HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlimveci Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlimveci 30952
Description: Closure of the limit of a sequence on Hilbert space. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hlim.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
hlimveci (𝐹𝑣 𝐴𝐴 ∈ ℋ)

Proof of Theorem hlimveci
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlim.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
21hlimi 30950 . . 3 (𝐹𝑣 𝐴 ↔ ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 𝑥))
32simplbi 497 . 2 (𝐹𝑣 𝐴 → (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ))
43simprd 495 1 (𝐹𝑣 𝐴𝐴 ∈ ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2098  wral 3055  wrex 3064  Vcvv 3468   class class class wbr 5141  wf 6533  cfv 6537  (class class class)co 7405   < clt 11252  cn 12216  cuz 12826  +crp 12980  chba 30681  normcno 30685   cmv 30687  𝑣 chli 30689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-1cn 11170  ax-addcl 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-nn 12217  df-hlim 30734
This theorem is referenced by:  hlimf  30999  helch  31005  occllem  31065  nlelchi  31823  hmopidmchi  31913
  Copyright terms: Public domain W3C validator