Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnhoilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnhoilem2 45318
Description: The Lebesgue outer measure of a multidimensional half-open interval is less than or equal to the product of its length in each dimension. Second part of the proof of Proposition 115D (b) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnhoilem2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
ovnhoilem2.n (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
ovnhoilem2.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
ovnhoilem2.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
ovnhoilem2.i 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))
ovnhoilem2.l 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
ovnhoilem2.m 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))}
ovnhoilem2.f 𝐹 = (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))))
ovnhoilem2.s 𝑆 = (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))))
Assertion
Ref Expression
ovnhoilem2 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜πΌ))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑏,𝑖,π‘˜,𝑧   𝐡,π‘Ž,𝑏,𝑖,π‘˜,𝑧   π‘˜,𝐹,𝑛   𝐼,π‘Ž,𝑏,𝑖,𝑛,π‘₯,𝑧   𝐿,π‘Ž,𝑏,𝑖,𝑛,π‘₯,𝑧   𝑖,𝑀,𝑧   𝑆,π‘˜,𝑛   𝑋,π‘Ž,𝑏,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,𝑛   π‘₯,𝑋,𝑧,𝑗,π‘˜   πœ‘,π‘Ž,𝑏,𝑖,π‘˜,𝑙,𝑛   πœ‘,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗)   𝐴(π‘₯,𝑗,𝑛,𝑙)   𝐡(π‘₯,𝑗,𝑛,𝑙)   𝑆(π‘₯,𝑧,𝑖,𝑗,π‘Ž,𝑏,𝑙)   𝐹(π‘₯,𝑧,𝑖,𝑗,π‘Ž,𝑏,𝑙)   𝐼(𝑗,π‘˜,𝑙)   𝐿(𝑗,π‘˜,𝑙)   𝑀(π‘₯,𝑗,π‘˜,𝑛,π‘Ž,𝑏,𝑙)

Proof of Theorem ovnhoilem2
StepHypRef Expression
1 ovnhoilem2.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))}
21eleq2i 2826 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝑀 ↔ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))})
3 rabid 3453 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))} ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))))
42, 3bitri 275 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ 𝑀 ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))))
54biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ 𝑀 β†’ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))))
65simprd 497 . . . . . 6 (𝑧 ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))))))
76adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))))))
8 ovnhoilem2.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
9 ovnhoilem2.x . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
1093ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ (𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
11 ovnhoilem2.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
12113ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ (𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))) β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
13 ovnhoilem2.b . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
14133ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ (𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))) β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
15 elmapi 8843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ 𝑖:β„•βŸΆ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋))
1615ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘–β€˜π‘›) ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋))
17 elmapi 8843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘–β€˜π‘›) ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) β†’ (π‘–β€˜π‘›):π‘‹βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘–β€˜π‘›):π‘‹βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
1918ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑙 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
20 xp1st 8007 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)) ∈ ℝ)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑙 ∈ 𝑋) β†’ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)) ∈ ℝ)
2221fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))):π‘‹βŸΆβ„)
23 reex 11201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ℝ ∈ V)
25 1nn 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ β„•
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ 1 ∈ β„•)
2715, 26ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ (π‘–β€˜1) ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋))
28 elmapex 8842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘–β€˜1) ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) β†’ ((ℝ Γ— ℝ) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ V))
2928simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘–β€˜1) ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ V)
3027, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ 𝑋 ∈ V)
3130adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ V)
32 elmapg 8833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℝ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ ((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))) ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))):π‘‹βŸΆβ„))
3324, 31, 32syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))) ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))):π‘‹βŸΆβ„))
3422, 33mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))) ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
3534fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))):β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋))
36 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•))
37 nnex 12218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„• ∈ V
3837mptex 7225 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))) ∈ V
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))) ∈ V)
40 ovnhoilem2.f . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 = (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))))
4140fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))) ∈ V) β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))))
4236, 39, 41syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))))
4342feq1d 6703 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘–):β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋) ↔ (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))):β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋)))
4435, 43mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘–):β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋))
45443ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ (𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))) β†’ (πΉβ€˜π‘–):β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋))
46 xp2nd 8008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)) ∈ ℝ)
4719, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑙 ∈ 𝑋) β†’ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)) ∈ ℝ)
4847fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))):π‘‹βŸΆβ„)
49 elmapg 8833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℝ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ ((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))) ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))):π‘‹βŸΆβ„))
5024, 31, 49syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))) ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))):π‘‹βŸΆβ„))
5148, 50mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))) ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
5251fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))):β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋))
