Theorem circlemethnat 34632

Description: The Hardy, Littlewood and Ramanujan Circle Method, Chapter 5.1 of [Nathanson] p. 123. This expresses 𝑅, the number of different ways a nonnegative integer 𝑁 can be represented as the sum of at most 𝑆 integers in the set 𝐴 as an integral of Vinogradov trigonometric sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
circlemethnat.r	⊢ 𝑅 = (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁))
circlemethnat.f	⊢ 𝐹 = ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥)
circlemethnat.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
circlemethnat.a	⊢ 𝐴 ⊆ ℕ
circlemethnat.s	⊢ 𝑆 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
circlemethnat	⊢ 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹↑𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem circlemethnat

Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		circlemethnat.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁))
2		nnex 12192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ ∈ V
3		circlemethnat.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 ⊆ ℕ
4		indf 32778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ℕ) → ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶{0, 1})
5	2, 3, 4	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶{0, 1}
6		pr01ssre 32749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {0, 1} ⊆ ℝ
7		ax-resscn 11125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
8	6, 7	sstri 3956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {0, 1} ⊆ ℂ
9		fss 6704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶{0, 1} ∧ {0, 1} ⊆ ℂ) → ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ)
10	5, 8, 9	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ
11		cnex 11149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ∈ V
12	11, 2	elmap 8844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝟭‘ℕ)‘𝐴) ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ)
13	10, 12	mpbir 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝟭‘ℕ)‘𝐴) ∈ (ℂ ↑m ℕ)
14	13	elexi 3470	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝟭‘ℕ)‘𝐴) ∈ V
15	14	fvconst2 7178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (0..^𝑆) → (((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎) = ((𝟭‘ℕ)‘𝐴))
16	15	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎) = ((𝟭‘ℕ)‘𝐴))
17	16	fveq1d 6860	. . . . . . 7 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → ((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) = (((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)))
18	17	prodeq2dv 15888	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) = ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)))
19	18	sumeq2dv 15668	. . . . 5 ⊢ (⊤ → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)))
20	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐴 ⊆ ℕ)
21		circlemethnat.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝑁 ∈ ℕ0)
23		circlemethnat.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ∈ ℕ
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝑆 ∈ ℕ)
25	24	nnnn0d 12503	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝑆 ∈ ℕ0)
26	20, 22, 25	hashrepr 34616	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁)) = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)))
27	19, 26	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ (⊤ → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) = (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁)))
28	1, 27	eqtr4id 2783	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑅 = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)))
29	13	fconst6 6750	. . . . 5 ⊢ ((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)}):(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ)
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)}):(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ))
31	22, 24, 30	circlemeth 34631	. . 3 ⊢ (⊤ → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) = ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
32		fzofi 13939	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑆) ∈ Fin
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (0..^𝑆) ∈ Fin)
34		circlemethnat.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥)
35	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
36		ioossre 13368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
37	36, 7	sstri 3956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℂ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (0(,)1) ⊆ ℂ)
39	38	sselda 3946	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
40	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ)
41	35, 39, 40	vtscl 34629	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
42	34, 41	eqeltrid 2832	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝐹 ∈ ℂ)
43		fprodconst 15944	. . . . . . 7 ⊢ (((0..^𝑆) ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐹 = (𝐹↑(♯‘(0..^𝑆))))
44	33, 42, 43	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐹 = (𝐹↑(♯‘(0..^𝑆))))
45	15	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎) = ((𝟭‘ℕ)‘𝐴))
46	45	oveq1d 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → ((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁) = (((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁))
47	46	fveq1d 6860	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥))
48	34, 47	eqtr4id 2783	. . . . . . 7 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐹 = (((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥))
49	48	prodeq2dv 15888	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐹 = ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥))
50	25	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
51		hashfzo0 14395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
53	52	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (𝐹↑(♯‘(0..^𝑆))) = (𝐹↑𝑆))
54	44, 49, 53	3eqtr3d 2772	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (𝐹↑𝑆))
55	54	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = ((𝐹↑𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))))
56	55	itgeq2dv 25683	. . 3 ⊢ (⊤ → ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)((𝐹↑𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
57	28, 31, 56	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (⊤ → 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹↑𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
58	57	mptru 1547	1 ⊢ 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹↑𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  {csn 4589  {cpr 4591   × cxp 5636  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799  Fincfn 8918  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069  ici 11070   · cmul 11073  -cneg 11406  ℕcn 12186  2c2 12241  ℕ₀cn0 12442  (,)cioo 13306  ..^cfzo 13615  ↑cexp 14026  ♯chash 14295  Σcsu 15652  ∏cprod 15869  expce 16027  πcpi 16032  ∫citg 25519  𝟭cind 32773  reprcrepr 34599  vtscvts 34626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cc 10388  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-symdif 4216  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-omul 8439  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-acn 9895  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-prod 15870  df-ef 16033  df-sin 16035  df-cos 16036  df-pi 16038  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-cmp 23274  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-ovol 25365  df-vol 25366  df-mbf 25520  df-itg1 25521  df-itg2 25522  df-ibl 25523  df-itg 25524  df-0p 25571  df-limc 25767  df-dv 25768  df-ind 32774  df-repr 34600  df-vts 34627

This theorem is referenced by: (None)