Theorem txtop 23515

Description: The product of two topologies is a topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
txtop	⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ Top)

Proof of Theorem txtop

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) = ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))
2	1	txval 23510	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) = (topGen‘ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))))
3		topbas 22918	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Top → 𝑅 ∈ TopBases)
4		topbas 22918	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Top → 𝑆 ∈ TopBases)
5	1	txbas 23513	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopBases ∧ 𝑆 ∈ TopBases) → ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∈ TopBases)
6	3, 4, 5	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∈ TopBases)
7		tgcl 22915	. . 3 ⊢ (ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∈ TopBases → (topGen‘ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))) ∈ Top)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (topGen‘ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))) ∈ Top)
9	2, 8	eqeltrd 2835	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   × cxp 5621  ran crn 5624  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  topGenctg 17359  Topctop 22839  TopBasesctb 22891   ×_t ctx 23506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-fv 6499  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-topgen 17365  df-top 22840  df-bases 22892  df-tx 23508

This theorem is referenced by:  txtopi  23536  txtopon  23537  txcld  23549  neitx  23553  txlly  23582  txnlly  23583  txcmplem1  23587  txcmp  23589  hausdiag  23591  txhaus  23593  tx1stc  23596  txkgen  23598  xkococn  23606  xkoinjcn  23633  txconn  23635  imasnopn  23636  imasncls  23638  utop2nei  24196  utop3cls  24197  qtophaus  33972  txpconn  35405