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Theorem lvoli2 37800
Description: The join of 4 different atoms is a lattice volume. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvoli2.l = (le‘𝐾)
lvoli2.j = (join‘𝐾)
lvoli2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lvoli2.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lvoli2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lvoli2
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp12 1203 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑃𝐴)
2 simp13 1204 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑄𝐴)
3 simp3 1137 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
4 eqidd 2738 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆))
5 neeq1 3004 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝𝑞𝑃𝑞))
6 oveq1 7322 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 𝑞) = (𝑃 𝑞))
76breq2d 5099 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑃 → (𝑅 (𝑝 𝑞) ↔ 𝑅 (𝑃 𝑞)))
87notbid 317 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 → (¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ↔ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑞)))
96oveq1d 7330 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝 𝑞) 𝑅) = ((𝑃 𝑞) 𝑅))
109breq2d 5099 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑃 → (𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅) ↔ 𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅)))
1110notbid 317 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 → (¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅) ↔ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅)))
125, 8, 113anbi123d 1435 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ↔ (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅))))
139oveq1d 7330 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 → (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑞) 𝑅) 𝑆))
1413eqeq2d 2748 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑞) 𝑅) 𝑆)))
1512, 14anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → (((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)) ↔ ((𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑞) 𝑅) 𝑆))))
16 neeq2 3005 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑄 → (𝑃𝑞𝑃𝑄))
17 oveq2 7323 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑄 → (𝑃 𝑞) = (𝑃 𝑄))
1817breq2d 5099 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 𝑄 → (𝑅 (𝑃 𝑞) ↔ 𝑅 (𝑃 𝑄)))
1918notbid 317 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑄 → (¬ 𝑅 (𝑃 𝑞) ↔ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄)))
2017oveq1d 7330 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑄 → ((𝑃 𝑞) 𝑅) = ((𝑃 𝑄) 𝑅))
2120breq2d 5099 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 𝑄 → (𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅) ↔ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
2221notbid 317 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑄 → (¬ 𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅) ↔ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
2316, 19, 223anbi123d 1435 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑄 → ((𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅)) ↔ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))))
2420oveq1d 7330 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑄 → (((𝑃 𝑞) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆))
2524eqeq2d 2748 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑄 → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑞) 𝑅) 𝑆) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆)))
2623, 25anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑄 → (((𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑞) 𝑅) 𝑆)) ↔ ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆))))
2715, 26rspc2ev 3581 . . . . . 6 ((𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)))
281, 2, 3, 4, 27syl112anc 1373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)))
29283exp 1118 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑅𝐴𝑆𝐴) → ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)))))
30 simplrl 774 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆))) → 𝑅𝐴)
31 simplrr 775 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆))) → 𝑆𝐴)
32 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆))) → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)))
33 breq1 5090 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 (𝑝 𝑞) ↔ 𝑅 (𝑝 𝑞)))
3433notbid 317 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑅 → (¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ↔ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞)))
35 oveq2 7323 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑅 → ((𝑝 𝑞) 𝑟) = ((𝑝 𝑞) 𝑅))
3635breq2d 5099 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑅 → (𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟) ↔ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅)))
3736notbid 317 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑅 → (¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟) ↔ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅)))
3834, 373anbi23d 1438 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑅 → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅))))
3935oveq1d 7330 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑅 → (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑠))
4039eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑅 → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑠)))
4138, 40anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑅 → (((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)) ↔ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑠))))
42 breq1 5090 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑆 → (𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅) ↔ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)))
4342notbid 317 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑆 → (¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅) ↔ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)))
44433anbi3d 1441 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑆 → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ↔ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅))))
45 oveq2 7323 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑆 → (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑠) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆))
4645eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑆 → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑠) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)))
4744, 46anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 → (((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑠)) ↔ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆))))
4841, 47rspc2ev 3581 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
4930, 31, 32, 48syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
5049ex 413 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
5150reximdv 3164 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (∃𝑞𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
5251reximdv 3164 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
5352ex 413 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑅𝐴𝑆𝐴) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑅 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑝 𝑞) 𝑅)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑅) 𝑆)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
5429, 53syldd 72 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑅𝐴𝑆𝐴) → ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
55543imp 1110 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
56 simp11 1202 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
5756hllatd 37582 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝐾 ∈ Lat)
58 eqid 2737 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
59 lvoli2.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
60 lvoli2.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6158, 59, 60hlatjcl 37585 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
62613ad2ant1 1132 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
63 simp2l 1198 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑅𝐴)
6458, 60atbase 37507 . . . . . 6 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
6563, 64syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
6658, 59latjcl 18227 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
6757, 62, 65, 66syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
68 simp2r 1199 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑆𝐴)
6958, 60atbase 37507 . . . . 5 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
7068, 69syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
7158, 59latjcl 18227 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
7257, 67, 70, 71syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
73 lvoli2.l . . . 4 = (le‘𝐾)
74 lvoli2.v . . . 4 𝑉 = (LVols‘𝐾)
7558, 73, 59, 60, 74islvol5 37798 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
7656, 72, 75syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
7755, 76mpbird 256 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2941  wrex 3071   class class class wbr 5087  cfv 6465  (class class class)co 7315  Basecbs 16982  lecple 17039  joincjn 18099  Latclat 18219  Atomscatm 37481  HLchlt 37568  LVolsclvol 37712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-id 5507  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-proset 18083  df-poset 18101  df-plt 18118  df-lub 18134  df-glb 18135  df-join 18136  df-meet 18137  df-p0 18213  df-lat 18220  df-clat 18287  df-oposet 37394  df-ol 37396  df-oml 37397  df-covers 37484  df-ats 37485  df-atl 37516  df-cvlat 37540  df-hlat 37569  df-llines 37717  df-lplanes 37718  df-lvols 37719
This theorem is referenced by:  islvol2aN  37811  4atlem3  37815  2lplnja  37838
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