Theorem rhmsubcsetc 20830

Description: The unital ring homomorphisms between unital rings (in a universe) are a subcategory of the category of extensible structures. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmsubcsetc.c	⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
rhmsubcsetc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rhmsubcsetc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
rhmsubcsetc.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubcsetc	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Subcat‘𝐶))

Proof of Theorem rhmsubcsetc

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmsubcsetc.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
2		rhmsubcsetc.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
3	1, 2	rhmsscmap 20827	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) ⊆cat (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))))
4		rhmsubcsetc.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
5		rhmsubcsetc.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
6		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
7	5, 1, 6	estrchomfeqhom 18230	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶))
8	5, 1, 6	estrchomfval 18220	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))))
9	7, 8	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))))
10	3, 4, 9	3brtr4d 5141	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆cat (Homf ‘𝐶))
11	5, 1, 2, 4	rhmsubcsetclem1 20828	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))
12	5, 1, 2, 4	rhmsubcsetclem2 20829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
13	11, 12	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))
14	13	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))
15		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
16		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
17		eqid 2762	. . 3 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
18	5	estrccat 18227	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
19	1, 18	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
20		incom 4158	. . . . 5 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
21	2, 20	eqtrdi 2813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
22	21, 4	rhmresfn 20816	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝐵 × 𝐵))
23	15, 16, 17, 19, 22	issubc2 17931	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (Subcat‘𝐶) ↔ (𝐻 ⊆cat (Homf ‘𝐶) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))))
24	10, 14, 23	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Subcat‘𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   ∩ cin 3901  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107   × cxp 5657   ↾ cres 5661  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419   ↑_m cmap 8830  Basecbs 17307  Hom chom 17359  compcco 17360  Catccat 17758  Idccid 17759  Hom_f chomf 17760   ⊆_cat cssc 17902  Subcatcsubc 17904  ExtStrCatcestrc 18216  Ringcrg 20378   RingHom crh 20616

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-hom 17372  df-cco 17373  df-0g 17532  df-cat 17762  df-cid 17763  df-homf 17764  df-ssc 17905  df-resc 17906  df-subc 17907  df-estrc 18217  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-grp 19066  df-ghm 19347  df-mgp 20280  df-ur 20327  df-ring 20380  df-rhm 20619  df-ringc 20814

This theorem is used by:  ringccat  20831  ringcid  20832  funcringcsetc  20842