MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgsplitioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsplitioo 25893
Description: The integral splits on open intervals with matching endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsplitioo.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
itgsplitioo.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
itgsplitioo.3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
itgsplitioo.4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
itgsplitioo.5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
itgsplitioo.6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
itgsplitioo (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem itgsplitioo
StepHypRef Expression
1 itgsplitioo.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
2 itgsplitioo.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 itgsplitioo.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 elicc2 13472 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
52, 3, 4syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
61, 5mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶))
76simp2d 1143 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
86simp1d 1142 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
92, 8leloed 11433 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
107, 9mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
1110ord 863 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
122rexrd 11340 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
13 iooss1 13442 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
1412, 7, 13syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
1514sselda 4008 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶))
16 itgsplitioo.4 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
1715, 16syldan 590 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
18 itgsplitioo.6 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
1917, 18itgcl 25839 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
2019addlidd 11491 . . . . 5 (𝜑 → (0 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥) = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
2120eqcomd 2746 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (0 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
22 oveq1 7455 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐶))
23 itgeq1 25828 . . . . . 6 ((𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐶) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
2422, 23syl 17 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
25 oveq1 7455 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐵) = (𝐵(,)𝐵))
26 iooid 13435 . . . . . . . . 9 (𝐵(,)𝐵) = ∅
2725, 26eqtrdi 2796 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
28 itgeq1 25828 . . . . . . . 8 ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫∅𝐷 d𝑥)
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫∅𝐷 d𝑥)
30 itg0 25835 . . . . . . 7 ∫∅𝐷 d𝑥 = 0
3129, 30eqtrdi 2796 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = 0)
3231oveq1d 7463 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥) = (0 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
3324, 32eqeq12d 2756 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → (∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥) ↔ ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (0 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
3421, 33syl5ibrcom 247 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
3511, 34syld 47 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐴 < 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
366simp3d 1144 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐶)
378, 3leloed 11433 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶)))
3836, 37mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶))
3938ord 863 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶))
403rexrd 11340 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
41 iooss2 13443 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
4240, 36, 41syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
4342sselda 4008 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶))
4443, 16syldan 590 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
45 itgsplitioo.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
4644, 45itgcl 25839 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
4746addridd 11490 . . . . 5 (𝜑 → (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + 0) = ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
4847eqcomd 2746 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + 0))
49 oveq2 7456 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐶 → (𝐴(,)𝐵) = (𝐴(,)𝐶))
50 itgeq1 25828 . . . . . 6 ((𝐴(,)𝐵) = (𝐴(,)𝐶) → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
5149, 50syl 17 . . . . 5 (𝐵 = 𝐶 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
52 oveq2 7456 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 𝐶 → (𝐵(,)𝐵) = (𝐵(,)𝐶))
5326, 52eqtr3id 2794 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝐶 → ∅ = (𝐵(,)𝐶))
54 itgeq1 25828 . . . . . . . 8 (∅ = (𝐵(,)𝐶) → ∫∅𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
5553, 54syl 17 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐶 → ∫∅𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
5630, 55eqtr3id 2794 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐶 → 0 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
5756oveq2d 7464 . . . . 5 (𝐵 = 𝐶 → (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + 0) = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
5851, 57eqeq12d 2756 . . . 4 (𝐵 = 𝐶 → (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + 0) ↔ ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
5948, 58syl5ibcom 245 . . 3 (𝜑 → (𝐵 = 𝐶 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
6039, 59syld 47 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐵 < 𝐶 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
61 indir 4305 . . . . . . . 8 (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∩ (𝐵(,)𝐶)) = (((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) ∪ ({𝐵} ∩ (𝐵(,)𝐶)))
628rexrd 11340 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
6312, 62jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
