Theorem lvoli2 40044

Description: The join of 4 different atoms is a lattice volume. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvoli2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lvoli2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lvoli2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lvoli2.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lvoli2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lvoli2

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp12 1206	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
2		simp13 1207	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
3		simp3 1139	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
4		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
5		neeq1 2995	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ≠ 𝑞 ↔ 𝑃 ≠ 𝑞))
6		oveq1 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ∨ 𝑞) = (𝑃 ∨ 𝑞))
7	6	breq2d 5098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞)))
8	7	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞)))
9	6	oveq1d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) = ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅))
10	9	breq2d 5098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)))
11	10	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ↔ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)))
12	5, 8, 11	3anbi123d 1439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ↔ (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅))))
13	9	oveq1d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
14	13	eqeq2d 2748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
15	12, 14	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ↔ ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))))
16		neeq2 2996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑃 ≠ 𝑞 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))
17		oveq2 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑞) = (𝑃 ∨ 𝑄))
18	17	breq2d 5098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ↔ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))
19	18	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))
20	17	oveq1d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
21	20	breq2d 5098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
22	21	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ↔ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
23	16, 19, 22	3anbi123d 1439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))))
24	20	oveq1d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
25	24	eqeq2d 2748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
26	23, 25	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ↔ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))))
27	15, 26	rspc2ev 3578	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
28	1, 2, 3, 4, 27	syl112anc 1377	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
29	28	3exp 1120	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))))
30		simplrl 777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
31		simplrr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
32		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
33		breq1 5089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))
34	33	notbid 318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))
35		oveq2 7369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅))
36	35	breq2d 5098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ↔ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)))
37	36	notbid 318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ↔ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)))
38	34, 37	3anbi23d 1442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅))))
39	35	oveq1d 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠))
40	39	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠)))
41	38, 40	anbi12d 633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠))))
42		breq1 5089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)))
43	42	notbid 318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ↔ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)))
44	43	3anbi3d 1445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅))))
45		oveq2 7369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
46	45	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
47	44, 46	anbi12d 633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))))
48	41, 47	rspc2ev 3578	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
49	30, 31, 32, 48	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
50	49	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
51	50	reximdv 3153	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
52	51	reximdv 3153	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
53	52	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
54	29, 53	syldd 72	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
55	54	3imp 1111	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
56		simp11 1205	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
57	56	hllatd 39827	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝐾 ∈ Lat)
58		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
59		lvoli2.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
60		lvoli2.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
61	58, 59, 60	hlatjcl 39830	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
62	61	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
63		simp2l 1201	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
64	58, 60	atbase 39752	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
65	63, 64	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
66	58, 59	latjcl 18399	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
67	57, 62, 65, 66	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
68		simp2r 1202	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
69	58, 60	atbase 39752	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
70	68, 69	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
71	58, 59	latjcl 18399	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
72	57, 67, 70, 71	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
73		lvoli2.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
74		lvoli2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
75	58, 73, 59, 60, 74	islvol5 40042	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
76	56, 72, 75	syl2anc 585	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
77	55, 76	mpbird 257	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173  lecple 17221  joincjn 18271  Latclat 18391  Atomscatm 39726  HLchlt 39813  LVolsclvol 39956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-proset 18254  df-poset 18273  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-lat 18392  df-clat 18459  df-oposet 39639  df-ol 39641  df-oml 39642  df-covers 39729  df-ats 39730  df-atl 39761  df-cvlat 39785  df-hlat 39814  df-llines 39961  df-lplanes 39962  df-lvols 39963

This theorem is referenced by:  islvol2aN  40055  4atlem3  40059  2lplnja  40082