MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasip 16649
Description: The inner product of an image structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
imasbas.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasbas.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasbas.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasbas.r (𝜑𝑅𝑍)
imasip.i , = (·𝑖𝑅)
imasip.w 𝐼 = (·𝑖𝑈)
Assertion
Ref Expression
imasip (𝜑𝐼 = 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝 , 𝑞)⟩})
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐹   𝑅,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝑉,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞,𝑝)   𝑈(𝑞,𝑝)   , (𝑞,𝑝)   𝐼(𝑞,𝑝)   𝑍(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem imasip
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasbas.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasbas.v . . 3 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 eqid 2773 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 eqid 2773 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5 eqid 2773 . . 3 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
6 eqid 2773 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑅)) = (Base‘(Scalar‘𝑅))
7 eqid 2773 . . 3 ( ·𝑠𝑅) = ( ·𝑠𝑅)
8 imasip.i . . 3 , = (·𝑖𝑅)
9 eqid 2773 . . 3 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
10 eqid 2773 . . 3 (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
11 eqid 2773 . . 3 (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
12 imasbas.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
13 imasbas.r . . . 4 (𝜑𝑅𝑍)
14 eqid 2773 . . . 4 (+g𝑈) = (+g𝑈)
151, 2, 12, 13, 3, 14imasplusg 16645 . . 3 (𝜑 → (+g𝑈) = 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g𝑅)𝑞))⟩})
16 eqid 2773 . . . 4 (.r𝑈) = (.r𝑈)
171, 2, 12, 13, 4, 16imasmulr 16646 . . 3 (𝜑 → (.r𝑈) = 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(.r𝑅)𝑞))⟩})
18 eqid 2773 . . . 4 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
191, 2, 12, 13, 5, 6, 7, 18imasvsca 16648 . . 3 (𝜑 → ( ·𝑠𝑈) = 𝑞𝑉 (𝑝 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)), 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝( ·𝑠𝑅)𝑞))))
20 eqidd 2774 . . 3 (𝜑 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝 , 𝑞)⟩} = 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝 , 𝑞)⟩})
21 eqidd 2774 . . 3 (𝜑 → ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹) = ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹))
22 eqid 2773 . . . 4 (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
231, 2, 12, 13, 10, 22imasds 16641 . . 3 (𝜑 → (dist‘𝑈) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ inf( 𝑢 ∈ ℕ ran (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑉 × 𝑉) ↑𝑚 (1...𝑢)) ∣ ((𝐹‘(1st ‘(𝑤‘1))) = 𝑥 ∧ (𝐹‘(2nd ‘(𝑤𝑢))) = 𝑦 ∧ ∀𝑣 ∈ (1...(𝑢 − 1))(𝐹‘(2nd ‘(𝑤𝑣))) = (𝐹‘(1st ‘(𝑤‘(𝑣 + 1)))))} ↦ (ℝ*𝑠 Σg ((dist‘𝑅) ∘ 𝑧))), ℝ*, < )))
24 eqidd 2774 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) = ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹))
251, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15, 17, 19, 20, 21, 23, 24, 12, 13imasval 16639 . 2 (𝜑𝑈 = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝 , 𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}))
26 eqid 2773 . . 3 (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝 , 𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}) = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝 , 𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
2726imasvalstr 16580 . 2 (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝 , 𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}) Struct ⟨1, 12⟩
28 ipid 16497 . 2 ·𝑖 = Slot (·𝑖‘ndx)
29 snsstp3 4622 . . . 4 {⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝 , 𝑞)⟩}⟩} ⊆ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝 , 𝑞)⟩}⟩}
30 ssun2 4033 . . . 4 {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝 , 𝑞)⟩}⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝 , 𝑞)⟩}⟩})
3129, 30sstri 3862 . . 3 {⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝 , 𝑞)⟩}⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝 , 𝑞)⟩}⟩})
32 ssun1 4032 . . 3 ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝 , 𝑞)⟩}⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝 , 𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
3331, 32sstri 3862 . 2 {⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝 , 𝑞)⟩}⟩} ⊆ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝 , 𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
34 fvex 6510 . . . 4 (Base‘𝑅) ∈ V
352, 34syl6eqel 2869 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ V)
36 snex 5185 . . . . . 6 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝 , 𝑞)⟩} ∈ V
3736rgenw 3095 . . . . 5 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝 , 𝑞)⟩} ∈ V
38 iunexg 7475 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝 , 𝑞)⟩} ∈ V) → 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝 , 𝑞)⟩} ∈ V)
3935, 37, 38sylancl 578 . . . 4 (𝜑 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝 , 𝑞)⟩} ∈ V)
4039ralrimivw 3128 . . 3 (𝜑 → ∀𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝 , 𝑞)⟩} ∈ V)
41 iunexg 7475 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝 , 𝑞)⟩} ∈ V) → 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝 , 𝑞)⟩} ∈ V)
4235, 40, 41syl2anc 576 . 2 (𝜑 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝 , 𝑞)⟩} ∈ V)
43 imasip.w . 2 𝐼 = (·𝑖𝑈)
4425, 27, 28, 33, 42, 43strfv3 16387 1 (𝜑𝐼 = 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝 , 𝑞)⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1508  wcel 2051  wral 3083  Vcvv 3410  cun 3822  {csn 4436  {ctp 4440  cop 4442   ciun 4789  ccnv 5403  ccom 5408  ontowfo 6184  cfv 6186  (class class class)co 6975  1c1 10335  2c2 11494  cdc 11910  ndxcnx 16335  Basecbs 16338  +gcplusg 16420  .rcmulr 16421  Scalarcsca 16423   ·𝑠 cvsca 16424  ·𝑖cip 16425  TopSetcts 16426  lecple 16427  distcds 16429  TopOpenctopn 16550   qTop cqtop 16631  s cimas 16632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-oadd 7908  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-fin 8309  df-sup 8700  df-inf 8701  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-4 11504  df-5 11505  df-6 11506  df-7 11507  df-8 11508  df-9 11509  df-n0 11707  df-z 11793  df-dec 11911  df-uz 12058  df-fz 12708  df-struct 16340  df-ndx 16341  df-slot 16342  df-base 16344  df-plusg 16433  df-mulr 16434  df-sca 16436  df-vsca 16437  df-ip 16438  df-tset 16439  df-ple 16440  df-ds 16442  df-imas 16636
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator