Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aciunf1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aciunf1lem 30429
Description: Choice in an index union. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
acunirnmpt.0 (𝜑𝐴𝑉)
acunirnmpt.1 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵 ≠ ∅)
aciunf1lem.a 𝑗𝐴
aciunf1lem.1 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵𝑊)
Assertion
Ref Expression
aciunf1lem (𝜑 → ∃𝑓(𝑓: 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘(𝑓𝑥)) = 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑗,𝑥   𝐴,𝑓,𝑥   𝐵,𝑓,𝑥   𝑥,𝑗,𝜑   𝑗,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝑉(𝑥,𝑓,𝑗)   𝑊(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem aciunf1lem
Dummy variables 𝑘 𝑦 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acunirnmpt.0 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 acunirnmpt.1 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵 ≠ ∅)
3 aciunf1lem.a . . 3 𝑗𝐴
4 nfiu1 4918 . . 3 𝑗 𝑗𝐴 𝐵
5 nfcsb1v 3855 . . 3 𝑗(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵
6 eqid 2801 . . 3 𝑗𝐴 𝐵 = 𝑗𝐴 𝐵
7 csbeq1a 3845 . . 3 (𝑗 = (𝑔𝑥) → 𝐵 = (𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)
8 aciunf1lem.1 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵𝑊)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8acunirnmpt2f 30428 . 2 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵))
10 nfv 1915 . . . . . . . 8 𝑥𝜑
11 nfv 1915 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴
12 nfra1 3186 . . . . . . . . 9 𝑥𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵
1311, 12nfan 1900 . . . . . . . 8 𝑥(𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)
1410, 13nfan 1900 . . . . . . 7 𝑥(𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵))
15 nfv 1915 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝜑
16 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝑔
1716, 4, 3nff 6487 . . . . . . . . . . . 12 𝑗 𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴
18 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗𝑥
1918, 5nfel 2972 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗 𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵
204, 19nfralw 3192 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵
2117, 20nfan 1900 . . . . . . . . . . 11 𝑗(𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)
2215, 21nfan 1900 . . . . . . . . . 10 𝑗(𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵))
2318, 4nfel 2972 . . . . . . . . . 10 𝑗 𝑥 𝑗𝐴 𝐵
2422, 23nfan 1900 . . . . . . . . 9 𝑗((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵)
25 nfcv 2958 . . . . . . . . . 10 𝑗⟨(𝑔𝑥), 𝑥
26 nfiu1 4918 . . . . . . . . . 10 𝑗 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
2725, 26nfel 2972 . . . . . . . . 9 𝑗⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
28 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) → (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵))
2928simpld 498 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) → 𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴)
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴)
31 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 𝑗𝐴 𝐵)
3230, 31ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑔𝑥) ∈ 𝐴)
33 fvex 6662 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔𝑥) ∈ V
3433snid 4564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔𝑥) ∈ {(𝑔𝑥)}
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑔𝑥) ∈ {(𝑔𝑥)})
3628simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) → ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)
37 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) → 𝑥 𝑗𝐴 𝐵)
38 rsp 3173 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵 → (𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵))
3936, 37, 38sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) → 𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)
4039ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)
4135, 40jca 515 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑔𝑥) ∈ {(𝑔𝑥)} ∧ 𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵))
42 opelxp 5559 . . . . . . . . . . . 12 (⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({(𝑔𝑥)} × (𝑔𝑥) / 𝑗𝐵) ↔ ((𝑔𝑥) ∈ {(𝑔𝑥)} ∧ 𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵))
4341, 42sylibr 237 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({(𝑔𝑥)} × (𝑔𝑥) / 𝑗𝐵))
44 sneq 4538 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑔𝑥) → {𝑘} = {(𝑔𝑥)})
45 csbeq1 3834 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑔𝑥) → 𝑘 / 𝑗𝐵 = (𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)
4644, 45xpeq12d 5554 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑔𝑥) → ({𝑘} × 𝑘 / 𝑗𝐵) = ({(𝑔𝑥)} × (𝑔𝑥) / 𝑗𝐵))
4746eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑔𝑥) → (⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({𝑘} × 𝑘 / 𝑗𝐵) ↔ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({(𝑔𝑥)} × (𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)))
4847rspcev 3574 . . . . . . . . . . 11 (((𝑔𝑥) ∈ 𝐴 ∧ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({(𝑔𝑥)} × (𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) → ∃𝑘𝐴 ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({𝑘} × 𝑘 / 𝑗𝐵))
4932, 43, 48syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → ∃𝑘𝐴 ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({𝑘} × 𝑘 / 𝑗𝐵))
50 eliun 4888 . . . . . . . . . . 11 (⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑗𝐴 ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({𝑗} × 𝐵))
51 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝐴
52 nfv 1915 . . . . . . . . . . . 12 𝑘⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({𝑗} × 𝐵)
53 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗{𝑘}
54 nfcsb1v 3855 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗𝑘 / 𝑗𝐵
5553, 54nfxp 5556 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗({𝑘} × 𝑘 / 𝑗𝐵)
5625, 55nfel 2972 . . . . . . . . . . . 12 𝑗⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({𝑘} × 𝑘 / 𝑗𝐵)
57 sneq 4538 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑘 → {𝑗} = {𝑘})
58 csbeq1a 3845 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑗𝐵)
5957, 58xpeq12d 5554 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑘 → ({𝑗} × 𝐵) = ({𝑘} × 𝑘 / 𝑗𝐵))
6059eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({𝑘} × 𝑘 / 𝑗𝐵)))
613, 51, 52, 56, 60cbvrexfw 3387 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑗𝐴 ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘𝐴 ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({𝑘} × 𝑘 / 𝑗𝐵))
6250, 61bitri 278 . . . . . . . . . 10 (⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘𝐴 ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({𝑘} × 𝑘 / 𝑗𝐵))
6349, 62sylibr 237 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
64 eliun 4888 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑗𝐴 𝑥𝐵)
6564biimpi 219 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 → ∃𝑗𝐴 𝑥𝐵)
6665adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) → ∃𝑗𝐴 𝑥𝐵)
6724, 27, 63, 66r19.29af2 3291 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) → ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
6867ex 416 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) → (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 → ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)))
6914, 68ralrimi 3183 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) → ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
70 vex 3447 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
7133, 70opth 5336 . . . . . . . . 9 (⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ = ⟨(𝑔𝑦), 𝑦⟩ ↔ ((𝑔𝑥) = (𝑔𝑦) ∧ 𝑥 = 𝑦))
7271simprbi 500 . . . . . . . 8 (⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ = ⟨(𝑔𝑦), 𝑦⟩ → 𝑥 = 𝑦)
7372rgen2w 3122 . . . . . . 7 𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑦 𝑗𝐴 𝐵(⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ = ⟨(𝑔𝑦), 𝑦⟩ → 𝑥 = 𝑦)
7473a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) → ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑦 𝑗𝐴 𝐵(⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ = ⟨(𝑔𝑦), 𝑦⟩ → 𝑥 = 𝑦))
7569, 74jca 515 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) → (∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑦 𝑗𝐴 𝐵(⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ = ⟨(𝑔𝑦), 𝑦⟩ → 𝑥 = 𝑦)))
76 eqid 2801 . . . . . 6 (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩) = (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)
77 fveq2 6649 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑦))
78 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
7977, 78opeq12d 4776 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ = ⟨(𝑔𝑦), 𝑦⟩)
8076, 79f1mpt 7001 . . . . 5 ((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩): 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↔ (∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑦 𝑗𝐴 𝐵(⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ = ⟨(𝑔𝑦), 𝑦⟩ → 𝑥 = 𝑦)))
8175, 80sylibr 237 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) → (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩): 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
82 opex 5324 . . . . . . . . . 10 ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ V
8376fvmpt2 6760 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ∧ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ V) → ((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥) = ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)
8482, 83mpan2 690 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 → ((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥) = ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)
8537, 84syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥) = ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)
8685fveq2d 6653 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) → (2nd ‘((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥)) = (2nd ‘⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩))
8733, 70op2nd 7684 . . . . . . 7 (2nd ‘⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩) = 𝑥
8886, 87eqtrdi 2852 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) → (2nd ‘((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥)) = 𝑥)
8988ex 416 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) → (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 → (2nd ‘((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥)) = 𝑥))
9014, 89ralrimi 3183 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) → ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥)) = 𝑥)
9181, 90jca 515 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) → ((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩): 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥)) = 𝑥))
92 nfcv 2958 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝑘
9392, 3nfel 2972 . . . . . . . . . 10 𝑗 𝑘𝐴
9415, 93nfan 1900 . . . . . . . . 9 𝑗(𝜑𝑘𝐴)
95 nfcv 2958 . . . . . . . . . 10 𝑗𝑊
9654, 95nfel 2972 . . . . . . . . 9 𝑗𝑘 / 𝑗𝐵𝑊
9794, 96nfim 1897 . . . . . . . 8 𝑗((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 / 𝑗𝐵𝑊)
98 eleq1w 2875 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝐴𝑘𝐴))
9998anbi2d 631 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑𝑗𝐴) ↔ (𝜑𝑘𝐴)))
10058eleq1d 2877 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (𝐵𝑊𝑘 / 𝑗𝐵𝑊))
10199, 100imbi12d 348 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵𝑊) ↔ ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 / 𝑗𝐵𝑊)))
10297, 101, 8chvarfv 2241 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 / 𝑗𝐵𝑊)
103102ralrimiva 3152 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝑘 / 𝑗𝐵𝑊)
104 nfcv 2958 . . . . . . . 8 𝑘𝐵
1053, 51, 104, 54, 58cbviunf 30323 . . . . . . 7 𝑗𝐴 𝐵 = 𝑘𝐴 𝑘 / 𝑗𝐵
106 iunexg 7650 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝑘 / 𝑗𝐵𝑊) → 𝑘𝐴 𝑘 / 𝑗𝐵 ∈ V)
107105, 106eqeltrid 2897 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝑘 / 𝑗𝐵𝑊) → 𝑗𝐴 𝐵 ∈ V)
1081, 103, 107syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 𝑗𝐴 𝐵 ∈ V)
109 mptexg 6965 . . . . 5 ( 𝑗𝐴 𝐵 ∈ V → (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩) ∈ V)
110 f1eq1 6548 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩) → (𝑓: 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↔ (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩): 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)))
111 nfcv 2958 . . . . . . . . 9 𝑥𝑓
112 nfmpt1 5131 . . . . . . . . 9 𝑥(𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)
113111, 112nfeq 2971 . . . . . . . 8 𝑥 𝑓 = (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)
114 fveq1 6648 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩) → (𝑓𝑥) = ((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥))
115114fveqeq2d 6657 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩) → ((2nd ‘(𝑓𝑥)) = 𝑥 ↔ (2nd ‘((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥)) = 𝑥))
116113, 115ralbid 3198 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩) → (∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘(𝑓𝑥)) = 𝑥 ↔ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥)) = 𝑥))
117110, 116anbi12d 633 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩) → ((𝑓: 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘(𝑓𝑥)) = 𝑥) ↔ ((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩): 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥)) = 𝑥)))
118117spcegv 3548 . . . . 5 ((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩) ∈ V → (((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩): 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥)) = 𝑥) → ∃𝑓(𝑓: 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘(𝑓𝑥)) = 𝑥)))
119108, 109, 1183syl 18 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩): 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥)) = 𝑥) → ∃𝑓(𝑓: 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘(𝑓𝑥)) = 𝑥)))
120119adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) → (((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩): 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥)) = 𝑥) → ∃𝑓(𝑓: 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘(𝑓𝑥)) = 𝑥)))
12191, 120mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) → ∃𝑓(𝑓: 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘(𝑓𝑥)) = 𝑥))
1229, 121exlimddv 1936 1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓: 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘(𝑓𝑥)) = 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2112  wnfc 2939  wne 2990  wral 3109  wrex 3110  Vcvv 3444  csb 3831  c0 4246  {csn 4528  cop 4534   ciun 4884  cmpt 5113   × cxp 5521  wf 6324  1-1wf1 6325  cfv 6328  2nd c2nd 7674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-reg 9044  ax-inf2 9092  ax-ac2 9878
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-en 8497  df-r1 9181  df-rank 9182  df-card 9356  df-ac 9531
This theorem is referenced by:  aciunf1  30430
  Copyright terms: Public domain W3C validator