Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  circlemethnat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem circlemethnat 33254
Description: The Hardy, Littlewood and Ramanujan Circle Method, Chapter 5.1 of [Nathanson] p. 123. This expresses 𝑅, the number of different ways a nonnegative integer 𝑁 can be represented as the sum of at most 𝑆 integers in the set 𝐴 as an integral of Vinogradov trigonometric sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
circlemethnat.r 𝑅 = (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁))
circlemethnat.f 𝐹 = ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥)
circlemethnat.n 𝑁 ∈ ℕ0
circlemethnat.a 𝐴 ⊆ ℕ
circlemethnat.s 𝑆 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
circlemethnat 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem circlemethnat
Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 circlemethnat.r . . . 4 𝑅 = (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁))
2 nnex 12159 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ ∈ V
3 circlemethnat.a . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 ⊆ ℕ
4 indf 32614 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℕ ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ℕ) → ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶{0, 1})
52, 3, 4mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶{0, 1}
6 pr01ssre 31720 . . . . . . . . . . . . . 14 {0, 1} ⊆ ℝ
7 ax-resscn 11108 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
86, 7sstri 3953 . . . . . . . . . . . . 13 {0, 1} ⊆ ℂ
9 fss 6685 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶{0, 1} ∧ {0, 1} ⊆ ℂ) → ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ)
105, 8, 9mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ
11 cnex 11132 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ∈ V
1211, 2elmap 8809 . . . . . . . . . . . 12 (((𝟭‘ℕ)‘𝐴) ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ)
1310, 12mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 ((𝟭‘ℕ)‘𝐴) ∈ (ℂ ↑m ℕ)
1413elexi 3464 . . . . . . . . . 10 ((𝟭‘ℕ)‘𝐴) ∈ V
1514fvconst2 7153 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (0..^𝑆) → (((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎) = ((𝟭‘ℕ)‘𝐴))
1615adantl 482 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎) = ((𝟭‘ℕ)‘𝐴))
1716fveq1d 6844 . . . . . . 7 (((⊤ ∧ 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → ((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)) = (((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐𝑎)))
1817prodeq2dv 15806 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)) = ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐𝑎)))
1918sumeq2dv 15588 . . . . 5 (⊤ → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)) = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐𝑎)))
203a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝐴 ⊆ ℕ)
21 circlemethnat.n . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℕ0
2221a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝑁 ∈ ℕ0)
23 circlemethnat.s . . . . . . . 8 𝑆 ∈ ℕ
2423a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝑆 ∈ ℕ)
2524nnnn0d 12473 . . . . . 6 (⊤ → 𝑆 ∈ ℕ0)
2620, 22, 25hashrepr 33238 . . . . 5 (⊤ → (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁)) = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐𝑎)))
2719, 26eqtr4d 2779 . . . 4 (⊤ → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)) = (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁)))
281, 27eqtr4id 2795 . . 3 (⊤ → 𝑅 = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)))
2913fconst6 6732 . . . . 5 ((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)}):(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ)
3029a1i 11 . . . 4 (⊤ → ((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)}):(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ))
3122, 24, 30circlemeth 33253 . . 3 (⊤ → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)) = ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
32 fzofi 13879 . . . . . . . 8 (0..^𝑆) ∈ Fin
3332a1i 11 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (0..^𝑆) ∈ Fin)
34 circlemethnat.f . . . . . . . 8 𝐹 = ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥)
3521a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
36 ioossre 13325 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)1) ⊆ ℝ
3736, 7sstri 3953 . . . . . . . . . . 11 (0(,)1) ⊆ ℂ
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (0(,)1) ⊆ ℂ)
3938sselda 3944 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4010a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ)
4135, 39, 40vtscl 33251 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
4234, 41eqeltrid 2842 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝐹 ∈ ℂ)
43 fprodconst 15861 . . . . . . 7 (((0..^𝑆) ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐹 = (𝐹↑(♯‘(0..^𝑆))))
4433, 42, 43syl2anc 584 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐹 = (𝐹↑(♯‘(0..^𝑆))))
4515adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎) = ((𝟭‘ℕ)‘𝐴))
4645oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → ((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁) = (((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁))
4746fveq1d 6844 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥))
4834, 47eqtr4id 2795 . . . . . . 7 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐹 = (((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥))
4948prodeq2dv 15806 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐹 = ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥))
5025adantr 481 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
51 hashfzo0 14330 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
5250, 51syl 17 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
5352oveq2d 7373 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (𝐹↑(♯‘(0..^𝑆))) = (𝐹𝑆))
5444, 49, 533eqtr3d 2784 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (𝐹𝑆))
5554oveq1d 7372 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = ((𝐹𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))))
5655itgeq2dv 25146 . . 3 (⊤ → ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)((𝐹𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
5728, 31, 563eqtrd 2780 . 2 (⊤ → 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
5857mptru 1548 1 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  Vcvv 3445  wss 3910  {csn 4586  {cpr 4588   × cxp 5631  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052  ici 11053   · cmul 11056  -cneg 11386  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  (,)cioo 13264  ..^cfzo 13567  cexp 13967  chash 14230  Σcsu 15570  cprod 15788  expce 15944  πcpi 15949  citg 24982  𝟭cind 32609  reprcrepr 33221  vtscvts 33248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-prod 15789  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034  df-limc 25230  df-dv 25231  df-ind 32610  df-repr 33222  df-vts 33249
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator