Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  circlemethnat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem circlemethnat 31937
Description: The Hardy, Littlewood and Ramanujan Circle Method, Chapter 5.1 of [Nathanson] p. 123. This expresses 𝑅, the number of different ways a nonnegative integer 𝑁 can be represented as the sum of at most 𝑆 integers in the set 𝐴 as an integral of Vinogradov trigonometric sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
circlemethnat.r 𝑅 = (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁))
circlemethnat.f 𝐹 = ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥)
circlemethnat.n 𝑁 ∈ ℕ0
circlemethnat.a 𝐴 ⊆ ℕ
circlemethnat.s 𝑆 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
circlemethnat 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem circlemethnat
Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 11636 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ ∈ V
2 circlemethnat.a . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 ⊆ ℕ
3 indf 31299 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℕ ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ℕ) → ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶{0, 1})
41, 2, 3mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶{0, 1}
5 pr01ssre 30544 . . . . . . . . . . . . . 14 {0, 1} ⊆ ℝ
6 ax-resscn 10586 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
75, 6sstri 3961 . . . . . . . . . . . . 13 {0, 1} ⊆ ℂ
8 fss 6515 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶{0, 1} ∧ {0, 1} ⊆ ℂ) → ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ)
94, 7, 8mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ
10 cnex 10610 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ∈ V
1110, 1elmap 8425 . . . . . . . . . . . 12 (((𝟭‘ℕ)‘𝐴) ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ)
129, 11mpbir 234 . . . . . . . . . . 11 ((𝟭‘ℕ)‘𝐴) ∈ (ℂ ↑m ℕ)
1312elexi 3499 . . . . . . . . . 10 ((𝟭‘ℕ)‘𝐴) ∈ V
1413fvconst2 6954 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (0..^𝑆) → (((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎) = ((𝟭‘ℕ)‘𝐴))
1514adantl 485 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎) = ((𝟭‘ℕ)‘𝐴))
1615fveq1d 6660 . . . . . . 7 (((⊤ ∧ 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → ((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)) = (((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐𝑎)))
1716prodeq2dv 15273 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)) = ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐𝑎)))
1817sumeq2dv 15056 . . . . 5 (⊤ → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)) = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐𝑎)))
192a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝐴 ⊆ ℕ)
20 circlemethnat.n . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℕ0
2120a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝑁 ∈ ℕ0)
22 circlemethnat.s . . . . . . . 8 𝑆 ∈ ℕ
2322a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝑆 ∈ ℕ)
2423nnnn0d 11948 . . . . . 6 (⊤ → 𝑆 ∈ ℕ0)
2519, 21, 24hashrepr 31921 . . . . 5 (⊤ → (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁)) = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐𝑎)))
2618, 25eqtr4d 2862 . . . 4 (⊤ → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)) = (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁)))
27 circlemethnat.r . . . 4 𝑅 = (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁))
2826, 27syl6reqr 2878 . . 3 (⊤ → 𝑅 = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)))
2912fconst6 6557 . . . . 5 ((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)}):(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ)
3029a1i 11 . . . 4 (⊤ → ((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)}):(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ))
3121, 23, 30circlemeth 31936 . . 3 (⊤ → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)) = ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
32 fzofi 13342 . . . . . . . 8 (0..^𝑆) ∈ Fin
3332a1i 11 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (0..^𝑆) ∈ Fin)
34 circlemethnat.f . . . . . . . 8 𝐹 = ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥)
3520a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
36 ioossre 12791 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)1) ⊆ ℝ
3736, 6sstri 3961 . . . . . . . . . . 11 (0(,)1) ⊆ ℂ
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (0(,)1) ⊆ ℂ)
3938sselda 3952 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
409a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ)
4135, 39, 40vtscl 31934 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
4234, 41eqeltrid 2920 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝐹 ∈ ℂ)
43 fprodconst 15328 . . . . . . 7 (((0..^𝑆) ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐹 = (𝐹↑(♯‘(0..^𝑆))))
4433, 42, 43syl2anc 587 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐹 = (𝐹↑(♯‘(0..^𝑆))))
4514adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎) = ((𝟭‘ℕ)‘𝐴))
4645oveq1d 7160 . . . . . . . . 9 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → ((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁) = (((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁))
4746fveq1d 6660 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥))
4847, 34syl6reqr 2878 . . . . . . 7 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐹 = (((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥))
4948prodeq2dv 15273 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐹 = ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥))
5024adantr 484 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
51 hashfzo0 13792 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
5250, 51syl 17 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
5352oveq2d 7161 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (𝐹↑(♯‘(0..^𝑆))) = (𝐹𝑆))
5444, 49, 533eqtr3d 2867 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (𝐹𝑆))
5554oveq1d 7160 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = ((𝐹𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))))
5655itgeq2dv 24381 . . 3 (⊤ → ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)((𝐹𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
5728, 31, 563eqtrd 2863 . 2 (⊤ → 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
5857mptru 1545 1 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1538  wtru 1539  wcel 2115  Vcvv 3480  wss 3919  {csn 4549  {cpr 4551   × cxp 5540  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7145  m cmap 8396  Fincfn 8499  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530  ici 10531   · cmul 10534  -cneg 10863  cn 11630  2c2 11685  0cn0 11890  (,)cioo 12731  ..^cfzo 13033  cexp 13430  chash 13691  Σcsu 15038  cprod 15255  expce 15411  πcpi 15416  citg 24218  𝟭cind 31294  reprcrepr 31904  vtscvts 31931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-inf2 9095  ax-cc 9849  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-symdif 4203  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-disj 5018  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7399  df-ofr 7400  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-supp 7821  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-2o 8093  df-oadd 8096  df-omul 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8452  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-fsupp 8825  df-fi 8866  df-sup 8897  df-inf 8898  df-oi 8965  df-dju 9321  df-card 9359  df-acn 9362  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-4 11695  df-5 11696  df-6 11697  df-7 11698  df-8 11699  df-9 11700  df-n0 11891  df-z 11975  df-dec 12092  df-uz 12237  df-q 12342  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-ioc 12736  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12891  df-fzo 13034  df-fl 13162  df-mod 13238  df-seq 13370  df-exp 13431  df-fac 13635  df-bc 13664  df-hash 13692  df-shft 14422  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-prod 15256  df-ef 15417  df-sin 15419  df-cos 15420  df-pi 15422  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20530  df-xmet 20531  df-met 20532  df-bl 20533  df-mopn 20534  df-fbas 20535  df-fg 20536  df-cnfld 20539  df-top 21495  df-topon 21512  df-topsp 21534  df-bases 21547  df-cld 21620  df-ntr 21621  df-cls 21622  df-nei 21699  df-lp 21737  df-perf 21738  df-cn 21828  df-cnp 21829  df-haus 21916  df-cmp 21988  df-tx 22163  df-hmeo 22356  df-fil 22447  df-fm 22539  df-flim 22540  df-flf 22541  df-xms 22923  df-ms 22924  df-tms 22925  df-cncf 23479  df-ovol 24064  df-vol 24065  df-mbf 24219  df-itg1 24220  df-itg2 24221  df-ibl 24222  df-itg 24223  df-0p 24270  df-limc 24465  df-dv 24466  df-ind 31295  df-repr 31905  df-vts 31932
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator