HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlimseqi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlimseqi 29137
Description: A sequence with a limit on a Hilbert space is a sequence. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hlim.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
hlimseqi (𝐹𝑣 𝐴𝐹:ℕ⟶ ℋ)

Proof of Theorem hlimseqi
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlim.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
21hlimi 29136 . . 3 (𝐹𝑣 𝐴 ↔ ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 𝑥))
32simplbi 501 . 2 (𝐹𝑣 𝐴 → (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ))
43simpld 498 1 (𝐹𝑣 𝐴𝐹:ℕ⟶ ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2114  wral 3054  wrex 3055  Vcvv 3400   class class class wbr 5040  wf 6346  cfv 6350  (class class class)co 7183   < clt 10766  cn 11729  cuz 12337  +crp 12485  chba 28867  normcno 28871   cmv 28873  𝑣 chli 28875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-1cn 10686  ax-addcl 10688
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-ov 7186  df-om 7613  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-nn 11730  df-hlim 28920
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator