MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasplusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasplusg 16782
Description: The group operation in an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Jul-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
imasbas.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasbas.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasbas.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasbas.r (𝜑𝑅𝑍)
imasplusg.p + = (+g𝑅)
imasplusg.a = (+g𝑈)
Assertion
Ref Expression
imasplusg (𝜑 = 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))⟩})
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐹   𝑅,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝑉,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞,𝑝)   + (𝑞,𝑝)   (𝑞,𝑝)   𝑈(𝑞,𝑝)   𝑍(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem imasplusg
Dummy variables 𝑔 𝑖 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasbas.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasbas.v . . 3 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasplusg.p . . 3 + = (+g𝑅)
4 eqid 2798 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5 eqid 2798 . . 3 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
6 eqid 2798 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑅)) = (Base‘(Scalar‘𝑅))
7 eqid 2798 . . 3 ( ·𝑠𝑅) = ( ·𝑠𝑅)
8 eqid 2798 . . 3 (·𝑖𝑅) = (·𝑖𝑅)
9 eqid 2798 . . 3 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
10 eqid 2798 . . 3 (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
11 eqid 2798 . . 3 (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
12 eqidd 2799 . . 3 (𝜑 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))⟩} = 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))⟩})
13 eqidd 2799 . . 3 (𝜑 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(.r𝑅)𝑞))⟩} = 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(.r𝑅)𝑞))⟩})
14 eqidd 2799 . . 3 (𝜑 𝑞𝑉 (𝑝 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)), 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝( ·𝑠𝑅)𝑞))) = 𝑞𝑉 (𝑝 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)), 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝( ·𝑠𝑅)𝑞))))
15 eqidd 2799 . . 3 (𝜑 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩} = 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩})
16 eqidd 2799 . . 3 (𝜑 → ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹) = ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹))
17 imasbas.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
18 imasbas.r . . . 4 (𝜑𝑅𝑍)
19 eqid 2798 . . . 4 (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
201, 2, 17, 18, 10, 19imasds 16778 . . 3 (𝜑 → (dist‘𝑈) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ inf( 𝑛 ∈ ℕ ran (𝑔 ∈ { ∈ ((𝑉 × 𝑉) ↑m (1...𝑛)) ∣ ((𝐹‘(1st ‘(‘1))) = 𝑥 ∧ (𝐹‘(2nd ‘(𝑛))) = 𝑦 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝐹‘(2nd ‘(𝑖))) = (𝐹‘(1st ‘(‘(𝑖 + 1)))))} ↦ (ℝ*𝑠 Σg ((dist‘𝑅) ∘ 𝑔))), ℝ*, < )))
21 eqidd 2799 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) = ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 20, 21, 17, 18imasval 16776 . 2 (𝜑𝑈 = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(.r𝑅)𝑞))⟩}⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), 𝑞𝑉 (𝑝 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)), 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝( ·𝑠𝑅)𝑞)))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}))
23 eqid 2798 . . 3 (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(.r𝑅)𝑞))⟩}⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), 𝑞𝑉 (𝑝 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)), 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝( ·𝑠𝑅)𝑞)))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}) = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(.r𝑅)𝑞))⟩}⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), 𝑞𝑉 (𝑝 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)), 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝( ·𝑠𝑅)𝑞)))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
2423imasvalstr 16717 . 2 (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(.r𝑅)𝑞))⟩}⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), 𝑞𝑉 (𝑝 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)), 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝( ·𝑠𝑅)𝑞)))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}) Struct ⟨1, 12⟩
25 plusgid 16588 . 2 +g = Slot (+g‘ndx)
26 snsstp2 4710 . . . 4 {⟨(+g‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))⟩}⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(.r𝑅)𝑞))⟩}⟩}
27 ssun1 4099 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(.r𝑅)𝑞))⟩}⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(.r𝑅)𝑞))⟩}⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), 𝑞𝑉 (𝑝 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)), 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝( ·𝑠𝑅)𝑞)))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩})
2826, 27sstri 3924 . . 3 {⟨(+g‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))⟩}⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(.r𝑅)𝑞))⟩}⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), 𝑞𝑉 (𝑝 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)), 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝( ·𝑠𝑅)𝑞)))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩})
29 ssun1 4099 . . 3 ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(.r𝑅)𝑞))⟩}⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), 𝑞𝑉 (𝑝 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)), 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝( ·𝑠𝑅)𝑞)))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(.r𝑅)𝑞))⟩}⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), 𝑞𝑉 (𝑝 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)), 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝( ·𝑠𝑅)𝑞)))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
3028, 29sstri 3924 . 2 {⟨(+g‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))⟩}⟩} ⊆ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(.r𝑅)𝑞))⟩}⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), 𝑞𝑉 (𝑝 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)), 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝( ·𝑠𝑅)𝑞)))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
31 fvex 6658 . . . 4 (Base‘𝑅) ∈ V
322, 31eqeltrdi 2898 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ V)
33 snex 5297 . . . . . 6 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))⟩} ∈ V
3433rgenw 3118 . . . . 5 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))⟩} ∈ V
35 iunexg 7646 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))⟩} ∈ V) → 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))⟩} ∈ V)
3632, 34, 35sylancl 589 . . . 4 (𝜑 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))⟩} ∈ V)
3736ralrimivw 3150 . . 3 (𝜑 → ∀𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))⟩} ∈ V)
38 iunexg 7646 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))⟩} ∈ V) → 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))⟩} ∈ V)
3932, 37, 38syl2anc 587 . 2 (𝜑 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))⟩} ∈ V)
40 imasplusg.a . 2 = (+g𝑈)
4122, 24, 25, 30, 39, 40strfv3 16524 1 (𝜑 = 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2111  wral 3106  Vcvv 3441  cun 3879  {csn 4525  {ctp 4529  cop 4531   ciun 4881  ccnv 5518  ccom 5523  ontowfo 6322  cfv 6324  (class class class)co 7135  cmpo 7137  1c1 10527  2c2 11680  cdc 12086  ndxcnx 16472  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  .rcmulr 16558  Scalarcsca 16560   ·𝑠 cvsca 16561  ·𝑖cip 16562  TopSetcts 16563  lecple 16564  distcds 16566  TopOpenctopn 16687   qTop cqtop 16768  s cimas 16769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-imas 16773
This theorem is referenced by:  imasmulr  16783  imassca  16784  imasvsca  16785  imasip  16786  imastset  16787  imasle  16788  imasaddfn  16796  imasaddval  16797  imasaddf  16798  qusaddval  16818  qusaddf  16819
  Copyright terms: Public domain W3C validator