MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rdivmuldivd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rdivmuldivd 20430
Description: Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrdir.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrdir.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrdir.p + = (+g𝑅)
dvrdir.t / = (/r𝑅)
rdivmuldivd.p · = (.r𝑅)
rdivmuldivd.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
rdivmuldivd.a (𝜑𝑋𝐵)
rdivmuldivd.b (𝜑𝑌𝑈)
rdivmuldivd.c (𝜑𝑍𝐵)
rdivmuldivd.d (𝜑𝑊𝑈)
Assertion
Ref Expression
rdivmuldivd (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))

Proof of Theorem rdivmuldivd
StepHypRef Expression
1 rdivmuldivd.a . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
2 rdivmuldivd.b . . . 4 (𝜑𝑌𝑈)
3 dvrdir.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 rdivmuldivd.p . . . . . 6 · = (.r𝑅)
5 dvrdir.u . . . . . 6 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6 eqid 2735 . . . . . 6 (invr𝑅) = (invr𝑅)
7 dvrdir.t . . . . . 6 / = (/r𝑅)
83, 4, 5, 6, 7dvrval 20420 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)))
98oveq1d 7446 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)))
101, 2, 9syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)))
11 rdivmuldivd.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
12 crngring 20263 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
1311, 12syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
143, 5unitss 20393 . . . . 5 𝑈𝐵
155, 6unitinvcl 20407 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
1613, 2, 15syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
1714, 16sselid 3993 . . . 4 (𝜑 → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
18 rdivmuldivd.c . . . . 5 (𝜑𝑍𝐵)
19 rdivmuldivd.d . . . . 5 (𝜑𝑊𝑈)
203, 5, 7dvrcl 20421 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝐵𝑊𝑈) → (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)
2113, 18, 19, 20syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)
223, 4ringass 20271 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (((invr𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))))
2313, 1, 17, 21, 22syl13anc 1371 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (((invr𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))))
243, 4crngcom 20269 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵) → (((invr𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌)))
2511, 17, 21, 24syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (((invr𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌)))
2625oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · (((invr𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
2710, 23, 263eqtrd 2779 . 2 (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
28 eqid 2735 . . . . . . . 8 ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
295, 28unitgrp 20400 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
3013, 29syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
315, 28unitgrpbas 20399 . . . . . . 7 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
32 eqid 2735 . . . . . . 7 (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
335, 28, 6invrfval 20406 . . . . . . 7 (invr𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
3431, 32, 33grpinvadd 19049 . . . . . 6 ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌𝑈𝑊𝑈) → ((invr𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = (((invr𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr𝑅)‘𝑌)))
3530, 2, 19, 34syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → ((invr𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = (((invr𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr𝑅)‘𝑌)))
36 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘(𝑅s 𝑈)) = (mulGrp‘(𝑅s 𝑈))
375fvexi 6921 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ V
38 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (𝑅s 𝑈) = (𝑅s 𝑈)
3938, 4ressmulr 17353 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ V → · = (.r‘(𝑅s 𝑈)))
4037, 39ax-mp 5 . . . . . . . . 9 · = (.r‘(𝑅s 𝑈))
4136, 40mgpplusg 20156 . . . . . . . 8 · = (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝑈)))
42 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
4338, 42mgpress 20167 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ V) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = (mulGrp‘(𝑅s 𝑈)))
4413, 37, 43sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = (mulGrp‘(𝑅s 𝑈)))
4544fveq2d 6911 . . . . . . . 8 (𝜑 → (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝑈))))
4641, 45eqtr4id 2794 . . . . . . 7 (𝜑· = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
4746oveqd 7448 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 · 𝑊) = (𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊))
4847fveq2d 6911 . . . . 5 (𝜑 → ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑊)) = ((invr𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)))
4946oveqd 7448 . . . . 5 (𝜑 → (((invr𝑅)‘𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = (((invr𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr𝑅)‘𝑌)))
5035, 48, 493eqtr4d 2785 . . . 4 (𝜑 → ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑊)) = (((invr𝑅)‘𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌)))
5150oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr𝑅)‘𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
523, 4ringcl 20268 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
5313, 1, 18, 52syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
545, 4unitmulcl 20397 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈𝑊𝑈) → (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈)
5513, 2, 19, 54syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈)
563, 4, 5, 6, 7dvrval 20420 . . . 4 (((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))))
5753, 55, 56syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))))
585, 6unitinvcl 20407 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑊𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑊) ∈ 𝑈)
5913, 19, 58syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((invr𝑅)‘𝑊) ∈ 𝑈)
6014, 59sselid 3993 . . . . . . 7 (𝜑 → ((invr𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵)
613, 4ringass 20271 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑊))))
6213, 1, 18, 60, 61syl13anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑊))))
633, 4, 5, 6, 7dvrval 20420 . . . . . . . 8 ((𝑍𝐵𝑊𝑈) → (𝑍 / 𝑊) = (𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑊)))
6418, 19, 63syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍 / 𝑊) = (𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑊)))
6564oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑊))))
6662, 65eqtr4d 2778 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 / 𝑊)))
6766oveq1d 7446 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑊)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr𝑅)‘𝑌)))
683, 4ringass 20271 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑊)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr𝑅)‘𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
6913, 53, 60, 17, 68syl13anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑊)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr𝑅)‘𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
703, 4ringass 20271 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
7113, 1, 21, 17, 70syl13anc 1371 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
7267, 69, 713eqtr3rd 2784 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr𝑅)‘𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
7351, 57, 723eqtr4rd 2786 . 2 (𝜑 → (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))
7427, 73eqtrd 2775 1 (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  s cress 17274  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Grpcgrp 18964  mulGrpcmgp 20152  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  Unitcui 20372  invrcinvr 20404  /rcdvr 20417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418
This theorem is referenced by:  qqhrhm  33952
  Copyright terms: Public domain W3C validator