Theorem rdivmuldivd 31179

Description: Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrdir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrdir.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrdir.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
dvrdir.t	⊢ / = (/r‘𝑅)
rdivmuldivd.p	⊢ · = (.r‘𝑅)
rdivmuldivd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rdivmuldivd.a	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rdivmuldivd.b	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
rdivmuldivd.c	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
rdivmuldivd.d	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
rdivmuldivd	⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))

Proof of Theorem rdivmuldivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdivmuldivd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		rdivmuldivd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
3		dvrdir.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		rdivmuldivd.p	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		dvrdir.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
7		dvrdir.t	. . . . . 6 ⊢ / = (/r‘𝑅)
8	3, 4, 5, 6, 7	dvrval 19675	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
9	8	oveq1d 7217	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)))
10	1, 2, 9	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)))
11		rdivmuldivd.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
12		crngring 19546	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	3, 5	unitss 19650	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
15	5, 6	unitinvcl 19664	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
16	13, 2, 15	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
17	14, 16	sseldi 3889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
18		rdivmuldivd.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
19		rdivmuldivd.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑈)
20	3, 5, 7	dvrcl 19676	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)
21	13, 18, 19, 20	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)
22	3, 4	ringass 19554	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))))
23	13, 1, 17, 21, 22	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))))
24	3, 4	crngcom 19552	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵) → (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
25	11, 17, 21, 24	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
26	25	oveq2d 7218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
27	10, 23, 26	3eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
28		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
29	5, 28	unitgrp 19657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
30	13, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
31	5, 28	unitgrpbas 19656	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
32		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
33	5, 28, 6	invrfval 19663	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
34	31, 32, 33	grpinvadd 18413	. . . . . 6 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = (((invr‘𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr‘𝑅)‘𝑌)))
35	30, 2, 19, 34	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = (((invr‘𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr‘𝑅)‘𝑌)))
36		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈))
37	5	fvexi 6720	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ V
38		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑈) = (𝑅 ↾s 𝑈)
39	38, 4	ressmulr 16827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ V → · = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
40	37, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈))
41	36, 40	mgpplusg 19480	. . . . . . . 8 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
42		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
43	38, 42	mgpress 19487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ V) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
44	13, 37, 43	sylancl 589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
45	44	fveq2d 6710	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
46	41, 45	eqtr4id 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
47	46	oveqd 7219	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑊) = (𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊))
48	47	fveq2d 6710	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊)) = ((invr‘𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)))
49	46	oveqd 7219	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (((invr‘𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr‘𝑅)‘𝑌)))
50	35, 48, 49	3eqtr4d 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊)) = (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
51	50	oveq2d 7218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
52	3, 4	ringcl 19551	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
53	13, 1, 18, 52	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
54	5, 4	unitmulcl 19654	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈)
55	13, 2, 19, 54	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈)
56	3, 4, 5, 6, 7	dvrval 19675	. . . 4 ⊢ (((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))))
57	53, 55, 56	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))))
58	5, 6	unitinvcl 19664	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝑈)
59	13, 19, 58	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝑈)
60	14, 59	sseldi 3889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵)
61	3, 4	ringass 19554	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊))))
62	13, 1, 18, 60, 61	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊))))
63	3, 4, 5, 6, 7	dvrval 19675	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → (𝑍 / 𝑊) = (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊)))
64	18, 19, 63	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑊) = (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊)))
65	64	oveq2d 7218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊))))
66	62, 65	eqtr4d 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 / 𝑊)))
67	66	oveq1d 7217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
68	3, 4	ringass 19554	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
69	13, 53, 60, 17, 68	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
70	3, 4	ringass 19554	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
71	13, 1, 21, 17, 70	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
72	67, 69, 71	3eqtr3rd 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
73	51, 57, 72	3eqtr4rd 2785	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))
74	27, 73	eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  Vcvv 3401  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  Basecbs 16684   ↾_s cress 16685  +_gcplusg 16767  ._rcmulr 16768  Grpcgrp 18337  mulGrpcmgp 19476  Ringcrg 19534  CRingccrg 19535  Unitcui 19629  inv_rcinvr 19661  /_rcdvr 19672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-tpos 7957  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-2 11876  df-3 11877  df-ndx 16687  df-slot 16688  df-base 16690  df-sets 16691  df-ress 16692  df-plusg 16780  df-mulr 16781  df-0g 16918  df-mgm 18086  df-sgrp 18135  df-mnd 18146  df-grp 18340  df-minusg 18341  df-cmn 19144  df-mgp 19477  df-ur 19489  df-ring 19536  df-cring 19537  df-oppr 19613  df-dvdsr 19631  df-unit 19632  df-invr 19662  df-dvr 19673

This theorem is referenced by:  qqhrhm  31623