Theorem dvrcan5 33312

Description: Cancellation law for common factor in ratio. (divcan5 11848 analog.) (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrcan5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrcan5.o	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrcan5.d	⊢ / = (/r‘𝑅)
dvrcan5.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvrcan5	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 / 𝑌))

Proof of Theorem dvrcan5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvrcan5.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvrcan5.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitss 20347	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
4		simpr3 1198	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝑈)
5	3, 4	sselid 3920	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
6		dvrcan5.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	2, 6	unitmulcl 20351	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈)
8	7	3adant3r1 1184	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈)
9		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
10		dvrcan5.d	. . . . . 6 ⊢ / = (/r‘𝑅)
11	1, 6, 2, 9, 10	dvrval 20374	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈) → (𝑍 / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
12	5, 8, 11	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑍 / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
13		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
14		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
15	2, 14	unitgrp 20354	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
16	13, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
17		simpr2 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
18	2, 14	unitgrpbas 20353	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
19	2	fvexi 6848	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 ∈ V
20		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
21	20, 6	mgpplusg 20116	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
22	14, 21	ressplusg 17245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
23	19, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
24	2, 14, 9	invrfval 20360	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
25	18, 23, 24	grpinvadd 18985	. . . . . 6 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍)) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
26	25	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))) = (𝑍 · (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
27	16, 17, 4, 26	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))) = (𝑍 · (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
28		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
29	2, 9, 6, 28	unitrinv 20365	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) = (1r‘𝑅))
30	29	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ((𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((1r‘𝑅) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
31	30	3ad2antr3 1192	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((1r‘𝑅) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
32	2, 9	unitinvcl 20361	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
33	32	3ad2antr3 1192	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
34	3, 33	sselid 3920	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
35	2, 9	unitinvcl 20361	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
36	35	3ad2antr2 1191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
37	3, 36	sselid 3920	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
38	1, 6	ringass 20225	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑍 · (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
39	13, 5, 34, 37, 38	syl13anc 1375	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑍 · (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
40	1, 6, 28	ringlidm 20241	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((invr‘𝑅)‘𝑌))
41	13, 37, 40	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((1r‘𝑅) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((invr‘𝑅)‘𝑌))
42	31, 39, 41	3eqtr3d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑍 · (((invr‘𝑅)‘𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((invr‘𝑅)‘𝑌))
43	12, 27, 42	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑍 / (𝑌 · 𝑍)) = ((invr‘𝑅)‘𝑌))
44	43	oveq2d 7376	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑋 · (𝑍 / (𝑌 · 𝑍))) = (𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
45		simpr1 1196	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
46	1, 2, 10, 6	dvrass 20379	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 · (𝑍 / (𝑌 · 𝑍))))
47	13, 45, 5, 8, 46	syl13anc 1375	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 · (𝑍 / (𝑌 · 𝑍))))
48	1, 6, 2, 9, 10	dvrval 20374	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
49	45, 17, 48	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
50	44, 47, 49	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 / 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  +_gcplusg 17211  ._rcmulr 17212  Grpcgrp 18900  mulGrpcmgp 20112  1_rcur 20153  Ringcrg 20205  Unitcui 20326  inv_rcinvr 20358  /_rcdvr 20371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-dvr 20372

This theorem is referenced by:  rhmdvd  33399