Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvrcan5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrcan5 30780
Description: Cancellation law for common factor in ratio. (divcan5 11334 analog.) (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrcan5.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrcan5.o 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrcan5.d / = (/r𝑅)
dvrcan5.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvrcan5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 / 𝑌))

Proof of Theorem dvrcan5
StepHypRef Expression
1 dvrcan5.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 dvrcan5.o . . . . . . 7 𝑈 = (Unit‘𝑅)
31, 2unitss 19332 . . . . . 6 𝑈𝐵
4 simpr3 1190 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → 𝑍𝑈)
53, 4sseldi 3968 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → 𝑍𝐵)
6 dvrcan5.t . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
72, 6unitmulcl 19336 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈𝑍𝑈) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈)
873adant3r1 1176 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈)
9 eqid 2825 . . . . . 6 (invr𝑅) = (invr𝑅)
10 dvrcan5.d . . . . . 6 / = (/r𝑅)
111, 6, 2, 9, 10dvrval 19357 . . . . 5 ((𝑍𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈) → (𝑍 / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑍 · ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
125, 8, 11syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → (𝑍 / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑍 · ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
13 simpl 483 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
14 eqid 2825 . . . . . . 7 ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
152, 14unitgrp 19339 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
1613, 15syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
17 simpr2 1189 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → 𝑌𝑈)
182, 14unitgrpbas 19338 . . . . . . 7 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
192fvexi 6680 . . . . . . . 8 𝑈 ∈ V
20 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2120, 6mgpplusg 19165 . . . . . . . . 9 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
2214, 21ressplusg 16604 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
2319, 22ax-mp 5 . . . . . . 7 · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
242, 14, 9invrfval 19345 . . . . . . 7 (invr𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
2518, 23, 24grpinvadd 18109 . . . . . 6 ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌𝑈𝑍𝑈) → ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑍)) = (((invr𝑅)‘𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑌)))
2625oveq2d 7167 . . . . 5 ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌𝑈𝑍𝑈) → (𝑍 · ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))) = (𝑍 · (((invr𝑅)‘𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
2716, 17, 4, 26syl3anc 1365 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → (𝑍 · ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))) = (𝑍 · (((invr𝑅)‘𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
28 eqid 2825 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
292, 9, 6, 28unitrinv 19350 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝑈) → (𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑍)) = (1r𝑅))
3029oveq1d 7166 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝑈) → ((𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑍)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = ((1r𝑅) · ((invr𝑅)‘𝑌)))
31303ad2antr3 1184 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑍)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = ((1r𝑅) · ((invr𝑅)‘𝑌)))
322, 9unitinvcl 19346 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
33323ad2antr3 1184 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
343, 33sseldi 3968 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
352, 9unitinvcl 19346 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
36353ad2antr2 1183 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
373, 36sseldi 3968 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
381, 6ringass 19236 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑍𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑍)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = (𝑍 · (((invr𝑅)‘𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
3913, 5, 34, 37, 38syl13anc 1366 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑍)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = (𝑍 · (((invr𝑅)‘𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
401, 6, 28ringlidm 19243 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = ((invr𝑅)‘𝑌))
4113, 37, 40syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((1r𝑅) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = ((invr𝑅)‘𝑌))
4231, 39, 413eqtr3d 2868 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → (𝑍 · (((invr𝑅)‘𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑌))) = ((invr𝑅)‘𝑌))
4312, 27, 423eqtrd 2864 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → (𝑍 / (𝑌 · 𝑍)) = ((invr𝑅)‘𝑌))
4443oveq2d 7167 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → (𝑋 · (𝑍 / (𝑌 · 𝑍))) = (𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)))
45 simpr1 1188 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → 𝑋𝐵)
461, 2, 10, 6dvrass 19362 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 · (𝑍 / (𝑌 · 𝑍))))
4713, 45, 5, 8, 46syl13anc 1366 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 · (𝑍 / (𝑌 · 𝑍))))
481, 6, 2, 9, 10dvrval 19357 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)))
4945, 17, 48syl2anc 584 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)))
5044, 47, 493eqtr4d 2870 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 / 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  Vcvv 3499  cfv 6351  (class class class)co 7151  Basecbs 16475  s cress 16476  +gcplusg 16557  .rcmulr 16558  Grpcgrp 18035  mulGrpcmgp 19161  1rcur 19173  Ringcrg 19219  Unitcui 19311  invrcinvr 19343  /rcdvr 19354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-oppr 19295  df-dvdsr 19313  df-unit 19314  df-invr 19344  df-dvr 19355
This theorem is referenced by:  rhmdvd  30810
  Copyright terms: Public domain W3C validator