Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hausgraph Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hausgraph 42256
Description: The graph of a continuous function into a Hausdorff space is closed. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hausgraph ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐹 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)))
Proof of Theorem hausgraph
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1stres 8001 . . . . . . . . 9 (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)):(βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)⟢βˆͺ 𝐽
2 ffn 6716 . . . . . . . . 9 ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)):(βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)⟢βˆͺ 𝐽 β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)
4 fvco2 6987 . . . . . . . 8 (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∧ π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) β†’ ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)))
53, 4mpan 686 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) β†’ ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)))
65adantl 480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) β†’ ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)))
7 fvres 6909 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž) = (1st β€˜π‘Ž))
87fveq2d 6894 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) β†’ (πΉβ€˜((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)) = (πΉβ€˜(1st β€˜π‘Ž)))
98adantl 480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) β†’ (πΉβ€˜((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)) = (πΉβ€˜(1st β€˜π‘Ž)))
106, 9eqtrd 2770 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) β†’ ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜(1st β€˜π‘Ž)))
11 fvres 6909 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž) = (2nd β€˜π‘Ž))
1211adantl 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž) = (2nd β€˜π‘Ž))
1310, 12eqeq12d 2746 . . . 4 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) β†’ (((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž) ↔ (πΉβ€˜(1st β€˜π‘Ž)) = (2nd β€˜π‘Ž)))
1413rabbidva 3437 . . 3 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ {π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∣ ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)} = {π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∣ (πΉβ€˜(1st β€˜π‘Ž)) = (2nd β€˜π‘Ž)})
15 eqid 2730 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
16 eqid 2730 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
1715, 16cnf 22970 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐹:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
1817adantl 480 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐹:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
19 fco 6740 . . . . . 6 ((𝐹:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾 ∧ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)):(βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)⟢βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))):(βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)⟢βˆͺ 𝐾)
2018, 1, 19sylancl 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))):(βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)⟢βˆͺ 𝐾)
2120ffnd 6717 . . . 4 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))
22 f2ndres 8002 . . . . 5 (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)):(βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)⟢βˆͺ 𝐾
23 ffn 6716 . . . . 5 ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)):(βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)⟢βˆͺ 𝐾 β†’ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))
2422, 23ax-mp 5 . . . 4 (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)
25 fndmin 7045 . . . 4 (((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∧ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) β†’ dom ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) ∩ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) = {π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∣ ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)})
2621, 24, 25sylancl 584 . . 3 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ dom ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) ∩ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) = {π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∣ ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)})
27 fgraphxp 42255 . . . 4 (𝐹:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾 β†’ 𝐹 = {π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∣ (πΉβ€˜(1st β€˜π‘Ž)) = (2nd β€˜π‘Ž)})
2818, 27syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐹 = {π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∣ (πΉβ€˜(1st β€˜π‘Ž)) = (2nd β€˜π‘Ž)})
2914, 26, 283eqtr4rd 2781 . 2 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐹 = dom ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) ∩ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))))
30 simpl 481 . . 3 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐾 ∈ Haus)
31 cntop1 22964 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3231adantl 480 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3315toptopon 22639 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
3432, 33sylib 217 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
35 haustop 23055 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Haus β†’ 𝐾 ∈ Top)
3630, 35syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐾 ∈ Top)
3716toptopon 22639 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
3836, 37sylib 217 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
39 tx1cn 23333 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾)) β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐽))
4034, 38, 39syl2anc 582 . . . 4 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐽))
41 cnco 22990 . . . 4 (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
4240, 41sylancom 586 . . 3 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
43 tx2cn 23334 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾)) β†’ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
4434, 38, 43syl2anc 582 . . 3 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
4530, 42, 44hauseqlcld 23370 . 2 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ dom ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) ∩ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)))
4629, 45eqeltrd 2831 1 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐹 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430   ∩ cin 3946  βˆͺ cuni 4907   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  1st c1st 7975  2nd c2nd 7976  Topctop 22615  TopOnctopon 22632  Clsdccld 22740   Cn ccn 22948  Hauscha 23032   Γ—t ctx 23284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-map 8824  df-topgen 17393  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cld 22743  df-cn 22951  df-haus 23039  df-tx 23286
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator