Theorem lvoli2 37800

Description: The join of 4 different atoms is a lattice volume. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvoli2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lvoli2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lvoli2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lvoli2.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lvoli2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lvoli2

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp12 1203	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
2		simp13 1204	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
3		simp3 1137	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
4		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
5		neeq1 3004	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ≠ 𝑞 ↔ 𝑃 ≠ 𝑞))
6		oveq1 7322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ∨ 𝑞) = (𝑃 ∨ 𝑞))
7	6	breq2d 5099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞)))
8	7	notbid 317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞)))
9	6	oveq1d 7330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) = ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅))
10	9	breq2d 5099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)))
11	10	notbid 317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ↔ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)))
12	5, 8, 11	3anbi123d 1435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ↔ (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅))))
13	9	oveq1d 7330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
14	13	eqeq2d 2748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
15	12, 14	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ↔ ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))))
16		neeq2 3005	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑃 ≠ 𝑞 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))
17		oveq2 7323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑞) = (𝑃 ∨ 𝑄))
18	17	breq2d 5099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ↔ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))
19	18	notbid 317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))
20	17	oveq1d 7330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
21	20	breq2d 5099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
22	21	notbid 317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ↔ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
23	16, 19, 22	3anbi123d 1435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))))
24	20	oveq1d 7330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
25	24	eqeq2d 2748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
26	23, 25	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ↔ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))))
27	15, 26	rspc2ev 3581	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
28	1, 2, 3, 4, 27	syl112anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
29	28	3exp 1118	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))))
30		simplrl 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
31		simplrr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
32		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
33		breq1 5090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))
34	33	notbid 317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))
35		oveq2 7323	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅))
36	35	breq2d 5099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ↔ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)))
37	36	notbid 317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ↔ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)))
38	34, 37	3anbi23d 1438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅))))
39	35	oveq1d 7330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠))
40	39	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠)))
41	38, 40	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠))))
42		breq1 5090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)))
43	42	notbid 317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ↔ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)))
44	43	3anbi3d 1441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅))))
45		oveq2 7323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
46	45	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
47	44, 46	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))))
48	41, 47	rspc2ev 3581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
49	30, 31, 32, 48	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
50	49	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
51	50	reximdv 3164	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
52	51	reximdv 3164	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
53	52	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
54	29, 53	syldd 72	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
55	54	3imp 1110	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
56		simp11 1202	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
57	56	hllatd 37582	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝐾 ∈ Lat)
58		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
59		lvoli2.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
60		lvoli2.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
61	58, 59, 60	hlatjcl 37585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
62	61	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
63		simp2l 1198	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
64	58, 60	atbase 37507	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
65	63, 64	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
66	58, 59	latjcl 18227	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
67	57, 62, 65, 66	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
68		simp2r 1199	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
69	58, 60	atbase 37507	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
70	68, 69	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
71	58, 59	latjcl 18227	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
72	57, 67, 70, 71	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
73		lvoli2.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
74		lvoli2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
75	58, 73, 59, 60, 74	islvol5 37798	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
76	56, 72, 75	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
77	55, 76	mpbird 256	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071   class class class wbr 5087  ‘cfv 6465  (class class class)co 7315  Basecbs 16982  lecple 17039  joincjn 18099  Latclat 18219  Atomscatm 37481  HLchlt 37568  LVolsclvol 37712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-id 5507  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-proset 18083  df-poset 18101  df-plt 18118  df-lub 18134  df-glb 18135  df-join 18136  df-meet 18137  df-p0 18213  df-lat 18220  df-clat 18287  df-oposet 37394  df-ol 37396  df-oml 37397  df-covers 37484  df-ats 37485  df-atl 37516  df-cvlat 37540  df-hlat 37569  df-llines 37717  df-lplanes 37718  df-lvols 37719

This theorem is referenced by:  islvol2aN  37811  4atlem3  37815  2lplnja  37838