MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prunioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prunioo 12551
Description: The closure of an open real interval. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
prunioo ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem prunioo
StepHypRef Expression
1 simp3 1169 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
2 xrleloe 12220 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
323adant3 1163 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
4 df-pr 4369 . . . . . . . . . . 11 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
54uneq2i 3960 . . . . . . . . . 10 ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
6 unass 3966 . . . . . . . . . 10 (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) ∪ {𝐵}) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
75, 6eqtr4i 2822 . . . . . . . . 9 ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) ∪ {𝐵})
8 uncom 3953 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵))
9 snunioo 12548 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
108, 9syl5eq 2843 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
1110uneq1d 3962 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) ∪ {𝐵}) = ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐵}))
127, 11syl5eq 2843 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐵}))
13123expa 1148 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐵}))
14133adantl3 1210 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐵}))
15 snunico 12549 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
1615adantr 473 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
1714, 16eqtrd 2831 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
1817ex 402 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵)))
19 iccid 12465 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
20193ad2ant1 1164 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
2120eqcomd 2803 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → {𝐴} = (𝐴[,]𝐴))
22 uncom 3953 . . . . . . . 8 (∅ ∪ {𝐴}) = ({𝐴} ∪ ∅)
23 un0 4161 . . . . . . . 8 ({𝐴} ∪ ∅) = {𝐴}
2422, 23eqtri 2819 . . . . . . 7 (∅ ∪ {𝐴}) = {𝐴}
25 iooid 12448 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐴) = ∅
26 oveq2 6884 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐴) = (𝐴(,)𝐵))
2725, 26syl5eqr 2845 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → ∅ = (𝐴(,)𝐵))
28 dfsn2 4379 . . . . . . . . 9 {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
29 preq2 4456 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
3028, 29syl5eq 2843 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐴, 𝐵})
3127, 30uneq12d 3964 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → (∅ ∪ {𝐴}) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}))
3224, 31syl5eqr 2845 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}))
33 oveq2 6884 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴[,]𝐴) = (𝐴[,]𝐵))
3432, 33eqeq12d 2812 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → ({𝐴} = (𝐴[,]𝐴) ↔ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵)))
3521, 34syl5ibcom 237 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵)))
3618, 35jaod 886 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵)))
373, 36sylbid 232 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐴𝐵 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵)))
381, 37mpd 15 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  wo 874  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  cun 3765  c0 4113  {csn 4366  {cpr 4368   class class class wbr 4841  (class class class)co 6876  *cxr 10360   < clt 10361  cle 10362  (,)cioo 12420  [,)cico 12422  [,]cicc 12423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2375  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-sup 8588  df-inf 8589  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-q 12030  df-ioo 12424  df-ico 12426  df-icc 12427
This theorem is referenced by:  iccntr  22948  ovolioo  23672  uniiccdif  23682  itgioo  23919  rollelem  24089  dvivthlem1  24108  reasinsin  24971  scvxcvx  25060  eliccioo  30146  iccdifioo  40473  iccdifprioo  40474  cncfiooicclem1  40837  fourierdlem102  41155  fourierdlem114  41167
  Copyright terms: Public domain W3C validator