Theorem dvrcan5 33194

Description: Cancellation law for common factor in ratio. (divcan5 11891 analog.) (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrcan5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrcan5.o	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrcan5.d	⊢ / = (/r‘𝑅)
dvrcan5.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvrcan5	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 / 𝑌))

Proof of Theorem dvrcan5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvrcan5.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvrcan5.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitss 20292	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
4		simpr3 1197	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝑈)
5	3, 4	sselid 3947	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
6		dvrcan5.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	2, 6	unitmulcl 20296	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈)
8	7	3adant3r1 1183	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈)
9		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
10		dvrcan5.d	. . . . . 6 ⊢ / = (/r‘𝑅)
11	1, 6, 2, 9, 10	dvrval 20319	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈) → (𝑍 / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
12	5, 8, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑍 / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
13		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
14		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
15	2, 14	unitgrp 20299	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
16	13, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
17		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
18	2, 14	unitgrpbas 20298	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
19	2	fvexi 6875	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 ∈ V
20		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
21	20, 6	mgpplusg 20060	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
22	14, 21	ressplusg 17261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
23	19, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
24	2, 14, 9	invrfval 20305	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
25	18, 23, 24	grpinvadd 18957	. . . . . 6 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍)) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
26	25	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))) = (𝑍 · (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
27	16, 17, 4, 26	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))) = (𝑍 · (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
28		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
29	2, 9, 6, 28	unitrinv 20310	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) = (1r‘𝑅))
30	29	oveq1d 7405	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ((𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((1r‘𝑅) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
31	30	3ad2antr3 1191	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((1r‘𝑅) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
32	2, 9	unitinvcl 20306	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
33	32	3ad2antr3 1191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
34	3, 33	sselid 3947	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
35	2, 9	unitinvcl 20306	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
36	35	3ad2antr2 1190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
37	3, 36	sselid 3947	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
38	1, 6	ringass 20169	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑍 · (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
39	13, 5, 34, 37, 38	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑍 · (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
40	1, 6, 28	ringlidm 20185	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((invr‘𝑅)‘𝑌))
41	13, 37, 40	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((1r‘𝑅) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((invr‘𝑅)‘𝑌))
42	31, 39, 41	3eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑍 · (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((invr‘𝑅)‘𝑌))
43	12, 27, 42	3eqtrd 2769	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑍 / (𝑌 · 𝑍)) = ((invr‘𝑅)‘𝑌))
44	43	oveq2d 7406	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑋 · (𝑍 / (𝑌 · 𝑍))) = (𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
45		simpr1 1195	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
46	1, 2, 10, 6	dvrass 20324	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 · (𝑍 / (𝑌 · 𝑍))))
47	13, 45, 5, 8, 46	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 · (𝑍 / (𝑌 · 𝑍))))
48	1, 6, 2, 9, 10	dvrval 20319	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
49	45, 17, 48	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
50	44, 47, 49	3eqtr4d 2775	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 / 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228  Grpcgrp 18872  mulGrpcmgp 20056  1_rcur 20097  Ringcrg 20149  Unitcui 20271  inv_rcinvr 20303  /_rcdvr 20316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317

This theorem is referenced by:  rhmdvd  33303