Theorem fvmptiunrelexplb1d 43685

Description: If the indexed union ranges over the first power of the relation, then the relation is a subset of the appliction of the function to the relation. (Contributed by RP, 22-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptiunrelexplb1d.c	⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))
fvmptiunrelexplb1d.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
fvmptiunrelexplb1d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
fvmptiunrelexplb1d.1	⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
fvmptiunrelexplb1d	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝐶‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝑁   𝑅,𝑛,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛,𝑟)   𝐶(𝑛,𝑟)

Proof of Theorem fvmptiunrelexplb1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptiunrelexplb1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑁)
2		oveq2 7418	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟1))
3	2	ssiun2s 5029	. . 3 ⊢ (1 ∈ 𝑁 → (𝑅↑𝑟1) ⊆ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑𝑟1) ⊆ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛))
5		fvmptiunrelexplb1d.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
6	5	relexp1d 15053	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑𝑟1) = 𝑅)
7		fvmptiunrelexplb1d.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))
8		oveq1 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑛))
9	8	iuneq2d 5003	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛))
10		fvmptiunrelexplb1d.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
11		ovex 7443	. . . . . 6 ⊢ (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
12	11	rgenw 3056	. . . . 5 ⊢ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
13		iunexg 7967	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V) → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V)
14	10, 12, 13	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V)
15	7, 9, 5, 14	fvmptd3 7014	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛))
16	15	eqcomd 2742	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝐶‘𝑅))
17	4, 6, 16	3sstr3d 4018	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝐶‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  Vcvv 3464   ⊆ wss 3931  ∪ ciun 4972   ↦ cmpt 5206  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1c1 11135  ↑_𝑟crelexp 15043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-seq 14025  df-relexp 15044

This theorem is referenced by:  fvilbdRP  43689  fvrcllb1d  43694  fvtrcllb1d  43721  fvrtrcllb1d  43736