Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fvmptiunrelexplb1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvmptiunrelexplb1d 40307
 Description: If the indexed union ranges over the first power of the relation, then the relation is a subset of the appliction of the function to the relation. (Contributed by RP, 22-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fvmptiunrelexplb1d.c 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛))
fvmptiunrelexplb1d.r (𝜑𝑅 ∈ V)
fvmptiunrelexplb1d.n (𝜑𝑁 ∈ V)
fvmptiunrelexplb1d.1 (𝜑 → 1 ∈ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
fvmptiunrelexplb1d (𝜑𝑅 ⊆ (𝐶𝑅))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝑁   𝑅,𝑛,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛,𝑟)   𝐶(𝑛,𝑟)

Proof of Theorem fvmptiunrelexplb1d
StepHypRef Expression
1 fvmptiunrelexplb1d.1 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ 𝑁)
2 oveq2 7157 . . . 4 (𝑛 = 1 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟1))
32ssiun2s 4958 . . 3 (1 ∈ 𝑁 → (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛))
41, 3syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛))
5 fvmptiunrelexplb1d.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ V)
65relexp1d 14390 . 2 (𝜑 → (𝑅𝑟1) = 𝑅)
7 fvmptiunrelexplb1d.c . . . 4 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛))
8 oveq1 7156 . . . . 5 (𝑟 = 𝑅 → (𝑟𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
98iuneq2d 4934 . . . 4 (𝑟 = 𝑅 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛))
10 fvmptiunrelexplb1d.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ V)
11 ovex 7182 . . . . . 6 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
1211rgenw 3145 . . . . 5 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
13 iunexg 7659 . . . . 5 ((𝑁 ∈ V ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V) → 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V)
1410, 12, 13sylancl 589 . . . 4 (𝜑 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V)
157, 9, 5, 14fvmptd3 6782 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝑅) = 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛))
1615eqcomd 2830 . 2 (𝜑 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛) = (𝐶𝑅))
174, 6, 163sstr3d 3999 1 (𝜑𝑅 ⊆ (𝐶𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  Vcvv 3480   ⊆ wss 3919  ∪ ciun 4905   ↦ cmpt 5132  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  1c1 10536  ↑𝑟crelexp 14379 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-seq 13374  df-relexp 14380 This theorem is referenced by:  fvilbdRP  40311  fvrcllb1d  40316  fvtrcllb1d  40343  fvrtrcllb1d  40358
 Copyright terms: Public domain W3C validator