Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fvmptiunrelexplb1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvmptiunrelexplb1d 43676
Description: If the indexed union ranges over the first power of the relation, then the relation is a subset of the appliction of the function to the relation. (Contributed by RP, 22-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fvmptiunrelexplb1d.c 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛))
fvmptiunrelexplb1d.r (𝜑𝑅 ∈ V)
fvmptiunrelexplb1d.n (𝜑𝑁 ∈ V)
fvmptiunrelexplb1d.1 (𝜑 → 1 ∈ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
fvmptiunrelexplb1d (𝜑𝑅 ⊆ (𝐶𝑅))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝑁   𝑅,𝑛,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛,𝑟)   𝐶(𝑛,𝑟)

Proof of Theorem fvmptiunrelexplb1d
StepHypRef Expression
1 fvmptiunrelexplb1d.1 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ 𝑁)
2 oveq2 7439 . . . 4 (𝑛 = 1 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟1))
32ssiun2s 5053 . . 3 (1 ∈ 𝑁 → (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛))
41, 3syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛))
5 fvmptiunrelexplb1d.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ V)
65relexp1d 15065 . 2 (𝜑 → (𝑅𝑟1) = 𝑅)
7 fvmptiunrelexplb1d.c . . . 4 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛))
8 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑟 = 𝑅 → (𝑟𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
98iuneq2d 5027 . . . 4 (𝑟 = 𝑅 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛))
10 fvmptiunrelexplb1d.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ V)
11 ovex 7464 . . . . . 6 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
1211rgenw 3063 . . . . 5 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
13 iunexg 7987 . . . . 5 ((𝑁 ∈ V ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V) → 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V)
1410, 12, 13sylancl 586 . . . 4 (𝜑 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V)
157, 9, 5, 14fvmptd3 7039 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝑅) = 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛))
1615eqcomd 2741 . 2 (𝜑 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛) = (𝐶𝑅))
174, 6, 163sstr3d 4042 1 (𝜑𝑅 ⊆ (𝐶𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  wss 3963   ciun 4996  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154  𝑟crelexp 15055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-relexp 15056
This theorem is referenced by:  fvilbdRP  43680  fvrcllb1d  43685  fvtrcllb1d  43712  fvrtrcllb1d  43727
  Copyright terms: Public domain W3C validator