Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvrcan5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvrcan5 32944
Description: Cancellation law for common factor in ratio. (divcan5 11946 analog.) (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrcan5.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
dvrcan5.o π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
dvrcan5.d / = (/rβ€˜π‘…)
dvrcan5.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
dvrcan5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· 𝑍)) = (𝑋 / π‘Œ))
Proof of Theorem dvrcan5
StepHypRef Expression
1 dvrcan5.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 dvrcan5.o . . . . . . 7 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
31, 2unitss 20314 . . . . . 6 π‘ˆ βŠ† 𝐡
4 simpr3 1194 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
53, 4sselid 3978 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
6 dvrcan5.t . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜π‘…)
72, 6unitmulcl 20318 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ π‘ˆ)
873adant3r1 1180 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ π‘ˆ)
9 eqid 2728 . . . . . 6 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
10 dvrcan5.d . . . . . 6 / = (/rβ€˜π‘…)
111, 6, 2, 9, 10dvrval 20341 . . . . 5 ((𝑍 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑍 / (π‘Œ Β· 𝑍)) = (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· 𝑍))))
125, 8, 11syl2anc 583 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑍 / (π‘Œ Β· 𝑍)) = (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· 𝑍))))
13 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
14 eqid 2728 . . . . . . 7 ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
152, 14unitgrp 20321 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
1613, 15syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
17 simpr2 1193 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
182, 14unitgrpbas 20320 . . . . . . 7 π‘ˆ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
192fvexi 6911 . . . . . . . 8 π‘ˆ ∈ V
20 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
2120, 6mgpplusg 20077 . . . . . . . . 9 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
2214, 21ressplusg 17270 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ V β†’ Β· = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
2319, 22ax-mp 5 . . . . . . 7 Β· = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
242, 14, 9invrfval 20327 . . . . . . 7 (invrβ€˜π‘…) = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
2518, 23, 24grpinvadd 18973 . . . . . 6 ((((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· 𝑍)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
2625oveq2d 7436 . . . . 5 ((((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· 𝑍))) = (𝑍 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
2716, 17, 4, 26syl3anc 1369 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· 𝑍))) = (𝑍 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
28 eqid 2728 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
292, 9, 6, 28unitrinv 20332 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) = (1rβ€˜π‘…))
3029oveq1d 7435 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = ((1rβ€˜π‘…) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
31303ad2antr3 1188 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = ((1rβ€˜π‘…) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
322, 9unitinvcl 20328 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
33323ad2antr3 1188 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
343, 33sselid 3978 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
352, 9unitinvcl 20328 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
36353ad2antr2 1187 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
373, 36sselid 3978 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
381, 6ringass 20192 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = (𝑍 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
3913, 5, 34, 37, 38syl13anc 1370 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = (𝑍 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
401, 6, 28ringlidm 20204 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))
4113, 37, 40syl2anc 583 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))
4231, 39, 413eqtr3d 2776 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑍 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))) = ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))
4312, 27, 423eqtrd 2772 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑍 / (π‘Œ Β· 𝑍)) = ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))
4443oveq2d 7436 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 Β· (𝑍 / (π‘Œ Β· 𝑍))) = (𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
45 simpr1 1192 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
461, 2, 10, 6dvrass 20346 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· 𝑍)) = (𝑋 Β· (𝑍 / (π‘Œ Β· 𝑍))))
4713, 45, 5, 8, 46syl13anc 1370 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· 𝑍)) = (𝑋 Β· (𝑍 / (π‘Œ Β· 𝑍))))
481, 6, 2, 9, 10dvrval 20341 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
4945, 17, 48syl2anc 583 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
5044, 47, 493eqtr4d 2778 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· 𝑍)) = (𝑋 / π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179   β†Ύs cress 17208  +gcplusg 17232  .rcmulr 17233  Grpcgrp 18889  mulGrpcmgp 20073  1rcur 20120  Ringcrg 20172  Unitcui 20293  invrcinvr 20325  /rcdvr 20338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339
This theorem is referenced by:  rhmdvd  33033
  Copyright terms: Public domain W3C validator