MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptcls Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptcls 23119
Description: The closure of a box in the product topology is the box formed from the closures of the factors. This theorem is an AC equivalent. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcls.2 𝐽 = (∏tβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
ptcls.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
ptcls.j ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
ptcls.c ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
Assertion
Ref Expression
ptcls (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑆) = Xπ‘˜ ∈ 𝐴 ((clsβ€˜π‘…)β€˜π‘†))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘˜   𝐴,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘˜)   𝑆(π‘˜)   𝐽(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   𝑋(π‘˜)

Proof of Theorem ptcls
StepHypRef Expression
1 ptcls.2 . 2 𝐽 = (∏tβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
2 ptcls.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
3 ptcls.j . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
4 ptcls.c . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
5 toponmax 22427 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝑅)
63, 5syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝑅)
76, 4ssexd 5324 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 ∈ V)
87ralrimiva 3146 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V)
9 iunexg 7949 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V)
102, 8, 9syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V)
11 axac3 10458 . . . 4 CHOICE
12 acacni 10134 . . . 4 ((CHOICE ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ AC 𝐴 = V)
1311, 2, 12sylancr 587 . . 3 (πœ‘ β†’ AC 𝐴 = V)
1410, 13eleqtrrd 2836 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝑆 ∈ AC 𝐴)
151, 2, 3, 4, 14ptclsg 23118 1 (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑆) = Xπ‘˜ ∈ 𝐴 ((clsβ€˜π‘…)β€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βˆͺ ciun 4997   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  Xcixp 8890  AC wacn 9932  CHOICEwac 10109  βˆtcpt 17383  TopOnctopon 22411  clsccl 22521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-ac2 10457
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-fin 8942  df-fi 9405  df-card 9933  df-acn 9936  df-ac 10110  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator