Theorem joinlmulsubmuli 49641

Description: Join AB-CB into (A-C) on LHS. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
joinlmulsubmuli.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
joinlmulsubmuli.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
joinlmulsubmuli.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ
joinlmulsubmuli.4	⊢ ((𝐴 · 𝐵) − (𝐶 · 𝐵)) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
joinlmulsubmuli	⊢ ((𝐴 − 𝐶) · 𝐵) = 𝐷

Proof of Theorem joinlmulsubmuli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		joinlmulsubmuli.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		joinlmulsubmuli.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
3		joinlmulsubmuli.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	subdiri 11644	. 2 ⊢ ((𝐴 − 𝐶) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐶 · 𝐵))
5		joinlmulsubmuli.4	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) − (𝐶 · 𝐵)) = 𝐷
6	4, 5	eqtri 2753	1 ⊢ ((𝐴 − 𝐶) · 𝐵) = 𝐷

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7394  ℂcc 11084   · cmul 11091   − cmin 11423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5541  df-po 5554  df-so 5555  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-er 8682  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-ltxr 11231  df-sub 11425

This theorem is referenced by:  i2linesi  49644