Theorem rhmsubcrngc 20776

Description: The unital ring homomorphisms between unital rings (in a universe) are a subcategory of the category of non-unital rings. (Contributed by AV, 12-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmsubcrngc.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rhmsubcrngc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rhmsubcrngc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
rhmsubcrngc.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubcrngc	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Subcat‘𝐶))

Proof of Theorem rhmsubcrngc

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmsubcrngc.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
2		rhmsubcrngc.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
3		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (RngCat‘𝑈) = (RngCat‘𝑈)
4		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(RngCat‘𝑈)) = (Base‘(RngCat‘𝑈))
5	3, 4, 1	rngcbas 20729	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RngCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
6		incom 4162	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∩ Rng) = (Rng ∩ 𝑈)
7	5, 6	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RngCat‘𝑈)) = (Rng ∩ 𝑈))
8	1, 2, 7	rhmsscrnghm 20773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) ⊆cat ( RngHom ↾ ((Base‘(RngCat‘𝑈)) × (Base‘(RngCat‘𝑈)))))
9		rhmsubcrngc.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (RngCat‘𝑈))
11	10	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (Base‘(RngCat‘𝑈)))
12	11	sqxpeqd 5693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) = ((Base‘(RngCat‘𝑈)) × (Base‘(RngCat‘𝑈))))
13	12	reseq2d 5978	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( RngHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))) = ( RngHom ↾ ((Base‘(RngCat‘𝑈)) × (Base‘(RngCat‘𝑈)))))
14	8, 13	breqtrrd 5139	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) ⊆cat ( RngHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
15		rhmsubcrngc.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
16		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
17	9, 16, 1	rngchomfeqhom 20733	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶))
18		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
19	9, 16, 1, 18	rngchomfval 20730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = ( RngHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
20	17, 19	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = ( RngHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
21	14, 15, 20	3brtr4d 5143	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆cat (Homf ‘𝐶))
22	9, 1, 2, 15	rhmsubcrngclem1 20774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))
23	9, 1, 2, 15	rhmsubcrngclem2 20775	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
24	22, 23	jca 520	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))
25	24	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))
26		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
27		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
28		eqid 2763	. . 3 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
29	9	rngccat 20742	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
30	1, 29	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
31		incom 4162	. . . . 5 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
32	2, 31	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
33	32, 15	rhmresfn 20756	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝐵 × 𝐵))
34	26, 27, 28, 30, 33	issubc2 17897	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (Subcat‘𝐶) ↔ (𝐻 ⊆cat (Homf ‘𝐶) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))))
35	21, 25, 34	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Subcat‘𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ∩ cin 3904  ⟨cop 4595   class class class wbr 5109   × cxp 5659   ↾ cres 5663  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17273  Hom chom 17325  compcco 17326  Catccat 17724  Idccid 17725  Hom_f chomf 17726   ⊆_cat cssc 17868  Subcatcsubc 17870  Rngcrng 20234  Ringcrg 20319   RngHom crnghm 20521   RingHom crh 20556  RngCatcrngc 20724

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-fz 13540  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-hom 17338  df-cco 17339  df-0g 17498  df-cat 17728  df-cid 17729  df-homf 17730  df-ssc 17871  df-resc 17872  df-subc 17873  df-estrc 18183  df-mgm 18702  df-mgmhm 18754  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-mhm 18845  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-ghm 19288  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-ring 20321  df-rnghm 20523  df-rhm 20559  df-rngc 20725  df-ringc 20754

This theorem is used by: (None)