5337mptex 7225 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))) ∈ V
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))) ∈ V)
55 ovnhoilem2.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))))
5655fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))) ∈ V) β†’ (π‘†β€˜π‘–) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))))
5736, 54, 56syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘–) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))))
5857feq1d 6703 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ ((π‘†β€˜π‘–):β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋) ↔ (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))):β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋)))
5952, 58mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘–):β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋))
60593ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ (𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))) β†’ (π‘†β€˜π‘–):β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋))
61 simp3 1139 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)) β†’ 𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))
62 ovnhoilem2.i . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)) β†’ 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
64 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = 𝑛 β†’ (π‘–β€˜π‘—) = (π‘–β€˜π‘›))
6564fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑛 β†’ ((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜) = ((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘˜))
6665fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑛 β†’ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
6765fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑛 β†’ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
6866, 67oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝑛 β†’ ((1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) = ((1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘˜))))
6968ixpeq2dv 8907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑛 β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘˜))))
7069cbviunv 5044 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘˜))))
7215ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘–β€˜π‘—) ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋))
73 elmapi 8843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘–β€˜π‘—) ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) β†’ (π‘–β€˜π‘—):π‘‹βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘–β€˜π‘—):π‘‹βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
7574adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π‘–β€˜π‘—):π‘‹βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
76 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ π‘˜ ∈ 𝑋)
7775, 76fvovco 43892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = ((1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
7877ixpeq2dva 8906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
7978iuneq2dv 5022 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
80 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•))
8138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))) ∈ V)
8280, 81, 41syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))))
8382fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘›) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))))β€˜π‘›))
84 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
85 mptexg 7223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑋 ∈ V β†’ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))) ∈ V)
8630, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))) ∈ V)
8786adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))) ∈ V)
88 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))))
8988fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 ∈ β„• ∧ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))) ∈ V) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))))β€˜π‘›) = (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))))
9084, 87, 89syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))))β€˜π‘›) = (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))))
9183, 90eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘›) = (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))))
9291fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘›)β€˜π‘˜) = ((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜))
9392adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘›)β€˜π‘˜) = ((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜))
94 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))) = (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))))
95 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑙 = π‘˜) β†’ 𝑙 = π‘˜)
9695fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑙 = π‘˜) β†’ ((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™) = ((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘˜))
9796fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑙 = π‘˜) β†’ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)) = (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
98 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ π‘˜ ∈ 𝑋)
99 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘˜)) ∈ V)
10094, 97, 98, 99fvmptd 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜) = (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
101100adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜) = (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
10293, 101eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘›)β€˜π‘˜) = (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
10357fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ ((π‘†β€˜π‘–)β€˜π‘›) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))))β€˜π‘›))
104103adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘†β€˜π‘–)β€˜π‘›) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))))β€˜π‘›))
105 mptexg 7223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑋 ∈ V β†’ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))) ∈ V)
10630, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))) ∈ V)
107106adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))) ∈ V)
108 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))))
109108fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 ∈ β„• ∧ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))) ∈ V) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))))β€˜π‘›) = (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))))
11084, 107, 109syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))))β€˜π‘›) = (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))))
111104, 110eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘†β€˜π‘–)β€˜π‘›) = (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))))
112111fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((π‘†β€˜π‘–)β€˜π‘›)β€˜π‘˜) = ((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜))
113112adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((π‘†β€˜π‘–)β€˜π‘›)β€˜π‘˜) = ((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜))
114 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))) = (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))))
