Theorem iunex 7663

Description: The existence of an indexed union. 𝑥 is normally a free-variable parameter in the class expression substituted for 𝐵, which can be read informally as 𝐵(𝑥). (Contributed by NM, 13-Oct-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
iunex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
iunex	⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iunex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		iunex.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	2	rgenw 3150	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
4		iunexg 7658	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
5	1, 3, 4	mp2an 690	1 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  Vcvv 3494  ∪ ciun 4911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357

This theorem is referenced by:  tz9.1  9165  tz9.1c  9166  cplem2  9313  fseqdom  9446  pwsdompw  9620  cfsmolem  9686  ac6c4  9897  konigthlem  9984  alephreg  9998  pwfseqlem4  10078  pwfseqlem5  10079  pwxpndom2  10081  wunex2  10154  wuncval2  10163  inar1  10191  dfrtrclrec2  14410  rtrclreclem1  14411  rtrclreclem2  14412  rtrclreclem4  14414  isfunc  17128  smndex1bas  18065  smndex1sgrp  18067  smndex1mnd  18069  smndex1id  18070  dfac14  22220  txcmplem2  22244  cnextfval  22664  bnj893  32195  colinearex  33516  volsupnfl  34931  heiborlem3  35085  comptiunov2i  40044  corclrcl  40045  iunrelexpmin1  40046  trclrelexplem  40049  iunrelexpmin2  40050  dftrcl3  40058  trclfvcom  40061  cnvtrclfv  40062  cotrcltrcl  40063  trclimalb2  40064  trclfvdecomr  40066  dfrtrcl3  40071  dfrtrcl4  40076  corcltrcl  40077  cotrclrcl  40080  carageniuncllem1  42797  carageniuncllem2  42798  carageniuncl  42799  caratheodorylem1  42802  caratheodorylem2  42803  ovnovollem1  42932  ovnovollem2  42933  smfresal  43057