6463adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
6562, 40jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
6665adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
678adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6867leidd 11856 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵𝐵)
69 ioodisj 13542 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)
7064, 66, 68, 69syl21anc 837 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)
71 incom 4230 . . . . . . . . . . 11 ({𝐵} ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ((𝐵(,)𝐶) ∩ {𝐵})
7267ltnrd 11424 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ¬ 𝐵 < 𝐵)
73 eliooord 13466 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐵𝐵 < 𝐶))
7473simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐵 < 𝐵)
7572, 74nsyl 140 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐵(,)𝐶))
76 disjsn 4736 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵(,)𝐶) ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐵(,)𝐶))
7775, 76sylibr 234 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐵(,)𝐶) ∩ {𝐵}) = ∅)
7871, 77eqtrid 2792 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ({𝐵} ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)
7970, 78uneq12d 4192 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) ∪ ({𝐵} ∩ (𝐵(,)𝐶))) = (∅ ∪ ∅))
80 un0 4417 . . . . . . . . 9 (∅ ∪ ∅) = ∅
8179, 80eqtrdi 2796 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) ∪ ({𝐵} ∩ (𝐵(,)𝐶))) = ∅)
8261, 81eqtrid 2792 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)
8382fveq2d 6924 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (vol*‘(((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∩ (𝐵(,)𝐶))) = (vol*‘∅))
84 ovol0 25547 . . . . . 6 (vol*‘∅) = 0
8583, 84eqtrdi 2796 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (vol*‘(((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∩ (𝐵(,)𝐶))) = 0)
8612, 62, 403jca 1128 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
87 ioojoin 13543 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
8886, 87sylan 579 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
8988eqcomd 2746 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐴(,)𝐶) = (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)𝐶)))
9016adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
9145adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
92 ssun1 4201 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})
9392a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
94 ioossre 13468 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
9594a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
9667snssd 4834 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → {𝐵} ⊆ ℝ)
9795, 96unssd 4215 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ⊆ ℝ)
98 uncom 4181 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = ({𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵))
9998difeq1i 4145 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (({𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) ∖ (𝐴(,)𝐵))
100 difun2 4504 . . . . . . . . . . 11 (({𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ({𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵))
10199, 100eqtri 2768 . . . . . . . . . 10 (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ({𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵))
102 difss 4159 . . . . . . . . . 10 ({𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐵}
103101, 102eqsstri 4043 . . . . . . . . 9 (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐵}
104 ovolsn 25549 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → (vol*‘{𝐵}) = 0)
10567, 104syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (vol*‘{𝐵}) = 0)
106 ovolssnul 25541 . . . . . . . . 9 (((((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐵} ∧ {𝐵} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝐵}) = 0) → (vol*‘(((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵))) = 0)
107103, 96, 105, 106mp3an2i 1466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (vol*‘(((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵))) = 0)
108 ssun1 4201 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ⊆ (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)𝐶))
109108, 88sseqtrid 4061 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
110109sselda 4008 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶))
111110, 90syldan 590 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) → 𝐷 ∈ ℂ)
11293, 97, 107, 111itgss3 25870 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})𝐷 d𝑥))
113112simpld 494 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1))
11491, 113mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
11518adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
11685, 89, 90, 114, 115itgsplit 25891 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
117112simprd 495 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})𝐷 d𝑥)
118117oveq1d 7463 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥) = (∫((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
119116, 118eqtr4d 2783 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
120119ex 412 . 2 (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
12135, 60, 120ecased 1035 1 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 846  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  cdif 3973  cun 3974  cin 3975  wss 3976  c0 4352  {csn 4648   class class class wbr 5166  cmpt 5249  cfv 6573  (class class class)co 7448  cc 11182  cr 11183  0cc0 11184   + caddc 11187  *cxr 11323   < clt 11324  cle 11325  (,)cioo 13407  [,]cicc 13410  vol*covol 25516  𝐿1cibl 25671  citg 25672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-symdif 4272  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-rest 17482  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974  df-cmp 23416  df-ovol 25518  df-vol 25519  df-mbf 25673  df-itg1 25674  df-itg2 25675  df-ibl 25676  df-itg 25677  df-0p 25724
This theorem is referenced by:  ditgsplitlem  25915  ftc1lem1  26096  ftc1anc  37661  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  fourierdlem111  46138  sqwvfoura  46149  sqwvfourb  46150
  Copyright terms: Public domain W3C validator