Theorem ptcls 23676

Description: The closure of a box in the product topology is the box formed from the closures of the factors. This theorem is an AC equivalent. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptcls.2	⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
ptcls.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ptcls.j	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
ptcls.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ptcls	⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘X𝑘 ∈ 𝐴 𝑆) = X𝑘 ∈ 𝐴 ((cls‘𝑅)‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝐽(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem ptcls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptcls.2	. 2 ⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
2		ptcls.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		ptcls.j	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
4		ptcls.c	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
5		toponmax 22986	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑅)
6	3, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑅)
7	6, 4	ssexd 5280	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ V)
8	7	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V)
9		iunexg 7944	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V)
10	2, 8, 9	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝑆 ∈ V)
11		axac3 10421	. . . 4 ⊢ CHOICE
12		acacni 10097	. . . 4 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → AC 𝐴 = V)
13	11, 2, 12	sylancr 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → AC 𝐴 = V)
14	10, 13	eleqtrrd 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝑆 ∈ AC 𝐴)
15	1, 2, 3, 4, 14	ptclsg 23675	1 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘X𝑘 ∈ 𝐴 𝑆) = X𝑘 ∈ 𝐴 ((cls‘𝑅)‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  ∪ ciun 4949   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6521  Xcixp 8879  AC wacn 9896  CHOICEwac 10071  ∏_tcpt 17467  TopOnctopon 22970  clsccl 23078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-ac2 10420

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-fin 8931  df-fi 9357  df-card 9897  df-acn 9900  df-ac 10072  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-top 22954  df-topon 22971  df-bases 23006  df-cld 23079  df-ntr 23080  df-cls 23081

This theorem is referenced by: (None)