Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvoli2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvoli2 39058
Description: The join of 4 different atoms is a lattice volume. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvoli2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lvoli2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
lvoli2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lvoli2.v 𝑉 = (LVolsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lvoli2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lvoli2
Dummy variables π‘ž 𝑝 π‘Ÿ 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp12 1201 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
2 simp13 1202 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
3 simp3 1135 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
4 eqidd 2728 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
5 neeq1 2999 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 β†’ (𝑝 β‰  π‘ž ↔ 𝑃 β‰  π‘ž))
6 oveq1 7431 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) = (𝑃 ∨ π‘ž))
76breq2d 5162 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑃 β†’ (𝑅 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ π‘ž)))
87notbid 317 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 β†’ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ π‘ž)))
96oveq1d 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) = ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅))
109breq2d 5162 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑃 β†’ (𝑆 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅)))
1110notbid 317 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 β†’ (Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ↔ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅)))
125, 8, 113anbi123d 1432 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅)) ↔ (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅))))
139oveq1d 7439 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 β†’ (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
1413eqeq2d 2738 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 β†’ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
1512, 14anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 β†’ (((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ↔ ((𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))))
16 neeq2 3000 . . . . . . . . 9 (π‘ž = 𝑄 β†’ (𝑃 β‰  π‘ž ↔ 𝑃 β‰  𝑄))
17 oveq2 7432 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž = 𝑄 β†’ (𝑃 ∨ π‘ž) = (𝑃 ∨ 𝑄))
1817breq2d 5162 . . . . . . . . . 10 (π‘ž = 𝑄 β†’ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ↔ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
1918notbid 317 . . . . . . . . 9 (π‘ž = 𝑄 β†’ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ↔ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
2017oveq1d 7439 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž = 𝑄 β†’ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
2120breq2d 5162 . . . . . . . . . 10 (π‘ž = 𝑄 β†’ (𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
2221notbid 317 . . . . . . . . 9 (π‘ž = 𝑄 β†’ (Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ↔ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
2316, 19, 223anbi123d 1432 . . . . . . . 8 (π‘ž = 𝑄 β†’ ((𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅)) ↔ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))))
2420oveq1d 7439 . . . . . . . . 9 (π‘ž = 𝑄 β†’ (((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
2524eqeq2d 2738 . . . . . . . 8 (π‘ž = 𝑄 β†’ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
2623, 25anbi12d 630 . . . . . . 7 (π‘ž = 𝑄 β†’ (((𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ↔ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))))
2715, 26rspc2ev 3622 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
281, 2, 3, 4, 27syl112anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
29283exp 1116 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))))
30 simplrl 775 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
31 simplrr 776 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
32 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
33 breq1 5153 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))
3433notbid 317 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))
35 oveq2 7432 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅))
3635breq2d 5162 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ↔ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅)))
3736notbid 317 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ↔ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅)))
3834, 373anbi23d 1435 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅))))
3935oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠))
4039eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠)))
4138, 40anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)) ↔ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠))))
42 breq1 5153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑆 β†’ (𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅)))
4342notbid 317 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑆 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ↔ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅)))
44433anbi3d 1438 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅)) ↔ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅))))
45 oveq2 7432 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑆 β†’ (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
4645eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
4744, 46anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 β†’ (((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠)) ↔ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))))
4841, 47rspc2ev 3622 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
4930, 31, 32, 48syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
5049ex 411 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
5150reximdv 3166 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
5251reximdv 3166 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
5352ex 411 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
5429, 53syldd 72 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
55543imp 1108 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
56 simp11 1200 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
5756hllatd 38840 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
58 eqid 2727 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
59 lvoli2.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
60 lvoli2.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
6158, 59, 60hlatjcl 38843 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
62613ad2ant1 1130 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
63 simp2l 1196 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
6458, 60atbase 38765 . . . . . 6 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6563, 64syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6658, 59latjcl 18436 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6757, 62, 65, 66syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
68 simp2r 1197 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
6958, 60atbase 38765 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7068, 69syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7158, 59latjcl 18436 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7257, 67, 70, 71syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
73 lvoli2.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
74 lvoli2.v . . . 4 𝑉 = (LVolsβ€˜πΎ)
7558, 73, 59, 60, 74islvol5 39056 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
7656, 72, 75syl2anc 582 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
7755, 76mpbird 256 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2936  βˆƒwrex 3066   class class class wbr 5150  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  Basecbs 17185  lecple 17245  joincjn 18308  Latclat 18428  Atomscatm 38739  HLchlt 38826  LVolsclvol 38970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-proset 18292  df-poset 18310  df-plt 18327  df-lub 18343  df-glb 18344  df-join 18345  df-meet 18346  df-p0 18422  df-lat 18429  df-clat 18496  df-oposet 38652  df-ol 38654  df-oml 38655  df-covers 38742  df-ats 38743  df-atl 38774  df-cvlat 38798  df-hlat 38827  df-llines 38975  df-lplanes 38976  df-lvols 38977
This theorem is referenced by:  islvol2aN  39069  4atlem3  39073  2lplnja  39096
  Copyright terms: Public domain W3C validator