Theorem circlemethnat 35340

Description: The Hardy, Littlewood and Ramanujan Circle Method, Chapter 5.1 of [Nathanson] p. 123. This expresses 𝑅, the number of different ways a nonnegative integer 𝑁 can be represented as the sum of at most 𝑆 integers in the set 𝐴 as an integral of Vinogradov trigonometric sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
circlemethnat.r	⊢ 𝑅 = (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁))
circlemethnat.f	⊢ 𝐹 = ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥)
circlemethnat.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
circlemethnat.a	⊢ 𝐴 ⊆ ℕ
circlemethnat.s	⊢ 𝑆 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
circlemethnat	⊢ 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹↑𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) d𝑥

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem circlemethnat

Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		circlemethnat.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁))
2		nnex 12368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ ∈ V
3		circlemethnat.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 ⊆ ℕ
4		indf 12353	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ℕ) → ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶{0, 1})
5	2, 3, 4	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶{0, 1}
6		pr01ssre 11339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {0, 1} ⊆ ℝ
7		ax-resscn 11284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
8	6, 7	sstri 3922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {0, 1} ⊆ ℂ
9		fss 6748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶{0, 1} ∧ {0, 1} ⊆ ℂ) → ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ)
10	5, 8, 9	mp2an 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ
11		cnex 11308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ∈ V
12	11, 2	elmap 8927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝟭‘ℕ)‘𝐴) ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ)
13	10, 12	mpbir 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝟭‘ℕ)‘𝐴) ∈ (ℂ ↑m ℕ)
14	13	elexi 3476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝟭‘ℕ)‘𝐴) ∈ V
15	14	fvconst2 7233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (0..^𝑆) → (((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎) = ((𝟭‘ℕ)‘𝐴))
16	15	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎) = ((𝟭‘ℕ)‘𝐴))
17	16	fveq1d 6910	. . . . . . 7 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → ((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) = (((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)))
18	17	prodeq2dv 16119	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) = ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)))
19	18	sumeq2dv 15898	. . . . 5 ⊢ (⊤ → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)))
20	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐴 ⊆ ℕ)
21		circlemethnat.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝑁 ∈ ℕ0)
23		circlemethnat.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ∈ ℕ
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝑆 ∈ ℕ)
25	24	nnnn0d 12694	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝑆 ∈ ℕ0)
26	20, 22, 25	hashrepr 35324	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁)) = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)))
27	19, 26	eqtr4d 2801	. . . 4 ⊢ (⊤ → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) = (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁)))
28	1, 27	eqtr4id 2817	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑅 = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)))
29	13	fconst6 6794	. . . . 5 ⊢ ((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)}):(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ)
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)}):(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ))
31	22, 24, 30	circlemeth 35339	. . 3 ⊢ (⊤ → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) = ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
32		fzofi 14144	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑆) ∈ Fin
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (0..^𝑆) ∈ Fin)
34		circlemethnat.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥)
35	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
36		ioossre 13565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
37	36, 7	sstri 3922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℂ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (0(,)1) ⊆ ℂ)
39	38	sselda 3913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
40	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ)
41	35, 39, 40	vtscl 35337	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
42	34, 41	eqeltrid 2868	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝐹 ∈ ℂ)
43		fprodconst 16174	. . . . . . 7 ⊢ (((0..^𝑆) ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐹 = (𝐹↑(♯‘(0..^𝑆))))
44	33, 42, 43	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐹 = (𝐹↑(♯‘(0..^𝑆))))
45	15	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎) = ((𝟭‘ℕ)‘𝐴))
46	45	oveq1d 7458	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → ((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁) = (((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁))
47	46	fveq1d 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥))
48	34, 47	eqtr4id 2817	. . . . . . 7 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐹 = (((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥))
49	48	prodeq2dv 16119	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐹 = ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥))
50	25	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
51		hashfzo0 14602	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
52	50, 51	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
53	52	oveq2d 7459	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (𝐹↑(♯‘(0..^𝑆))) = (𝐹↑𝑆))
54	44, 49, 53	3eqtr3d 2806	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (𝐹↑𝑆))
55	54	oveq1d 7458	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) = ((𝐹↑𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))))
56	55	itgeq2dv 26132	. . 3 ⊢ (⊤ → ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)((𝐹↑𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
57	28, 31, 56	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (⊤ → 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹↑𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
58	57	mptru 1577	1 ⊢ 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹↑𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) d𝑥

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {csn 4588  {cpr 4590   × cxp 5653  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ↑_m cmap 8875  Fincfn 9001  ℂcc 11225  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228  ici 11229   · cmul 11232   -cneg 11569  𝟭cind 12347  ℕcn 12362  2c2 12424  ℕ₀cn0 12633  (,)cioo 13503  ..^cfzo 13815  ↑cexp 14231  ♯chash 14501  Σcsu 15882  ∏cprod 16101  expce 16256  πcpi 16261  ∫citg 25969  reprcrepr 35307  vtscvts 35334

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cc 10540  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-symdif 4201  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5074  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-ofr 7718  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-fi 9430  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-dju 10009  df-card 10047  df-acn 10050  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-ind 12348  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-ioo 13507  df-ioc 13508  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-fac 14445  df-bc 14474  df-hash 14502  df-shft 15249  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-limsup 15667  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883  df-prod 16102  df-ef 16262  df-sin 16264  df-cos 16265  df-pi 16267  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-hom 17481  df-cco 17482  df-rest 17622  df-topn 17623  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-topgen 17643  df-pt 17644  df-prds 17647  df-xrs 17703  df-qtop 17708  df-imas 17709  df-xps 17711  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-mulg 19307  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-fbas 21705  df-fg 21706  df-cnfld 21709  df-top 23242  df-topon 23259  df-topsp 23281  df-bases 23294  df-cld 23367  df-ntr 23368  df-cls 23369  df-nei 23446  df-lp 23484  df-perf 23485  df-cn 23575  df-cnp 23576  df-haus 23663  df-cmp 23735  df-tx 23911  df-hmeo 24104  df-fil 24195  df-fm 24287  df-flim 24288  df-flf 24289  df-xms 24669  df-ms 24670  df-tms 24671  df-cncf 25229  df-ovol 25815  df-vol 25816  df-mbf 25970  df-itg1 25971  df-itg2 25972  df-ibl 25973  df-itg 25974  df-0p 26021  df-limc 26216  df-dv 26217  df-repr 35308  df-vts 35335

This theorem is used by: (None)