MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgsplitioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsplitioo 25587
Description: The integral splits on open intervals with matching endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsplitioo.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
itgsplitioo.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
itgsplitioo.3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
itgsplitioo.4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
itgsplitioo.5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
itgsplitioo.6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
itgsplitioo (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem itgsplitioo
StepHypRef Expression
1 itgsplitioo.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
2 itgsplitioo.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 itgsplitioo.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 elicc2 13393 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
52, 3, 4syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
61, 5mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶))
76simp2d 1141 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
86simp1d 1140 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
92, 8leloed 11361 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
107, 9mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
1110ord 860 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
122rexrd 11268 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
13 iooss1 13363 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
1412, 7, 13syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
1514sselda 3981 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶))
16 itgsplitioo.4 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
1715, 16syldan 589 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
18 itgsplitioo.6 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
1917, 18itgcl 25533 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
2019addlidd 11419 . . . . 5 (𝜑 → (0 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥) = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
2120eqcomd 2736 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (0 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
22 oveq1 7418 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐶))
23 itgeq1 25522 . . . . . 6 ((𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐶) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
2422, 23syl 17 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
25 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐵) = (𝐵(,)𝐵))
26 iooid 13356 . . . . . . . . 9 (𝐵(,)𝐵) = ∅
2725, 26eqtrdi 2786 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
28 itgeq1 25522 . . . . . . . 8 ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫∅𝐷 d𝑥)
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫∅𝐷 d𝑥)
30 itg0 25529 . . . . . . 7 ∫∅𝐷 d𝑥 = 0
3129, 30eqtrdi 2786 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = 0)
3231oveq1d 7426 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥) = (0 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
3324, 32eqeq12d 2746 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → (∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥) ↔ ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (0 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
3421, 33syl5ibrcom 246 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
3511, 34syld 47 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐴 < 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
366simp3d 1142 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐶)
378, 3leloed 11361 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶)))
3836, 37mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶))
3938ord 860 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶))
403rexrd 11268 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
41 iooss2 13364 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
4240, 36, 41syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
4342sselda 3981 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶))
4443, 16syldan 589 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
45 itgsplitioo.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
4644, 45itgcl 25533 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
4746addridd 11418 . . . . 5 (𝜑 → (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + 0) = ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
4847eqcomd 2736 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + 0))
49 oveq2 7419 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐶 → (𝐴(,)𝐵) = (𝐴(,)𝐶))
50 itgeq1 25522 . . . . . 6 ((𝐴(,)𝐵) = (𝐴(,)𝐶) → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
5149, 50syl 17 . . . . 5 (𝐵 = 𝐶 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
52 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 𝐶 → (𝐵(,)𝐵) = (𝐵(,)𝐶))
5326, 52eqtr3id 2784 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝐶 → ∅ = (𝐵(,)𝐶))
54 itgeq1 25522 . . . . . . . 8 (∅ = (𝐵(,)𝐶) → ∫∅𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
5553, 54syl 17 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐶 → ∫∅𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
5630, 55eqtr3id 2784 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐶 → 0 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
5756oveq2d 7427 . . . . 5 (𝐵 = 𝐶 → (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + 0) = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
5851, 57eqeq12d 2746 . . . 4 (𝐵 = 𝐶 → (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + 0) ↔ ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
5948, 58syl5ibcom 244 . . 3 (𝜑 → (𝐵 = 𝐶 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
6039, 59syld 47 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐵 < 𝐶 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
61 indir 4274 . . . . . . . 8 (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∩ (𝐵(,)𝐶)) = (((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) ∪ ({𝐵} ∩ (𝐵(,)𝐶)))
628rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
6312, 62jca 510 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
