Theorem rhmsubcALTV 48473

Description: According to df-subc 17734, the subcategories (Subcat‘𝐶) of a category 𝐶 are subsets of the homomorphisms of 𝐶 (see subcssc 17762 and subcss2 17765). Therefore, the set of unital ring homomorphisms is a "subcategory" of the category of non-unital rings. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcrescrhmALTV.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcrescrhmALTV.c	⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngcrescrhmALTV.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhmALTV.h	⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubcALTV	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Subcat‘(RngCatALTV‘𝑈)))

Proof of Theorem rhmsubcALTV

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcrescrhmALTV.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
2		rngcrescrhmALTV.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
3		eqidd 2735	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Rng ∩ 𝑈) = (Rng ∩ 𝑈))
4	1, 2, 3	rhmsscrnghm 20596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) ⊆cat ( RngHom ↾ ((Rng ∩ 𝑈) × (Rng ∩ 𝑈))))
5		rngcrescrhmALTV.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)))
7		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (RngCatALTV‘𝑈) = (RngCatALTV‘𝑈)
8		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Rng ∩ 𝑈) = (Rng ∩ 𝑈)
9		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Homf ‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (Homf ‘(RngCatALTV‘𝑈))
10	7, 8, 1, 9	rngchomrnghmresALTV 48467	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘(RngCatALTV‘𝑈)) = ( RngHom ↾ ((Rng ∩ 𝑈) × (Rng ∩ 𝑈))))
11	4, 6, 10	3brtr4d 5128	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆cat (Homf ‘(RngCatALTV‘𝑈)))
12		rngcrescrhmALTV.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
13	1, 12, 2, 5	rhmsubcALTVlem3 48471	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))
14	1, 12, 2, 5	rhmsubcALTVlem4 48472	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
15	14	ralrimivva 3177	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
16	15	ralrimivva 3177	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ∀𝑦 ∈ 𝑅 ∀𝑧 ∈ 𝑅 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
17	13, 16	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑅 ∀𝑧 ∈ 𝑅 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))
18	17	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑅 (((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑅 ∀𝑧 ∈ 𝑅 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))
19		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (Id‘(RngCatALTV‘𝑈))
20		eqid 2734	. . 3 ⊢ (comp‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (comp‘(RngCatALTV‘𝑈))
21	7	rngccatALTV 48461	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (RngCatALTV‘𝑈) ∈ Cat)
22	1, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (RngCatALTV‘𝑈) ∈ Cat)
23	1, 12, 2, 5	rhmsubcALTVlem1 48469	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅))
24	9, 19, 20, 22, 23	issubc2 17758	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (Subcat‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↔ (𝐻 ⊆cat (Homf ‘(RngCatALTV‘𝑈)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑅 ∀𝑧 ∈ 𝑅 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))))
25	11, 18, 24	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Subcat‘(RngCatALTV‘𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049   ∩ cin 3898  ⟨cop 4584   class class class wbr 5096   × cxp 5620   ↾ cres 5624  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  compcco 17187  Catccat 17585  Idccid 17586  Hom_f chomf 17587   ⊆_cat cssc 17729  Subcatcsubc 17731  Rngcrng 20085  Ringcrg 20166   RngHom crnghm 20368   RingHom crh 20403  RngCatALTVcrngcALTV 48451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-hom 17199  df-cco 17200  df-0g 17359  df-cat 17589  df-cid 17590  df-homf 17591  df-ssc 17732  df-subc 17734  df-mgm 18563  df-mgmhm 18615  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-ghm 19140  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-rnghm 20370  df-rhm 20406  df-rngcALTV 48452

This theorem is referenced by:  rhmsubcALTVcat  48474