Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvrcan5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrcan5 32127
Description: Cancellation law for common factor in ratio. (divcan5 11865 analog.) (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrcan5.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
dvrcan5.o π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
dvrcan5.d / = (/rβ€˜π‘…)
dvrcan5.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
dvrcan5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· 𝑍)) = (𝑋 / π‘Œ))

Proof of Theorem dvrcan5
StepHypRef Expression
1 dvrcan5.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 dvrcan5.o . . . . . . 7 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
31, 2unitss 20097 . . . . . 6 π‘ˆ βŠ† 𝐡
4 simpr3 1197 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
53, 4sselid 3946 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
6 dvrcan5.t . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜π‘…)
72, 6unitmulcl 20101 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ π‘ˆ)
873adant3r1 1183 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ π‘ˆ)
9 eqid 2733 . . . . . 6 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
10 dvrcan5.d . . . . . 6 / = (/rβ€˜π‘…)
111, 6, 2, 9, 10dvrval 20122 . . . . 5 ((𝑍 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑍 / (π‘Œ Β· 𝑍)) = (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· 𝑍))))
125, 8, 11syl2anc 585 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑍 / (π‘Œ Β· 𝑍)) = (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· 𝑍))))
13 simpl 484 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
14 eqid 2733 . . . . . . 7 ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
152, 14unitgrp 20104 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
1613, 15syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
17 simpr2 1196 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
182, 14unitgrpbas 20103 . . . . . . 7 π‘ˆ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
192fvexi 6860 . . . . . . . 8 π‘ˆ ∈ V
20 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
2120, 6mgpplusg 19908 . . . . . . . . 9 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
2214, 21ressplusg 17179 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ V β†’ Β· = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
2319, 22ax-mp 5 . . . . . . 7 Β· = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
242, 14, 9invrfval 20110 . . . . . . 7 (invrβ€˜π‘…) = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
2518, 23, 24grpinvadd 18833 . . . . . 6 ((((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· 𝑍)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
2625oveq2d 7377 . . . . 5 ((((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· 𝑍))) = (𝑍 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
2716, 17, 4, 26syl3anc 1372 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· 𝑍))) = (𝑍 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
28 eqid 2733 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
292, 9, 6, 28unitrinv 20115 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) = (1rβ€˜π‘…))
3029oveq1d 7376 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = ((1rβ€˜π‘…) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
31303ad2antr3 1191 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = ((1rβ€˜π‘…) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
322, 9unitinvcl 20111 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
33323ad2antr3 1191 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
343, 33sselid 3946 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
352, 9unitinvcl 20111 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
36353ad2antr2 1190 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
373, 36sselid 3946 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
381, 6ringass 19992 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = (𝑍 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
3913, 5, 34, 37, 38syl13anc 1373 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = (𝑍 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
401, 6, 28ringlidm 20000 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))
4113, 37, 40syl2anc 585 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))
4231, 39, 413eqtr3d 2781 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑍 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))) = ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))
4312, 27, 423eqtrd 2777 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑍 / (π‘Œ Β· 𝑍)) = ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))
4443oveq2d 7377 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 Β· (𝑍 / (π‘Œ Β· 𝑍))) = (𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
45 simpr1 1195 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
461, 2, 10, 6dvrass 20127 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· 𝑍)) = (𝑋 Β· (𝑍 / (π‘Œ Β· 𝑍))))
4713, 45, 5, 8, 46syl13anc 1373 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· 𝑍)) = (𝑋 Β· (𝑍 / (π‘Œ Β· 𝑍))))
481, 6, 2, 9, 10dvrval 20122 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
4945, 17, 48syl2anc 585 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
5044, 47, 493eqtr4d 2783 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· 𝑍)) = (𝑋 / π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  Grpcgrp 18756  mulGrpcmgp 19904  1rcur 19921  Ringcrg 19972  Unitcui 20076  invrcinvr 20108  /rcdvr 20119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120
This theorem is referenced by:  rhmdvd  32167
  Copyright terms: Public domain W3C validator