6463adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
6562, 40jca 510 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
6665adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
678adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6867leidd 11784 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵𝐵)
69 ioodisj 13463 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)
7064, 66, 68, 69syl21anc 834 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)
71 incom 4200 . . . . . . . . . . 11 ({𝐵} ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ((𝐵(,)𝐶) ∩ {𝐵})
7267ltnrd 11352 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ¬ 𝐵 < 𝐵)
73 eliooord 13387 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐵𝐵 < 𝐶))
7473simpld 493 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐵 < 𝐵)
7572, 74nsyl 140 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐵(,)𝐶))
76 disjsn 4714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵(,)𝐶) ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐵(,)𝐶))
7775, 76sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐵(,)𝐶) ∩ {𝐵}) = ∅)
7871, 77eqtrid 2782 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ({𝐵} ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)
7970, 78uneq12d 4163 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) ∪ ({𝐵} ∩ (𝐵(,)𝐶))) = (∅ ∪ ∅))
80 un0 4389 . . . . . . . . 9 (∅ ∪ ∅) = ∅
8179, 80eqtrdi 2786 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) ∪ ({𝐵} ∩ (𝐵(,)𝐶))) = ∅)
8261, 81eqtrid 2782 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)
8382fveq2d 6894 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (vol*‘(((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∩ (𝐵(,)𝐶))) = (vol*‘∅))
84 ovol0 25242 . . . . . 6 (vol*‘∅) = 0
8583, 84eqtrdi 2786 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (vol*‘(((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∩ (𝐵(,)𝐶))) = 0)
8612, 62, 403jca 1126 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
87 ioojoin 13464 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
8886, 87sylan 578 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
8988eqcomd 2736 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐴(,)𝐶) = (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)𝐶)))
9016adantlr 711 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
9145adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
92 ssun1 4171 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})
9392a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
94 ioossre 13389 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
9594a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
9667snssd 4811 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → {𝐵} ⊆ ℝ)
9795, 96unssd 4185 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ⊆ ℝ)
98 uncom 4152 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = ({𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵))
9998difeq1i 4117 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (({𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) ∖ (𝐴(,)𝐵))
100 difun2 4479 . . . . . . . . . . 11 (({𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ({𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵))
10199, 100eqtri 2758 . . . . . . . . . 10 (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ({𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵))
102 difss 4130 . . . . . . . . . 10 ({𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐵}
103101, 102eqsstri 4015 . . . . . . . . 9 (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐵}
104 ovolsn 25244 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → (vol*‘{𝐵}) = 0)
10567, 104syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (vol*‘{𝐵}) = 0)
106 ovolssnul 25236 . . . . . . . . 9 (((((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐵} ∧ {𝐵} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝐵}) = 0) → (vol*‘(((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵))) = 0)
107103, 96, 105, 106mp3an2i 1464 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (vol*‘(((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵))) = 0)
108 ssun1 4171 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ⊆ (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)𝐶))
109108, 88sseqtrid 4033 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
110109sselda 3981 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶))
111110, 90syldan 589 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) → 𝐷 ∈ ℂ)
11293, 97, 107, 111itgss3 25564 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})𝐷 d𝑥))
113112simpld 493 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1))
11491, 113mpbid 231 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
11518adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
11685, 89, 90, 114, 115itgsplit 25585 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
117112simprd 494 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})𝐷 d𝑥)
118117oveq1d 7426 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥) = (∫((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
119116, 118eqtr4d 2773 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
120119ex 411 . 2 (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
12135, 60, 120ecased 1031 1 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 843  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  cdif 3944  cun 3945  cin 3946  wss 3947  c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147  cmpt 5230  cfv 6542  (class class class)co 7411  cc 11110  cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115  *cxr 11251   < clt 11252  cle 11253  (,)cioo 13328  [,]cicc 13331  vol*covol 25211  𝐿1cibl 25366  citg 25367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-symdif 4241  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cmp 23111  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-mbf 25368  df-itg1 25369  df-itg2 25370  df-ibl 25371  df-itg 25372  df-0p 25419
This theorem is referenced by:  ditgsplitlem  25609  ftc1lem1  25787  ftc1anc  36872  fourierdlem103  45223  fourierdlem104  45224  fourierdlem111  45231  sqwvfoura  45242  sqwvfourb  45243
  Copyright terms: Public domain W3C validator