Theorem fvmptiunrelexplb1d 44339

Description: If the indexed union ranges over the first power of the relation, then the relation is a subset of the appliction of the function to the relation. (Contributed by RP, 22-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptiunrelexplb1d.c	⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))
fvmptiunrelexplb1d.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
fvmptiunrelexplb1d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
fvmptiunrelexplb1d.1	⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
fvmptiunrelexplb1d	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝐶‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝑁   𝑅,𝑛,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛,𝑟)   𝐶(𝑛,𝑟)

Proof of Theorem fvmptiunrelexplb1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptiunrelexplb1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑁)
2		oveq2 7419	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟1))
3	2	ssiun2s 5015	. . 3 ⊢ (1 ∈ 𝑁 → (𝑅↑𝑟1) ⊆ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛))
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑𝑟1) ⊆ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛))
5		fvmptiunrelexplb1d.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
6	5	relexp1d 15066	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑𝑟1) = 𝑅)
7		fvmptiunrelexplb1d.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))
8		oveq1 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑛))
9	8	iuneq2d 4989	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛))
10		fvmptiunrelexplb1d.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
11		ovex 7444	. . . . . 6 ⊢ (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
12	11	rgenw 3089	. . . . 5 ⊢ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
13		iunexg 7960	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V) → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V)
14	10, 12, 13	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V)
15	7, 9, 5, 14	fvmptd3 7014	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛))
16	15	eqcomd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝐶‘𝑅))
17	4, 6, 16	3sstr3d 3997	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝐶‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3461   ⊆ wss 3911  ∪ ciun 4958   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1c1 11101  ↑_𝑟crelexp 15056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-seq 14038  df-relexp 15057

This theorem is referenced by:  fvilbdRP  44343  fvrcllb1d  44348  fvtrcllb1d  44375  fvrtrcllb1d  44390