Theorem grpsubf 18961

Description: Functionality of group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubf	⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Proof of Theorem grpsubf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvcl 18929	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
4	3	3adant2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
5		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6	1, 5	grpcl 18883	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∈ 𝐵)
7	4, 6	syld3an3 1412	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∈ 𝐵)
8	7	3expb 1121	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∈ 𝐵)
9	8	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∈ 𝐵)
10		grpsubcl.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
11	1, 5, 2, 10	grpsubfval 18925	. . 3 ⊢ − = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)))
12	11	fmpo 8022	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∈ 𝐵 ↔ − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
13	9, 12	sylib 218	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   × cxp 5630  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  Grpcgrp 18875  inv_gcminusg 18876  -_gcsg 18877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880

This theorem is referenced by:  grpsubcl  18962  cnfldsub  21364  distgp  24055  indistgp  24056  clssubg  24065  tgphaus  24073  qustgplem  24077  nrmmetd  24530  isngp2  24553  isngp3  24554  ngpds  24560  ngptgp  24592  tngnm  24607  tngngp2  24608  rrxds  25361