Theorem rdivmuldivd 20329

Description: Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrdir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrdir.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrdir.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
dvrdir.t	⊢ / = (/r‘𝑅)
rdivmuldivd.p	⊢ · = (.r‘𝑅)
rdivmuldivd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rdivmuldivd.a	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rdivmuldivd.b	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
rdivmuldivd.c	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
rdivmuldivd.d	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
rdivmuldivd	⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))

Proof of Theorem rdivmuldivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdivmuldivd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		rdivmuldivd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
3		dvrdir.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		rdivmuldivd.p	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		dvrdir.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
7		dvrdir.t	. . . . . 6 ⊢ / = (/r‘𝑅)
8	3, 4, 5, 6, 7	dvrval 20319	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
9	8	oveq1d 7405	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)))
10	1, 2, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)))
11		rdivmuldivd.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
12		crngring 20161	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	3, 5	unitss 20292	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
15	5, 6	unitinvcl 20306	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
16	13, 2, 15	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
17	14, 16	sselid 3947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
18		rdivmuldivd.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
19		rdivmuldivd.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑈)
20	3, 5, 7	dvrcl 20320	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)
21	13, 18, 19, 20	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)
22	3, 4	ringass 20169	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))))
23	13, 1, 17, 21, 22	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))))
24	3, 4	crngcom 20167	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵) → (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
25	11, 17, 21, 24	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
26	25	oveq2d 7406	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
27	10, 23, 26	3eqtrd 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
28		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
29	5, 28	unitgrp 20299	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
30	13, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
31	5, 28	unitgrpbas 20298	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
32		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
33	5, 28, 6	invrfval 20305	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
34	31, 32, 33	grpinvadd 18957	. . . . . 6 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = (((invr‘𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr‘𝑅)‘𝑌)))
35	30, 2, 19, 34	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = (((invr‘𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr‘𝑅)‘𝑌)))
36		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈))
37	5	fvexi 6875	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ V
38		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑈) = (𝑅 ↾s 𝑈)
39	38, 4	ressmulr 17277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ V → · = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
40	37, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈))
41	36, 40	mgpplusg 20060	. . . . . . . 8 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
42		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
43	38, 42	mgpress 20066	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ V) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
44	13, 37, 43	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
45	44	fveq2d 6865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
46	41, 45	eqtr4id 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
47	46	oveqd 7407	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑊) = (𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊))
48	47	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊)) = ((invr‘𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)))
49	46	oveqd 7407	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (((invr‘𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr‘𝑅)‘𝑌)))
50	35, 48, 49	3eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊)) = (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
51	50	oveq2d 7406	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
52	3, 4	ringcl 20166	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
53	13, 1, 18, 52	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
54	5, 4	unitmulcl 20296	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈)
55	13, 2, 19, 54	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈)
56	3, 4, 5, 6, 7	dvrval 20319	. . . 4 ⊢ (((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))))
57	53, 55, 56	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))))
58	5, 6	unitinvcl 20306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝑈)
59	13, 19, 58	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝑈)
60	14, 59	sselid 3947	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵)
61	3, 4	ringass 20169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊))))
62	13, 1, 18, 60, 61	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊))))
63	3, 4, 5, 6, 7	dvrval 20319	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → (𝑍 / 𝑊) = (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊)))
64	18, 19, 63	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑊) = (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊)))
65	64	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊))))
66	62, 65	eqtr4d 2768	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 / 𝑊)))
67	66	oveq1d 7405	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
68	3, 4	ringass 20169	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
69	13, 53, 60, 17, 68	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
70	3, 4	ringass 20169	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
71	13, 1, 21, 17, 70	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
72	67, 69, 71	3eqtr3rd 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
73	51, 57, 72	3eqtr4rd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))
74	27, 73	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228  Grpcgrp 18872  mulGrpcmgp 20056  Ringcrg 20149  CRingccrg 20150  Unitcui 20271  inv_rcinvr 20303  /_rcdvr 20316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317

This theorem is referenced by:  qqhrhm  33986