Theorem wrdexg 14563

Description: The set of words over a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by JJ, 18-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wrdexg	⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 ∈ V)

Proof of Theorem wrdexg

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdval 14555	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 = ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)))
2		nn0ex 12511	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		ovexd 7447	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ∈ V)
4	3	ralrimiva 3157	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ∈ V)
5		iunexg 7961	. . 3 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ∈ V) → ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ∈ V)
6	2, 4, 5	sylancr 598	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ∈ V)
7	1, 6	eqeltrd 2863	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455  ∪ ciun 4957  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8825  0cc0 11101  ℕ₀cn0 12505  ..^cfzo 13684  Word cword 14552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-1cn 11159  ax-addcl 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-map 8827  df-nn 12235  df-n0 12506  df-word 14553

This theorem is referenced by:  wrdexb  14564  wrdexi  14565  wrdnfi  14587  elovmpowrd  14597  elovmptnn0wrd  14598  wrd2f1tovbij  14999  chnexg  18675  frmdbas  18912  frmdplusg  18914  efgval  19788  frgp0  19831  frgpmhm  19836  vrgpf  19839  vrgpinv  19840  frgpupf  19844  frgpup1  19846  frgpup2  19847  frgpup3lem  19848  frgpnabllem1  19944  frgpnabllem2  19945  wksfval  29937  wwlks  30162  clwwlk  30312  gsumwrd2dccat  33376  tocycval  33406  elrgspnlem1  33540  elrgspnlem2  33541  elrgspnlem3  33542  elrgspnlem4  33543  elrgspn  33544  elrgspnsubrunlem1  33545  elrgspnsubrunlem2  33546  elrgspnsubrun  33547  sseqval  34756  upwlksfval  48877