Theorem grpsubf 18569

Description: Functionality of group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubf	⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Proof of Theorem grpsubf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvcl 18542	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
4	3	3adant2 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
5		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6	1, 5	grpcl 18500	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∈ 𝐵)
7	4, 6	syld3an3 1407	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∈ 𝐵)
8	7	3expb 1118	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∈ 𝐵)
9	8	ralrimivva 3114	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∈ 𝐵)
10		grpsubcl.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
11	1, 5, 2, 10	grpsubfval 18538	. . 3 ⊢ − = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)))
12	11	fmpo 7881	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∈ 𝐵 ↔ − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
13	9, 12	sylib 217	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   × cxp 5578  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Grpcgrp 18492  inv_gcminusg 18493  -_gcsg 18494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497

This theorem is referenced by:  grpsubcl  18570  cnfldsub  20538  distgp  23158  indistgp  23159  clssubg  23168  tgphaus  23176  qustgplem  23180  nrmmetd  23636  isngp2  23659  isngp3  23660  ngpds  23666  ngptgp  23698  tngnm  23721  tngngp2  23722  rrxds  24462