Theorem prunioo 13498

Description: The closure of an open real interval. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
prunioo	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem prunioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrleloe 13160	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
3	2	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
4		df-pr 4604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
5	4	uneq2i 4140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
6		unass 4147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) ∪ {𝐵}) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
7	5, 6	eqtr4i 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) ∪ {𝐵})
8		uncom 4133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵))
9		snunioo 13495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
10	8, 9	eqtrid 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
11	10	uneq1d 4142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) ∪ {𝐵}) = ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐵}))
12	7, 11	eqtrid 2782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐵}))
13	12	3expa 1118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐵}))
14	13	3adantl3 1169	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐵}))
15		snunico 13496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
17	14, 16	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
18	17	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵)))
19		iccid 13407	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
20	19	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
21	20	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → {𝐴} = (𝐴[,]𝐴))
22		uncom 4133	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∪ {𝐴}) = ({𝐴} ∪ ∅)
23		un0 4369	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴} ∪ ∅) = {𝐴}
24	22, 23	eqtri 2758	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∪ {𝐴}) = {𝐴}
25		iooid 13390	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴(,)𝐴) = ∅
26		oveq2 7413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐴) = (𝐴(,)𝐵))
27	25, 26	eqtr3id 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∅ = (𝐴(,)𝐵))
28		dfsn2 4614	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
29		preq2 4710	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
30	28, 29	eqtrid 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐴, 𝐵})
31	27, 30	uneq12d 4144	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∅ ∪ {𝐴}) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}))
32	24, 31	eqtr3id 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}))
33		oveq2 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴[,]𝐴) = (𝐴[,]𝐵))
34	32, 33	eqeq12d 2751	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ({𝐴} = (𝐴[,]𝐴) ↔ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵)))
35	21, 34	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵)))
36	18, 35	jaod 859	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵)))
37	3, 36	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐵 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵)))
38	1, 37	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3924  ∅c0 4308  {csn 4601  {cpr 4603   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270  (,)cioo 13362  [,)cico 13364  [,]cicc 13365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12965  df-ioo 13366  df-ico 13368  df-icc 13369

This theorem is referenced by:  iccntr  24761  ovolioo  25521  uniiccdif  25531  itgioo  25769  rollelem  25945  dvivthlem1  25965  reasinsin  26858  scvxcvx  26948  eliccioo  32905  iccdifioo  45544  iccdifprioo  45545  cncfiooicclem1  45922  fourierdlem102  46237  fourierdlem114  46249