Theorem ptcls 23594

Description: The closure of a box in the product topology is the box formed from the closures of the factors. This theorem is an AC equivalent. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptcls.2	⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
ptcls.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ptcls.j	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
ptcls.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ptcls	⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘X𝑘 ∈ 𝐴 𝑆) = X𝑘 ∈ 𝐴 ((cls‘𝑅)‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝐽(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem ptcls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptcls.2	. 2 ⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
2		ptcls.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		ptcls.j	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
4		ptcls.c	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
5		toponmax 22904	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑅)
6	3, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑅)
7	6, 4	ssexd 5262	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ V)
8	7	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V)
9		iunexg 7910	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V)
10	2, 8, 9	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V)
11		axac3 10380	. . . 4 ⊢ CHOICE
12		acacni 10057	. . . 4 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → AC 𝐴 = V)
13	11, 2, 12	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝜑 → AC 𝐴 = V)
14	10, 13	eleqtrrd 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝑆 ∈ AC 𝐴)
15	1, 2, 3, 4, 14	ptclsg 23593	1 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘X𝑘 ∈ 𝐴 𝑆) = X𝑘 ∈ 𝐴 ((cls‘𝑅)‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ∪ ciun 4934   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6493  Xcixp 8839  AC wacn 9856  CHOICEwac 10031  ∏_tcpt 17395  TopOnctopon 22888  clsccl 22996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-ac2 10379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-fin 8891  df-fi 9318  df-card 9857  df-acn 9860  df-ac 10032  df-topgen 17400  df-pt 17401  df-top 22872  df-topon 22889  df-bases 22924  df-cld 22997  df-ntr 22998  df-cls 22999

This theorem is referenced by: (None)