Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvrcan5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvrcan5 32380
Description: Cancellation law for common factor in ratio. (divcan5 11915 analog.) (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrcan5.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
dvrcan5.o π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
dvrcan5.d / = (/rβ€˜π‘…)
dvrcan5.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
dvrcan5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· 𝑍)) = (𝑋 / π‘Œ))
Proof of Theorem dvrcan5
StepHypRef Expression
1 dvrcan5.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 dvrcan5.o . . . . . . 7 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
31, 2unitss 20189 . . . . . 6 π‘ˆ βŠ† 𝐡
4 simpr3 1196 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
53, 4sselid 3980 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
6 dvrcan5.t . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜π‘…)
72, 6unitmulcl 20193 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ π‘ˆ)
873adant3r1 1182 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ π‘ˆ)
9 eqid 2732 . . . . . 6 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
10 dvrcan5.d . . . . . 6 / = (/rβ€˜π‘…)
111, 6, 2, 9, 10dvrval 20216 . . . . 5 ((𝑍 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑍 / (π‘Œ Β· 𝑍)) = (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· 𝑍))))
125, 8, 11syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑍 / (π‘Œ Β· 𝑍)) = (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· 𝑍))))
13 simpl 483 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
14 eqid 2732 . . . . . . 7 ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
152, 14unitgrp 20196 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
1613, 15syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
17 simpr2 1195 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
182, 14unitgrpbas 20195 . . . . . . 7 π‘ˆ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
192fvexi 6905 . . . . . . . 8 π‘ˆ ∈ V
20 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
2120, 6mgpplusg 19990 . . . . . . . . 9 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
2214, 21ressplusg 17234 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ V β†’ Β· = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
2319, 22ax-mp 5 . . . . . . 7 Β· = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
242, 14, 9invrfval 20202 . . . . . . 7 (invrβ€˜π‘…) = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
2518, 23, 24grpinvadd 18900 . . . . . 6 ((((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· 𝑍)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
2625oveq2d 7424 . . . . 5 ((((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· 𝑍))) = (𝑍 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
2716, 17, 4, 26syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· 𝑍))) = (𝑍 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
28 eqid 2732 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
292, 9, 6, 28unitrinv 20207 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) = (1rβ€˜π‘…))
3029oveq1d 7423 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = ((1rβ€˜π‘…) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
31303ad2antr3 1190 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = ((1rβ€˜π‘…) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
322, 9unitinvcl 20203 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
33323ad2antr3 1190 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
343, 33sselid 3980 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
352, 9unitinvcl 20203 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
36353ad2antr2 1189 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
373, 36sselid 3980 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
381, 6ringass 20075 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = (𝑍 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
3913, 5, 34, 37, 38syl13anc 1372 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = (𝑍 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
401, 6, 28ringlidm 20085 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))
4113, 37, 40syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))
4231, 39, 413eqtr3d 2780 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑍 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))) = ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))
4312, 27, 423eqtrd 2776 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑍 / (π‘Œ Β· 𝑍)) = ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))
4443oveq2d 7424 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 Β· (𝑍 / (π‘Œ Β· 𝑍))) = (𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
45 simpr1 1194 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
461, 2, 10, 6dvrass 20221 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· 𝑍)) = (𝑋 Β· (𝑍 / (π‘Œ Β· 𝑍))))
4713, 45, 5, 8, 46syl13anc 1372 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· 𝑍)) = (𝑋 Β· (𝑍 / (π‘Œ Β· 𝑍))))
481, 6, 2, 9, 10dvrval 20216 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
4945, 17, 48syl2anc 584 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
5044, 47, 493eqtr4d 2782 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· 𝑍)) = (𝑋 / π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143   β†Ύs cress 17172  +gcplusg 17196  .rcmulr 17197  Grpcgrp 18818  mulGrpcmgp 19986  1rcur 20003  Ringcrg 20055  Unitcui 20168  invrcinvr 20200  /rcdvr 20213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214
This theorem is referenced by:  rhmdvd  32431
  Copyright terms: Public domain W3C validator