Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  circlemethnat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem circlemethnat 33591
Description: The Hardy, Littlewood and Ramanujan Circle Method, Chapter 5.1 of [Nathanson] p. 123. This expresses 𝑅, the number of different ways a nonnegative integer 𝑁 can be represented as the sum of at most 𝑆 integers in the set 𝐴 as an integral of Vinogradov trigonometric sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
circlemethnat.r 𝑅 = (β™―β€˜(𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑁))
circlemethnat.f 𝐹 = ((((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)vts𝑁)β€˜π‘₯)
circlemethnat.n 𝑁 ∈ β„•0
circlemethnat.a 𝐴 βŠ† β„•
circlemethnat.s 𝑆 ∈ β„•
Assertion
Ref Expression
circlemethnat 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹↑𝑆) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯)   𝐹(π‘₯)
Proof of Theorem circlemethnat
Dummy variables π‘Ž 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 circlemethnat.r . . . 4 𝑅 = (β™―β€˜(𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑁))
2 nnex 12214 . . . . . . . . . . . . . 14 β„• ∈ V
3 circlemethnat.a . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 βŠ† β„•
4 indf 32951 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β„• ∈ V ∧ 𝐴 βŠ† β„•) β†’ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄):β„•βŸΆ{0, 1})
52, 3, 4mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄):β„•βŸΆ{0, 1}
6 pr01ssre 32008 . . . . . . . . . . . . . 14 {0, 1} βŠ† ℝ
7 ax-resscn 11163 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ βŠ† β„‚
86, 7sstri 3990 . . . . . . . . . . . . 13 {0, 1} βŠ† β„‚
9 fss 6731 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄):β„•βŸΆ{0, 1} ∧ {0, 1} βŠ† β„‚) β†’ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄):β„•βŸΆβ„‚)
105, 8, 9mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 ((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄):β„•βŸΆβ„‚
11 cnex 11187 . . . . . . . . . . . . 13 β„‚ ∈ V
1211, 2elmap 8861 . . . . . . . . . . . 12 (((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄) ∈ (β„‚ ↑m β„•) ↔ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄):β„•βŸΆβ„‚)
1310, 12mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 ((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄) ∈ (β„‚ ↑m β„•)
1413elexi 3494 . . . . . . . . . 10 ((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄) ∈ V
1514fvconst2 7200 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ (0..^𝑆) β†’ (((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž) = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄))
1615adantl 483 . . . . . . . 8 (((⊀ ∧ 𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜π‘†)𝑁)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ (((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž) = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄))
1716fveq1d 6890 . . . . . . 7 (((⊀ ∧ 𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜π‘†)𝑁)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ ((((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) = (((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)))
1817prodeq2dv 15863 . . . . . 6 ((⊀ ∧ 𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜π‘†)𝑁)) β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) = βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)))
1918sumeq2dv 15645 . . . . 5 (⊀ β†’ Σ𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜π‘†)𝑁)βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) = Σ𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜π‘†)𝑁)βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)))
203a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
21 circlemethnat.n . . . . . . 7 𝑁 ∈ β„•0
2221a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
23 circlemethnat.s . . . . . . . 8 𝑆 ∈ β„•
2423a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ 𝑆 ∈ β„•)
2524nnnn0d 12528 . . . . . 6 (⊀ β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
2620, 22, 25hashrepr 33575 . . . . 5 (⊀ β†’ (β™―β€˜(𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑁)) = Σ𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜π‘†)𝑁)βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)))
2719, 26eqtr4d 2776 . . . 4 (⊀ β†’ Σ𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜π‘†)𝑁)βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) = (β™―β€˜(𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑁)))
281, 27eqtr4id 2792 . . 3 (⊀ β†’ 𝑅 = Σ𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜π‘†)𝑁)βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)))
2913fconst6 6778 . . . . 5 ((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)}):(0..^𝑆)⟢(β„‚ ↑m β„•)
3029a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ ((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)}):(0..^𝑆)⟢(β„‚ ↑m β„•))
3122, 24, 30circlemeth 33590 . . 3 (⊀ β†’ Σ𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜π‘†)𝑁)βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) = ∫(0(,)1)(βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)
32 fzofi 13935 . . . . . . . 8 (0..^𝑆) ∈ Fin
3332a1i 11 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ (0..^𝑆) ∈ Fin)
34 circlemethnat.f . . . . . . . 8 𝐹 = ((((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)vts𝑁)β€˜π‘₯)
3521a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
36 ioossre 13381 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)1) βŠ† ℝ
3736, 7sstri 3990 . . . . . . . . . . 11 (0(,)1) βŠ† β„‚
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (0(,)1) βŠ† β„‚)
3938sselda 3981 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
4010a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄):β„•βŸΆβ„‚)
4135, 39, 40vtscl 33588 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ ((((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)vts𝑁)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4234, 41eqeltrid 2838 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐹 ∈ β„‚)
43 fprodconst 15918 . . . . . . 7 (((0..^𝑆) ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ β„‚) β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)𝐹 = (𝐹↑(β™―β€˜(0..^𝑆))))
4433, 42, 43syl2anc 585 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)𝐹 = (𝐹↑(β™―β€˜(0..^𝑆))))
4515adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ (((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž) = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄))
4645oveq1d 7419 . . . . . . . . 9 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ ((((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž)vts𝑁) = (((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)vts𝑁))
4746fveq1d 6890 . . . . . . . 8 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ (((((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) = ((((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)vts𝑁)β€˜π‘₯))
4834, 47eqtr4id 2792 . . . . . . 7 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ 𝐹 = (((((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯))
4948prodeq2dv 15863 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)𝐹 = βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯))
5025adantr 482 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
51 hashfzo0 14386 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(0..^𝑆)) = 𝑆)
5250, 51syl 17 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ (β™―β€˜(0..^𝑆)) = 𝑆)
5352oveq2d 7420 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ (𝐹↑(β™―β€˜(0..^𝑆))) = (𝐹↑𝑆))
5444, 49, 533eqtr3d 2781 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) = (𝐹↑𝑆))
5554oveq1d 7419 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ (βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) = ((𝐹↑𝑆) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))))
5655itgeq2dv 25281 . . 3 (⊀ β†’ ∫(0(,)1)(βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) Γ— {((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)})β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯ = ∫(0(,)1)((𝐹↑𝑆) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)
5728, 31, 563eqtrd 2777 . 2 (⊀ β†’ 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹↑𝑆) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)
5857mptru 1549 1 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹↑𝑆) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βŠ† wss 3947  {csn 4627  {cpr 4629   Γ— cxp 5673  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  ici 11108   Β· cmul 11111  -cneg 11441  β„•cn 12208  2c2 12263  β„•0cn0 12468  (,)cioo 13320  ..^cfzo 13623  β†‘cexp 14023  β™―chash 14286  Ξ£csu 15628  βˆcprod 15845  expce 16001  Ο€cpi 16006  βˆ«citg 25117  πŸ­cind 32946  reprcrepr 33558  vtscvts 33585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-symdif 4241  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-ofr 7666  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-prod 15846  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-fbas 20926  df-fg 20927  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cld 22505  df-ntr 22506  df-cls 22507  df-nei 22584  df-lp 22622  df-perf 22623  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-haus 22801  df-cmp 22873  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-fil 23332  df-fm 23424  df-flim 23425  df-flf 23426  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810  df-cncf 24376  df-ovol 24963  df-vol 24964  df-mbf 25118  df-itg1 25119  df-itg2 25120  df-ibl 25121  df-itg 25122  df-0p 25169  df-limc 25365  df-dv 25366  df-ind 32947  df-repr 33559  df-vts 33586
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator