Theorem rhmsubcrngc 20821

Description: The unital ring homomorphisms between unital rings (in a universe) are a subcategory of the category of non-unital rings. (Contributed by AV, 12-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmsubcrngc.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rhmsubcrngc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rhmsubcrngc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
rhmsubcrngc.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubcrngc	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Subcat‘𝐶))

Proof of Theorem rhmsubcrngc

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmsubcrngc.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
2		rhmsubcrngc.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
3		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (RngCat‘𝑈) = (RngCat‘𝑈)
4		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(RngCat‘𝑈)) = (Base‘(RngCat‘𝑈))
5	3, 4, 1	rngcbas 20774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RngCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
6		incom 4162	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∩ Rng) = (Rng ∩ 𝑈)
7	5, 6	eqtrdi 2816	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RngCat‘𝑈)) = (Rng ∩ 𝑈))
8	1, 2, 7	rhmsscrnghm 20818	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) ⊆cat ( RngHom ↾ ((Base‘(RngCat‘𝑈)) × (Base‘(RngCat‘𝑈)))))
9		rhmsubcrngc.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (RngCat‘𝑈))
11	10	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (Base‘(RngCat‘𝑈)))
12	11	sqxpeqd 5695	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) = ((Base‘(RngCat‘𝑈)) × (Base‘(RngCat‘𝑈))))
13	12	reseq2d 5980	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( RngHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))) = ( RngHom ↾ ((Base‘(RngCat‘𝑈)) × (Base‘(RngCat‘𝑈)))))
14	8, 13	breqtrrd 5141	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) ⊆cat ( RngHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
15		rhmsubcrngc.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
16		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
17	9, 16, 1	rngchomfeqhom 20778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶))
18		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
19	9, 16, 1, 18	rngchomfval 20775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = ( RngHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
20	17, 19	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = ( RngHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
21	14, 15, 20	3brtr4d 5145	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆cat (Homf ‘𝐶))
22	9, 1, 2, 15	rhmsubcrngclem1 20819	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))
23	9, 1, 2, 15	rhmsubcrngclem2 20820	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
24	22, 23	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))
25	24	ralrimiva 3159	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))
26		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
27		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
28		eqid 2765	. . 3 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
29	9	rngccat 20787	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
30	1, 29	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
31		incom 4162	. . . . 5 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
32	2, 31	eqtrdi 2816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
33	32, 15	rhmresfn 20801	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝐵 × 𝐵))
34	26, 27, 28, 30, 33	issubc2 17919	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (Subcat‘𝐶) ↔ (𝐻 ⊆cat (Homf ‘𝐶) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))))
35	21, 25, 34	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Subcat‘𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   ∩ cin 3905  ⟨cop 4597   class class class wbr 5111   × cxp 5661   ↾ cres 5665  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17295  Hom chom 17347  compcco 17348  Catccat 17746  Idccid 17747  Hom_f chomf 17748   ⊆_cat cssc 17890  Subcatcsubc 17892  Rngcrng 20278  Ringcrg 20363   RngHom crnghm 20566   RingHom crh 20601  RngCatcrngc 20769

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12732  df-uz 12883  df-fz 13556  df-struct 17233  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-ress 17317  df-plusg 17349  df-hom 17360  df-cco 17361  df-0g 17520  df-cat 17750  df-cid 17751  df-homf 17752  df-ssc 17893  df-resc 17894  df-subc 17895  df-estrc 18205  df-mgm 18724  df-mgmhm 18786  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-mhm 18882  df-grp 19051  df-minusg 19052  df-ghm 19332  df-cmn 19900  df-abl 19901  df-mgp 20265  df-rng 20279  df-ur 20312  df-ring 20365  df-rnghm 20568  df-rhm 20604  df-rngc 20770  df-ringc 20799

This theorem is used by: (None)