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Theorem lvoli2 39564
Description: The join of 4 different atoms is a lattice volume. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvoli2.l = (le‘𝐾)
lvoli2.j = (join‘𝐾)
lvoli2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lvoli2.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lvoli2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lvoli2
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp12 1203 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑃𝐴)
2 simp13 1204 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑄𝐴)
3 simp3 1137 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
4 eqidd 2736 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆))
5 neeq1 3001 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝𝑞𝑃𝑞))
6 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 𝑞) = (𝑃 𝑞))
76breq2d 5160 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑃 → (𝑅 (𝑝 𝑞) ↔ 𝑅 (𝑃 𝑞)))
87notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 → (¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ↔ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑞)))
96oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝 𝑞) 𝑅) = ((𝑃 𝑞) 𝑅))
109breq2d 5160 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑃 → (𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅) ↔ 𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅)))
1110notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 → (¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅) ↔ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅)))
125, 8, 113anbi123d 1435 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ↔ (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅))))
139oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 → (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑞) 𝑅) 𝑆))
1413eqeq2d 2746 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑞) 𝑅) 𝑆)))
1512, 14anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → (((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)) ↔ ((𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑞) 𝑅) 𝑆))))
16 neeq2 3002 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑄 → (𝑃𝑞𝑃𝑄))
17 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑄 → (𝑃 𝑞) = (𝑃 𝑄))
1817breq2d 5160 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 𝑄 → (𝑅 (𝑃 𝑞) ↔ 𝑅 (𝑃 𝑄)))
1918notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑄 → (¬ 𝑅 (𝑃 𝑞) ↔ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄)))
2017oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑄 → ((𝑃 𝑞) 𝑅) = ((𝑃 𝑄) 𝑅))
2120breq2d 5160 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 𝑄 → (𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅) ↔ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
2221notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑄 → (¬ 𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅) ↔ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
2316, 19, 223anbi123d 1435 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑄 → ((𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅)) ↔ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))))
2420oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑄 → (((𝑃 𝑞) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆))
2524eqeq2d 2746 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑄 → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑞) 𝑅) 𝑆) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆)))
2623, 25anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑄 → (((𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑞) 𝑅) 𝑆)) ↔ ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆))))
2715, 26rspc2ev 3635 . . . . . 6 ((𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)))
281, 2, 3, 4, 27syl112anc 1373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)))
29283exp 1118 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑅𝐴𝑆𝐴) → ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)))))
30 simplrl 777 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆))) → 𝑅𝐴)
31 simplrr 778 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆))) → 𝑆𝐴)
32 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆))) → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)))
33 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 (𝑝 𝑞) ↔ 𝑅 (𝑝 𝑞)))
3433notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑅 → (¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ↔ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞)))
35 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑅 → ((𝑝 𝑞) 𝑟) = ((𝑝 𝑞) 𝑅))
3635breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑅 → (𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟) ↔ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅)))
3736notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑅 → (¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟) ↔ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅)))
3834, 373anbi23d 1438 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑅 → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅))))
3935oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑅 → (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑠))
4039eqeq2d 2746 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑅 → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑠)))
4138, 40anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑅 → (((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)) ↔ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑠))))
42 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑆 → (𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅) ↔ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)))
4342notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑆 → (¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅) ↔ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)))
44433anbi3d 1441 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑆 → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ↔ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅))))
45 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑆 → (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑠) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆))
4645eqeq2d 2746 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑆 → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑠) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)))
4744, 46anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 → (((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑠)) ↔ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆))))
4841, 47rspc2ev 3635 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
4930, 31, 32, 48syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
5049ex 412 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
5150reximdv 3168 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (∃𝑞𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
5251reximdv 3168 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
5352ex 412 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑅𝐴𝑆𝐴) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
5429, 53syldd 72 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑅𝐴𝑆𝐴) → ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
55543imp 1110 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
56 simp11 1202 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
5756hllatd 39346 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝐾 ∈ Lat)
58 eqid 2735 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
59 lvoli2.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
60 lvoli2.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6158, 59, 60hlatjcl 39349 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
62613ad2ant1 1132 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
63 simp2l 1198 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑅𝐴)
6458, 60atbase 39271 . . . . . 6 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
6563, 64syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
6658, 59latjcl 18497 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
6757, 62, 65, 66syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
68 simp2r 1199 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑆𝐴)
6958, 60atbase 39271 . . . . 5 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
7068, 69syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
7158, 59latjcl 18497 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
7257, 67, 70, 71syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
73 lvoli2.l . . . 4 = (le‘𝐾)
74 lvoli2.v . . . 4 𝑉 = (LVols‘𝐾)
7558, 73, 59, 60, 74islvol5 39562 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
7656, 72, 75syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
7755, 76mpbird 257 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  joincjn 18369  Latclat 18489  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  LVolsclvol 39476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483
This theorem is referenced by:  islvol2aN  39575  4atlem3  39579  2lplnja  39602
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