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Theorem lvoli2 36587
Description: The join of 4 different atoms is a lattice volume. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvoli2.l = (le‘𝐾)
lvoli2.j = (join‘𝐾)
lvoli2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lvoli2.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lvoli2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lvoli2
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp12 1198 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑃𝐴)
2 simp13 1199 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑄𝐴)
3 simp3 1132 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
4 eqidd 2827 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆))
5 neeq1 3083 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝𝑞𝑃𝑞))
6 oveq1 7155 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 𝑞) = (𝑃 𝑞))
76breq2d 5075 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑃 → (𝑅 (𝑝 𝑞) ↔ 𝑅 (𝑃 𝑞)))
87notbid 319 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 → (¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ↔ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑞)))
96oveq1d 7163 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝 𝑞) 𝑅) = ((𝑃 𝑞) 𝑅))
109breq2d 5075 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑃 → (𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅) ↔ 𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅)))
1110notbid 319 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 → (¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅) ↔ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅)))
125, 8, 113anbi123d 1429 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ↔ (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅))))
139oveq1d 7163 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 → (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑞) 𝑅) 𝑆))
1413eqeq2d 2837 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑞) 𝑅) 𝑆)))
1512, 14anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → (((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)) ↔ ((𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑞) 𝑅) 𝑆))))
16 neeq2 3084 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑄 → (𝑃𝑞𝑃𝑄))
17 oveq2 7156 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑄 → (𝑃 𝑞) = (𝑃 𝑄))
1817breq2d 5075 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 𝑄 → (𝑅 (𝑃 𝑞) ↔ 𝑅 (𝑃 𝑄)))
1918notbid 319 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑄 → (¬ 𝑅 (𝑃 𝑞) ↔ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄)))
2017oveq1d 7163 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑄 → ((𝑃 𝑞) 𝑅) = ((𝑃 𝑄) 𝑅))
2120breq2d 5075 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 𝑄 → (𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅) ↔ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
2221notbid 319 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑄 → (¬ 𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅) ↔ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
2316, 19, 223anbi123d 1429 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑄 → ((𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅)) ↔ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))))
2420oveq1d 7163 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑄 → (((𝑃 𝑞) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆))
2524eqeq2d 2837 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑄 → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑞) 𝑅) 𝑆) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆)))
2623, 25anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑄 → (((𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑞) 𝑅) 𝑆)) ↔ ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆))))
2715, 26rspc2ev 3639 . . . . . 6 ((𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)))
281, 2, 3, 4, 27syl112anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)))
29283exp 1113 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑅𝐴𝑆𝐴) → ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)))))
30 simplrl 773 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆))) → 𝑅𝐴)
31 simplrr 774 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆))) → 𝑆𝐴)
32 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆))) → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)))
33 breq1 5066 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 (𝑝 𝑞) ↔ 𝑅 (𝑝 𝑞)))
3433notbid 319 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑅 → (¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ↔ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞)))
35 oveq2 7156 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑅 → ((𝑝 𝑞) 𝑟) = ((𝑝 𝑞) 𝑅))
3635breq2d 5075 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑅 → (𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟) ↔ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅)))
3736notbid 319 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑅 → (¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟) ↔ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅)))
3834, 373anbi23d 1432 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑅 → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅))))
3935oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑅 → (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑠))
4039eqeq2d 2837 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑅 → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑠)))
4138, 40anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑅 → (((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)) ↔ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑠))))
42 breq1 5066 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑆 → (𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅) ↔ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)))
4342notbid 319 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑆 → (¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅) ↔ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)))
44433anbi3d 1435 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑆 → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ↔ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅))))
45 oveq2 7156 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑆 → (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑠) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆))
4645eqeq2d 2837 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑆 → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑠) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)))
4744, 46anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 → (((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑠)) ↔ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆))))
4841, 47rspc2ev 3639 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
4930, 31, 32, 48syl3anc 1365 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
5049ex 413 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
5150reximdv 3278 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (∃𝑞𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
5251reximdv 3278 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
5352ex 413 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑅𝐴𝑆𝐴) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
5429, 53syldd 72 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑅𝐴𝑆𝐴) → ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
55543imp 1105 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
56 simp11 1197 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
5756hllatd 36370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝐾 ∈ Lat)
58 eqid 2826 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
59 lvoli2.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
60 lvoli2.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6158, 59, 60hlatjcl 36373 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
62613ad2ant1 1127 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
63 simp2l 1193 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑅𝐴)
6458, 60atbase 36295 . . . . . 6 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
6563, 64syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
6658, 59latjcl 17651 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
6757, 62, 65, 66syl3anc 1365 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
68 simp2r 1194 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑆𝐴)
6958, 60atbase 36295 . . . . 5 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
7068, 69syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
7158, 59latjcl 17651 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
7257, 67, 70, 71syl3anc 1365 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
73 lvoli2.l . . . 4 = (le‘𝐾)
74 lvoli2.v . . . 4 𝑉 = (LVols‘𝐾)
7558, 73, 59, 60, 74islvol5 36585 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
7656, 72, 75syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
7755, 76mpbird 258 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wrex 3144   class class class wbr 5063  cfv 6352  (class class class)co 7148  Basecbs 16473  lecple 16562  joincjn 17544  Latclat 17645  Atomscatm 36269  HLchlt 36356  LVolsclvol 36499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-proset 17528  df-poset 17546  df-plt 17558  df-lub 17574  df-glb 17575  df-join 17576  df-meet 17577  df-p0 17639  df-lat 17646  df-clat 17708  df-oposet 36182  df-ol 36184  df-oml 36185  df-covers 36272  df-ats 36273  df-atl 36304  df-cvlat 36328  df-hlat 36357  df-llines 36504  df-lplanes 36505  df-lvols 36506
This theorem is referenced by:  islvol2aN  36598  4atlem3  36602  2lplnja  36625
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