115 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑙 = π‘˜ β†’ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)) = (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
116115adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑙 = π‘˜) β†’ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)) = (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
117 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘˜)) ∈ V)
118114, 116, 98, 117fvmptd 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜) = (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
119118adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜) = (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
120113, 119eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((π‘†β€˜π‘–)β€˜π‘›)β€˜π‘˜) = (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
121102, 120oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(((π‘†β€˜π‘–)β€˜π‘›)β€˜π‘˜)) = ((1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘˜))))
122121ixpeq2dva 8906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(((π‘†β€˜π‘–)β€˜π‘›)β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘˜))))
123122iuneq2dv 5022 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(((π‘†β€˜π‘–)β€˜π‘›)β€˜π‘˜)) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘˜))))
12471, 79, 1233eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(((π‘†β€˜π‘–)β€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
125124adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(((π‘†β€˜π‘–)β€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
1261253adant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(((π‘†β€˜π‘–)β€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
12763, 126sseq12d 4016 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)) β†’ (𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ↔ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(((π‘†β€˜π‘–)β€˜π‘›)β€˜π‘˜))))
12861, 127mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(((π‘†β€˜π‘–)β€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
1291283adant3r 1182 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ (𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(((π‘†β€˜π‘–)β€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
1308, 10, 12, 14, 45, 60, 129hoidmvle 45316 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ (𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘›)(πΏβ€˜π‘‹)((π‘†β€˜π‘–)β€˜π‘›)))))
131 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 = 𝑗 ∧ 𝑙 ∈ 𝑋) β†’ 𝑛 = 𝑗)
132131fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 = 𝑗 ∧ 𝑙 ∈ 𝑋) β†’ (π‘–β€˜π‘›) = (π‘–β€˜π‘—))
133132fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 = 𝑗 ∧ 𝑙 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™) = ((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™))
134133fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 = 𝑗 ∧ 𝑙 ∈ 𝑋) β†’ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)) = (1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™)))
135134mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑗 β†’ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))) = (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™))))
136135fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑗 β†’ ((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜) = ((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜))
137136adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 = 𝑗 ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜) = ((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜))
138 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™))) = (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™))))
139 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑙 = π‘˜ β†’ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™)) = (1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
140139adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘˜ ∈ 𝑋 ∧ 𝑙 = π‘˜) β†’ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™)) = (1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
141 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ π‘˜ ∈ 𝑋)
142 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ∈ V)
143138, 140, 141, 142fvmptd 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ ((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜) = (1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
144143adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 = 𝑗 ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜) = (1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
145137, 144eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 = 𝑗 ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜) = (1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
146133fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 = 𝑗 ∧ 𝑙 ∈ 𝑋) β†’ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)) = (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™)))
147146mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑗 β†’ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))) = (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™))))
148147fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑗 β†’ ((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜) = ((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜))
149148adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 = 𝑗 ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜) = ((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜))
150 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™))) = (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™))))
151 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑙 = π‘˜ β†’ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™)) = (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
152151adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘˜ ∈ 𝑋 ∧ 𝑙 = π‘˜) β†’ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™)) = (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
153 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ∈ V)
154150, 152, 141, 153fvmptd 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ ((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜) = (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
155154adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 = 𝑗 ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜) = (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
156149, 155eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 = 𝑗 ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜) = (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
157145, 156oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 = 𝑗 ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜)[,)((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜)) = ((1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
158157fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 = 𝑗 ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜(((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜)[,)((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))))
159158prodeq2dv 15867 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑗 β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜)[,)((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))))
160159cbvmptv 5262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜)[,)((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜)))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))))
