Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvrcan5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrcan5 33241
Description: Cancellation law for common factor in ratio. (divcan5 11970 analog.) (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrcan5.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrcan5.o 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrcan5.d / = (/r𝑅)
dvrcan5.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvrcan5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 / 𝑌))

Proof of Theorem dvrcan5
StepHypRef Expression
1 dvrcan5.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 dvrcan5.o . . . . . . 7 𝑈 = (Unit‘𝑅)
31, 2unitss 20377 . . . . . 6 𝑈𝐵
4 simpr3 1196 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → 𝑍𝑈)
53, 4sselid 3980 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → 𝑍𝐵)
6 dvrcan5.t . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
72, 6unitmulcl 20381 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈𝑍𝑈) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈)
873adant3r1 1182 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈)
9 eqid 2736 . . . . . 6 (invr𝑅) = (invr𝑅)
10 dvrcan5.d . . . . . 6 / = (/r𝑅)
111, 6, 2, 9, 10dvrval 20404 . . . . 5 ((𝑍𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈) → (𝑍 / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑍 · ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
125, 8, 11syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → (𝑍 / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑍 · ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
13 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
14 eqid 2736 . . . . . . 7 ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
152, 14unitgrp 20384 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
1613, 15syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
17 simpr2 1195 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → 𝑌𝑈)
182, 14unitgrpbas 20383 . . . . . . 7 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
192fvexi 6919 . . . . . . . 8 𝑈 ∈ V
20 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2120, 6mgpplusg 20142 . . . . . . . . 9 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
2214, 21ressplusg 17335 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
2319, 22ax-mp 5 . . . . . . 7 · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
242, 14, 9invrfval 20390 . . . . . . 7 (invr𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
2518, 23, 24grpinvadd 19037 . . . . . 6 ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌𝑈𝑍𝑈) → ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑍)) = (((invr𝑅)‘𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑌)))
2625oveq2d 7448 . . . . 5 ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌𝑈𝑍𝑈) → (𝑍 · ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))) = (𝑍 · (((invr𝑅)‘𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
2716, 17, 4, 26syl3anc 1372 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → (𝑍 · ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))) = (𝑍 · (((invr𝑅)‘𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
28 eqid 2736 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
292, 9, 6, 28unitrinv 20395 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝑈) → (𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑍)) = (1r𝑅))
3029oveq1d 7447 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝑈) → ((𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑍)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = ((1r𝑅) · ((invr𝑅)‘𝑌)))
31303ad2antr3 1190 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑍)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = ((1r𝑅) · ((invr𝑅)‘𝑌)))
322, 9unitinvcl 20391 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
33323ad2antr3 1190 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
343, 33sselid 3980 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
352, 9unitinvcl 20391 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
36353ad2antr2 1189 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
373, 36sselid 3980 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
381, 6ringass 20251 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑍𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑍)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = (𝑍 · (((invr𝑅)‘𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
3913, 5, 34, 37, 38syl13anc 1373 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑍)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = (𝑍 · (((invr𝑅)‘𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
401, 6, 28ringlidm 20267 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = ((invr𝑅)‘𝑌))
4113, 37, 40syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((1r𝑅) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = ((invr𝑅)‘𝑌))
4231, 39, 413eqtr3d 2784 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → (𝑍 · (((invr𝑅)‘𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑌))) = ((invr𝑅)‘𝑌))
4312, 27, 423eqtrd 2780 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → (𝑍 / (𝑌 · 𝑍)) = ((invr𝑅)‘𝑌))
4443oveq2d 7448 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → (𝑋 · (𝑍 / (𝑌 · 𝑍))) = (𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)))
45 simpr1 1194 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → 𝑋𝐵)
461, 2, 10, 6dvrass 20409 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 · (𝑍 / (𝑌 · 𝑍))))
4713, 45, 5, 8, 46syl13anc 1373 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 · (𝑍 / (𝑌 · 𝑍))))
481, 6, 2, 9, 10dvrval 20404 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)))
4945, 17, 48syl2anc 584 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)))
5044, 47, 493eqtr4d 2786 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 / 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  s cress 17275  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Grpcgrp 18952  mulGrpcmgp 20138  1rcur 20179  Ringcrg 20231  Unitcui 20356  invrcinvr 20388  /rcdvr 20401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-dvr 20402
This theorem is referenced by:  rhmdvd  33349
  Copyright terms: Public domain W3C validator