MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rdivmuldivd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rdivmuldivd 20227
Description: Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrdir.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
dvrdir.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
dvrdir.p + = (+gβ€˜π‘…)
dvrdir.t / = (/rβ€˜π‘…)
rdivmuldivd.p Β· = (.rβ€˜π‘…)
rdivmuldivd.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
rdivmuldivd.a (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
rdivmuldivd.b (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
rdivmuldivd.c (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
rdivmuldivd.d (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
rdivmuldivd (πœ‘ β†’ ((𝑋 / π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š)) = ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· π‘Š)))
Proof of Theorem rdivmuldivd
StepHypRef Expression
1 rdivmuldivd.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2 rdivmuldivd.b . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
3 dvrdir.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
4 rdivmuldivd.p . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π‘…)
5 dvrdir.u . . . . . 6 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
6 eqid 2733 . . . . . 6 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
7 dvrdir.t . . . . . 6 / = (/rβ€˜π‘…)
83, 4, 5, 6, 7dvrval 20217 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
98oveq1d 7424 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 / π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š)) = ((𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) Β· (𝑍 / π‘Š)))
101, 2, 9syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 / π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š)) = ((𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) Β· (𝑍 / π‘Š)))
11 rdivmuldivd.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
12 crngring 20068 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1311, 12syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
143, 5unitss 20190 . . . . 5 π‘ˆ βŠ† 𝐡
155, 6unitinvcl 20204 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
1613, 2, 15syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
1714, 16sselid 3981 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
18 rdivmuldivd.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
19 rdivmuldivd.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ π‘ˆ)
203, 5, 7dvrcl 20218 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑍 / π‘Š) ∈ 𝐡)
2113, 18, 19, 20syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑍 / π‘Š) ∈ 𝐡)
223, 4ringass 20076 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 / π‘Š) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) Β· (𝑍 / π‘Š)) = (𝑋 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š))))
2313, 1, 17, 21, 22syl13anc 1373 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) Β· (𝑍 / π‘Š)) = (𝑋 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š))))
243, 4crngcom 20074 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 / π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š)) = ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
2511, 17, 21, 24syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š)) = ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
2625oveq2d 7425 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š))) = (𝑋 Β· ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
2710, 23, 263eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋 / π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š)) = (𝑋 Β· ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
28 eqid 2733 . . . . . . . 8 ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
295, 28unitgrp 20197 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
3013, 29syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
315, 28unitgrpbas 20196 . . . . . . 7 π‘ˆ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
32 eqid 2733 . . . . . . 7 (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)) = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
335, 28, 6invrfval 20203 . . . . . . 7 (invrβ€˜π‘…) = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
3431, 32, 33grpinvadd 18901 . . . . . 6 ((((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Š ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))π‘Š)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
3530, 2, 19, 34syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))π‘Š)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
36 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (mulGrpβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ)) = (mulGrpβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ))
375fvexi 6906 . . . . . . . . . 10 π‘ˆ ∈ V
38 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 β†Ύs π‘ˆ) = (𝑅 β†Ύs π‘ˆ)
3938, 4ressmulr 17252 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ V β†’ Β· = (.rβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ)))
4037, 39ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Β· = (.rβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ))
4136, 40mgpplusg 19991 . . . . . . . 8 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ)))
42 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
4338, 42mgpress 20002 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ V) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = (mulGrpβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ)))
4413, 37, 43sylancl 587 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = (mulGrpβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ)))
4544fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ))))
4641, 45eqtr4id 2792 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β· = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
4746oveqd 7426 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Β· π‘Š) = (π‘Œ(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))π‘Š))
4847fveq2d 6896 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· π‘Š)) = ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))π‘Š)))
4946oveqd 7426 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
5035, 48, 493eqtr4d 2783 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· π‘Š)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
5150oveq2d 7425 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· π‘Š))) = ((𝑋 Β· 𝑍) Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
523, 4ringcl 20073 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡)
5313, 1, 18, 52syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡)
545, 4unitmulcl 20194 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Š ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Œ Β· π‘Š) ∈ π‘ˆ)
5513, 2, 19, 54syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Β· π‘Š) ∈ π‘ˆ)
563, 4, 5, 6, 7dvrval 20217 . . . 4 (((𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ Β· π‘Š) ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· π‘Š)) = ((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· π‘Š))))
5753, 55, 56syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· π‘Š)) = ((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· π‘Š))))
585, 6unitinvcl 20204 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Š ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) ∈ π‘ˆ)
5913, 19, 58syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) ∈ π‘ˆ)
6014, 59sselid 3981 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
613, 4ringass 20076 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)) = (𝑋 Β· (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š))))
6213, 1, 18, 60, 61syl13anc 1373 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)) = (𝑋 Β· (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š))))
633, 4, 5, 6, 7dvrval 20217 . . . . . . . 8 ((𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑍 / π‘Š) = (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)))
6418, 19, 63syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑍 / π‘Š) = (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)))
6564oveq2d 7425 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· (𝑍 / π‘Š)) = (𝑋 Β· (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š))))
6662, 65eqtr4d 2776 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)) = (𝑋 Β· (𝑍 / π‘Š)))
6766oveq1d 7424 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = ((𝑋 Β· (𝑍 / π‘Š)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
683, 4ringass 20076 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = ((𝑋 Β· 𝑍) Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
6913, 53, 60, 17, 68syl13anc 1373 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = ((𝑋 Β· 𝑍) Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
703, 4ringass 20076 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 / π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 Β· (𝑍 / π‘Š)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = (𝑋 Β· ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
7113, 1, 21, 17, 70syl13anc 1373 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· (𝑍 / π‘Š)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = (𝑋 Β· ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
7267, 69, 713eqtr3rd 2782 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))) = ((𝑋 Β· 𝑍) Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
7351, 57, 723eqtr4rd 2784 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))) = ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· π‘Š)))
7427, 73eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ ((𝑋 / π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š)) = ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  +gcplusg 17197  .rcmulr 17198  Grpcgrp 18819  mulGrpcmgp 19987  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057  Unitcui 20169  invrcinvr 20201  /rcdvr 20214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215
This theorem is referenced by:  qqhrhm  32969
  Copyright terms: Public domain W3C validator