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Theorem txconn 23063
Description: The topological product of two connected spaces is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
txconn ((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Conn)

Proof of Theorem txconn
Dummy variables 𝑀 π‘Ž π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 conntop 22791 . . 3 (𝑅 ∈ Conn β†’ 𝑅 ∈ Top)
2 conntop 22791 . . 3 (𝑆 ∈ Conn β†’ 𝑆 ∈ Top)
3 txtop 22943 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Top)
41, 2, 3syl2an 597 . 2 ((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Top)
5 neq0 4309 . . . . . . 7 (Β¬ π‘₯ = βˆ… ↔ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ π‘₯)
6 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))))
76elin1d 4162 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
8 elssuni 4902 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))
97, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))
10 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))
11 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ 𝑅 ∈ Conn)
1211, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ 𝑅 ∈ Top)
13 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ 𝑆 ∈ Conn)
1413, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ 𝑆 ∈ Top)
15 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 βˆͺ 𝑅 = βˆͺ 𝑅
16 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 βˆͺ 𝑆 = βˆͺ 𝑆
1715, 16txuni 22966 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))
1812, 14, 17syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))
1910, 18eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ 𝑀 ∈ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
20 1st2nd2 7964 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) β†’ 𝑀 = ⟨(1st β€˜π‘€), (2nd β€˜π‘€)⟩)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ 𝑀 = ⟨(1st β€˜π‘€), (2nd β€˜π‘€)⟩)
22 xp2nd 7958 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) β†’ (2nd β€˜π‘€) ∈ βˆͺ 𝑆)
2319, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ (2nd β€˜π‘€) ∈ βˆͺ 𝑆)
24 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ⟨(1st β€˜π‘€), π‘ŽβŸ©) = (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ⟨(1st β€˜π‘€), π‘ŽβŸ©)
2524mptpreima 6194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β—‘(π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ⟨(1st β€˜π‘€), π‘ŽβŸ©) β€œ π‘₯) = {π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑆 ∣ ⟨(1st β€˜π‘€), π‘ŽβŸ© ∈ π‘₯}
26 toptopon2 22290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑆 ∈ Top ↔ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆))
2714, 26sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆))
28 toptopon2 22290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅))
2912, 28sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅))
30 xp1st 7957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) β†’ (1st β€˜π‘€) ∈ βˆͺ 𝑅)
3119, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ (1st β€˜π‘€) ∈ βˆͺ 𝑅)
3227, 29, 31cnmptc 23036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ (1st β€˜π‘€)) ∈ (𝑆 Cn 𝑅))
3327cnmptid 23035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ π‘Ž) ∈ (𝑆 Cn 𝑆))
3427, 32, 33cnmpt1t 23039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ⟨(1st β€˜π‘€), π‘ŽβŸ©) ∈ (𝑆 Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)))
35 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))))
3635elin1d 4162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ π‘₯ ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
37 cnima 22639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ⟨(1st β€˜π‘€), π‘ŽβŸ©) ∈ (𝑆 Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)) β†’ (β—‘(π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ⟨(1st β€˜π‘€), π‘ŽβŸ©) β€œ π‘₯) ∈ 𝑆)
3834, 36, 37syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ (β—‘(π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ⟨(1st β€˜π‘€), π‘ŽβŸ©) β€œ π‘₯) ∈ 𝑆)
3925, 38eqeltrrid 2839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ {π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑆 ∣ ⟨(1st β€˜π‘€), π‘ŽβŸ© ∈ π‘₯} ∈ 𝑆)
40 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ 𝑧 ∈ π‘₯)
41 elunii 4874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))
4240, 36, 41syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))
4342, 18eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ 𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
44 xp2nd 7958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) β†’ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑆)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑆)
46 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑅 ↦ βŸ¨π‘Ž, (2nd β€˜π‘§)⟩) = (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑅 ↦ βŸ¨π‘Ž, (2nd β€˜π‘§)⟩)
4746mptpreima 6194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (β—‘(π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑅 ↦ βŸ¨π‘Ž, (2nd β€˜π‘§)⟩) β€œ π‘₯) = {π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑅 ∣ βŸ¨π‘Ž, (2nd β€˜π‘§)⟩ ∈ π‘₯}
4829cnmptid 23035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑅 ↦ π‘Ž) ∈ (𝑅 Cn 𝑅))
4929, 27, 45cnmptc 23036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑅 ↦ (2nd β€˜π‘§)) ∈ (𝑅 Cn 𝑆))
5029, 48, 49cnmpt1t 23039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑅 ↦ βŸ¨π‘Ž, (2nd β€˜π‘§)⟩) ∈ (𝑅 Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)))
51 cnima 22639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑅 ↦ βŸ¨π‘Ž, (2nd β€˜π‘§)⟩) ∈ (𝑅 Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)) β†’ (β—‘(π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑅 ↦ βŸ¨π‘Ž, (2nd β€˜π‘§)⟩) β€œ π‘₯) ∈ 𝑅)
5250, 36, 51syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ (β—‘(π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑅 ↦ βŸ¨π‘Ž, (2nd β€˜π‘§)⟩) β€œ π‘₯) ∈ 𝑅)
5347, 52eqeltrrid 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ {π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑅 ∣ βŸ¨π‘Ž, (2nd β€˜π‘§)⟩ ∈ π‘₯} ∈ 𝑅)
54 xp1st 7957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) β†’ (1st β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑅)
5543, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ (1st β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑅)
56 1st2nd2 7964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) β†’ 𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩)
5743, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ 𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩)
5857, 40eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∈ π‘₯)
59 opeq1 4834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘Ž = (1st β€˜π‘§) β†’ βŸ¨π‘Ž, (2nd β€˜π‘§)⟩ = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩)
6059eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘Ž = (1st β€˜π‘§) β†’ (βŸ¨π‘Ž, (2nd β€˜π‘§)⟩ ∈ π‘₯ ↔ ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∈ π‘₯))
6160rspcev 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((1st β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑅 ∧ ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∈ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ βˆͺ π‘…βŸ¨π‘Ž, (2nd β€˜π‘§)⟩ ∈ π‘₯)
6255, 58, 61syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ βˆͺ π‘…βŸ¨π‘Ž, (2nd β€˜π‘§)⟩ ∈ π‘₯)
63 rabn0 4349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ({π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑅 ∣ βŸ¨π‘Ž, (2nd β€˜π‘§)⟩ ∈ π‘₯} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ βˆͺ π‘…βŸ¨π‘Ž, (2nd β€˜π‘§)⟩ ∈ π‘₯)
6462, 63sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ {π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑅 ∣ βŸ¨π‘Ž, (2nd β€˜π‘§)⟩ ∈ π‘₯} β‰  βˆ…)
6535elin2d 4163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))
66 cnclima 22642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑅 ↦ βŸ¨π‘Ž, (2nd β€˜π‘§)⟩) ∈ (𝑅 Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ (β—‘(π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑅 ↦ βŸ¨π‘Ž, (2nd β€˜π‘§)⟩) β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π‘…))
6750, 65, 66syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ (β—‘(π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑅 ↦ βŸ¨π‘Ž, (2nd β€˜π‘§)⟩) β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π‘…))
6847, 67eqeltrrid 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ {π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑅 ∣ βŸ¨π‘Ž, (2nd β€˜π‘§)⟩ ∈ π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜π‘…))
6915, 11, 53, 64, 68connclo 22789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ {π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑅 ∣ βŸ¨π‘Ž, (2nd β€˜π‘§)⟩ ∈ π‘₯} = βˆͺ 𝑅)
7031, 69eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ (1st β€˜π‘€) ∈ {π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑅 ∣ βŸ¨π‘Ž, (2nd β€˜π‘§)⟩ ∈ π‘₯})
71 opeq1 4834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ž = (1st β€˜π‘€) β†’ βŸ¨π‘Ž, (2nd β€˜π‘§)⟩ = ⟨(1st β€˜π‘€), (2nd β€˜π‘§)⟩)
7271eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ž = (1st β€˜π‘€) β†’ (βŸ¨π‘Ž, (2nd β€˜π‘§)⟩ ∈ π‘₯ ↔ ⟨(1st β€˜π‘€), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∈ π‘₯))
7372elrab 3649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1st β€˜π‘€) ∈ {π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑅 ∣ βŸ¨π‘Ž, (2nd β€˜π‘§)⟩ ∈ π‘₯} ↔ ((1st β€˜π‘€) ∈ βˆͺ 𝑅 ∧ ⟨(1st β€˜π‘€), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∈ π‘₯))
7473simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1st β€˜π‘€) ∈ {π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑅 ∣ βŸ¨π‘Ž, (2nd β€˜π‘§)⟩ ∈ π‘₯} β†’ ⟨(1st β€˜π‘€), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∈ π‘₯)
7570, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ ⟨(1st β€˜π‘€), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∈ π‘₯)
76 opeq2 4835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ž = (2nd β€˜π‘§) β†’ ⟨(1st β€˜π‘€), π‘ŽβŸ© = ⟨(1st β€˜π‘€), (2nd β€˜π‘§)⟩)
7776eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ž = (2nd β€˜π‘§) β†’ (⟨(1st β€˜π‘€), π‘ŽβŸ© ∈ π‘₯ ↔ ⟨(1st β€˜π‘€), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∈ π‘₯))
7877rspcev 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑆 ∧ ⟨(1st β€˜π‘€), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∈ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ βˆͺ π‘†βŸ¨(1st β€˜π‘€), π‘ŽβŸ© ∈ π‘₯)
7945, 75, 78syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ βˆͺ π‘†βŸ¨(1st β€˜π‘€), π‘ŽβŸ© ∈ π‘₯)
80 rabn0 4349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑆 ∣ ⟨(1st β€˜π‘€), π‘ŽβŸ© ∈ π‘₯} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ βˆͺ π‘†βŸ¨(1st β€˜π‘€), π‘ŽβŸ© ∈ π‘₯)
8179, 80sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ {π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑆 ∣ ⟨(1st β€˜π‘€), π‘ŽβŸ© ∈ π‘₯} β‰  βˆ…)
82 cnclima 22642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ⟨(1st β€˜π‘€), π‘ŽβŸ©) ∈ (𝑆 Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ (β—‘(π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ⟨(1st β€˜π‘€), π‘ŽβŸ©) β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π‘†))
8334, 65, 82syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ (β—‘(π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ⟨(1st β€˜π‘€), π‘ŽβŸ©) β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π‘†))
8425, 83eqeltrrid 2839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ {π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑆 ∣ ⟨(1st β€˜π‘€), π‘ŽβŸ© ∈ π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜π‘†))
8516, 13, 39, 81, 84connclo 22789 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ {π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑆 ∣ ⟨(1st β€˜π‘€), π‘ŽβŸ© ∈ π‘₯} = βˆͺ 𝑆)
8623, 85eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ (2nd β€˜π‘€) ∈ {π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑆 ∣ ⟨(1st β€˜π‘€), π‘ŽβŸ© ∈ π‘₯})
87 opeq2 4835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = (2nd β€˜π‘€) β†’ ⟨(1st β€˜π‘€), π‘ŽβŸ© = ⟨(1st β€˜π‘€), (2nd β€˜π‘€)⟩)
8887eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = (2nd β€˜π‘€) β†’ (⟨(1st β€˜π‘€), π‘ŽβŸ© ∈ π‘₯ ↔ ⟨(1st β€˜π‘€), (2nd β€˜π‘€)⟩ ∈ π‘₯))
8988elrab 3649 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2nd β€˜π‘€) ∈ {π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑆 ∣ ⟨(1st β€˜π‘€), π‘ŽβŸ© ∈ π‘₯} ↔ ((2nd β€˜π‘€) ∈ βˆͺ 𝑆 ∧ ⟨(1st β€˜π‘€), (2nd β€˜π‘€)⟩ ∈ π‘₯))
9089simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2nd β€˜π‘€) ∈ {π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑆 ∣ ⟨(1st β€˜π‘€), π‘ŽβŸ© ∈ π‘₯} β†’ ⟨(1st β€˜π‘€), (2nd β€˜π‘€)⟩ ∈ π‘₯)
9186, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ ⟨(1st β€˜π‘€), (2nd β€˜π‘€)⟩ ∈ π‘₯)
9221, 91eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ (𝑧 ∈ π‘₯ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ 𝑀 ∈ π‘₯)
9392expr 458 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ (𝑀 ∈ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ π‘₯))
9493ssrdv 3954 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆) βŠ† π‘₯)
959, 94eqssd 3965 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) ∧ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ π‘₯ = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))
9695ex 414 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) β†’ (𝑧 ∈ π‘₯ β†’ π‘₯ = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
9796exlimdv 1937 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) β†’ (βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ π‘₯ β†’ π‘₯ = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
985, 97biimtrid 241 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) β†’ (Β¬ π‘₯ = βˆ… β†’ π‘₯ = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
9998orrd 862 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))) β†’ (π‘₯ = βˆ… ∨ π‘₯ = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
10099ex 414 . . . 4 ((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ (π‘₯ = βˆ… ∨ π‘₯ = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))))
101 vex 3451 . . . . 5 π‘₯ ∈ V
102101elpr 4613 . . . 4 (π‘₯ ∈ {βˆ…, βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)} ↔ (π‘₯ = βˆ… ∨ π‘₯ = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
103100, 102syl6ibr 252 . . 3 ((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ π‘₯ ∈ {βˆ…, βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)}))
104103ssrdv 3954 . 2 ((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) β†’ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))) βŠ† {βˆ…, βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)})
105 eqid 2733 . . 3 βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆) = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)
106105isconn2 22788 . 2 ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Conn ↔ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Top ∧ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∩ (Clsdβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))) βŠ† {βˆ…, βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)}))
1074, 104, 106sylanbrc 584 1 ((𝑅 ∈ Conn ∧ 𝑆 ∈ Conn) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Conn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  {cpr 4592  βŸ¨cop 4596  βˆͺ cuni 4869   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  β—‘ccnv 5636   β€œ cima 5640  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  1st c1st 7923  2nd c2nd 7924  Topctop 22265  TopOnctopon 22282  Clsdccld 22390   Cn ccn 22598  Conncconn 22785   Γ—t ctx 22934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-map 8773  df-topgen 17333  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cld 22393  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-conn 22786  df-tx 22936
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