Theorem ptcls 23599

Description: The closure of a box in the product topology is the box formed from the closures of the factors. This theorem is an AC equivalent. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptcls.2	⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
ptcls.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ptcls.j	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
ptcls.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ptcls	⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘X𝑘 ∈ 𝐴 𝑆) = X𝑘 ∈ 𝐴 ((cls‘𝑅)‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝐽(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem ptcls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptcls.2	. 2 ⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
2		ptcls.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		ptcls.j	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
4		ptcls.c	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
5		toponmax 22909	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑅)
6	3, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑅)
7	6, 4	ssexd 5252	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ V)
8	7	ralrimiva 3131	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V)
9		iunexg 7905	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V)
10	2, 8, 9	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V)
11		axac3 10377	. . . 4 ⊢ CHOICE
12		acacni 10054	. . . 4 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → AC 𝐴 = V)
13	11, 2, 12	sylancr 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → AC 𝐴 = V)
14	10, 13	eleqtrrd 2842	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝑆 ∈ AC 𝐴)
15	1, 2, 3, 4, 14	ptclsg 23598	1 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘X𝑘 ∈ 𝐴 𝑆) = X𝑘 ∈ 𝐴 ((cls‘𝑅)‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  ∪ ciun 4921   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  Xcixp 8835  AC wacn 9853  CHOICEwac 10028  ∏_tcpt 17392  TopOnctopon 22893  clsccl 23001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-ac2 10376

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-fin 8887  df-fi 9314  df-card 9854  df-acn 9857  df-ac 10029  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-top 22877  df-topon 22894  df-bases 22929  df-cld 23002  df-ntr 23003  df-cls 23004

This theorem is referenced by: (None)