Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmsubc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmsubc 46137
Description: According to df-subc 17629, the subcategories (Subcatβ€˜πΆ) of a category 𝐢 are subsets of the homomorphisms of 𝐢 (see subcssc 17660 and subcss2 17663). Therefore, the set of unital ring homomorphisms is a "subcategory" of the category of non-unital rings. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcrescrhm.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rngcrescrhm.c 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
rngcrescrhm.r (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Ring ∩ π‘ˆ))
rngcrescrhm.h 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))
Assertion
Ref Expression
rhmsubc (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (Subcatβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)))

Proof of Theorem rhmsubc
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rngcrescrhm.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
2 rngcrescrhm.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Ring ∩ π‘ˆ))
3 eqidd 2738 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Rng ∩ π‘ˆ) = (Rng ∩ π‘ˆ))
41, 2, 3rhmsscrnghm 46073 . . 3 (πœ‘ β†’ ( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) βŠ†cat ( RngHomo β†Ύ ((Rng ∩ π‘ˆ) Γ— (Rng ∩ π‘ˆ))))
5 rngcrescrhm.h . . . 4 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))
65a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)))
7 rngcrescrhm.c . . . . . . 7 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
87a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ))
98eqcomd 2743 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (RngCatβ€˜π‘ˆ) = 𝐢)
109fveq2d 6841 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Homf β€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) = (Homf β€˜πΆ))
11 eqid 2737 . . . . 5 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
127, 11, 1rngchomfeqhom 46016 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Homf β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ))
13 eqid 2737 . . . . . 6 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
147, 11, 1, 13rngchomfval 46013 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Hom β€˜πΆ) = ( RngHomo β†Ύ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))))
157, 11, 1rngcbas 46012 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΆ) = (π‘ˆ ∩ Rng))
16 incom 4159 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∩ Rng) = (Rng ∩ π‘ˆ)
1715, 16eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΆ) = (Rng ∩ π‘ˆ))
1817sqxpeqd 5662 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) = ((Rng ∩ π‘ˆ) Γ— (Rng ∩ π‘ˆ)))
1918reseq2d 5933 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( RngHomo β†Ύ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))) = ( RngHomo β†Ύ ((Rng ∩ π‘ˆ) Γ— (Rng ∩ π‘ˆ))))
2014, 19eqtrd 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Hom β€˜πΆ) = ( RngHomo β†Ύ ((Rng ∩ π‘ˆ) Γ— (Rng ∩ π‘ˆ))))
2110, 12, 203eqtrd 2781 . . 3 (πœ‘ β†’ (Homf β€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) = ( RngHomo β†Ύ ((Rng ∩ π‘ˆ) Γ— (Rng ∩ π‘ˆ))))
224, 6, 213brtr4d 5135 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 βŠ†cat (Homf β€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)))
231, 7, 2, 5rhmsubclem3 46135 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ ((Idβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐻π‘₯))
241, 7, 2, 5rhmsubclem4 46136 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
2524ralrimivva 3195 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
2625ralrimivva 3195 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 βˆ€π‘§ ∈ 𝑅 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
2723, 26jca 512 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ (((Idβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐻π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 βˆ€π‘§ ∈ 𝑅 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧)))
2827ralrimiva 3141 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 (((Idβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐻π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 βˆ€π‘§ ∈ 𝑅 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧)))
29 eqid 2737 . . 3 (Homf β€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) = (Homf β€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))
30 eqid 2737 . . 3 (Idβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) = (Idβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))
31 eqid 2737 . . 3 (compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) = (compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))
32 eqid 2737 . . . . 5 (RngCatβ€˜π‘ˆ) = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
3332rngccat 46025 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (RngCatβ€˜π‘ˆ) ∈ Cat)
341, 33syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (RngCatβ€˜π‘ˆ) ∈ Cat)
351, 7, 2, 5rhmsubclem1 46133 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn (𝑅 Γ— 𝑅))
3629, 30, 31, 34, 35issubc2 17656 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∈ (Subcatβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) ↔ (𝐻 βŠ†cat (Homf β€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 (((Idβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐻π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 βˆ€π‘§ ∈ 𝑅 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧)))))
3722, 28, 36mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (Subcatβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3062   ∩ cin 3907  βŸ¨cop 4590   class class class wbr 5103   Γ— cxp 5628   β†Ύ cres 5632  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  Basecbs 17017  Hom chom 17078  compcco 17079  Catccat 17478  Idccid 17479  Homf chomf 17480   βŠ†cat cssc 17624  Subcatcsubc 17626  Ringcrg 19888   RingHom crh 20066  Rngcrng 45921   RngHomo crngh 45932  RngCatcrngc 46004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8581  df-map 8700  df-pm 8701  df-ixp 8769  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-4 12151  df-5 12152  df-6 12153  df-7 12154  df-8 12155  df-9 12156  df-n0 12347  df-z 12433  df-dec 12551  df-uz 12696  df-fz 13353  df-struct 16953  df-sets 16970  df-slot 16988  df-ndx 17000  df-base 17018  df-ress 17047  df-plusg 17080  df-hom 17091  df-cco 17092  df-0g 17257  df-cat 17482  df-cid 17483  df-homf 17484  df-ssc 17627  df-resc 17628  df-subc 17629  df-estrc 17944  df-mgm 18431  df-sgrp 18480  df-mnd 18491  df-mhm 18535  df-grp 18685  df-minusg 18686  df-ghm 18938  df-cmn 19493  df-abl 19494  df-mgp 19826  df-ur 19843  df-ring 19890  df-rnghom 20069  df-mgmhm 45822  df-rng0 45922  df-rnghomo 45934  df-rngc 46006
This theorem is referenced by:  rhmsubccat  46138
  Copyright terms: Public domain W3C validator