Theorem hlimveci 31172

Description: Closure of the limit of a sequence on Hilbert space. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hlim.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
hlimveci	⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 → 𝐴 ∈ ℋ)

Proof of Theorem hlimveci

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlim.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	hlimi 31170	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 ↔ ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝑥))
3	2	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 → (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ))
4	3	simprd 495	1 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 → 𝐴 ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  ∃wrex 3057  Vcvv 3437   class class class wbr 5093  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   < clt 11153  ℕcn 12132  ℤ_≥cuz 12738  ℝ⁺crp 12892   ℋchba 30901  norm_ℎcno 30905   −_ℎ cmv 30907   ⇝_𝑣 chli 30909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-1cn 11071  ax-addcl 11073

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-nn 12133  df-hlim 30954

This theorem is referenced by:  hlimf  31219  helch  31225  occllem  31285  nlelchi  32043  hmopidmchi  32133