Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmsubc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmsubc 47077
Description: According to df-subc 17763, the subcategories (Subcatβ€˜πΆ) of a category 𝐢 are subsets of the homomorphisms of 𝐢 (see subcssc 17794 and subcss2 17797). Therefore, the set of unital ring homomorphisms is a "subcategory" of the category of non-unital rings. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcrescrhm.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rngcrescrhm.c 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
rngcrescrhm.r (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Ring ∩ π‘ˆ))
rngcrescrhm.h 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))
Assertion
Ref Expression
rhmsubc (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (Subcatβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)))

Proof of Theorem rhmsubc
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rngcrescrhm.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
2 rngcrescrhm.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Ring ∩ π‘ˆ))
3 eqidd 2733 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Rng ∩ π‘ˆ) = (Rng ∩ π‘ˆ))
41, 2, 3rhmsscrnghm 47013 . . 3 (πœ‘ β†’ ( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) βŠ†cat ( RngHom β†Ύ ((Rng ∩ π‘ˆ) Γ— (Rng ∩ π‘ˆ))))
5 rngcrescrhm.h . . . 4 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))
65a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)))
7 rngcrescrhm.c . . . . . . 7 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
87a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ))
98eqcomd 2738 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (RngCatβ€˜π‘ˆ) = 𝐢)
109fveq2d 6895 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Homf β€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) = (Homf β€˜πΆ))
11 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
127, 11, 1rngchomfeqhom 46956 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Homf β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ))
13 eqid 2732 . . . . . 6 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
147, 11, 1, 13rngchomfval 46953 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Hom β€˜πΆ) = ( RngHom β†Ύ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))))
157, 11, 1rngcbas 46952 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΆ) = (π‘ˆ ∩ Rng))
16 incom 4201 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∩ Rng) = (Rng ∩ π‘ˆ)
1715, 16eqtrdi 2788 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΆ) = (Rng ∩ π‘ˆ))
1817sqxpeqd 5708 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) = ((Rng ∩ π‘ˆ) Γ— (Rng ∩ π‘ˆ)))
1918reseq2d 5981 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( RngHom β†Ύ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))) = ( RngHom β†Ύ ((Rng ∩ π‘ˆ) Γ— (Rng ∩ π‘ˆ))))
2014, 19eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Hom β€˜πΆ) = ( RngHom β†Ύ ((Rng ∩ π‘ˆ) Γ— (Rng ∩ π‘ˆ))))
2110, 12, 203eqtrd 2776 . . 3 (πœ‘ β†’ (Homf β€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) = ( RngHom β†Ύ ((Rng ∩ π‘ˆ) Γ— (Rng ∩ π‘ˆ))))
224, 6, 213brtr4d 5180 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 βŠ†cat (Homf β€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)))
231, 7, 2, 5rhmsubclem3 47075 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ ((Idβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐻π‘₯))
241, 7, 2, 5rhmsubclem4 47076 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
2524ralrimivva 3200 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
2625ralrimivva 3200 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 βˆ€π‘§ ∈ 𝑅 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
2723, 26jca 512 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ (((Idβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐻π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 βˆ€π‘§ ∈ 𝑅 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧)))
2827ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 (((Idβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐻π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 βˆ€π‘§ ∈ 𝑅 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧)))
29 eqid 2732 . . 3 (Homf β€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) = (Homf β€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))
30 eqid 2732 . . 3 (Idβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) = (Idβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))
31 eqid 2732 . . 3 (compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) = (compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))
32 eqid 2732 . . . . 5 (RngCatβ€˜π‘ˆ) = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
3332rngccat 46965 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (RngCatβ€˜π‘ˆ) ∈ Cat)
341, 33syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (RngCatβ€˜π‘ˆ) ∈ Cat)
351, 7, 2, 5rhmsubclem1 47073 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn (𝑅 Γ— 𝑅))
3629, 30, 31, 34, 35issubc2 17790 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∈ (Subcatβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) ↔ (𝐻 βŠ†cat (Homf β€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 (((Idβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐻π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 βˆ€π‘§ ∈ 𝑅 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧)))))
3722, 28, 36mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (Subcatβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   ∩ cin 3947  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  Hom chom 17212  compcco 17213  Catccat 17612  Idccid 17613  Homf chomf 17614   βŠ†cat cssc 17758  Subcatcsubc 17760  Rngcrng 20046  Ringcrg 20127   RngHom crnghm 20325   RingHom crh 20360  RngCatcrngc 46944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-cat 17616  df-cid 17617  df-homf 17618  df-ssc 17761  df-resc 17762  df-subc 17763  df-estrc 18078  df-mgm 18565  df-mgmhm 18617  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-ghm 19128  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-rnghm 20327  df-rhm 20363  df-rngc 46946
This theorem is referenced by:  rhmsubccat  47078
  Copyright terms: Public domain W3C validator