Theorem prunioo 13503

Description: The closure of an open real interval. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
prunioo	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem prunioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrleloe 13164	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
3	2	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
4		df-pr 4592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
5	4	uneq2i 4119	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
6		unass 4125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) ∪ {𝐵}) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
7	5, 6	eqtr4i 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) ∪ {𝐵})
8		uncom 4112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵))
9		snunioo 13500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
10	8, 9	eqtrid 2810	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
11	10	uneq1d 4121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) ∪ {𝐵}) = ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐵}))
12	7, 11	eqtrid 2810	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐵}))
13	12	3expa 1136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐵}))
14	13	3adantl3 1187	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐵}))
15		snunico 13501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
16	15	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
17	14, 16	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
18	17	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵)))
19		iccid 13412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
20	19	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
21	20	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → {𝐴} = (𝐴[,]𝐴))
22		uncom 4112	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∪ {𝐴}) = ({𝐴} ∪ ∅)
23		un0 4351	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴} ∪ ∅) = {𝐴}
24	22, 23	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∪ {𝐴}) = {𝐴}
25		iooid 13395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴(,)𝐴) = ∅
26		oveq2 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐴) = (𝐴(,)𝐵))
27	25, 26	eqtr3id 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∅ = (𝐴(,)𝐵))
28		dfsn2 4602	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
29		preq2 4700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
30	28, 29	eqtrid 2810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐴, 𝐵})
31	27, 30	uneq12d 4123	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∅ ∪ {𝐴}) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}))
32	24, 31	eqtr3id 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}))
33		oveq2 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴[,]𝐴) = (𝐴[,]𝐵))
34	32, 33	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ({𝐴} = (𝐴[,]𝐴) ↔ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵)))
35	21, 34	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵)))
36	18, 35	jaod 872	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵)))
37	3, 36	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐵 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵)))
38	1, 37	mpd 16	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∪ cun 3903  ∅c0 4286  {csn 4589  {cpr 4591   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238   ≤ cle 11239  (,)cioo 13367  [,)cico 13369  [,]cicc 13370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-q 12968  df-ioo 13371  df-ico 13373  df-icc 13374

This theorem is referenced by:  iccntr  24979  ovolioo  25727  uniiccdif  25737  itgioo  25975  rollelem  26148  dvivthlem1  26167  reasinsin  27061  scvxcvx  27150  eliccioo  33250  iccdifioo  46231  iccdifprioo  46232  cncfiooicclem1  46607  fourierdlem102  46922  fourierdlem114  46934