Users' Mathboxes Mathbox for David A. Wheeler < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  i2linesi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i2linesi 47311
Description: Solve for the intersection of two lines expressed in Y = MX+B form (note that the lines cannot be vertical). Here we use inference form. We just solve for X, since Y can be trivially found by using X. This is an example of how to use the algebra helpers. Notice that because this proof uses algebra helpers, the main steps of the proof are higher level and easier to follow by a human reader. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
i2linesi.1 ๐ด โˆˆ โ„‚
i2linesi.2 ๐ต โˆˆ โ„‚
i2linesi.3 ๐ถ โˆˆ โ„‚
i2linesi.4 ๐ท โˆˆ โ„‚
i2linesi.5 ๐‘‹ โˆˆ โ„‚
i2linesi.6 ๐‘Œ = ((๐ด ยท ๐‘‹) + ๐ต)
i2linesi.7 ๐‘Œ = ((๐ถ ยท ๐‘‹) + ๐ท)
i2linesi.8 (๐ด โˆ’ ๐ถ) โ‰  0
Assertion
Ref Expression
i2linesi ๐‘‹ = ((๐ท โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ถ))

Proof of Theorem i2linesi
StepHypRef Expression
1 i2linesi.1 . . 3 ๐ด โˆˆ โ„‚
2 i2linesi.3 . . 3 ๐ถ โˆˆ โ„‚
31, 2subcli 11482 . 2 (๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚
4 i2linesi.5 . 2 ๐‘‹ โˆˆ โ„‚
5 i2linesi.8 . 2 (๐ด โˆ’ ๐ถ) โ‰  0
62, 4mulcli 11167 . . . 4 (๐ถ ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚
7 i2linesi.4 . . . . 5 ๐ท โˆˆ โ„‚
8 i2linesi.2 . . . . 5 ๐ต โˆˆ โ„‚
97, 8subcli 11482 . . . 4 (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚
101, 4mulcli 11167 . . . . . 6 (๐ด ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚
11 i2linesi.6 . . . . . . 7 ๐‘Œ = ((๐ด ยท ๐‘‹) + ๐ต)
12 i2linesi.7 . . . . . . 7 ๐‘Œ = ((๐ถ ยท ๐‘‹) + ๐ท)
1311, 12eqtr3i 2763 . . . . . 6 ((๐ด ยท ๐‘‹) + ๐ต) = ((๐ถ ยท ๐‘‹) + ๐ท)
1410, 8, 13mvlraddi 47303 . . . . 5 (๐ด ยท ๐‘‹) = (((๐ถ ยท ๐‘‹) + ๐ท) โˆ’ ๐ต)
156, 7, 8, 14assraddsubi 47305 . . . 4 (๐ด ยท ๐‘‹) = ((๐ถ ยท ๐‘‹) + (๐ท โˆ’ ๐ต))
166, 9, 15mvrladdi 47304 . . 3 ((๐ด ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ ยท ๐‘‹)) = (๐ท โˆ’ ๐ต)
171, 4, 2, 16joinlmulsubmuli 47308 . 2 ((๐ด โˆ’ ๐ถ) ยท ๐‘‹) = (๐ท โˆ’ ๐ต)
183, 4, 5, 17mvllmuli 11993 1 ๐‘‹ = ((๐ท โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator