MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptcls Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptcls 23442
Description: The closure of a box in the product topology is the box formed from the closures of the factors. This theorem is an AC equivalent. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcls.2 𝐽 = (∏tβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
ptcls.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
ptcls.j ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
ptcls.c ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
Assertion
Ref Expression
ptcls (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑆) = Xπ‘˜ ∈ 𝐴 ((clsβ€˜π‘…)β€˜π‘†))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘˜   𝐴,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘˜)   𝑆(π‘˜)   𝐽(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   𝑋(π‘˜)

Proof of Theorem ptcls
StepHypRef Expression
1 ptcls.2 . 2 𝐽 = (∏tβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
2 ptcls.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
3 ptcls.j . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
4 ptcls.c . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
5 toponmax 22750 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝑅)
63, 5syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝑅)
76, 4ssexd 5314 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 ∈ V)
87ralrimiva 3138 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V)
9 iunexg 7943 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V)
102, 8, 9syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V)
11 axac3 10455 . . . 4 CHOICE
12 acacni 10131 . . . 4 ((CHOICE ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ AC 𝐴 = V)
1311, 2, 12sylancr 586 . . 3 (πœ‘ β†’ AC 𝐴 = V)
1410, 13eleqtrrd 2828 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝑆 ∈ AC 𝐴)
151, 2, 3, 4, 14ptclsg 23441 1 (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑆) = Xπ‘˜ ∈ 𝐴 ((clsβ€˜π‘…)β€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  Vcvv 3466   βŠ† wss 3940  βˆͺ ciun 4987   ↦ cmpt 5221  β€˜cfv 6533  Xcixp 8887  AC wacn 9929  CHOICEwac 10106  βˆtcpt 17383  TopOnctopon 22734  clsccl 22844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-ac2 10454
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-fin 8939  df-fi 9402  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-top 22718  df-topon 22735  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator