Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hausgraph Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hausgraph 41954
Description: The graph of a continuous function into a Hausdorff space is closed. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hausgraph ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐹 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)))
Proof of Theorem hausgraph
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1stres 7999 . . . . . . . . 9 (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)):(βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)⟢βˆͺ 𝐽
2 ffn 6718 . . . . . . . . 9 ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)):(βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)⟢βˆͺ 𝐽 β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)
4 fvco2 6989 . . . . . . . 8 (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∧ π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) β†’ ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)))
53, 4mpan 689 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) β†’ ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)))
65adantl 483 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) β†’ ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)))
7 fvres 6911 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž) = (1st β€˜π‘Ž))
87fveq2d 6896 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) β†’ (πΉβ€˜((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)) = (πΉβ€˜(1st β€˜π‘Ž)))
98adantl 483 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) β†’ (πΉβ€˜((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)) = (πΉβ€˜(1st β€˜π‘Ž)))
106, 9eqtrd 2773 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) β†’ ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜(1st β€˜π‘Ž)))
11 fvres 6911 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž) = (2nd β€˜π‘Ž))
1211adantl 483 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž) = (2nd β€˜π‘Ž))
1310, 12eqeq12d 2749 . . . 4 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) β†’ (((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž) ↔ (πΉβ€˜(1st β€˜π‘Ž)) = (2nd β€˜π‘Ž)))
1413rabbidva 3440 . . 3 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ {π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∣ ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)} = {π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∣ (πΉβ€˜(1st β€˜π‘Ž)) = (2nd β€˜π‘Ž)})
15 eqid 2733 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
16 eqid 2733 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
1715, 16cnf 22750 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐹:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
1817adantl 483 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐹:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
19 fco 6742 . . . . . 6 ((𝐹:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾 ∧ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)):(βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)⟢βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))):(βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)⟢βˆͺ 𝐾)
2018, 1, 19sylancl 587 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))):(βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)⟢βˆͺ 𝐾)
2120ffnd 6719 . . . 4 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))
22 f2ndres 8000 . . . . 5 (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)):(βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)⟢βˆͺ 𝐾
23 ffn 6718 . . . . 5 ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)):(βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)⟢βˆͺ 𝐾 β†’ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))
2422, 23ax-mp 5 . . . 4 (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)
25 fndmin 7047 . . . 4 (((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∧ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) β†’ dom ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) ∩ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) = {π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∣ ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)})
2621, 24, 25sylancl 587 . . 3 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ dom ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) ∩ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) = {π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∣ ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)})
27 fgraphxp 41953 . . . 4 (𝐹:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾 β†’ 𝐹 = {π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∣ (πΉβ€˜(1st β€˜π‘Ž)) = (2nd β€˜π‘Ž)})
2818, 27syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐹 = {π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∣ (πΉβ€˜(1st β€˜π‘Ž)) = (2nd β€˜π‘Ž)})
2914, 26, 283eqtr4rd 2784 . 2 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐹 = dom ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) ∩ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))))
30 simpl 484 . . 3 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐾 ∈ Haus)
31 cntop1 22744 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3231adantl 483 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3315toptopon 22419 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
3432, 33sylib 217 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
35 haustop 22835 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Haus β†’ 𝐾 ∈ Top)
3630, 35syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐾 ∈ Top)
3716toptopon 22419 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
3836, 37sylib 217 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
39 tx1cn 23113 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾)) β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐽))
4034, 38, 39syl2anc 585 . . . 4 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐽))
41 cnco 22770 . . . 4 (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
4240, 41sylancom 589 . . 3 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
43 tx2cn 23114 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾)) β†’ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
4434, 38, 43syl2anc 585 . . 3 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
4530, 42, 44hauseqlcld 23150 . 2 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ dom ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) ∩ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)))
4629, 45eqeltrd 2834 1 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐹 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433   ∩ cin 3948  βˆͺ cuni 4909   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1st c1st 7973  2nd c2nd 7974  Topctop 22395  TopOnctopon 22412  Clsdccld 22520   Cn ccn 22728  Hauscha 22812   Γ—t ctx 23064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-map 8822  df-topgen 17389  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cld 22523  df-cn 22731  df-haus 22819  df-tx 23066
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator