Theorem ptcls 23947

Description: The closure of a box in the product topology is the box formed from the closures of the factors. This theorem is an AC equivalent. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptcls.2	⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
ptcls.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ptcls.j	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
ptcls.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ptcls	⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘X𝑘 ∈ 𝐴 𝑆) = X𝑘 ∈ 𝐴 ((cls‘𝑅)‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝐽(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem ptcls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptcls.2	. 2 ⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
2		ptcls.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		ptcls.j	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
4		ptcls.c	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
5		toponmax 23256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑅)
6	3, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑅)
7	6, 4	ssexd 5289	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ V)
8	7	ralrimiva 3157	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V)
9		iunexg 7982	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V)
10	2, 8, 9	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V)
11		axac3 10552	. . . 4 ⊢ CHOICE
12		acacni 10229	. . . 4 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → AC 𝐴 = V)
13	11, 2, 12	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝜑 → AC 𝐴 = V)
14	10, 13	eleqtrrd 2866	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝑆 ∈ AC 𝐴)
15	1, 2, 3, 4, 14	ptclsg 23946	1 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘X𝑘 ∈ 𝐴 𝑆) = X𝑘 ∈ 𝐴 ((cls‘𝑅)‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3079  Vcvv 3453   ⊆ wss 3899  ∪ ciun 4953   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6546  Xcixp 8936  AC wacn 10029  CHOICEwac 10204  ∏_tcpt 17621  TopOnctopon 23240  clsccl 23348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-ac2 10551

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8728  df-map 8860  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-fin 8988  df-fi 9413  df-card 10030  df-acn 10033  df-ac 10205  df-topgen 17626  df-pt 17627  df-top 23224  df-topon 23241  df-bases 23276  df-cld 23349  df-ntr 23350  df-cls 23351

This theorem is used by: (None)