Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmsubc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmsubc 46106
Description: According to df-subc 17630, the subcategories (Subcatβ€˜πΆ) of a category 𝐢 are subsets of the homomorphisms of 𝐢 (see subcssc 17661 and subcss2 17664). Therefore, the set of unital ring homomorphisms is a "subcategory" of the category of non-unital rings. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcrescrhm.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rngcrescrhm.c 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
rngcrescrhm.r (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Ring ∩ π‘ˆ))
rngcrescrhm.h 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))
Assertion
Ref Expression
rhmsubc (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (Subcatβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)))

Proof of Theorem rhmsubc
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rngcrescrhm.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
2 rngcrescrhm.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Ring ∩ π‘ˆ))
3 eqidd 2739 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Rng ∩ π‘ˆ) = (Rng ∩ π‘ˆ))
41, 2, 3rhmsscrnghm 46042 . . 3 (πœ‘ β†’ ( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) βŠ†cat ( RngHomo β†Ύ ((Rng ∩ π‘ˆ) Γ— (Rng ∩ π‘ˆ))))
5 rngcrescrhm.h . . . 4 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))
65a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)))
7 rngcrescrhm.c . . . . . . 7 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
87a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ))
98eqcomd 2744 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (RngCatβ€˜π‘ˆ) = 𝐢)
109fveq2d 6842 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Homf β€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) = (Homf β€˜πΆ))
11 eqid 2738 . . . . 5 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
127, 11, 1rngchomfeqhom 45985 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Homf β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ))
13 eqid 2738 . . . . . 6 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
147, 11, 1, 13rngchomfval 45982 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Hom β€˜πΆ) = ( RngHomo β†Ύ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))))
157, 11, 1rngcbas 45981 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΆ) = (π‘ˆ ∩ Rng))
16 incom 4160 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∩ Rng) = (Rng ∩ π‘ˆ)
1715, 16eqtrdi 2794 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΆ) = (Rng ∩ π‘ˆ))
1817sqxpeqd 5663 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) = ((Rng ∩ π‘ˆ) Γ— (Rng ∩ π‘ˆ)))
1918reseq2d 5934 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( RngHomo β†Ύ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))) = ( RngHomo β†Ύ ((Rng ∩ π‘ˆ) Γ— (Rng ∩ π‘ˆ))))
2014, 19eqtrd 2778 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Hom β€˜πΆ) = ( RngHomo β†Ύ ((Rng ∩ π‘ˆ) Γ— (Rng ∩ π‘ˆ))))
2110, 12, 203eqtrd 2782 . . 3 (πœ‘ β†’ (Homf β€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) = ( RngHomo β†Ύ ((Rng ∩ π‘ˆ) Γ— (Rng ∩ π‘ˆ))))
224, 6, 213brtr4d 5136 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 βŠ†cat (Homf β€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)))
231, 7, 2, 5rhmsubclem3 46104 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ ((Idβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐻π‘₯))
241, 7, 2, 5rhmsubclem4 46105 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
2524ralrimivva 3196 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
2625ralrimivva 3196 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 βˆ€π‘§ ∈ 𝑅 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
2723, 26jca 513 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ (((Idβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐻π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 βˆ€π‘§ ∈ 𝑅 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧)))
2827ralrimiva 3142 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 (((Idβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐻π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 βˆ€π‘§ ∈ 𝑅 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧)))
29 eqid 2738 . . 3 (Homf β€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) = (Homf β€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))
30 eqid 2738 . . 3 (Idβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) = (Idβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))
31 eqid 2738 . . 3 (compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) = (compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))
32 eqid 2738 . . . . 5 (RngCatβ€˜π‘ˆ) = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
3332rngccat 45994 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (RngCatβ€˜π‘ˆ) ∈ Cat)
341, 33syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (RngCatβ€˜π‘ˆ) ∈ Cat)
351, 7, 2, 5rhmsubclem1 46102 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn (𝑅 Γ— 𝑅))
3629, 30, 31, 34, 35issubc2 17657 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∈ (Subcatβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) ↔ (𝐻 βŠ†cat (Homf β€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 (((Idβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐻π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 βˆ€π‘§ ∈ 𝑅 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧)))))
3722, 28, 36mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (Subcatβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3063   ∩ cin 3908  βŸ¨cop 4591   class class class wbr 5104   Γ— cxp 5629   β†Ύ cres 5633  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  Basecbs 17018  Hom chom 17079  compcco 17080  Catccat 17479  Idccid 17480  Homf chomf 17481   βŠ†cat cssc 17625  Subcatcsubc 17627  Ringcrg 19888   RingHom crh 20066  Rngcrng 45890   RngHomo crngh 45901  RngCatcrngc 45973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-map 8701  df-pm 8702  df-ixp 8770  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12552  df-uz 12697  df-fz 13354  df-struct 16954  df-sets 16971  df-slot 16989  df-ndx 17001  df-base 17019  df-ress 17048  df-plusg 17081  df-hom 17092  df-cco 17093  df-0g 17258  df-cat 17483  df-cid 17484  df-homf 17485  df-ssc 17628  df-resc 17629  df-subc 17630  df-estrc 17945  df-mgm 18432  df-sgrp 18481  df-mnd 18492  df-mhm 18536  df-grp 18686  df-minusg 18687  df-ghm 18938  df-cmn 19493  df-abl 19494  df-mgp 19826  df-ur 19843  df-ring 19890  df-rnghom 20069  df-mgmhm 45791  df-rng0 45891  df-rnghomo 45903  df-rngc 45975
This theorem is referenced by:  rhmsubccat  46107
  Copyright terms: Public domain W3C validator