Theorem ioodisj 13522

Description: If the upper bound of one open interval is less than or equal to the lower bound of the other, the intervals are disjoint. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Jul-2009.)

Assertion

Ref	Expression
ioodisj	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = ∅)

Proof of Theorem ioodisj

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooss1 13422	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐵(,)𝐷))
2	1	ad4ant24 754	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐵(,)𝐷))
3		ioossicc 13473	. . . . 5 ⊢ (𝐵(,)𝐷) ⊆ (𝐵[,]𝐷)
4	2, 3	sstrdi 3996	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐵[,]𝐷))
5		sslin 4243	. . . 4 ⊢ ((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐵[,]𝐷) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ⊆ ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐷)))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ⊆ ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐷)))
7		simplll 775	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		simpllr 776	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
9		simplrr 778	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ*)
10		df-ioo 13391	. . . . 5 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
11		df-icc 13394	. . . . 5 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
12		xrlenlt 11326	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐵))
13	10, 11, 12	ixxdisj 13402	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐷)) = ∅)
14	7, 8, 9, 13	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐷)) = ∅)
15	6, 14	sseqtrd 4020	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ⊆ ∅)
16		ss0 4402	. 2 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ⊆ ∅ → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = ∅)
17	15, 16	syl 17	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-ioo 13391  df-icc 13394

This theorem is referenced by:  reconnlem1  24848  dyaddisjlem  25630  itgsplitioo  25873