Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rdivmuldivd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rdivmuldivd 30913
Description: Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrdir.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrdir.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrdir.p + = (+g𝑅)
dvrdir.t / = (/r𝑅)
rdivmuldivd.p · = (.r𝑅)
rdivmuldivd.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
rdivmuldivd.a (𝜑𝑋𝐵)
rdivmuldivd.b (𝜑𝑌𝑈)
rdivmuldivd.c (𝜑𝑍𝐵)
rdivmuldivd.d (𝜑𝑊𝑈)
Assertion
Ref Expression
rdivmuldivd (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))

Proof of Theorem rdivmuldivd
StepHypRef Expression
1 rdivmuldivd.a . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
2 rdivmuldivd.b . . . 4 (𝜑𝑌𝑈)
3 dvrdir.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 rdivmuldivd.p . . . . . 6 · = (.r𝑅)
5 dvrdir.u . . . . . 6 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6 eqid 2798 . . . . . 6 (invr𝑅) = (invr𝑅)
7 dvrdir.t . . . . . 6 / = (/r𝑅)
83, 4, 5, 6, 7dvrval 19431 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)))
98oveq1d 7150 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)))
101, 2, 9syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)))
11 rdivmuldivd.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
12 crngring 19302 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
1311, 12syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
143, 5unitss 19406 . . . . 5 𝑈𝐵
155, 6unitinvcl 19420 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
1613, 2, 15syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
1714, 16sseldi 3913 . . . 4 (𝜑 → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
18 rdivmuldivd.c . . . . 5 (𝜑𝑍𝐵)
19 rdivmuldivd.d . . . . 5 (𝜑𝑊𝑈)
203, 5, 7dvrcl 19432 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝐵𝑊𝑈) → (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)
2113, 18, 19, 20syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)
223, 4ringass 19310 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (((invr𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))))
2313, 1, 17, 21, 22syl13anc 1369 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (((invr𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))))
243, 4crngcom 19308 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵) → (((invr𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌)))
2511, 17, 21, 24syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (((invr𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌)))
2625oveq2d 7151 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · (((invr𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
2710, 23, 263eqtrd 2837 . 2 (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
28 eqid 2798 . . . . . . . 8 ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
295, 28unitgrp 19413 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
3013, 29syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
315, 28unitgrpbas 19412 . . . . . . 7 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
32 eqid 2798 . . . . . . 7 (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
335, 28, 6invrfval 19419 . . . . . . 7 (invr𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
3431, 32, 33grpinvadd 18169 . . . . . 6 ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌𝑈𝑊𝑈) → ((invr𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = (((invr𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr𝑅)‘𝑌)))
3530, 2, 19, 34syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → ((invr𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = (((invr𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr𝑅)‘𝑌)))
36 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘(𝑅s 𝑈)) = (mulGrp‘(𝑅s 𝑈))
375fvexi 6659 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ V
38 eqid 2798 . . . . . . . . . . 11 (𝑅s 𝑈) = (𝑅s 𝑈)
3938, 4ressmulr 16617 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ V → · = (.r‘(𝑅s 𝑈)))
4037, 39ax-mp 5 . . . . . . . . 9 · = (.r‘(𝑅s 𝑈))
4136, 40mgpplusg 19236 . . . . . . . 8 · = (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝑈)))
42 eqid 2798 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
4338, 42mgpress 19243 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ V) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = (mulGrp‘(𝑅s 𝑈)))
4413, 37, 43sylancl 589 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = (mulGrp‘(𝑅s 𝑈)))
4544fveq2d 6649 . . . . . . . 8 (𝜑 → (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝑈))))
4641, 45eqtr4id 2852 . . . . . . 7 (𝜑· = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
4746oveqd 7152 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 · 𝑊) = (𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊))
4847fveq2d 6649 . . . . 5 (𝜑 → ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑊)) = ((invr𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)))
4946oveqd 7152 . . . . 5 (𝜑 → (((invr𝑅)‘𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = (((invr𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr𝑅)‘𝑌)))
5035, 48, 493eqtr4d 2843 . . . 4 (𝜑 → ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑊)) = (((invr𝑅)‘𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌)))
5150oveq2d 7151 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr𝑅)‘𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
523, 4ringcl 19307 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
5313, 1, 18, 52syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
545, 4unitmulcl 19410 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈𝑊𝑈) → (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈)
5513, 2, 19, 54syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈)
563, 4, 5, 6, 7dvrval 19431 . . . 4 (((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))))
5753, 55, 56syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))))
585, 6unitinvcl 19420 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑊𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑊) ∈ 𝑈)
5913, 19, 58syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((invr𝑅)‘𝑊) ∈ 𝑈)
6014, 59sseldi 3913 . . . . . . 7 (𝜑 → ((invr𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵)
613, 4ringass 19310 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑊))))
6213, 1, 18, 60, 61syl13anc 1369 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑊))))
633, 4, 5, 6, 7dvrval 19431 . . . . . . . 8 ((𝑍𝐵𝑊𝑈) → (𝑍 / 𝑊) = (𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑊)))
6418, 19, 63syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍 / 𝑊) = (𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑊)))
6564oveq2d 7151 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑊))))
6662, 65eqtr4d 2836 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 / 𝑊)))
6766oveq1d 7150 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑊)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr𝑅)‘𝑌)))
683, 4ringass 19310 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑊)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr𝑅)‘𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
6913, 53, 60, 17, 68syl13anc 1369 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑊)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr𝑅)‘𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
703, 4ringass 19310 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
7113, 1, 21, 17, 70syl13anc 1369 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
7267, 69, 713eqtr3rd 2842 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr𝑅)‘𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
7351, 57, 723eqtr4rd 2844 . 2 (𝜑 → (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))
7427, 73eqtrd 2833 1 (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  Vcvv 3441  cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  s cress 16476  +gcplusg 16557  .rcmulr 16558  Grpcgrp 18095  mulGrpcmgp 19232  Ringcrg 19290  CRingccrg 19291  Unitcui 19385  invrcinvr 19417  /rcdvr 19428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-cmn 18900  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429
This theorem is referenced by:  qqhrhm  31340
  Copyright terms: Public domain W3C validator