MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdexg 13864
Description: The set of words over a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by JJ, 18-Nov-2022.)
Assertion
Ref Expression
wrdexg (𝑆𝑉 → Word 𝑆 ∈ V)

Proof of Theorem wrdexg
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdval 13857 . 2 (𝑆𝑉 → Word 𝑆 = 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆m (0..^𝑙)))
2 nn0ex 11895 . . 3 0 ∈ V
3 ovexd 7186 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑆m (0..^𝑙)) ∈ V)
43ralrimiva 3186 . . 3 (𝑆𝑉 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆m (0..^𝑙)) ∈ V)
5 iunexg 7658 . . 3 ((ℕ0 ∈ V ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆m (0..^𝑙)) ∈ V) → 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆m (0..^𝑙)) ∈ V)
62, 4, 5sylancr 587 . 2 (𝑆𝑉 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆m (0..^𝑙)) ∈ V)
71, 6eqeltrd 2917 1 (𝑆𝑉 → Word 𝑆 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106  wral 3142  Vcvv 3499   ciun 4916  (class class class)co 7151  m cmap 8399  0cc0 10529  0cn0 11889  ..^cfzo 13026  Word cword 13854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-1cn 10587  ax-addcl 10589
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-map 8401  df-nn 11631  df-n0 11890  df-word 13855
This theorem is referenced by:  wrdexb  13866  wrdexi  13867  wrdnfi  13892  wrdnfiOLD  13893  elovmpowrd  13903  elovmptnn0wrd  13904  wrd2f1tovbij  14317  frmdbas  18002  frmdplusg  18004  efgval  18765  frgp0  18808  frgpmhm  18813  vrgpf  18816  vrgpinv  18817  frgpupf  18821  frgpup1  18823  frgpup2  18824  frgpup3lem  18825  frgpnabllem1  18915  frgpnabllem2  18916  wksfval  27306  wksv  27316  wwlks  27528  clwwlk  27676  tocycval  30665  sseqval  31533  upwlksfval  43839
  Copyright terms: Public domain W3C validator