MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnco 22699
Description: The composition of two continuous functions is a continuous function. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnco ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝐺𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))

Proof of Theorem cnco
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 22673 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
2 cntop2 22674 . . 3 (𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿) → 𝐿 ∈ Top)
31, 2anim12i 613 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐿 ∈ Top))
4 eqid 2731 . . . . 5 𝐾 = 𝐾
5 eqid 2731 . . . . 5 𝐿 = 𝐿
64, 5cnf 22679 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿) → 𝐺: 𝐾 𝐿)
7 eqid 2731 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
87, 4cnf 22679 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
9 fco 6728 . . . 4 ((𝐺: 𝐾 𝐿𝐹: 𝐽 𝐾) → (𝐺𝐹): 𝐽 𝐿)
106, 8, 9syl2anr 597 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝐺𝐹): 𝐽 𝐿)
11 cnvco 5877 . . . . . . 7 (𝐺𝐹) = (𝐹𝐺)
1211imaeq1i 6046 . . . . . 6 ((𝐺𝐹) “ 𝑥) = ((𝐹𝐺) “ 𝑥)
13 imaco 6239 . . . . . 6 ((𝐹𝐺) “ 𝑥) = (𝐹 “ (𝐺𝑥))
1412, 13eqtri 2759 . . . . 5 ((𝐺𝐹) “ 𝑥) = (𝐹 “ (𝐺𝑥))
15 simpll 765 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) ∧ 𝑥𝐿) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
16 cnima 22698 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿) ∧ 𝑥𝐿) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐾)
1716adantll 712 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) ∧ 𝑥𝐿) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐾)
18 cnima 22698 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐾) → (𝐹 “ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐽)
1915, 17, 18syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) ∧ 𝑥𝐿) → (𝐹 “ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐽)
2014, 19eqeltrid 2836 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) ∧ 𝑥𝐿) → ((𝐺𝐹) “ 𝑥) ∈ 𝐽)
2120ralrimiva 3145 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → ∀𝑥𝐿 ((𝐺𝐹) “ 𝑥) ∈ 𝐽)
2210, 21jca 512 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → ((𝐺𝐹): 𝐽 𝐿 ∧ ∀𝑥𝐿 ((𝐺𝐹) “ 𝑥) ∈ 𝐽))
237, 5iscn2 22671 . 2 ((𝐺𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐿) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐿 ∈ Top) ∧ ((𝐺𝐹): 𝐽 𝐿 ∧ ∀𝑥𝐿 ((𝐺𝐹) “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
243, 22, 23sylanbrc 583 1 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝐺𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106  wral 3060   cuni 4901  ccnv 5668  cima 5672  ccom 5673  wf 6528  (class class class)co 7393  Topctop 22324   Cn ccn 22657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-fv 6540  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-map 8805  df-top 22325  df-topon 22342  df-cn 22660
This theorem is referenced by:  kgencn2  22990  txcn  23059  xkoco1cn  23090  xkoco2cn  23091  xkococnlem  23092  xkococn  23093  cnmpt11  23096  cnmpt21  23104  hmeoco  23205  qtophmeo  23250  htpyco1  24423  htpyco2  24424  phtpyco2  24435  reparphti  24442  reparpht  24443  phtpcco2  24444  copco  24463  pi1cof  24504  pi1coghm  24506  cnpconn  34052  txsconnlem  34062  txsconn  34063  cvmlift3lem2  34142  cvmlift3lem4  34144  cvmlift3lem5  34145  cvmlift3lem6  34146  hausgraph  41725
  Copyright terms: Public domain W3C validator