Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hausgraph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hausgraph 41582
Description: The graph of a continuous function into a Hausdorff space is closed. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hausgraph ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐹 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)))

Proof of Theorem hausgraph
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1stres 7946 . . . . . . . . 9 (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)):(βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)⟢βˆͺ 𝐽
2 ffn 6669 . . . . . . . . 9 ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)):(βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)⟢βˆͺ 𝐽 β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)
4 fvco2 6939 . . . . . . . 8 (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∧ π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) β†’ ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)))
53, 4mpan 689 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) β†’ ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)))
65adantl 483 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) β†’ ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)))
7 fvres 6862 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž) = (1st β€˜π‘Ž))
87fveq2d 6847 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) β†’ (πΉβ€˜((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)) = (πΉβ€˜(1st β€˜π‘Ž)))
98adantl 483 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) β†’ (πΉβ€˜((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)) = (πΉβ€˜(1st β€˜π‘Ž)))
106, 9eqtrd 2773 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) β†’ ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜(1st β€˜π‘Ž)))
11 fvres 6862 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž) = (2nd β€˜π‘Ž))
1211adantl 483 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž) = (2nd β€˜π‘Ž))
1310, 12eqeq12d 2749 . . . 4 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) β†’ (((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž) ↔ (πΉβ€˜(1st β€˜π‘Ž)) = (2nd β€˜π‘Ž)))
1413rabbidva 3413 . . 3 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ {π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∣ ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)} = {π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∣ (πΉβ€˜(1st β€˜π‘Ž)) = (2nd β€˜π‘Ž)})
15 eqid 2733 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
16 eqid 2733 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
1715, 16cnf 22613 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐹:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
1817adantl 483 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐹:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
19 fco 6693 . . . . . 6 ((𝐹:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾 ∧ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)):(βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)⟢βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))):(βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)⟢βˆͺ 𝐾)
2018, 1, 19sylancl 587 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))):(βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)⟢βˆͺ 𝐾)
2120ffnd 6670 . . . 4 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))
22 f2ndres 7947 . . . . 5 (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)):(βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)⟢βˆͺ 𝐾
23 ffn 6669 . . . . 5 ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)):(βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)⟢βˆͺ 𝐾 β†’ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))
2422, 23ax-mp 5 . . . 4 (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)
25 fndmin 6996 . . . 4 (((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∧ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) β†’ dom ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) ∩ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) = {π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∣ ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)})
2621, 24, 25sylancl 587 . . 3 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ dom ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) ∩ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) = {π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∣ ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)})
27 fgraphxp 41581 . . . 4 (𝐹:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾 β†’ 𝐹 = {π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∣ (πΉβ€˜(1st β€˜π‘Ž)) = (2nd β€˜π‘Ž)})
2818, 27syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐹 = {π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∣ (πΉβ€˜(1st β€˜π‘Ž)) = (2nd β€˜π‘Ž)})
2914, 26, 283eqtr4rd 2784 . 2 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐹 = dom ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) ∩ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))))
30 simpl 484 . . 3 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐾 ∈ Haus)
31 cntop1 22607 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3231adantl 483 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3315toptopon 22282 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
3432, 33sylib 217 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
35 haustop 22698 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Haus β†’ 𝐾 ∈ Top)
3630, 35syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐾 ∈ Top)
3716toptopon 22282 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
3836, 37sylib 217 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
39 tx1cn 22976 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾)) β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐽))
4034, 38, 39syl2anc 585 . . . 4 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐽))
41 cnco 22633 . . . 4 (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
4240, 41sylancom 589 . . 3 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
43 tx2cn 22977 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾)) β†’ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
4434, 38, 43syl2anc 585 . . 3 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
4530, 42, 44hauseqlcld 23013 . 2 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ dom ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) ∩ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)))
4629, 45eqeltrd 2834 1 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐹 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406   ∩ cin 3910  βˆͺ cuni 4866   Γ— cxp 5632  dom cdm 5634   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  1st c1st 7920  2nd c2nd 7921  Topctop 22258  TopOnctopon 22275  Clsdccld 22383   Cn ccn 22591  Hauscha 22675   Γ—t ctx 22927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-map 8770  df-topgen 17330  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cld 22386  df-cn 22594  df-haus 22682  df-tx 22929
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator