Theorem txtop 23737

Description: The product of two topologies is a topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
txtop	⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ Top)

Proof of Theorem txtop

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) = ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))
2	1	txval 23732	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) = (topGen‘ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))))
3		topbas 23140	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Top → 𝑅 ∈ TopBases)
4		topbas 23140	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Top → 𝑆 ∈ TopBases)
5	1	txbas 23735	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopBases ∧ 𝑆 ∈ TopBases) → ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∈ TopBases)
6	3, 4, 5	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∈ TopBases)
7		tgcl 23137	. . 3 ⊢ (ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∈ TopBases → (topGen‘ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))) ∈ Top)
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (topGen‘ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))) ∈ Top)
9	2, 8	eqeltrd 2862	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ Top)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142   × cxp 5658  ran crn 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  topGenctg 17496  Topctop 23061  TopBasesctb 23113   ×_t ctx 23728

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-topgen 17502  df-top 23062  df-bases 23114  df-tx 23730

This theorem is used by:  txtopi  23758  txtopon  23759  txcld  23771  neitx  23775  txlly  23804  txnlly  23805  txcmplem1  23809  txcmp  23811  hausdiag  23813  txhaus  23815  tx1stc  23818  txkgen  23820  xkococn  23828  xkoinjcn  23855  txconn  23857  imasnopn  23858  imasncls  23860  utop2nei  24418  utop3cls  24419  qtophaus  34235  txpconn  35732