Theorem wrdexg 14696

Description: The set of words over a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by JJ, 18-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wrdexg	⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 ∈ V)

Proof of Theorem wrdexg

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdval 14688	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 = ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)))
2		nn0ex 12639	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		ovexd 7478	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ∈ V)
4	3	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ∈ V)
5		iunexg 7999	. . 3 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ∈ V) → ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ∈ V)
6	2, 4, 5	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ∈ V)
7	1, 6	eqeltrd 2864	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454  ∪ ciun 4954  (class class class)co 7443   ↑_m cmap 8875  0cc0 11227  ℕ₀cn0 12633  ..^cfzo 13815  Word cword 14685

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-1cn 11285  ax-addcl 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-map 8877  df-nn 12363  df-n0 12634  df-word 14686

This theorem is used by:  wrdexb  14697  wrdexi  14698  wrdnfi  14720  elovmpowrd  14730  elovmptnn0wrd  14731  wrd2f1tovbij  15142  chnexg  18821  frmdbas  19077  frmdplusg  19079  efgval  19961  frgp0  20004  frgpmhm  20009  vrgpf  20012  vrgpinv  20013  frgpupf  20017  frgpup1  20019  frgpup2  20020  frgpup3lem  20021  frgpnabllem1  20117  frgpnabllem2  20118  wksfval  30220  wwlks  30454  clwwlk  30604  gsumwrd2dccat  33709  tocycval  33739  elrgspnlem1  33873  elrgspnlem2  33874  elrgspnlem3  33875  elrgspnlem4  33876  elrgspn  33877  elrgspnsubrunlem1  33878  elrgspnsubrunlem2  33879  sseqval  35090  upwlksfval  49438