MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasvsca 17565
Description: The scalar multiplication operation of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
imasbas.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasbas.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasbas.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasbas.r (𝜑𝑅𝑍)
imassca.g 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
imasvsca.k 𝐾 = (Base‘𝐺)
imasvsca.q · = ( ·𝑠𝑅)
imasvsca.s = ( ·𝑠𝑈)
Assertion
Ref Expression
imasvsca (𝜑 = 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑥,𝐹   𝑅,𝑝,𝑞,𝑥   𝑥,𝑈   𝑥,𝐵   𝜑,𝑝,𝑞,𝑥   𝐾,𝑝,𝑥   𝑉,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞,𝑝)   (𝑥,𝑞,𝑝)   · (𝑥,𝑞,𝑝)   𝑈(𝑞,𝑝)   𝐺(𝑥,𝑞,𝑝)   𝐾(𝑞)   𝑉(𝑥)   𝑍(𝑥,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem imasvsca
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasbas.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasbas.v . . 3 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 eqid 2737 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 eqid 2737 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5 eqid 2737 . . 3 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
6 imasvsca.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐺)
7 imassca.g . . . . 5 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
87fveq2i 6909 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘(Scalar‘𝑅))
96, 8eqtri 2765 . . 3 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑅))
10 imasvsca.q . . 3 · = ( ·𝑠𝑅)
11 eqid 2737 . . 3 (·𝑖𝑅) = (·𝑖𝑅)
12 eqid 2737 . . 3 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
13 eqid 2737 . . 3 (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
14 eqid 2737 . . 3 (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
15 imasbas.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
16 imasbas.r . . . 4 (𝜑𝑅𝑍)
17 eqid 2737 . . . 4 (+g𝑈) = (+g𝑈)
181, 2, 15, 16, 3, 17imasplusg 17562 . . 3 (𝜑 → (+g𝑈) = 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g𝑅)𝑞))⟩})
19 eqid 2737 . . . 4 (.r𝑈) = (.r𝑈)
201, 2, 15, 16, 4, 19imasmulr 17563 . . 3 (𝜑 → (.r𝑈) = 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(.r𝑅)𝑞))⟩})
21 eqidd 2738 . . 3 (𝜑 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
22 eqidd 2738 . . 3 (𝜑 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩} = 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩})
23 eqidd 2738 . . 3 (𝜑 → ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹) = ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹))
24 eqid 2737 . . . 4 (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
251, 2, 15, 16, 13, 24imasds 17558 . . 3 (𝜑 → (dist‘𝑈) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ inf( 𝑢 ∈ ℕ ran (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑉 × 𝑉) ↑m (1...𝑢)) ∣ ((𝐹‘(1st ‘(𝑤‘1))) = 𝑥 ∧ (𝐹‘(2nd ‘(𝑤𝑢))) = 𝑦 ∧ ∀𝑣 ∈ (1...(𝑢 − 1))(𝐹‘(2nd ‘(𝑤𝑣))) = (𝐹‘(1st ‘(𝑤‘(𝑣 + 1)))))} ↦ (ℝ*𝑠 Σg ((dist‘𝑅) ∘ 𝑧))), ℝ*, < )))
26 eqidd 2738 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) = ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹))
271, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 18, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 15, 16imasval 17556 . 2 (𝜑𝑈 = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}))
28 eqid 2737 . . 3 (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}) = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
2928imasvalstr 17496 . 2 (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}) Struct ⟨1, 12⟩
30 vscaid 17364 . 2 ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
31 snsstp2 4817 . . 3 {⟨( ·𝑠 ‘ndx), 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))⟩} ⊆ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}
32 ssun2 4179 . . . 4 {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩})
33 ssun1 4178 . . . 4 ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
3432, 33sstri 3993 . . 3 {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩} ⊆ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
3531, 34sstri 3993 . 2 {⟨( ·𝑠 ‘ndx), 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))⟩} ⊆ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
36 fvex 6919 . . . 4 (Base‘𝑅) ∈ V
372, 36eqeltrdi 2849 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ V)
386fvexi 6920 . . . . 5 𝐾 ∈ V
39 snex 5436 . . . . 5 {(𝐹𝑞)} ∈ V
4038, 39mpoex 8104 . . . 4 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ∈ V
4140rgenw 3065 . . 3 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ∈ V
42 iunexg 7988 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ∈ V) → 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ∈ V)
4337, 41, 42sylancl 586 . 2 (𝜑 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ∈ V)
44 imasvsca.s . 2 = ( ·𝑠𝑈)
4527, 29, 30, 35, 43, 44strfv3 17241 1 (𝜑 = 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  cun 3949  {csn 4626  {ctp 4630  cop 4632   ciun 4991  ccnv 5684  ccom 5689  ontowfo 6559  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  1c1 11156  2c2 12321  cdc 12733  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  ·𝑖cip 17302  TopSetcts 17303  lecple 17304  distcds 17306  TopOpenctopn 17466   qTop cqtop 17548  s cimas 17549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-imas 17553
This theorem is referenced by:  imasip  17566  imastset  17567  imasle  17568  imasvscafn  17582  imasvscaval  17583  imasvscaf  17584
  Copyright terms: Public domain W3C validator