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Theorem lvoli2 38044
Description: The join of 4 different atoms is a lattice volume. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvoli2.l = (le‘𝐾)
lvoli2.j = (join‘𝐾)
lvoli2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lvoli2.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lvoli2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lvoli2
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp12 1204 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑃𝐴)
2 simp13 1205 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑄𝐴)
3 simp3 1138 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
4 eqidd 2737 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆))
5 neeq1 3006 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝𝑞𝑃𝑞))
6 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 𝑞) = (𝑃 𝑞))
76breq2d 5117 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑃 → (𝑅 (𝑝 𝑞) ↔ 𝑅 (𝑃 𝑞)))
87notbid 317 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 → (¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ↔ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑞)))
96oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝 𝑞) 𝑅) = ((𝑃 𝑞) 𝑅))
109breq2d 5117 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑃 → (𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅) ↔ 𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅)))
1110notbid 317 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 → (¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅) ↔ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅)))
125, 8, 113anbi123d 1436 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ↔ (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅))))
139oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 → (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑞) 𝑅) 𝑆))
1413eqeq2d 2747 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑞) 𝑅) 𝑆)))
1512, 14anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → (((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)) ↔ ((𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑞) 𝑅) 𝑆))))
16 neeq2 3007 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑄 → (𝑃𝑞𝑃𝑄))
17 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑄 → (𝑃 𝑞) = (𝑃 𝑄))
1817breq2d 5117 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 𝑄 → (𝑅 (𝑃 𝑞) ↔ 𝑅 (𝑃 𝑄)))
1918notbid 317 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑄 → (¬ 𝑅 (𝑃 𝑞) ↔ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄)))
2017oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑄 → ((𝑃 𝑞) 𝑅) = ((𝑃 𝑄) 𝑅))
2120breq2d 5117 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 𝑄 → (𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅) ↔ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
2221notbid 317 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑄 → (¬ 𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅) ↔ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
2316, 19, 223anbi123d 1436 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑄 → ((𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅)) ↔ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))))
2420oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑄 → (((𝑃 𝑞) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆))
2524eqeq2d 2747 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑄 → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑞) 𝑅) 𝑆) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆)))
2623, 25anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑄 → (((𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑞) 𝑅) 𝑆)) ↔ ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆))))
2715, 26rspc2ev 3592 . . . . . 6 ((𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)))
281, 2, 3, 4, 27syl112anc 1374 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)))
29283exp 1119 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑅𝐴𝑆𝐴) → ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)))))
30 simplrl 775 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆))) → 𝑅𝐴)
31 simplrr 776 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆))) → 𝑆𝐴)
32 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆))) → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)))
33 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 (𝑝 𝑞) ↔ 𝑅 (𝑝 𝑞)))
3433notbid 317 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑅 → (¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ↔ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞)))
35 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑅 → ((𝑝 𝑞) 𝑟) = ((𝑝 𝑞) 𝑅))
3635breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑅 → (𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟) ↔ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅)))
3736notbid 317 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑅 → (¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟) ↔ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅)))
3834, 373anbi23d 1439 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑅 → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅))))
3935oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑅 → (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑠))
4039eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑅 → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑠)))
4138, 40anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑅 → (((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)) ↔ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑠))))
42 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑆 → (𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅) ↔ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)))
4342notbid 317 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑆 → (¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅) ↔ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)))
44433anbi3d 1442 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑆 → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ↔ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅))))
45 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑆 → (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑠) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆))
4645eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑆 → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑠) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)))
4744, 46anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 → (((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑠)) ↔ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆))))
4841, 47rspc2ev 3592 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
4930, 31, 32, 48syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
5049ex 413 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
5150reximdv 3167 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (∃𝑞𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
5251reximdv 3167 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
5352ex 413 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑅𝐴𝑆𝐴) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
5429, 53syldd 72 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑅𝐴𝑆𝐴) → ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
55543imp 1111 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
56 simp11 1203 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
5756hllatd 37826 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝐾 ∈ Lat)
58 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
59 lvoli2.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
60 lvoli2.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6158, 59, 60hlatjcl 37829 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
62613ad2ant1 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
63 simp2l 1199 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑅𝐴)
6458, 60atbase 37751 . . . . . 6 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
6563, 64syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
6658, 59latjcl 18328 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
6757, 62, 65, 66syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
68 simp2r 1200 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑆𝐴)
6958, 60atbase 37751 . . . . 5 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
7068, 69syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
7158, 59latjcl 18328 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
7257, 67, 70, 71syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
73 lvoli2.l . . . 4 = (le‘𝐾)
74 lvoli2.v . . . 4 𝑉 = (LVols‘𝐾)
7558, 73, 59, 60, 74islvol5 38042 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
7656, 72, 75syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
7755, 76mpbird 256 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  joincjn 18200  Latclat 18320  Atomscatm 37725  HLchlt 37812  LVolsclvol 37956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-llines 37961  df-lplanes 37962  df-lvols 37963
This theorem is referenced by:  islvol2aN  38055  4atlem3  38059  2lplnja  38082
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