Theorem fvmptiunrelexplb1d 43869

Description: If the indexed union ranges over the first power of the relation, then the relation is a subset of the appliction of the function to the relation. (Contributed by RP, 22-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptiunrelexplb1d.c	⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))
fvmptiunrelexplb1d.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
fvmptiunrelexplb1d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
fvmptiunrelexplb1d.1	⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
fvmptiunrelexplb1d	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝐶‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝑁   𝑅,𝑛,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛,𝑟)   𝐶(𝑛,𝑟)

Proof of Theorem fvmptiunrelexplb1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptiunrelexplb1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑁)
2		oveq2 7364	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟1))
3	2	ssiun2s 5002	. . 3 ⊢ (1 ∈ 𝑁 → (𝑅↑𝑟1) ⊆ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑𝑟1) ⊆ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛))
5		fvmptiunrelexplb1d.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
6	5	relexp1d 14950	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑𝑟1) = 𝑅)
7		fvmptiunrelexplb1d.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))
8		oveq1 7363	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑛))
9	8	iuneq2d 4975	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛))
10		fvmptiunrelexplb1d.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
11		ovex 7389	. . . . . 6 ⊢ (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
12	11	rgenw 3053	. . . . 5 ⊢ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
13		iunexg 7905	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V) → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V)
14	10, 12, 13	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V)
15	7, 9, 5, 14	fvmptd3 6962	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛))
16	15	eqcomd 2740	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝐶‘𝑅))
17	4, 6, 16	3sstr3d 3986	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝐶‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899  ∪ ciun 4944   ↦ cmpt 5177  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  1c1 11025  ↑_𝑟crelexp 14940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-seq 13923  df-relexp 14941

This theorem is referenced by:  fvilbdRP  43873  fvrcllb1d  43878  fvtrcllb1d  43905  fvrtrcllb1d  43920