161160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜)[,)((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜)))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))))
16277eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) = (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))
163162fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))) = (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))
164163prodeq2dv 15867 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))
165164mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))))
166161, 165eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜)[,)((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜)))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))))
167166fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜)[,)((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜))))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))
1681673ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))))) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜)[,)((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜))))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))
16991adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘›) = (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))))
170111adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘†β€˜π‘–)β€˜π‘›) = (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))))
171169, 170oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘›)(πΏβ€˜π‘‹)((π‘†β€˜π‘–)β€˜π‘›)) = ((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))(πΏβ€˜π‘‹)(𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))))
1729ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
173 ovnhoilem2.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
174173ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
17519adantlll 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑙 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
176175, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑙 ∈ 𝑋) β†’ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)) ∈ ℝ)
177176fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))):π‘‹βŸΆβ„)
178175, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑙 ∈ 𝑋) β†’ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)) ∈ ℝ)
179178fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))):π‘‹βŸΆβ„)
1808, 172, 174, 177, 179hoidmvn0val 45300 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))(πΏβ€˜π‘‹)(𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜)[,)((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜))))
181171, 180eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘›)(πΏβ€˜π‘‹)((π‘†β€˜π‘–)β€˜π‘›)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜)[,)((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜))))
182181mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘›)(πΏβ€˜π‘‹)((π‘†β€˜π‘–)β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜)[,)((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜)))))
183182fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘›)(πΏβ€˜π‘‹)((π‘†β€˜π‘–)β€˜π‘›)))) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜)[,)((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜))))))
1841833adant3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))))) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘›)(πΏβ€˜π‘‹)((π‘†β€˜π‘–)β€˜π‘›)))) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜)[,)((𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))β€˜π‘˜))))))
185 simp3 1139 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))))) β†’ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))
186168, 184, 1853eqtr4d 2783 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))))) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘›)(πΏβ€˜π‘‹)((π‘†β€˜π‘–)β€˜π‘›)))) = 𝑧)
1871863adant3l 1181 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ (𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘›)(πΏβ€˜π‘‹)((π‘†β€˜π‘–)β€˜π‘›)))) = 𝑧)
188130, 187breqtrd 5175 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ (𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ 𝑧)
1891883exp 1120 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ ((𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))))) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ 𝑧)))
190189adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑀) β†’ (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ ((𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))))) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ 𝑧)))
191190rexlimdv 3154 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑀) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))))) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ 𝑧))
1927, 191mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑀) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ 𝑧)
193192ralrimiva 3147 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑀 (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ 𝑧)
194 ssrab2 4078 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))} βŠ† ℝ*
1951, 194eqsstri 4017 . . . . 5 𝑀 βŠ† ℝ*
196195a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 βŠ† ℝ*)
197 icossxr 13409 . . . . 5 (0[,)+∞) βŠ† ℝ*
1988, 9, 11, 13hoidmvcl 45298 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ∈ (0[,)+∞))
199197, 198sselid 3981 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ∈ ℝ*)
200 infxrgelb 13314 . . . 4 ((𝑀 βŠ† ℝ* ∧ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ inf(𝑀, ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑀 (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ 𝑧))
201196, 199, 200syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ inf(𝑀, ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑀 (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ 𝑧))
202193, 201mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ inf(𝑀, ℝ*, < ))
20362a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
204 nfv 1918 . . . . . 6 β„²π‘˜πœ‘
20511ffvelcdmda 7087 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
20613ffvelcdmda 7087 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
207206rexrd 11264 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
208204, 205, 207hoissrrn2 45294 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
209203, 208eqsstrd 4021 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
2109, 173, 209, 1ovnn0val 45267 . . 3 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜πΌ) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
211210eqcomd 2739 . 2 (πœ‘ β†’ inf(𝑀, ℝ*, < ) = ((voln*β€˜π‘‹)β€˜πΌ))
212202, 211breqtrd 5175 1 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜πΌ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  1st c1st 7973  2nd c2nd 7974   ↑m cmap 8820  Xcixp 8891  Fincfn 8939  infcinf 9436  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„•cn 12212  [,)cico 13326  βˆcprod 15849  volcvol 24980  Ξ£^csumge0 45078  voln*covoln 45252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-prod 15850  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cmp 22891  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-sumge0 45079  df-ovoln 45253
This theorem is referenced by:  ovnhoi  45319
  Copyright terms: Public domain W3C validator