Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvrcan5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvrcan5 32876
Description: Cancellation law for common factor in ratio. (divcan5 11915 analog.) (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrcan5.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
dvrcan5.o π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
dvrcan5.d / = (/rβ€˜π‘…)
dvrcan5.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
dvrcan5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· 𝑍)) = (𝑋 / π‘Œ))
Proof of Theorem dvrcan5
StepHypRef Expression
1 dvrcan5.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 dvrcan5.o . . . . . . 7 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
31, 2unitss 20274 . . . . . 6 π‘ˆ βŠ† 𝐡
4 simpr3 1193 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
53, 4sselid 3973 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
6 dvrcan5.t . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜π‘…)
72, 6unitmulcl 20278 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ π‘ˆ)
873adant3r1 1179 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ π‘ˆ)
9 eqid 2724 . . . . . 6 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
10 dvrcan5.d . . . . . 6 / = (/rβ€˜π‘…)
111, 6, 2, 9, 10dvrval 20301 . . . . 5 ((𝑍 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑍 / (π‘Œ Β· 𝑍)) = (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· 𝑍))))
125, 8, 11syl2anc 583 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑍 / (π‘Œ Β· 𝑍)) = (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· 𝑍))))
13 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
14 eqid 2724 . . . . . . 7 ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
152, 14unitgrp 20281 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
1613, 15syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
17 simpr2 1192 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
182, 14unitgrpbas 20280 . . . . . . 7 π‘ˆ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
192fvexi 6896 . . . . . . . 8 π‘ˆ ∈ V
20 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
2120, 6mgpplusg 20039 . . . . . . . . 9 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
2214, 21ressplusg 17240 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ V β†’ Β· = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
2319, 22ax-mp 5 . . . . . . 7 Β· = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
242, 14, 9invrfval 20287 . . . . . . 7 (invrβ€˜π‘…) = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
2518, 23, 24grpinvadd 18942 . . . . . 6 ((((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· 𝑍)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
2625oveq2d 7418 . . . . 5 ((((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· 𝑍))) = (𝑍 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
2716, 17, 4, 26syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· 𝑍))) = (𝑍 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
28 eqid 2724 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
292, 9, 6, 28unitrinv 20292 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) = (1rβ€˜π‘…))
3029oveq1d 7417 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = ((1rβ€˜π‘…) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
31303ad2antr3 1187 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = ((1rβ€˜π‘…) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
322, 9unitinvcl 20288 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
33323ad2antr3 1187 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
343, 33sselid 3973 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
352, 9unitinvcl 20288 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
36353ad2antr2 1186 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
373, 36sselid 3973 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
381, 6ringass 20154 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = (𝑍 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
3913, 5, 34, 37, 38syl13anc 1369 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = (𝑍 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
401, 6, 28ringlidm 20164 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))
4113, 37, 40syl2anc 583 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))
4231, 39, 413eqtr3d 2772 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑍 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))) = ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))
4312, 27, 423eqtrd 2768 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑍 / (π‘Œ Β· 𝑍)) = ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))
4443oveq2d 7418 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 Β· (𝑍 / (π‘Œ Β· 𝑍))) = (𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
45 simpr1 1191 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
461, 2, 10, 6dvrass 20306 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· 𝑍)) = (𝑋 Β· (𝑍 / (π‘Œ Β· 𝑍))))
4713, 45, 5, 8, 46syl13anc 1369 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· 𝑍)) = (𝑋 Β· (𝑍 / (π‘Œ Β· 𝑍))))
481, 6, 2, 9, 10dvrval 20301 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
4945, 17, 48syl2anc 583 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
5044, 47, 493eqtr4d 2774 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· 𝑍)) = (𝑋 / π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149   β†Ύs cress 17178  +gcplusg 17202  .rcmulr 17203  Grpcgrp 18859  mulGrpcmgp 20035  1rcur 20082  Ringcrg 20134  Unitcui 20253  invrcinvr 20285  /rcdvr 20298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299
This theorem is referenced by:  rhmdvd  32928
  Copyright terms: Public domain W3C validator