Theorem rhmsubcsetc 20738

Description: The unital ring homomorphisms between unital rings (in a universe) are a subcategory of the category of extensible structures. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmsubcsetc.c	⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
rhmsubcsetc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rhmsubcsetc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
rhmsubcsetc.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubcsetc	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Subcat‘𝐶))

Proof of Theorem rhmsubcsetc

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmsubcsetc.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
2		rhmsubcsetc.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
3	1, 2	rhmsscmap 20735	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) ⊆cat (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))))
4		rhmsubcsetc.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
5		rhmsubcsetc.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
6		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
7	5, 1, 6	estrchomfeqhom 18182	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶))
8	5, 1, 6	estrchomfval 18172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))))
9	7, 8	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))))
10	3, 4, 9	3brtr4d 5137	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆cat (Homf ‘𝐶))
11	5, 1, 2, 4	rhmsubcsetclem1 20736	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))
12	5, 1, 2, 4	rhmsubcsetclem2 20737	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
13	11, 12	jca 520	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))
14	13	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))
15		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
16		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
17		eqid 2765	. . 3 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
18	5	estrccat 18179	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
19	1, 18	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
20		incom 4164	. . . . 5 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
21	2, 20	eqtrdi 2816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
22	21, 4	rhmresfn 20724	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝐵 × 𝐵))
23	15, 16, 17, 19, 22	issubc2 17883	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (Subcat‘𝐶) ↔ (𝐻 ⊆cat (Homf ‘𝐶) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))))
24	10, 14, 23	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Subcat‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079   ∩ cin 3906  ⟨cop 4591   class class class wbr 5105   × cxp 5650   ↾ cres 5654  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∈ cmpo 7402   ↑_m cmap 8812  Basecbs 17259  Hom chom 17311  compcco 17312  Catccat 17710  Idccid 17711  Hom_f chomf 17712   ⊆_cat cssc 17854  Subcatcsubc 17856  ExtStrCatcestrc 18168  Ringcrg 20306   RingHom crh 20542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-hom 17324  df-cco 17325  df-0g 17484  df-cat 17714  df-cid 17715  df-homf 17716  df-ssc 17857  df-resc 17858  df-subc 17859  df-estrc 18169  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-mhm 18831  df-grp 18993  df-ghm 19275  df-mgp 20208  df-ur 20255  df-ring 20308  df-rhm 20545  df-ringc 20722

This theorem is referenced by:  ringccat  20739  ringcid  20740  funcringcsetc  20750