Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmsubcALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmsubcALTV 44658
 Description: According to df-subc 17082, the subcategories (Subcat‘𝐶) of a category 𝐶 are subsets of the homomorphisms of 𝐶 (see subcssc 17110 and subcss2 17113). Therefore, the set of unital ring homomorphisms is a "subcategory" of the category of non-unital rings. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcrescrhmALTV.u (𝜑𝑈𝑉)
rngcrescrhmALTV.c 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngcrescrhmALTV.r (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhmALTV.h 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
Assertion
Ref Expression
rhmsubcALTV (𝜑𝐻 ∈ (Subcat‘(RngCatALTV‘𝑈)))

Proof of Theorem rhmsubcALTV
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rngcrescrhmALTV.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
2 rngcrescrhmALTV.r . . . 4 (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
3 eqidd 2825 . . . 4 (𝜑 → (Rng ∩ 𝑈) = (Rng ∩ 𝑈))
41, 2, 3rhmsscrnghm 44576 . . 3 (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) ⊆cat ( RngHomo ↾ ((Rng ∩ 𝑈) × (Rng ∩ 𝑈))))
5 rngcrescrhmALTV.h . . . 4 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
65a1i 11 . . 3 (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)))
7 eqid 2824 . . . 4 (RngCatALTV‘𝑈) = (RngCatALTV‘𝑈)
8 eqid 2824 . . . 4 (Rng ∩ 𝑈) = (Rng ∩ 𝑈)
9 eqid 2824 . . . 4 (Homf ‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (Homf ‘(RngCatALTV‘𝑈))
107, 8, 1, 9rngchomrnghmresALTV 44546 . . 3 (𝜑 → (Homf ‘(RngCatALTV‘𝑈)) = ( RngHomo ↾ ((Rng ∩ 𝑈) × (Rng ∩ 𝑈))))
114, 6, 103brtr4d 5084 . 2 (𝜑𝐻cat (Homf ‘(RngCatALTV‘𝑈)))
12 rngcrescrhmALTV.c . . . . 5 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
131, 12, 2, 5rhmsubcALTVlem3 44656 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑅) → ((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))
141, 12, 2, 5rhmsubcALTVlem4 44657 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
1514ralrimivva 3186 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
1615ralrimivva 3186 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑅) → ∀𝑦𝑅𝑧𝑅𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
1713, 16jca 515 . . 3 ((𝜑𝑥𝑅) → (((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦𝑅𝑧𝑅𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))
1817ralrimiva 3177 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑅 (((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦𝑅𝑧𝑅𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))
19 eqid 2824 . . 3 (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (Id‘(RngCatALTV‘𝑈))
20 eqid 2824 . . 3 (comp‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (comp‘(RngCatALTV‘𝑈))
217rngccatALTV 44540 . . . 4 (𝑈𝑉 → (RngCatALTV‘𝑈) ∈ Cat)
221, 21syl 17 . . 3 (𝜑 → (RngCatALTV‘𝑈) ∈ Cat)
231, 12, 2, 5rhmsubcALTVlem1 44654 . . 3 (𝜑𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅))
249, 19, 20, 22, 23issubc2 17106 . 2 (𝜑 → (𝐻 ∈ (Subcat‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↔ (𝐻cat (Homf ‘(RngCatALTV‘𝑈)) ∧ ∀𝑥𝑅 (((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦𝑅𝑧𝑅𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))))
2511, 18, 24mpbir2and 712 1 (𝜑𝐻 ∈ (Subcat‘(RngCatALTV‘𝑈)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133   ∩ cin 3918  ⟨cop 4556   class class class wbr 5052   × cxp 5540   ↾ cres 5544  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  compcco 16577  Catccat 16935  Idccid 16936  Homf chomf 16937   ⊆cat cssc 17077  Subcatcsubc 17079  Ringcrg 19297   RingHom crh 19467  Rngcrng 44424   RngHomo crngh 44435  RngCatALTVcrngcALTV 44508 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-cat 16939  df-cid 16940  df-homf 16941  df-ssc 17080  df-subc 17082  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-ghm 18356  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-rnghom 19470  df-mgmhm 44325  df-rng0 44425  df-rnghomo 44437  df-rngcALTV 44510 This theorem is referenced by:  rhmsubcALTVcat  44659
 Copyright terms: Public domain W3C validator