Theorem iunex 7963

Description: The existence of an indexed union. 𝑥 is normally a free-variable parameter in the class expression substituted for 𝐵, which can be read informally as 𝐵(𝑥). (Contributed by NM, 13-Oct-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
iunex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
iunex	⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iunex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		iunex.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	2	rgenw 3082	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
4		iunexg 7958	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
5	1, 3, 4	mp2an 704	1 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  Vcvv 3454  ∪ ciun 4955

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-11 2191  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-tru 1572  df-ex 1809  df-sb 2096  df-mo 2566  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-v 3456  df-ss 3921  df-uni 4872  df-iun 4957

This theorem is used by:  tz9.1  9696  tz9.1c  9697  cplem2  9879  cplem2OLD  9880  fseqdom  10017  pwsdompw  10193  cfsmolem  10260  ac6c4  10471  konigthlem  10559  alephreg  10573  pwfseqlem4  10653  pwfseqlem5  10654  pwxpndom2  10656  wunex2  10729  wuncval2  10738  inar1  10766  rtrclreclem1  15101  dfrtrclrec2  15102  rtrclreclem2  15103  rtrclreclem4  15105  isfunc  17927  smndex1bas  18974  smndex1sgrp  18976  smndex1mnd  18978  smndex1id  18979  dfac14  23786  txcmplem2  23810  cnextfval  24230  bnj893  35325  colinearex  36560  nmulprop  36690  volsupnfl  38344  heiborlem3  38492  comptiunov2i  44460  corclrcl  44461  iunrelexpmin1  44462  trclrelexplem  44465  iunrelexpmin2  44466  dftrcl3  44474  trclfvcom  44477  cnvtrclfv  44478  cotrcltrcl  44479  trclimalb2  44480  trclfvdecomr  44482  dfrtrcl3  44487  dfrtrcl4  44492  corcltrcl  44493  cotrclrcl  44496  carageniuncllem1  47263  carageniuncllem2  47264  carageniuncl  47265  caratheodorylem1  47268  caratheodorylem2  47269  ovnovollem1  47398  ovnovollem2  47399  smfresal  47530