Theorem collexd 44281

Description: The output of the collection operation is a set if the second input is. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
collexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
collexd	⊢ (𝜑 → (𝐹 Coll 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem collexd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-coll 44275	. 2 ⊢ (𝐹 Coll 𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott (𝐹 “ {𝑥})
2		collexd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		scottex2 44269	. . . . 5 ⊢ Scott (𝐹 “ {𝑥}) ∈ V
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Scott (𝐹 “ {𝑥}) ∈ V)
5	4	ralrimivw 3149	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 Scott (𝐹 “ {𝑥}) ∈ V)
6		iunexg 7989	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 Scott (𝐹 “ {𝑥}) ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott (𝐹 “ {𝑥}) ∈ V)
7	2, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott (𝐹 “ {𝑥}) ∈ V)
8	1, 7	eqeltrid 2844	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Coll 𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  Vcvv 3479  {csn 4625  ∪ ciun 4990   “ cima 5687  Scott cscott 44259   Coll ccoll 44274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-reg 9633  ax-inf2 9682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-r1 9805  df-rank 9806  df-scott 44260  df-coll 44275

This theorem is referenced by: (None)