Theorem circlemethnat 34618

Description: The Hardy, Littlewood and Ramanujan Circle Method, Chapter 5.1 of [Nathanson] p. 123. This expresses 𝑅, the number of different ways a nonnegative integer 𝑁 can be represented as the sum of at most 𝑆 integers in the set 𝐴 as an integral of Vinogradov trigonometric sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
circlemethnat.r	⊢ 𝑅 = (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁))
circlemethnat.f	⊢ 𝐹 = ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥)
circlemethnat.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
circlemethnat.a	⊢ 𝐴 ⊆ ℕ
circlemethnat.s	⊢ 𝑆 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
circlemethnat	⊢ 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹↑𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem circlemethnat

Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		circlemethnat.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁))
2		nnex 12299	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ ∈ V
3		circlemethnat.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 ⊆ ℕ
4		indf 33979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ℕ) → ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶{0, 1})
5	2, 3, 4	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶{0, 1}
6		pr01ssre 32828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {0, 1} ⊆ ℝ
7		ax-resscn 11241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
8	6, 7	sstri 4018	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {0, 1} ⊆ ℂ
9		fss 6763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶{0, 1} ∧ {0, 1} ⊆ ℂ) → ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ)
10	5, 8, 9	mp2an 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ
11		cnex 11265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ∈ V
12	11, 2	elmap 8929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝟭‘ℕ)‘𝐴) ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ)
13	10, 12	mpbir 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝟭‘ℕ)‘𝐴) ∈ (ℂ ↑m ℕ)
14	13	elexi 3511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝟭‘ℕ)‘𝐴) ∈ V
15	14	fvconst2 7241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (0..^𝑆) → (((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎) = ((𝟭‘ℕ)‘𝐴))
16	15	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎) = ((𝟭‘ℕ)‘𝐴))
17	16	fveq1d 6922	. . . . . . 7 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → ((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) = (((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)))
18	17	prodeq2dv 15970	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) = ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)))
19	18	sumeq2dv 15750	. . . . 5 ⊢ (⊤ → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)))
20	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐴 ⊆ ℕ)
21		circlemethnat.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝑁 ∈ ℕ0)
23		circlemethnat.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ∈ ℕ
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝑆 ∈ ℕ)
25	24	nnnn0d 12613	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝑆 ∈ ℕ0)
26	20, 22, 25	hashrepr 34602	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁)) = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)))
27	19, 26	eqtr4d 2783	. . . 4 ⊢ (⊤ → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) = (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁)))
28	1, 27	eqtr4id 2799	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑅 = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)))
29	13	fconst6 6811	. . . . 5 ⊢ ((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)}):(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ)
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)}):(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ))
31	22, 24, 30	circlemeth 34617	. . 3 ⊢ (⊤ → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) = ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
32		fzofi 14025	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑆) ∈ Fin
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (0..^𝑆) ∈ Fin)
34		circlemethnat.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥)
35	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
36		ioossre 13468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
37	36, 7	sstri 4018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℂ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (0(,)1) ⊆ ℂ)
39	38	sselda 4008	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
40	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ)
41	35, 39, 40	vtscl 34615	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
42	34, 41	eqeltrid 2848	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝐹 ∈ ℂ)
43		fprodconst 16026	. . . . . . 7 ⊢ (((0..^𝑆) ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐹 = (𝐹↑(♯‘(0..^𝑆))))
44	33, 42, 43	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐹 = (𝐹↑(♯‘(0..^𝑆))))
45	15	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎) = ((𝟭‘ℕ)‘𝐴))
46	45	oveq1d 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → ((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁) = (((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁))
47	46	fveq1d 6922	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥))
48	34, 47	eqtr4id 2799	. . . . . . 7 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐹 = (((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥))
49	48	prodeq2dv 15970	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐹 = ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥))
50	25	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
51		hashfzo0 14479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
53	52	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (𝐹↑(♯‘(0..^𝑆))) = (𝐹↑𝑆))
54	44, 49, 53	3eqtr3d 2788	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (𝐹↑𝑆))
55	54	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = ((𝐹↑𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))))
56	55	itgeq2dv 25837	. . 3 ⊢ (⊤ → ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)((𝐹↑𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
57	28, 31, 56	3eqtrd 2784	. 2 ⊢ (⊤ → 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹↑𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
58	57	mptru 1544	1 ⊢ 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹↑𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  {csn 4648  {cpr 4650   × cxp 5698  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  Fincfn 9003  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185  ici 11186   · cmul 11189  -cneg 11521  ℕcn 12293  2c2 12348  ℕ₀cn0 12553  (,)cioo 13407  ..^cfzo 13711  ↑cexp 14112  ♯chash 14379  Σcsu 15734  ∏cprod 15951  expce 16109  πcpi 16114  ∫citg 25672  𝟭cind 33974  reprcrepr 34585  vtscvts 34612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cc 10504  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-symdif 4272  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-acn 10011  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-prod 15952  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-pi 16120  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-cmp 23416  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-ovol 25518  df-vol 25519  df-mbf 25673  df-itg1 25674  df-itg2 25675  df-ibl 25676  df-itg 25677  df-0p 25724  df-limc 25921  df-dv 25922  df-ind 33975  df-repr 34586  df-vts 34613

This theorem is referenced by: (None)