Theorem wrdexg 14451

Description: The set of words over a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by JJ, 18-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wrdexg	⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 ∈ V)

Proof of Theorem wrdexg

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdval 14443	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 = ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)))
2		nn0ex 12411	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		ovexd 7395	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ∈ V)
4	3	ralrimiva 3129	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ∈ V)
5		iunexg 7909	. . 3 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ∈ V) → ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ∈ V)
6	2, 4, 5	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ∈ V)
7	1, 6	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3441  ∪ ciun 4947  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8767  0cc0 11030  ℕ₀cn0 12405  ..^cfzo 13574  Word cword 14440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-1cn 11088  ax-addcl 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-map 8769  df-nn 12150  df-n0 12406  df-word 14441

This theorem is referenced by:  wrdexb  14452  wrdexi  14453  wrdnfi  14475  elovmpowrd  14485  elovmptnn0wrd  14486  wrd2f1tovbij  14887  chnexg  18545  frmdbas  18781  frmdplusg  18783  efgval  19650  frgp0  19693  frgpmhm  19698  vrgpf  19701  vrgpinv  19702  frgpupf  19706  frgpup1  19708  frgpup2  19709  frgpup3lem  19710  frgpnabllem1  19806  frgpnabllem2  19807  wksfval  29666  wwlks  29891  clwwlk  30041  gsumwrd2dccat  33141  tocycval  33171  elrgspnlem1  33305  elrgspnlem2  33306  elrgspnlem3  33307  elrgspnlem4  33308  elrgspn  33309  elrgspnsubrunlem1  33310  elrgspnsubrunlem2  33311  elrgspnsubrun  33312  sseqval  34526  upwlksfval  48417