Theorem circlemethnat 31914

Description: The Hardy, Littlewood and Ramanujan Circle Method, Chapter 5.1 of [Nathanson] p. 123. This expresses 𝑅, the number of different ways a nonnegative integer 𝑁 can be represented as the sum of at most 𝑆 integers in the set 𝐴 as an integral of Vinogradov trigonometric sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
circlemethnat.r	⊢ 𝑅 = (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁))
circlemethnat.f	⊢ 𝐹 = ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥)
circlemethnat.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
circlemethnat.a	⊢ 𝐴 ⊆ ℕ
circlemethnat.s	⊢ 𝑆 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
circlemethnat	⊢ 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹↑𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem circlemethnat

Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 11646	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ ∈ V
2		circlemethnat.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 ⊆ ℕ
3		indf 31276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ℕ) → ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶{0, 1})
4	1, 2, 3	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶{0, 1}
5		pr01ssre 30542	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {0, 1} ⊆ ℝ
6		ax-resscn 10596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	5, 6	sstri 3978	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {0, 1} ⊆ ℂ
8		fss 6529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶{0, 1} ∧ {0, 1} ⊆ ℂ) → ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ)
9	4, 7, 8	mp2an 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ
10		cnex 10620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ∈ V
11	10, 1	elmap 8437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝟭‘ℕ)‘𝐴) ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ)
12	9, 11	mpbir 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝟭‘ℕ)‘𝐴) ∈ (ℂ ↑m ℕ)
13	12	elexi 3515	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝟭‘ℕ)‘𝐴) ∈ V
14	13	fvconst2 6968	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (0..^𝑆) → (((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎) = ((𝟭‘ℕ)‘𝐴))
15	14	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎) = ((𝟭‘ℕ)‘𝐴))
16	15	fveq1d 6674	. . . . . . 7 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → ((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) = (((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)))
17	16	prodeq2dv 15279	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) = ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)))
18	17	sumeq2dv 15062	. . . . 5 ⊢ (⊤ → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)))
19	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐴 ⊆ ℕ)
20		circlemethnat.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝑁 ∈ ℕ0)
22		circlemethnat.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ∈ ℕ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝑆 ∈ ℕ)
24	23	nnnn0d 11958	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝑆 ∈ ℕ0)
25	19, 21, 24	hashrepr 31898	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁)) = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)))
26	18, 25	eqtr4d 2861	. . . 4 ⊢ (⊤ → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) = (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁)))
27		circlemethnat.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁))
28	26, 27	syl6reqr 2877	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑅 = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)))
29	12	fconst6 6571	. . . . 5 ⊢ ((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)}):(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ)
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)}):(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ))
31	21, 23, 30	circlemeth 31913	. . 3 ⊢ (⊤ → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) = ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
32		fzofi 13345	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑆) ∈ Fin
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (0..^𝑆) ∈ Fin)
34		circlemethnat.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥)
35	20	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
36		ioossre 12801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
37	36, 6	sstri 3978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℂ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (0(,)1) ⊆ ℂ)
39	38	sselda 3969	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
40	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ)
41	35, 39, 40	vtscl 31911	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
42	34, 41	eqeltrid 2919	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝐹 ∈ ℂ)
43		fprodconst 15334	. . . . . . 7 ⊢ (((0..^𝑆) ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐹 = (𝐹↑(♯‘(0..^𝑆))))
44	33, 42, 43	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐹 = (𝐹↑(♯‘(0..^𝑆))))
45	14	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎) = ((𝟭‘ℕ)‘𝐴))
46	45	oveq1d 7173	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → ((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁) = (((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁))
47	46	fveq1d 6674	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥))
48	47, 34	syl6reqr 2877	. . . . . . 7 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐹 = (((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥))
49	48	prodeq2dv 15279	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐹 = ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥))
50	24	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
51		hashfzo0 13794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
53	52	oveq2d 7174	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (𝐹↑(♯‘(0..^𝑆))) = (𝐹↑𝑆))
54	44, 49, 53	3eqtr3d 2866	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (𝐹↑𝑆))
55	54	oveq1d 7173	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = ((𝐹↑𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))))
56	55	itgeq2dv 24384	. . 3 ⊢ (⊤ → ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)((𝐹↑𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
57	28, 31, 56	3eqtrd 2862	. 2 ⊢ (⊤ → 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹↑𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
58	57	mptru 1544	1 ⊢ 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹↑𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   ⊆ wss 3938  {csn 4569  {cpr 4571   × cxp 5555  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ↑_m cmap 8408  Fincfn 8511  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540  ici 10541   · cmul 10544  -cneg 10873  ℕcn 11640  2c2 11695  ℕ₀cn0 11900  (,)cioo 12741  ..^cfzo 13036  ↑cexp 13432  ♯chash 13693  Σcsu 15044  ∏cprod 15261  expce 15417  πcpi 15422  ∫citg 24221  𝟭cind 31271  reprcrepr 31881  vtscvts 31908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cc 9859  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-symdif 4221  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-disj 5034  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-ofr 7412  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-omul 8109  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-dju 9332  df-card 9370  df-acn 9373  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14428  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-limsup 14830  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-prod 15262  df-ef 15423  df-sin 15425  df-cos 15426  df-pi 15428  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-xrs 16777  df-qtop 16782  df-imas 16783  df-xps 16785  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-mulg 18227  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-fbas 20544  df-fg 20545  df-cnfld 20548  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cld 21629  df-ntr 21630  df-cls 21631  df-nei 21708  df-lp 21746  df-perf 21747  df-cn 21837  df-cnp 21838  df-haus 21925  df-cmp 21997  df-tx 22172  df-hmeo 22365  df-fil 22456  df-fm 22548  df-flim 22549  df-flf 22550  df-xms 22932  df-ms 22933  df-tms 22934  df-cncf 23488  df-ovol 24067  df-vol 24068  df-mbf 24222  df-itg1 24223  df-itg2 24224  df-ibl 24225  df-itg 24226  df-0p 24273  df-limc 24466  df-dv 24467  df-ind 31272  df-repr 31882  df-vts 31909

This theorem is referenced by: (None)