Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hausgraph Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hausgraph 41939
Description: The graph of a continuous function into a Hausdorff space is closed. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hausgraph ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐹 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)))
Proof of Theorem hausgraph
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1stres 7995 . . . . . . . . 9 (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)):(βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)⟢βˆͺ 𝐽
2 ffn 6714 . . . . . . . . 9 ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)):(βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)⟢βˆͺ 𝐽 β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)
4 fvco2 6985 . . . . . . . 8 (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∧ π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) β†’ ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)))
53, 4mpan 688 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) β†’ ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)))
65adantl 482 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) β†’ ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)))
7 fvres 6907 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž) = (1st β€˜π‘Ž))
87fveq2d 6892 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) β†’ (πΉβ€˜((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)) = (πΉβ€˜(1st β€˜π‘Ž)))
98adantl 482 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) β†’ (πΉβ€˜((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)) = (πΉβ€˜(1st β€˜π‘Ž)))
106, 9eqtrd 2772 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) β†’ ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜(1st β€˜π‘Ž)))
11 fvres 6907 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž) = (2nd β€˜π‘Ž))
1211adantl 482 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž) = (2nd β€˜π‘Ž))
1310, 12eqeq12d 2748 . . . 4 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) β†’ (((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž) ↔ (πΉβ€˜(1st β€˜π‘Ž)) = (2nd β€˜π‘Ž)))
1413rabbidva 3439 . . 3 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ {π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∣ ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)} = {π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∣ (πΉβ€˜(1st β€˜π‘Ž)) = (2nd β€˜π‘Ž)})
15 eqid 2732 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
16 eqid 2732 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
1715, 16cnf 22741 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐹:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
1817adantl 482 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐹:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
19 fco 6738 . . . . . 6 ((𝐹:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾 ∧ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)):(βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)⟢βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))):(βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)⟢βˆͺ 𝐾)
2018, 1, 19sylancl 586 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))):(βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)⟢βˆͺ 𝐾)
2120ffnd 6715 . . . 4 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))
22 f2ndres 7996 . . . . 5 (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)):(βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)⟢βˆͺ 𝐾
23 ffn 6714 . . . . 5 ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)):(βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)⟢βˆͺ 𝐾 β†’ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))
2422, 23ax-mp 5 . . . 4 (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)
25 fndmin 7043 . . . 4 (((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∧ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) Fn (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) β†’ dom ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) ∩ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) = {π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∣ ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)})
2621, 24, 25sylancl 586 . . 3 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ dom ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) ∩ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) = {π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∣ ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)))β€˜π‘Ž) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))β€˜π‘Ž)})
27 fgraphxp 41938 . . . 4 (𝐹:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾 β†’ 𝐹 = {π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∣ (πΉβ€˜(1st β€˜π‘Ž)) = (2nd β€˜π‘Ž)})
2818, 27syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐹 = {π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾) ∣ (πΉβ€˜(1st β€˜π‘Ž)) = (2nd β€˜π‘Ž)})
2914, 26, 283eqtr4rd 2783 . 2 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐹 = dom ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) ∩ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))))
30 simpl 483 . . 3 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐾 ∈ Haus)
31 cntop1 22735 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3231adantl 482 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3315toptopon 22410 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
3432, 33sylib 217 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
35 haustop 22826 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Haus β†’ 𝐾 ∈ Top)
3630, 35syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐾 ∈ Top)
3716toptopon 22410 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
3836, 37sylib 217 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
39 tx1cn 23104 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾)) β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐽))
4034, 38, 39syl2anc 584 . . . 4 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐽))
41 cnco 22761 . . . 4 (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
4240, 41sylancom 588 . . 3 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
43 tx2cn 23105 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾)) β†’ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
4434, 38, 43syl2anc 584 . . 3 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
4530, 42, 44hauseqlcld 23141 . 2 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ dom ((𝐹 ∘ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) ∩ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐾))) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)))
4629, 45eqeltrd 2833 1 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐹 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   ∩ cin 3946  βˆͺ cuni 4907   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  1st c1st 7969  2nd c2nd 7970  Topctop 22386  TopOnctopon 22403  Clsdccld 22511   Cn ccn 22719  Hauscha 22803   Γ—t ctx 23055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8818  df-topgen 17385  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cld 22514  df-cn 22722  df-haus 22810  df-tx 23057
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator