Theorem dvrcan5 33536

Description: Cancellation law for common factor in ratio. (divcan5 11918 analog.) (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrcan5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrcan5.o	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrcan5.d	⊢ / = (/r‘𝑅)
dvrcan5.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvrcan5	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 / 𝑌))

Proof of Theorem dvrcan5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvrcan5.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvrcan5.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitss 20459	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
4		simpr3 1215	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝑈)
5	3, 4	sselid 3936	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
6		dvrcan5.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	2, 6	unitmulcl 20463	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈)
8	7	3adant3r1 1201	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈)
9		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
10		dvrcan5.d	. . . . . 6 ⊢ / = (/r‘𝑅)
11	1, 6, 2, 9, 10	dvrval 20486	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈) → (𝑍 / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
12	5, 8, 11	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑍 / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
13		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
14		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
15	2, 14	unitgrp 20466	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
16	13, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
17		simpr2 1214	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
18	2, 14	unitgrpbas 20465	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
19	2	fvexi 6897	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 ∈ V
20		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
21	20, 6	mgpplusg 20221	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
22	14, 21	ressplusg 17345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
23	19, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
24	2, 14, 9	invrfval 20472	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
25	18, 23, 24	grpinvadd 19085	. . . . . 6 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍)) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
26	25	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))) = (𝑍 · (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
27	16, 17, 4, 26	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))) = (𝑍 · (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
28		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
29	2, 9, 6, 28	unitrinv 20477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) = (1r‘𝑅))
30	29	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ((𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((1r‘𝑅) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
31	30	3ad2antr3 1209	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((1r‘𝑅) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
32	2, 9	unitinvcl 20473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
33	32	3ad2antr3 1209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
34	3, 33	sselid 3936	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
35	2, 9	unitinvcl 20473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
36	35	3ad2antr2 1208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
37	3, 36	sselid 3936	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
38	1, 6	ringass 20336	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑍 · (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
39	13, 5, 34, 37, 38	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑍 · (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
40	1, 6, 28	ringlidm 20353	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((invr‘𝑅)‘𝑌))
41	13, 37, 40	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((1r‘𝑅) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((invr‘𝑅)‘𝑌))
42	31, 39, 41	3eqtr3d 2806	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑍 · (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((invr‘𝑅)‘𝑌))
43	12, 27, 42	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑍 / (𝑌 · 𝑍)) = ((invr‘𝑅)‘𝑌))
44	43	oveq2d 7428	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑋 · (𝑍 / (𝑌 · 𝑍))) = (𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
45		simpr1 1213	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
46	1, 2, 10, 6	dvrass 20491	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 · (𝑍 / (𝑌 · 𝑍))))
47	13, 45, 5, 8, 46	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 · (𝑍 / (𝑌 · 𝑍))))
48	1, 6, 2, 9, 10	dvrval 20486	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
49	45, 17, 48	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
50	44, 47, 49	3eqtr4d 2808	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 / 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270   ↾_s cress 17291  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  Grpcgrp 19001  mulGrpcmgp 20217  1_rcur 20264  Ringcrg 20316  Unitcui 20438  inv_rcinvr 20470  /_rcdvr 20483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-dvr 20484

This theorem is referenced by:  rhmdvd  33625