Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  circlemethnat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem circlemethnat 34142
Description: The Hardy, Littlewood and Ramanujan Circle Method, Chapter 5.1 of [Nathanson] p. 123. This expresses 𝑅, the number of different ways a nonnegative integer 𝑁 can be represented as the sum of at most 𝑆 integers in the set 𝐴 as an integral of Vinogradov trigonometric sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
circlemethnat.r 𝑅 = (β™―β€˜(𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑁))
circlemethnat.f 𝐹 = ((((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)vts𝑁)β€˜π‘₯)
circlemethnat.n 𝑁 ∈ β„•0
circlemethnat.a 𝐴 βŠ† β„•
circlemethnat.s 𝑆 ∈ β„•
Assertion
Ref Expression
circlemethnat 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹↑𝑆) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯)   𝐹(π‘₯)
Proof of Theorem circlemethnat
Dummy variables π‘Ž 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 circlemethnat.r . . . 4 𝑅 = (β™―β€˜(𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑁))
2 nnex 12215 . . . . . . . . . . . . . 14 β„• ∈ V
3 circlemethnat.a . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 βŠ† β„•
4 indf 33502 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β„• ∈ V ∧ 𝐴 βŠ† β„•) β†’ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄):β„•βŸΆ{0, 1})
52, 3, 4mp2an 689 . . . . . . . . . . . . 13 ((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄):β„•βŸΆ{0, 1}
6 pr01ssre 32497 . . . . . . . . . . . . . 14 {0, 1} βŠ† ℝ
7 ax-resscn 11163 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ βŠ† β„‚
86, 7sstri 3983 . . . . . . . . . . . . 13 {0, 1} βŠ† β„‚
9 fss 6724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄):β„•βŸΆ{0, 1} ∧ {0, 1} βŠ† β„‚) β†’ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄):β„•βŸΆβ„‚)
105, 8, 9mp2an 689 . . . . . . . . . . . 12 ((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄):β„•βŸΆβ„‚
11 cnex 11187 . . . . . . . . . . . . 13 β„‚ ∈ V
1211, 2elmap 8861 . . . . . . . . . . . 12 (((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄) ∈ (β„‚ ↑m β„•) ↔ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄):β„•βŸΆβ„‚)
1310, 12mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 ((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄) ∈ (β„‚ ↑m β„•)
1413elexi 3486 . . . . . . . . . 10 ((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄) ∈ V
1514fvconst2 7197 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ (0..^𝑆) β†’ (((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž) = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄))
1615adantl 481 . . . . . . . 8 (((⊀ ∧ 𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜π‘†)𝑁)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ (((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž) = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄))
1716fveq1d 6883 . . . . . . 7 (((⊀ ∧ 𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜π‘†)𝑁)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ ((((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) = (((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)))
1817prodeq2dv 15864 . . . . . 6 ((⊀ ∧ 𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜π‘†)𝑁)) β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) = βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)))
1918sumeq2dv 15646 . . . . 5 (⊀ β†’ Σ𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜π‘†)𝑁)βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) = Σ𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜π‘†)𝑁)βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)))
203a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
21 circlemethnat.n . . . . . . 7 𝑁 ∈ β„•0
2221a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
23 circlemethnat.s . . . . . . . 8 𝑆 ∈ β„•
2423a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ 𝑆 ∈ β„•)
2524nnnn0d 12529 . . . . . 6 (⊀ β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
2620, 22, 25hashrepr 34126 . . . . 5 (⊀ β†’ (β™―β€˜(𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑁)) = Σ𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜π‘†)𝑁)βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)))
2719, 26eqtr4d 2767 . . . 4 (⊀ β†’ Σ𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜π‘†)𝑁)βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) = (β™―β€˜(𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑁)))
281, 27eqtr4id 2783 . . 3 (⊀ β†’ 𝑅 = Σ𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜π‘†)𝑁)βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)))
2913fconst6 6771 . . . . 5 ((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)}):(0..^𝑆)⟢(β„‚ ↑m β„•)
3029a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ ((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)}):(0..^𝑆)⟢(β„‚ ↑m β„•))
3122, 24, 30circlemeth 34141 . . 3 (⊀ β†’ Σ𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜π‘†)𝑁)βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) = ∫(0(,)1)(βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)
32 fzofi 13936 . . . . . . . 8 (0..^𝑆) ∈ Fin
3332a1i 11 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ (0..^𝑆) ∈ Fin)
34 circlemethnat.f . . . . . . . 8 𝐹 = ((((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)vts𝑁)β€˜π‘₯)
3521a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
36 ioossre 13382 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)1) βŠ† ℝ
3736, 7sstri 3983 . . . . . . . . . . 11 (0(,)1) βŠ† β„‚
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (0(,)1) βŠ† β„‚)
3938sselda 3974 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
4010a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄):β„•βŸΆβ„‚)
4135, 39, 40vtscl 34139 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ ((((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)vts𝑁)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4234, 41eqeltrid 2829 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐹 ∈ β„‚)
43 fprodconst 15919 . . . . . . 7 (((0..^𝑆) ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ β„‚) β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)𝐹 = (𝐹↑(β™―β€˜(0..^𝑆))))
4433, 42, 43syl2anc 583 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)𝐹 = (𝐹↑(β™―β€˜(0..^𝑆))))
4515adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ (((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž) = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄))
4645oveq1d 7416 . . . . . . . . 9 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ ((((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž)vts𝑁) = (((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)vts𝑁))
4746fveq1d 6883 . . . . . . . 8 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ (((((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) = ((((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)vts𝑁)β€˜π‘₯))
4834, 47eqtr4id 2783 . . . . . . 7 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ 𝐹 = (((((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯))
4948prodeq2dv 15864 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)𝐹 = βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯))
5025adantr 480 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
51 hashfzo0 14387 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(0..^𝑆)) = 𝑆)
5250, 51syl 17 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ (β™―β€˜(0..^𝑆)) = 𝑆)
5352oveq2d 7417 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ (𝐹↑(β™―β€˜(0..^𝑆))) = (𝐹↑𝑆))
5444, 49, 533eqtr3d 2772 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) = (𝐹↑𝑆))
5554oveq1d 7416 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ (βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) = ((𝐹↑𝑆) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))))
5655itgeq2dv 25633 . . 3 (⊀ β†’ ∫(0(,)1)(βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯ = ∫(0(,)1)((𝐹↑𝑆) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)
5728, 31, 563eqtrd 2768 . 2 (⊀ β†’ 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹↑𝑆) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)
5857mptru 1540 1 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹↑𝑆) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   βŠ† wss 3940  {csn 4620  {cpr 4622   Γ— cxp 5664  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  ici 11108   Β· cmul 11111  -cneg 11442  β„•cn 12209  2c2 12264  β„•0cn0 12469  (,)cioo 13321  ..^cfzo 13624  β†‘cexp 14024  β™―chash 14287  Ξ£csu 15629  βˆcprod 15846  expce 16002  Ο€cpi 16007  βˆ«citg 25469  πŸ­cind 33497  reprcrepr 34109  vtscvts 34136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-symdif 4234  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-disj 5104  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-ofr 7664  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-prod 15847  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-fbas 21225  df-fg 21226  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-nei 22924  df-lp 22962  df-perf 22963  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-haus 23141  df-cmp 23213  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-fil 23672  df-fm 23764  df-flim 23765  df-flf 23766  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150  df-cncf 24720  df-ovol 25315  df-vol 25316  df-mbf 25470  df-itg1 25471  df-itg2 25472  df-ibl 25473  df-itg 25474  df-0p 25521  df-limc 25717  df-dv 25718  df-ind 33498  df-repr 34110  df-vts 34137
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator