Theorem dvrcan5 31392

Description: Cancellation law for common factor in ratio. (divcan5 11607 analog.) (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrcan5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrcan5.o	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrcan5.d	⊢ / = (/r‘𝑅)
dvrcan5.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvrcan5	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 / 𝑌))

Proof of Theorem dvrcan5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvrcan5.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvrcan5.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitss 19817	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
4		simpr3 1194	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝑈)
5	3, 4	sselid 3915	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
6		dvrcan5.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	2, 6	unitmulcl 19821	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈)
8	7	3adant3r1 1180	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈)
9		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
10		dvrcan5.d	. . . . . 6 ⊢ / = (/r‘𝑅)
11	1, 6, 2, 9, 10	dvrval 19842	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈) → (𝑍 / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
12	5, 8, 11	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑍 / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
13		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
14		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
15	2, 14	unitgrp 19824	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
16	13, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
17		simpr2 1193	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
18	2, 14	unitgrpbas 19823	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
19	2	fvexi 6770	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 ∈ V
20		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
21	20, 6	mgpplusg 19639	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
22	14, 21	ressplusg 16926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
23	19, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
24	2, 14, 9	invrfval 19830	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
25	18, 23, 24	grpinvadd 18568	. . . . . 6 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍)) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
26	25	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))) = (𝑍 · (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
27	16, 17, 4, 26	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))) = (𝑍 · (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
28		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
29	2, 9, 6, 28	unitrinv 19835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) = (1r‘𝑅))
30	29	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ((𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((1r‘𝑅) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
31	30	3ad2antr3 1188	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((1r‘𝑅) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
32	2, 9	unitinvcl 19831	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
33	32	3ad2antr3 1188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
34	3, 33	sselid 3915	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
35	2, 9	unitinvcl 19831	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
36	35	3ad2antr2 1187	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
37	3, 36	sselid 3915	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
38	1, 6	ringass 19718	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑍 · (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
39	13, 5, 34, 37, 38	syl13anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑍 · (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
40	1, 6, 28	ringlidm 19725	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((invr‘𝑅)‘𝑌))
41	13, 37, 40	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((1r‘𝑅) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((invr‘𝑅)‘𝑌))
42	31, 39, 41	3eqtr3d 2786	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑍 · (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((invr‘𝑅)‘𝑌))
43	12, 27, 42	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑍 / (𝑌 · 𝑍)) = ((invr‘𝑅)‘𝑌))
44	43	oveq2d 7271	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑋 · (𝑍 / (𝑌 · 𝑍))) = (𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
45		simpr1 1192	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
46	1, 2, 10, 6	dvrass 19847	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 · (𝑍 / (𝑌 · 𝑍))))
47	13, 45, 5, 8, 46	syl13anc 1370	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 · (𝑍 / (𝑌 · 𝑍))))
48	1, 6, 2, 9, 10	dvrval 19842	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
49	45, 17, 48	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
50	44, 47, 49	3eqtr4d 2788	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 / 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  +_gcplusg 16888  ._rcmulr 16889  Grpcgrp 18492  mulGrpcmgp 19635  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  Unitcui 19796  inv_rcinvr 19828  /_rcdvr 19839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840

This theorem is referenced by:  rhmdvd  31422