Theorem ptcls 23554

Description: The closure of a box in the product topology is the box formed from the closures of the factors. This theorem is an AC equivalent. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptcls.2	⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
ptcls.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ptcls.j	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
ptcls.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ptcls	⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘X𝑘 ∈ 𝐴 𝑆) = X𝑘 ∈ 𝐴 ((cls‘𝑅)‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝐽(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem ptcls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptcls.2	. 2 ⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
2		ptcls.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		ptcls.j	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
4		ptcls.c	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
5		toponmax 22864	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑅)
6	3, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑅)
7	6, 4	ssexd 5294	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ V)
8	7	ralrimiva 3132	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V)
9		iunexg 7962	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V)
10	2, 8, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V)
11		axac3 10478	. . . 4 ⊢ CHOICE
12		acacni 10155	. . . 4 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → AC 𝐴 = V)
13	11, 2, 12	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → AC 𝐴 = V)
14	10, 13	eleqtrrd 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝑆 ∈ AC 𝐴)
15	1, 2, 3, 4, 14	ptclsg 23553	1 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘X𝑘 ∈ 𝐴 𝑆) = X𝑘 ∈ 𝐴 ((cls‘𝑅)‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  ∪ ciun 4967   ↦ cmpt 5201  ‘cfv 6531  Xcixp 8911  AC wacn 9952  CHOICEwac 10129  ∏_tcpt 17452  TopOnctopon 22848  clsccl 22956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-ac2 10477

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-fin 8963  df-fi 9423  df-card 9953  df-acn 9956  df-ac 10130  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-top 22832  df-topon 22849  df-bases 22884  df-cld 22957  df-ntr 22958  df-cls 22959

This theorem is referenced by: (None)