Theorem rhmsubcrngc 20833

Description: The unital ring homomorphisms between unital rings (in a universe) are a subcategory of the category of non-unital rings. (Contributed by AV, 12-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmsubcrngc.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rhmsubcrngc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rhmsubcrngc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
rhmsubcrngc.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubcrngc	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Subcat‘𝐶))

Proof of Theorem rhmsubcrngc

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmsubcrngc.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
2		rhmsubcrngc.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
3		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (RngCat‘𝑈) = (RngCat‘𝑈)
4		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(RngCat‘𝑈)) = (Base‘(RngCat‘𝑈))
5	3, 4, 1	rngcbas 20786	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RngCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
6		incom 4155	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∩ Rng) = (Rng ∩ 𝑈)
7	5, 6	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RngCat‘𝑈)) = (Rng ∩ 𝑈))
8	1, 2, 7	rhmsscrnghm 20830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) ⊆cat ( RngHom ↾ ((Base‘(RngCat‘𝑈)) × (Base‘(RngCat‘𝑈)))))
9		rhmsubcrngc.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (RngCat‘𝑈))
11	10	fveq2d 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (Base‘(RngCat‘𝑈)))
12	11	sqxpeqd 5687	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) = ((Base‘(RngCat‘𝑈)) × (Base‘(RngCat‘𝑈))))
13	12	reseq2d 5972	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( RngHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))) = ( RngHom ↾ ((Base‘(RngCat‘𝑈)) × (Base‘(RngCat‘𝑈)))))
14	8, 13	breqtrrd 5133	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) ⊆cat ( RngHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
15		rhmsubcrngc.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
16		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
17	9, 16, 1	rngchomfeqhom 20790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶))
18		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
19	9, 16, 1, 18	rngchomfval 20787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = ( RngHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
20	17, 19	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = ( RngHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
21	14, 15, 20	3brtr4d 5137	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆cat (Homf ‘𝐶))
22	9, 1, 2, 15	rhmsubcrngclem1 20831	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))
23	9, 1, 2, 15	rhmsubcrngclem2 20832	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
24	22, 23	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))
25	24	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))
26		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
27		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
28		eqid 2760	. . 3 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
29	9	rngccat 20799	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
30	1, 29	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
31		incom 4155	. . . . 5 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
32	2, 31	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
33	32, 15	rhmresfn 20813	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝐵 × 𝐵))
34	26, 27, 28, 30, 33	issubc2 17928	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (Subcat‘𝐶) ↔ (𝐻 ⊆cat (Homf ‘𝐶) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))))
35	21, 25, 34	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Subcat‘𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ∩ cin 3898  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   × cxp 5653   ↾ cres 5657  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  Hom chom 17356  compcco 17357  Catccat 17755  Idccid 17756  Hom_f chomf 17757   ⊆_cat cssc 17899  Subcatcsubc 17901  Rngcrng 20290  Ringcrg 20375   RngHom crnghm 20578   RingHom crh 20613  RngCatcrngc 20781

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13565  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-hom 17369  df-cco 17370  df-0g 17529  df-cat 17759  df-cid 17760  df-homf 17761  df-ssc 17902  df-resc 17903  df-subc 17904  df-estrc 18214  df-mgm 18733  df-mgmhm 18797  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-mhm 18894  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-ghm 19344  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-rnghm 20580  df-rhm 20616  df-rngc 20782  df-ringc 20811

This theorem is used by: (None)