Theorem dvrcan5 33189

Description: Cancellation law for common factor in ratio. (divcan5 11844 analog.) (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrcan5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrcan5.o	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrcan5.d	⊢ / = (/r‘𝑅)
dvrcan5.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvrcan5	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 / 𝑌))

Proof of Theorem dvrcan5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvrcan5.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvrcan5.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitss 20279	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
4		simpr3 1197	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝑈)
5	3, 4	sselid 3935	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
6		dvrcan5.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	2, 6	unitmulcl 20283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈)
8	7	3adant3r1 1183	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈)
9		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
10		dvrcan5.d	. . . . . 6 ⊢ / = (/r‘𝑅)
11	1, 6, 2, 9, 10	dvrval 20306	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈) → (𝑍 / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
12	5, 8, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑍 / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
13		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
14		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
15	2, 14	unitgrp 20286	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
16	13, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
17		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
18	2, 14	unitgrpbas 20285	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
19	2	fvexi 6840	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 ∈ V
20		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
21	20, 6	mgpplusg 20047	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
22	14, 21	ressplusg 17213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
23	19, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
24	2, 14, 9	invrfval 20292	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
25	18, 23, 24	grpinvadd 18915	. . . . . 6 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍)) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
26	25	oveq2d 7369	. . . . 5 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))) = (𝑍 · (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
27	16, 17, 4, 26	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))) = (𝑍 · (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
28		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
29	2, 9, 6, 28	unitrinv 20297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) = (1r‘𝑅))
30	29	oveq1d 7368	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ((𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((1r‘𝑅) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
31	30	3ad2antr3 1191	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((1r‘𝑅) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
32	2, 9	unitinvcl 20293	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
33	32	3ad2antr3 1191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
34	3, 33	sselid 3935	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
35	2, 9	unitinvcl 20293	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
36	35	3ad2antr2 1190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
37	3, 36	sselid 3935	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
38	1, 6	ringass 20156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑍 · (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
39	13, 5, 34, 37, 38	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑍 · (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
40	1, 6, 28	ringlidm 20172	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((invr‘𝑅)‘𝑌))
41	13, 37, 40	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((1r‘𝑅) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((invr‘𝑅)‘𝑌))
42	31, 39, 41	3eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑍 · (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((invr‘𝑅)‘𝑌))
43	12, 27, 42	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑍 / (𝑌 · 𝑍)) = ((invr‘𝑅)‘𝑌))
44	43	oveq2d 7369	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑋 · (𝑍 / (𝑌 · 𝑍))) = (𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
45		simpr1 1195	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
46	1, 2, 10, 6	dvrass 20311	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 · (𝑍 / (𝑌 · 𝑍))))
47	13, 45, 5, 8, 46	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 · (𝑍 / (𝑌 · 𝑍))))
48	1, 6, 2, 9, 10	dvrval 20306	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
49	45, 17, 48	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
50	44, 47, 49	3eqtr4d 2774	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 / 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  +_gcplusg 17179  ._rcmulr 17180  Grpcgrp 18830  mulGrpcmgp 20043  1_rcur 20084  Ringcrg 20136  Unitcui 20258  inv_rcinvr 20290  /_rcdvr 20303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-invr 20291  df-dvr 20304

This theorem is referenced by:  rhmdvd  33275