Theorem ioodisj 13560

Description: If the upper bound of one open interval is less than or equal to the lower bound of the other, the intervals are disjoint. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Jul-2009.)

Assertion

Ref	Expression
ioodisj	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = ∅)

Proof of Theorem ioodisj

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooss1 13458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐵(,)𝐷))
2	1	ad4ant24 767	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐵(,)𝐷))
3		ioossicc 13511	. . . . 5 ⊢ (𝐵(,)𝐷) ⊆ (𝐵[,]𝐷)
4	2, 3	sstrdi 3943	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐵[,]𝐷))
5		sslin 4188	. . . 4 ⊢ ((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐵[,]𝐷) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ⊆ ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐷)))
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ⊆ ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐷)))
7		simplll 787	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		simpllr 788	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
9		simplrr 790	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ*)
10		df-ioo 13427	. . . . 5 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
11		df-icc 13430	. . . . 5 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
12		xrlenlt 11323	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐵))
13	10, 11, 12	ixxdisj 13438	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐷)) = ∅)
14	7, 8, 9, 13	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐷)) = ∅)
15	6, 14	sseqtrd 3967	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ⊆ ∅)
16		ss0 4352	. 2 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ⊆ ∅ → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = ∅)
17	15, 16	syl 18	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  (class class class)co 7416  ℝ^*cxr 11291   < clt 11292   ≤ cle 11293  (,)cioo 13423  [,]cicc 13426

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-ioo 13427  df-icc 13430

This theorem is used by:  reconnlem1  25085  dyaddisjlem  25855  itgsplitioo  26097