Theorem hlimseqi 31280

Description: A sequence with a limit on a Hilbert space is a sequence. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hlim.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
hlimseqi	⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 → 𝐹:ℕ⟶ ℋ)

Proof of Theorem hlimseqi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlim.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	hlimi 31279	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 ↔ ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝑥))
3	2	simplbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 → (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ))
4	3	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 → 𝐹:ℕ⟶ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   class class class wbr 5086  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   < clt 11168  ℕcn 12163  ℤ_≥cuz 12777  ℝ⁺crp 12931   ℋchba 31010  norm_ℎcno 31014   −_ℎ cmv 31016   ⇝_𝑣 chli 31018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-1cn 11085  ax-addcl 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-nn 12164  df-hlim 31063

This theorem is referenced by: (None)