Theorem rhmsubcALTV 46996

Description: According to df-subc 17758, the subcategories (Subcat‘𝐶) of a category 𝐶 are subsets of the homomorphisms of 𝐶 (see subcssc 17789 and subcss2 17792). Therefore, the set of unital ring homomorphisms is a "subcategory" of the category of non-unital rings. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcrescrhmALTV.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcrescrhmALTV.c	⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngcrescrhmALTV.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhmALTV.h	⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubcALTV	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Subcat‘(RngCatALTV‘𝑈)))

Proof of Theorem rhmsubcALTV

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcrescrhmALTV.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
2		rngcrescrhmALTV.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
3		eqidd 2733	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Rng ∩ 𝑈) = (Rng ∩ 𝑈))
4	1, 2, 3	rhmsscrnghm 46914	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) ⊆cat ( RngHomo ↾ ((Rng ∩ 𝑈) × (Rng ∩ 𝑈))))
5		rngcrescrhmALTV.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)))
7		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (RngCatALTV‘𝑈) = (RngCatALTV‘𝑈)
8		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Rng ∩ 𝑈) = (Rng ∩ 𝑈)
9		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Homf ‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (Homf ‘(RngCatALTV‘𝑈))
10	7, 8, 1, 9	rngchomrnghmresALTV 46884	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘(RngCatALTV‘𝑈)) = ( RngHomo ↾ ((Rng ∩ 𝑈) × (Rng ∩ 𝑈))))
11	4, 6, 10	3brtr4d 5180	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆cat (Homf ‘(RngCatALTV‘𝑈)))
12		rngcrescrhmALTV.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
13	1, 12, 2, 5	rhmsubcALTVlem3 46994	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))
14	1, 12, 2, 5	rhmsubcALTVlem4 46995	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
15	14	ralrimivva 3200	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
16	15	ralrimivva 3200	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ∀𝑦 ∈ 𝑅 ∀𝑧 ∈ 𝑅 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
17	13, 16	jca 512	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑅 ∀𝑧 ∈ 𝑅 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))
18	17	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑅 (((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑅 ∀𝑧 ∈ 𝑅 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))
19		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (Id‘(RngCatALTV‘𝑈))
20		eqid 2732	. . 3 ⊢ (comp‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (comp‘(RngCatALTV‘𝑈))
21	7	rngccatALTV 46878	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (RngCatALTV‘𝑈) ∈ Cat)
22	1, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (RngCatALTV‘𝑈) ∈ Cat)
23	1, 12, 2, 5	rhmsubcALTVlem1 46992	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅))
24	9, 19, 20, 22, 23	issubc2 17785	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (Subcat‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↔ (𝐻 ⊆cat (Homf ‘(RngCatALTV‘𝑈)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑅 ∀𝑧 ∈ 𝑅 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))))
25	11, 18, 24	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Subcat‘(RngCatALTV‘𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   ∩ cin 3947  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148   × cxp 5674   ↾ cres 5678  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  compcco 17208  Catccat 17607  Idccid 17608  Hom_f chomf 17609   ⊆_cat cssc 17753  Subcatcsubc 17755  Ringcrg 20055   RingHom crh 20247  Rngcrng 46638   RngHomo crngh 46673  RngCatALTVcrngcALTV 46846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-cat 17611  df-cid 17612  df-homf 17613  df-ssc 17756  df-subc 17758  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-ghm 19089  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-rnghom 20250  df-mgmhm 46539  df-rng 46639  df-rnghomo 46675  df-rngcALTV 46848

This theorem is referenced by:  rhmsubcALTVcat  46997