Theorem fvmptiunrelexplb1d 41183

Description: If the indexed union ranges over the first power of the relation, then the relation is a subset of the appliction of the function to the relation. (Contributed by RP, 22-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptiunrelexplb1d.c	⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))
fvmptiunrelexplb1d.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
fvmptiunrelexplb1d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
fvmptiunrelexplb1d.1	⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
fvmptiunrelexplb1d	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝐶‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝑁   𝑅,𝑛,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛,𝑟)   𝐶(𝑛,𝑟)

Proof of Theorem fvmptiunrelexplb1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptiunrelexplb1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑁)
2		oveq2 7263	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟1))
3	2	ssiun2s 4974	. . 3 ⊢ (1 ∈ 𝑁 → (𝑅↑𝑟1) ⊆ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑𝑟1) ⊆ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛))
5		fvmptiunrelexplb1d.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
6	5	relexp1d 14668	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑𝑟1) = 𝑅)
7		fvmptiunrelexplb1d.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))
8		oveq1 7262	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑛))
9	8	iuneq2d 4950	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛))
10		fvmptiunrelexplb1d.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
11		ovex 7288	. . . . . 6 ⊢ (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
12	11	rgenw 3075	. . . . 5 ⊢ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
13		iunexg 7779	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V) → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V)
14	10, 12, 13	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V)
15	7, 9, 5, 14	fvmptd3 6880	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛))
16	15	eqcomd 2744	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝐶‘𝑅))
17	4, 6, 16	3sstr3d 3963	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝐶‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ∪ ciun 4921   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1c1 10803  ↑_𝑟crelexp 14658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-relexp 14659

This theorem is referenced by:  fvilbdRP  41187  fvrcllb1d  41192  fvtrcllb1d  41219  fvrtrcllb1d  41234