Theorem txtop 23456

Description: The product of two topologies is a topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
txtop	⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ Top)

Proof of Theorem txtop

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) = ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))
2	1	txval 23451	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) = (topGen‘ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))))
3		topbas 22859	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Top → 𝑅 ∈ TopBases)
4		topbas 22859	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Top → 𝑆 ∈ TopBases)
5	1	txbas 23454	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopBases ∧ 𝑆 ∈ TopBases) → ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∈ TopBases)
6	3, 4, 5	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∈ TopBases)
7		tgcl 22856	. . 3 ⊢ (ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∈ TopBases → (topGen‘ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))) ∈ Top)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (topGen‘ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))) ∈ Top)
9	2, 8	eqeltrd 2828	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   × cxp 5636  ran crn 5639  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389  topGenctg 17400  Topctop 22780  TopBasesctb 22832   ×_t ctx 23447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-topgen 17406  df-top 22781  df-bases 22833  df-tx 23449

This theorem is referenced by:  txtopi  23477  txtopon  23478  txcld  23490  neitx  23494  txlly  23523  txnlly  23524  txcmplem1  23528  txcmp  23530  hausdiag  23532  txhaus  23534  tx1stc  23537  txkgen  23539  xkococn  23547  xkoinjcn  23574  txconn  23576  imasnopn  23577  imasncls  23579  utop2nei  24138  utop3cls  24139  qtophaus  33826  txpconn  35219