Theorem lvoli2 39560

Description: The join of 4 different atoms is a lattice volume. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvoli2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lvoli2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lvoli2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lvoli2.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lvoli2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lvoli2

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp12 1205	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
2		simp13 1206	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
3		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
4		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
5		neeq1 2987	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ≠ 𝑞 ↔ 𝑃 ≠ 𝑞))
6		oveq1 7356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ∨ 𝑞) = (𝑃 ∨ 𝑞))
7	6	breq2d 5104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞)))
8	7	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞)))
9	6	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) = ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅))
10	9	breq2d 5104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)))
11	10	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ↔ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)))
12	5, 8, 11	3anbi123d 1438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ↔ (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅))))
13	9	oveq1d 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
14	13	eqeq2d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
15	12, 14	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ↔ ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))))
16		neeq2 2988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑃 ≠ 𝑞 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))
17		oveq2 7357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑞) = (𝑃 ∨ 𝑄))
18	17	breq2d 5104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ↔ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))
19	18	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))
20	17	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
21	20	breq2d 5104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
22	21	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ↔ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
23	16, 19, 22	3anbi123d 1438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))))
24	20	oveq1d 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
25	24	eqeq2d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
26	23, 25	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ↔ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))))
27	15, 26	rspc2ev 3590	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
28	1, 2, 3, 4, 27	syl112anc 1376	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
29	28	3exp 1119	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))))
30		simplrl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
31		simplrr 777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
32		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
33		breq1 5095	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))
34	33	notbid 318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))
35		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅))
36	35	breq2d 5104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ↔ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)))
37	36	notbid 318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ↔ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)))
38	34, 37	3anbi23d 1441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅))))
39	35	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠))
40	39	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠)))
41	38, 40	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠))))
42		breq1 5095	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)))
43	42	notbid 318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ↔ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)))
44	43	3anbi3d 1444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅))))
45		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
46	45	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
47	44, 46	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))))
48	41, 47	rspc2ev 3590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
49	30, 31, 32, 48	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
50	49	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
51	50	reximdv 3144	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
52	51	reximdv 3144	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
53	52	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
54	29, 53	syldd 72	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
55	54	3imp 1110	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
56		simp11 1204	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
57	56	hllatd 39343	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝐾 ∈ Lat)
58		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
59		lvoli2.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
60		lvoli2.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
61	58, 59, 60	hlatjcl 39346	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
62	61	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
63		simp2l 1200	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
64	58, 60	atbase 39268	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
65	63, 64	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
66	58, 59	latjcl 18345	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
67	57, 62, 65, 66	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
68		simp2r 1201	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
69	58, 60	atbase 39268	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
70	68, 69	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
71	58, 59	latjcl 18345	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
72	57, 67, 70, 71	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
73		lvoli2.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
74		lvoli2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
75	58, 73, 59, 60, 74	islvol5 39558	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
76	56, 72, 75	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
77	55, 76	mpbird 257	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  lecple 17168  joincjn 18217  Latclat 18337  Atomscatm 39242  HLchlt 39329  LVolsclvol 39472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-lat 18338  df-clat 18405  df-oposet 39155  df-ol 39157  df-oml 39158  df-covers 39245  df-ats 39246  df-atl 39277  df-cvlat 39301  df-hlat 39330  df-llines 39477  df-lplanes 39478  df-lvols 39479

This theorem is referenced by:  islvol2aN  39571  4atlem3  39575  2lplnja  39598