Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioodisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioodisj 12851
 Description: If the upper bound of one open interval is less than or equal to the lower bound of the other, the intervals are disjoint. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
ioodisj ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = ∅)

Proof of Theorem ioodisj
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooss1 12752 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐶) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐵(,)𝐷))
21ad4ant24 752 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵𝐶) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐵(,)𝐷))
3 ioossicc 12802 . . . . 5 (𝐵(,)𝐷) ⊆ (𝐵[,]𝐷)
42, 3sstrdi 3958 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵𝐶) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐵[,]𝐷))
5 sslin 4189 . . . 4 ((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐵[,]𝐷) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ⊆ ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐷)))
64, 5syl 17 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ⊆ ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐷)))
7 simplll 773 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8 simpllr 774 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
9 simplrr 776 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ*)
10 df-ioo 12721 . . . . 5 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
11 df-icc 12724 . . . . 5 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
12 xrlenlt 10684 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐵𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐵))
1310, 11, 12ixxdisj 12732 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐷)) = ∅)
147, 8, 9, 13syl3anc 1367 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐷)) = ∅)
156, 14sseqtrd 3986 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ⊆ ∅)
16 ss0 4328 . 2 (((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ⊆ ∅ → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = ∅)
1715, 16syl 17 1 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4269   class class class wbr 5042  (class class class)co 7133  ℝ*cxr 10652   < clt 10653   ≤ cle 10654  (,)cioo 12717  [,]cicc 12720 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-po 5450  df-so 5451  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-ioo 12721  df-icc 12724 This theorem is referenced by:  reconnlem1  23410  dyaddisjlem  24178  itgsplitioo  24420
 Copyright terms: Public domain W3C validator