MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptcls Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptcls 23513
Description: The closure of a box in the product topology is the box formed from the closures of the factors. This theorem is an AC equivalent. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcls.2 𝐽 = (∏tβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
ptcls.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
ptcls.j ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
ptcls.c ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
Assertion
Ref Expression
ptcls (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑆) = Xπ‘˜ ∈ 𝐴 ((clsβ€˜π‘…)β€˜π‘†))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘˜   𝐴,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘˜)   𝑆(π‘˜)   𝐽(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   𝑋(π‘˜)

Proof of Theorem ptcls
StepHypRef Expression
1 ptcls.2 . 2 𝐽 = (∏tβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
2 ptcls.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
3 ptcls.j . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
4 ptcls.c . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
5 toponmax 22821 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝑅)
63, 5syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝑅)
76, 4ssexd 5318 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 ∈ V)
87ralrimiva 3141 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V)
9 iunexg 7961 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V)
102, 8, 9syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V)
11 axac3 10481 . . . 4 CHOICE
12 acacni 10157 . . . 4 ((CHOICE ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ AC 𝐴 = V)
1311, 2, 12sylancr 586 . . 3 (πœ‘ β†’ AC 𝐴 = V)
1410, 13eleqtrrd 2831 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝑆 ∈ AC 𝐴)
151, 2, 3, 4, 14ptclsg 23512 1 (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑆) = Xπ‘˜ ∈ 𝐴 ((clsβ€˜π‘…)β€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  Vcvv 3469   βŠ† wss 3944  βˆͺ ciun 4991   ↦ cmpt 5225  β€˜cfv 6542  Xcixp 8909  AC wacn 9955  CHOICEwac 10132  βˆtcpt 17413  TopOnctopon 22805  clsccl 22915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-ac2 10480
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-fin 8961  df-fi 9428  df-card 9956  df-acn 9959  df-ac 10133  df-topgen 17418  df-pt 17419  df-top 22789  df-topon 22806  df-bases 22842  df-cld 22916  df-ntr 22917  df-cls 22918
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator