Theorem rnghmsubcsetc 20717

Description: The non-unital ring homomorphisms between non-unital rings (in a universe) are a subcategory of the category of extensible structures. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnghmsubcsetc.c	⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
rnghmsubcsetc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rnghmsubcsetc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Rng ∩ 𝑈))
rnghmsubcsetc.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
rnghmsubcsetc	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Subcat‘𝐶))

Proof of Theorem rnghmsubcsetc

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnghmsubcsetc.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
2		rnghmsubcsetc.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Rng ∩ 𝑈))
3	1, 2	rnghmsscmap 20714	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) ⊆cat (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))))
4		rnghmsubcsetc.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
5		rnghmsubcsetc.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
6		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
7	5, 1, 6	estrchomfeqhom 18191	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶))
8	5, 1, 6	estrchomfval 18181	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))))
9	7, 8	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))))
10	3, 4, 9	3brtr4d 5142	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆cat (Homf ‘𝐶))
11	5, 1, 2, 4	rnghmsubcsetclem1 20715	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))
12	5, 1, 2, 4	rnghmsubcsetclem2 20716	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
13	11, 12	jca 520	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))
14	13	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))
15		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
16		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
17		eqid 2761	. . 3 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
18	5	estrccat 18188	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
19	1, 18	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
20		incom 4161	. . . . 5 ⊢ (Rng ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Rng)
21	2, 20	eqtrdi 2812	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Rng))
22	21, 4	rnghmresfn 20703	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝐵 × 𝐵))
23	15, 16, 17, 19, 22	issubc2 17892	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (Subcat‘𝐶) ↔ (𝐻 ⊆cat (Homf ‘𝐶) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))))
24	10, 14, 23	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Subcat‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077   ∩ cin 3903  ⟨cop 4594   class class class wbr 5108   × cxp 5659   ↾ cres 5663  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412   ↑_m cmap 8823  Basecbs 17268  Hom chom 17320  compcco 17321  Catccat 17719  Idccid 17720  Hom_f chomf 17721   ⊆_cat cssc 17863  Subcatcsubc 17865  ExtStrCatcestrc 18177  Rngcrng 20229   RngHom crnghm 20515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-cat 17723  df-cid 17724  df-homf 17725  df-ssc 17866  df-resc 17867  df-subc 17868  df-estrc 18178  df-mgm 18697  df-mgmhm 18749  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-grp 19002  df-ghm 19283  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-rnghm 20517  df-rngc 20701

This theorem is referenced by:  rngccat  20718  rngcid  20719  rngcifuestrc  20723  funcrngcsetc  20724