) ∈ 𝐡)
223, 4ringass 20069 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 / π‘Š) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) Β· (𝑍 / π‘Š)) = (𝑋 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š))))
2313, 1, 17, 21, 22syl13anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) Β· (𝑍 / π‘Š)) = (𝑋 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š))))
243, 4crngcom 20067 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 / π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š)) = ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
2511, 17, 21, 24syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š)) = ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
2625oveq2d 7421 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š))) = (𝑋 Β· ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
2710, 23, 263eqtrd 2776 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋 / π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š)) = (𝑋 Β· ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
28 eqid 2732 . . . . . . . 8 ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
295, 28unitgrp 20189 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
3013, 29syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
315, 28unitgrpbas 20188 . . . . . . 7 π‘ˆ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
32 eqid 2732 . . . . . . 7 (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)) = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
335, 28, 6invrfval 20195 . . . . . . 7 (invrβ€˜π‘…) = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
3431, 32, 33grpinvadd 18897 . . . . . 6 ((((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Š ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))π‘Š)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
3530, 2, 19, 34syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))π‘Š)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
36 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (mulGrpβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ)) = (mulGrpβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ))
375fvexi 6902 . . . . . . . . . 10 π‘ˆ ∈ V
38 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 β†Ύs π‘ˆ) = (𝑅 β†Ύs π‘ˆ)
3938, 4ressmulr 17248 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ V β†’ Β· = (.rβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ)))
4037, 39ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Β· = (.rβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ))
4136, 40mgpplusg 19985 . . . . . . . 8 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ)))
42 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
4338, 42mgpress 19996 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ V) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = (mulGrpβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ)))
4413, 37, 43sylancl 586 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = (mulGrpβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ)))
4544fveq2d 6892 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ))))
4641, 45eqtr4id 2791 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β· = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
4746oveqd 7422 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Β· π‘Š) = (π‘Œ(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))π‘Š))
4847fveq2d 6892 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· π‘Š)) = ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))π‘Š)))
4946oveqd 7422 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
5035, 48, 493eqtr4d 2782 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· π‘Š)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
5150oveq2d 7421 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· π‘Š))) = ((𝑋 Β· 𝑍) Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
523, 4ringcl 20066 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡)
5313, 1, 18, 52syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡)
545, 4unitmulcl 20186 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Š ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Œ Β· π‘Š) ∈ π‘ˆ)
5513, 2, 19, 54syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Β· π‘Š) ∈ π‘ˆ)
563, 4, 5, 6, 7dvrval 20209 . . . 4 (((𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ Β· π‘Š) ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· π‘Š)) = ((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· π‘Š))))
5753, 55, 56syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· π‘Š)) = ((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· π‘Š))))
585, 6unitinvcl 20196 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Š ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) ∈ π‘ˆ)
5913, 19, 58syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) ∈ π‘ˆ)
6014, 59sselid 3979 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
613, 4ringass 20069 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)) = (𝑋 Β· (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š))))
6213, 1, 18, 60, 61syl13anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)) = (𝑋 Β· (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š))))
633, 4, 5, 6, 7dvrval 20209 . . . . . . . 8 ((𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑍 / π‘Š) = (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)))
6418, 19, 63syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑍 / π‘Š) = (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)))
6564oveq2d 7421 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· (𝑍 / π‘Š)) = (𝑋 Β· (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š))))
6662, 65eqtr4d 2775 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)) = (𝑋 Β· (𝑍 / π‘Š)))
6766oveq1d 7420 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = ((𝑋 Β· (𝑍 / π‘Š)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
683, 4ringass 20069 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = ((𝑋 Β· 𝑍) Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
6913, 53, 60, 17, 68syl13anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = ((𝑋 Β· 𝑍) Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
703, 4ringass 20069 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 / π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 Β· (𝑍 / π‘Š)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = (𝑋 Β· ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
7113, 1, 21, 17, 70syl13anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· (𝑍 / π‘Š)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = (𝑋 Β· ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
7267, 69, 713eqtr3rd 2781 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))) = ((𝑋 Β· 𝑍) Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
7351, 57, 723eqtr4rd 2783 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))) = ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· π‘Š)))
7427, 73eqtrd 2772 1 (πœ‘ β†’ ((𝑋 / π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š)) = ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Grpcgrp 18815  mulGrpcmgp 19981  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050  Unitcui 20161  invrcinvr 20193  /rcdvr 20206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-cmn 19644  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207
This theorem is referenced by:  qqhrhm  32957
  Copyright terms: Public domain W3C validator