Theorem hlimveci 28619

Description: Closure of the limit of a sequence on Hilbert space. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hlim.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
hlimveci	⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 → 𝐴 ∈ ℋ)

Proof of Theorem hlimveci

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlim.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	hlimi 28617	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 ↔ ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝑥))
3	2	simplbi 493	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 → (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ))
4	3	simprd 491	1 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 → 𝐴 ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2106  ∀wral 3089  ∃wrex 3090  Vcvv 3397   class class class wbr 4886  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   < clt 10411  ℕcn 11374  ℤ_≥cuz 11992  ℝ⁺crp 12137   ℋchba 28348  norm_ℎcno 28352   −_ℎ cmv 28354   ⇝_𝑣 chli 28356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-1cn 10330  ax-addcl 10332

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-nn 11375  df-hlim 28401

This theorem is referenced by:  hlimf  28666  helch  28672  occllem  28734  nlelchi  29492  hmopidmchi  29582