Theorem iunex 7651

Description: The existence of an indexed union. 𝑥 is normally a free-variable parameter in the class expression substituted for 𝐵, which can be read informally as 𝐵(𝑥). (Contributed by NM, 13-Oct-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
iunex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
iunex	⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iunex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		iunex.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	2	rgenw 3118	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
4		iunexg 7646	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
5	1, 3, 4	mp2an 691	1 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  Vcvv 3441  ∪ ciun 4881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332

This theorem is referenced by:  tz9.1  9155  tz9.1c  9156  cplem2  9303  fseqdom  9437  pwsdompw  9615  cfsmolem  9681  ac6c4  9892  konigthlem  9979  alephreg  9993  pwfseqlem4  10073  pwfseqlem5  10074  pwxpndom2  10076  wunex2  10149  wuncval2  10158  inar1  10186  rtrclreclem1  14408  dfrtrclrec2  14409  rtrclreclem2  14410  rtrclreclem4  14412  isfunc  17126  smndex1bas  18063  smndex1sgrp  18065  smndex1mnd  18067  smndex1id  18068  dfac14  22223  txcmplem2  22247  cnextfval  22667  bnj893  32310  colinearex  33634  volsupnfl  35102  heiborlem3  35251  comptiunov2i  40407  corclrcl  40408  iunrelexpmin1  40409  trclrelexplem  40412  iunrelexpmin2  40413  dftrcl3  40421  trclfvcom  40424  cnvtrclfv  40425  cotrcltrcl  40426  trclimalb2  40427  trclfvdecomr  40429  dfrtrcl3  40434  dfrtrcl4  40439  corcltrcl  40440  cotrclrcl  40443  carageniuncllem1  43160  carageniuncllem2  43161  carageniuncl  43162  caratheodorylem1  43165  caratheodorylem2  43166  ovnovollem1  43295  ovnovollem2  43296  smfresal  43420