Theorem hlimveci 31020

Description: Closure of the limit of a sequence on Hilbert space. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hlim.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
hlimveci	⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 → 𝐴 ∈ ℋ)

Proof of Theorem hlimveci

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlim.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	hlimi 31018	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 ↔ ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝑥))
3	2	simplbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 → (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ))
4	3	simprd 494	1 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 → 𝐴 ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  Vcvv 3473   class class class wbr 5152  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   < clt 11286  ℕcn 12250  ℤ_≥cuz 12860  ℝ⁺crp 13014   ℋchba 30749  norm_ℎcno 30753   −_ℎ cmv 30755   ⇝_𝑣 chli 30757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-1cn 11204  ax-addcl 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-nn 12251  df-hlim 30802

This theorem is referenced by:  hlimf  31067  helch  31073  occllem  31133  nlelchi  31891  hmopidmchi  31981