Theorem rhmsubcALTV 49383

Description: According to df-subc 17988, the subcategories (Subcat‘𝐶) of a category 𝐶 are subsets of the homomorphisms of 𝐶 (see subcssc 18016 and subcss2 18019). Therefore, the set of unital ring homomorphisms is a "subcategory" of the category of non-unital rings. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcrescrhmALTV.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcrescrhmALTV.c	⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngcrescrhmALTV.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhmALTV.h	⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubcALTV	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Subcat‘(RngCatALTV‘𝑈)))

Proof of Theorem rhmsubcALTV

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcrescrhmALTV.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
2		rngcrescrhmALTV.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
3		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Rng ∩ 𝑈) = (Rng ∩ 𝑈))
4	1, 2, 3	rhmsscrnghm 20918	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) ⊆cat ( RngHom ↾ ((Rng ∩ 𝑈) × (Rng ∩ 𝑈))))
5		rngcrescrhmALTV.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)))
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (RngCatALTV‘𝑈) = (RngCatALTV‘𝑈)
8		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Rng ∩ 𝑈) = (Rng ∩ 𝑈)
9		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Homf ‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (Homf ‘(RngCatALTV‘𝑈))
10	7, 8, 1, 9	rngchomrnghmresALTV 49377	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘(RngCatALTV‘𝑈)) = ( RngHom ↾ ((Rng ∩ 𝑈) × (Rng ∩ 𝑈))))
11	4, 6, 10	3brtr4d 5137	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆cat (Homf ‘(RngCatALTV‘𝑈)))
12		rngcrescrhmALTV.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
13	1, 12, 2, 5	rhmsubcALTVlem3 49381	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))
14	1, 12, 2, 5	rhmsubcALTVlem4 49382	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
15	14	ralrimivva 3206	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
16	15	ralrimivva 3206	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ∀𝑦 ∈ 𝑅 ∀𝑧 ∈ 𝑅 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
17	13, 16	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑅 ∀𝑧 ∈ 𝑅 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))
18	17	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑅 (((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑅 ∀𝑧 ∈ 𝑅 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))
19		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (Id‘(RngCatALTV‘𝑈))
20		eqid 2761	. . 3 ⊢ (comp‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (comp‘(RngCatALTV‘𝑈))
21	7	rngccatALTV 49371	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (RngCatALTV‘𝑈) ∈ Cat)
22	1, 21	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (RngCatALTV‘𝑈) ∈ Cat)
23	1, 12, 2, 5	rhmsubcALTVlem1 49379	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅))
24	9, 19, 20, 22, 23	issubc2 18012	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (Subcat‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↔ (𝐻 ⊆cat (Homf ‘(RngCatALTV‘𝑈)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑅 ∀𝑧 ∈ 𝑅 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))))
25	11, 18, 24	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Subcat‘(RngCatALTV‘𝑈)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ∩ cin 3898  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   × cxp 5649   ↾ cres 5653  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  compcco 17441  Catccat 17839  Idccid 17840  Hom_f chomf 17841   ⊆_cat cssc 17983  Subcatcsubc 17985  Rngcrng 20375  Ringcrg 20460   RngHom crnghm 20665   RingHom crh 20700  RngCatALTVcrngcALTV 49361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-fz 13641  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-plusg 17442  df-hom 17453  df-cco 17454  df-0g 17613  df-cat 17843  df-cid 17844  df-homf 17845  df-ssc 17986  df-subc 17988  df-mgm 18817  df-mgmhm 18882  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-mhm 18979  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-ghm 19429  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-rnghm 20667  df-rhm 20703  df-rngcALTV 49362

This theorem is used by:  rhmsubcALTVcat  49384