Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptcls Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptcls 22227
 Description: The closure of a box in the product topology is the box formed from the closures of the factors. This theorem is an AC equivalent. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcls.2 𝐽 = (∏t‘(𝑘𝐴𝑅))
ptcls.a (𝜑𝐴𝑉)
ptcls.j ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
ptcls.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑆𝑋)
Assertion
Ref Expression
ptcls (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘X𝑘𝐴 𝑆) = X𝑘𝐴 ((cls‘𝑅)‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝐽(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem ptcls
StepHypRef Expression
1 ptcls.2 . 2 𝐽 = (∏t‘(𝑘𝐴𝑅))
2 ptcls.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
3 ptcls.j . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
4 ptcls.c . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑆𝑋)
5 toponmax 21537 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋𝑅)
63, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝑅)
76, 4ssexd 5214 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑆 ∈ V)
87ralrimiva 3177 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝑆 ∈ V)
9 iunexg 7659 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝑆 ∈ V) → 𝑘𝐴 𝑆 ∈ V)
102, 8, 9syl2anc 587 . . 3 (𝜑 𝑘𝐴 𝑆 ∈ V)
11 axac3 9884 . . . 4 CHOICE
12 acacni 9564 . . . 4 ((CHOICE𝐴𝑉) → AC 𝐴 = V)
1311, 2, 12sylancr 590 . . 3 (𝜑AC 𝐴 = V)
1410, 13eleqtrrd 2919 . 2 (𝜑 𝑘𝐴 𝑆AC 𝐴)
151, 2, 3, 4, 14ptclsg 22226 1 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘X𝑘𝐴 𝑆) = X𝑘𝐴 ((cls‘𝑅)‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  Vcvv 3480   ⊆ wss 3919  ∪ ciun 4905   ↦ cmpt 5132  ‘cfv 6343  Xcixp 8457  AC wacn 9364  CHOICEwac 9539  ∏tcpt 16712  TopOnctopon 21521  clsccl 21629 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-ac2 9883 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-fin 8509  df-fi 8872  df-card 9365  df-acn 9368  df-ac 9540  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-top 21505  df-topon 21522  df-bases 21557  df-cld 21630  df-ntr 21631  df-cls 21632 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator