Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmsubcALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmsubcALTV 46496
Description: According to df-subc 17703, the subcategories (Subcatβ€˜πΆ) of a category 𝐢 are subsets of the homomorphisms of 𝐢 (see subcssc 17734 and subcss2 17737). Therefore, the set of unital ring homomorphisms is a "subcategory" of the category of non-unital rings. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcrescrhmALTV.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rngcrescrhmALTV.c 𝐢 = (RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)
rngcrescrhmALTV.r (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Ring ∩ π‘ˆ))
rngcrescrhmALTV.h 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))
Assertion
Ref Expression
rhmsubcALTV (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (Subcatβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)))

Proof of Theorem rhmsubcALTV
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rngcrescrhmALTV.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
2 rngcrescrhmALTV.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Ring ∩ π‘ˆ))
3 eqidd 2734 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Rng ∩ π‘ˆ) = (Rng ∩ π‘ˆ))
41, 2, 3rhmsscrnghm 46414 . . 3 (πœ‘ β†’ ( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) βŠ†cat ( RngHomo β†Ύ ((Rng ∩ π‘ˆ) Γ— (Rng ∩ π‘ˆ))))
5 rngcrescrhmALTV.h . . . 4 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))
65a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)))
7 eqid 2733 . . . 4 (RngCatALTVβ€˜π‘ˆ) = (RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)
8 eqid 2733 . . . 4 (Rng ∩ π‘ˆ) = (Rng ∩ π‘ˆ)
9 eqid 2733 . . . 4 (Homf β€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)) = (Homf β€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ))
107, 8, 1, 9rngchomrnghmresALTV 46384 . . 3 (πœ‘ β†’ (Homf β€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)) = ( RngHomo β†Ύ ((Rng ∩ π‘ˆ) Γ— (Rng ∩ π‘ˆ))))
114, 6, 103brtr4d 5141 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 βŠ†cat (Homf β€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)))
12 rngcrescrhmALTV.c . . . . 5 𝐢 = (RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)
131, 12, 2, 5rhmsubcALTVlem3 46494 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ ((Idβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐻π‘₯))
141, 12, 2, 5rhmsubcALTVlem4 46495 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
1514ralrimivva 3194 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
1615ralrimivva 3194 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 βˆ€π‘§ ∈ 𝑅 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
1713, 16jca 513 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ (((Idβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐻π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 βˆ€π‘§ ∈ 𝑅 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧)))
1817ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 (((Idβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐻π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 βˆ€π‘§ ∈ 𝑅 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧)))
19 eqid 2733 . . 3 (Idβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)) = (Idβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ))
20 eqid 2733 . . 3 (compβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)) = (compβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ))
217rngccatALTV 46378 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (RngCatALTVβ€˜π‘ˆ) ∈ Cat)
221, 21syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (RngCatALTVβ€˜π‘ˆ) ∈ Cat)
231, 12, 2, 5rhmsubcALTVlem1 46492 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn (𝑅 Γ— 𝑅))
249, 19, 20, 22, 23issubc2 17730 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∈ (Subcatβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)) ↔ (𝐻 βŠ†cat (Homf β€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 (((Idβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐻π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 βˆ€π‘§ ∈ 𝑅 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧)))))
2511, 18, 24mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (Subcatβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   ∩ cin 3913  βŸ¨cop 4596   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635   β†Ύ cres 5639  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  compcco 17153  Catccat 17552  Idccid 17553  Homf chomf 17554   βŠ†cat cssc 17698  Subcatcsubc 17700  Ringcrg 19972   RingHom crh 20153  Rngcrng 46262   RngHomo crngh 46273  RngCatALTVcrngcALTV 46346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-cat 17556  df-cid 17557  df-homf 17558  df-ssc 17701  df-subc 17703  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-ghm 19014  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-rnghom 20156  df-mgmhm 46163  df-rng 46263  df-rnghomo 46275  df-rngcALTV 46348
This theorem is referenced by:  rhmsubcALTVcat  46497
  Copyright terms: Public domain W3C validator