Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  circlemethnat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem circlemethnat 34656
Description: The Hardy, Littlewood and Ramanujan Circle Method, Chapter 5.1 of [Nathanson] p. 123. This expresses 𝑅, the number of different ways a nonnegative integer 𝑁 can be represented as the sum of at most 𝑆 integers in the set 𝐴 as an integral of Vinogradov trigonometric sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
circlemethnat.r 𝑅 = (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁))
circlemethnat.f 𝐹 = ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥)
circlemethnat.n 𝑁 ∈ ℕ0
circlemethnat.a 𝐴 ⊆ ℕ
circlemethnat.s 𝑆 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
circlemethnat 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem circlemethnat
Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 circlemethnat.r . . . 4 𝑅 = (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁))
2 nnex 12272 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ ∈ V
3 circlemethnat.a . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 ⊆ ℕ
4 indf 32840 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℕ ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ℕ) → ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶{0, 1})
52, 3, 4mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶{0, 1}
6 pr01ssre 32826 . . . . . . . . . . . . . 14 {0, 1} ⊆ ℝ
7 ax-resscn 11212 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
86, 7sstri 3993 . . . . . . . . . . . . 13 {0, 1} ⊆ ℂ
9 fss 6752 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶{0, 1} ∧ {0, 1} ⊆ ℂ) → ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ)
105, 8, 9mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ
11 cnex 11236 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ∈ V
1211, 2elmap 8911 . . . . . . . . . . . 12 (((𝟭‘ℕ)‘𝐴) ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ)
1310, 12mpbir 231 . . . . . . . . . . 11 ((𝟭‘ℕ)‘𝐴) ∈ (ℂ ↑m ℕ)
1413elexi 3503 . . . . . . . . . 10 ((𝟭‘ℕ)‘𝐴) ∈ V
1514fvconst2 7224 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (0..^𝑆) → (((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎) = ((𝟭‘ℕ)‘𝐴))
1615adantl 481 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎) = ((𝟭‘ℕ)‘𝐴))
1716fveq1d 6908 . . . . . . 7 (((⊤ ∧ 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → ((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)) = (((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐𝑎)))
1817prodeq2dv 15958 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)) = ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐𝑎)))
1918sumeq2dv 15738 . . . . 5 (⊤ → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)) = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐𝑎)))
203a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝐴 ⊆ ℕ)
21 circlemethnat.n . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℕ0
2221a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝑁 ∈ ℕ0)
23 circlemethnat.s . . . . . . . 8 𝑆 ∈ ℕ
2423a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝑆 ∈ ℕ)
2524nnnn0d 12587 . . . . . 6 (⊤ → 𝑆 ∈ ℕ0)
2620, 22, 25hashrepr 34640 . . . . 5 (⊤ → (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁)) = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐𝑎)))
2719, 26eqtr4d 2780 . . . 4 (⊤ → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)) = (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁)))
281, 27eqtr4id 2796 . . 3 (⊤ → 𝑅 = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)))
2913fconst6 6798 . . . . 5 ((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)}):(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ)
3029a1i 11 . . . 4 (⊤ → ((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)}):(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ))
3122, 24, 30circlemeth 34655 . . 3 (⊤ → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)) = ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
32 fzofi 14015 . . . . . . . 8 (0..^𝑆) ∈ Fin
3332a1i 11 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (0..^𝑆) ∈ Fin)
34 circlemethnat.f . . . . . . . 8 𝐹 = ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥)
3521a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
36 ioossre 13448 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)1) ⊆ ℝ
3736, 7sstri 3993 . . . . . . . . . . 11 (0(,)1) ⊆ ℂ
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (0(,)1) ⊆ ℂ)
3938sselda 3983 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4010a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ)
4135, 39, 40vtscl 34653 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
4234, 41eqeltrid 2845 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝐹 ∈ ℂ)
43 fprodconst 16014 . . . . . . 7 (((0..^𝑆) ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐹 = (𝐹↑(♯‘(0..^𝑆))))
4433, 42, 43syl2anc 584 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐹 = (𝐹↑(♯‘(0..^𝑆))))
4515adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎) = ((𝟭‘ℕ)‘𝐴))
4645oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → ((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁) = (((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁))
4746fveq1d 6908 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥))
4834, 47eqtr4id 2796 . . . . . . 7 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐹 = (((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥))
4948prodeq2dv 15958 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐹 = ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥))
5025adantr 480 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
51 hashfzo0 14469 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
5250, 51syl 17 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
5352oveq2d 7447 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (𝐹↑(♯‘(0..^𝑆))) = (𝐹𝑆))
5444, 49, 533eqtr3d 2785 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (𝐹𝑆))
5554oveq1d 7446 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = ((𝐹𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))))
5655itgeq2dv 25817 . . 3 (⊤ → ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)((𝐹𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
5728, 31, 563eqtrd 2781 . 2 (⊤ → 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
5857mptru 1547 1 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  Vcvv 3480  wss 3951  {csn 4626  {cpr 4628   × cxp 5683  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   · cmul 11160  -cneg 11493  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  (,)cioo 13387  ..^cfzo 13694  cexp 14102  chash 14369  Σcsu 15722  cprod 15939  expce 16097  πcpi 16102  citg 25653  𝟭cind 32835  reprcrepr 34623  vtscvts 34650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-symdif 4253  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-prod 15940  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705  df-limc 25901  df-dv 25902  df-ind 32836  df-repr 34624  df-vts 34651
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator