Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme22e.n |
. . 3
β’ π = ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π))) |
2 | | simp1l 1198 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β πΎ β HL) |
3 | 2 | hllatd 37872 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β πΎ β Lat) |
4 | | simp21l 1291 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β π β π΄) |
5 | | simp22l 1293 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β π β π΄) |
6 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
7 | | cdleme22.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
8 | | cdleme22.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | 6, 7, 8 | hlatjcl 37875 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
10 | 2, 4, 5, 9 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
11 | | simp1r 1199 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β π β π») |
12 | | simp33l 1301 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β π§ β π΄) |
13 | | cdleme22.l |
. . . . . . 7
β’ β€ =
(leβπΎ) |
14 | | cdleme22.m |
. . . . . . 7
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
15 | | cdleme22.h |
. . . . . . 7
β’ π» = (LHypβπΎ) |
16 | | cdleme22e.u |
. . . . . . 7
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
17 | | cdleme22e.f |
. . . . . . 7
β’ πΉ = ((π§ β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π§) β§ π))) |
18 | 13, 7, 14, 8, 15, 16, 17, 6 | cdleme1b 38735 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π§ β π΄)) β πΉ β (BaseβπΎ)) |
19 | 2, 11, 4, 5, 12, 18 | syl23anc 1378 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β πΉ β (BaseβπΎ)) |
20 | | simp23l 1295 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β π β π΄) |
21 | 6, 7, 8 | hlatjcl 37875 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π§ β π΄) β (π β¨ π§) β (BaseβπΎ)) |
22 | 2, 20, 12, 21 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π β¨ π§) β (BaseβπΎ)) |
23 | 6, 15 | lhpbase 38507 |
. . . . . . 7
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
24 | 11, 23 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
25 | 6, 14 | latmcl 18334 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π§) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π§) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
26 | 3, 22, 24, 25 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((π β¨ π§) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
27 | 6, 7 | latjcl 18333 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ πΉ β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π§) β§ π) β (BaseβπΎ)) β (πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β (BaseβπΎ)) |
28 | 3, 19, 26, 27 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β (BaseβπΎ)) |
29 | 6, 13, 14 | latmle1 18358 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π))) β€ (π β¨ π)) |
30 | 3, 10, 28, 29 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π))) β€ (π β¨ π)) |
31 | 1, 30 | eqbrtrid 5141 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β π β€ (π β¨ π)) |
32 | | simp1 1137 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
33 | | simp21 1207 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
34 | | simp23r 1296 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β π β π΄) |
35 | | simp31 1210 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π β π΄ β§ π β€ π)) |
36 | | simp32l 1299 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β π β π) |
37 | | simp32r 1300 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
38 | 13, 7, 14, 8, 15, 16 | cdleme22a 38849 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) β π = π) |
39 | 32, 33, 5, 34, 35, 36, 37, 38 | syl133anc 1394 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β π = π) |
40 | 39 | oveq2d 7374 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
41 | | cdleme22e.o |
. . . . . 6
β’ π = ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π))) |
42 | 41 | oveq1i 7368 |
. . . . 5
β’ (π β¨ π) = (((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π))) β¨ π) |
43 | | simp21r 1292 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β Β¬ π β€ π) |
44 | 13, 7, 14, 8, 15, 16 | cdleme0a 38720 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π)) β π β π΄) |
45 | 2, 11, 4, 43, 5, 36, 44 | syl222anc 1387 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β π β π΄) |
46 | 6, 7, 8 | hlatjcl 37875 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π§ β π΄) β (π β¨ π§) β (BaseβπΎ)) |
47 | 2, 34, 12, 46 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π β¨ π§) β (BaseβπΎ)) |
48 | 6, 14 | latmcl 18334 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π§) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π§) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
49 | 3, 47, 24, 48 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((π β¨ π§) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
50 | 6, 7 | latjcl 18333 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ πΉ β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π§) β§ π) β (BaseβπΎ)) β (πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β (BaseβπΎ)) |
51 | 3, 19, 49, 50 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β (BaseβπΎ)) |
52 | 13, 7, 14, 8, 15, 16 | cdlemeulpq 38729 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β π β€ (π β¨ π)) |
53 | 2, 11, 4, 5, 52 | syl22anc 838 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β π β€ (π β¨ π)) |
54 | 6, 13, 7, 14, 8 | atmod2i1 38370 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β (BaseβπΎ)) β§ π β€ (π β¨ π)) β (((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π))) β¨ π) = ((π β¨ π) β§ ((πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π))) |
55 | 2, 45, 10, 51, 53, 54 | syl131anc 1384 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π))) β¨ π) = ((π β¨ π) β§ ((πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π))) |
56 | 42, 55 | eqtr2id 2786 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((π β¨ π) β§ ((πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π)) = (π β¨ π)) |
57 | 40, 56 | eqtr4d 2776 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π β¨ π) = ((π β¨ π) β§ ((πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π))) |
58 | 39 | oveq2d 7374 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
59 | 37, 58 | eqtr3d 2775 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
60 | 6, 7, 8 | hlatjcl 37875 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
61 | 2, 34, 45, 60 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
62 | 6, 8 | atbase 37797 |
. . . . . . . 8
β’ (π§ β π΄ β π§ β (BaseβπΎ)) |
63 | 12, 62 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β π§ β (BaseβπΎ)) |
64 | 6, 13, 7 | latlej1 18342 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π§ β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π) β€ ((π β¨ π) β¨ π§)) |
65 | 3, 61, 63, 64 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π β¨ π) β€ ((π β¨ π) β¨ π§)) |
66 | 7, 8 | hlatj32 37880 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π§ β π΄)) β ((π β¨ π) β¨ π§) = ((π β¨ π§) β¨ π)) |
67 | 2, 34, 45, 12, 66 | syl13anc 1373 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((π β¨ π) β¨ π§) = ((π β¨ π§) β¨ π)) |
68 | 6, 8 | atbase 37797 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
69 | 45, 68 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
70 | 6, 7 | latj32 18379 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β Lat β§ (π§ β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π§) β§ π) β (BaseβπΎ))) β ((π§ β¨ π) β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) = ((π§ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π)) |
71 | 3, 63, 69, 49, 70 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((π§ β¨ π) β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) = ((π§ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π)) |
72 | 6, 7 | latj32 18379 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β Lat β§ (πΉ β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π§) β§ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β ((πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π) = ((πΉ β¨ π) β¨ ((π β¨ π§) β§ π))) |
73 | 3, 19, 49, 69, 72 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π) = ((πΉ β¨ π) β¨ ((π β¨ π§) β§ π))) |
74 | 6, 7, 8 | hlatjcl 37875 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π§ β π΄) β (π β¨ π§) β (BaseβπΎ)) |
75 | 2, 4, 12, 74 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π β¨ π§) β (BaseβπΎ)) |
76 | 13, 7, 8 | hlatlej1 37883 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π§ β π΄) β π β€ (π β¨ π§)) |
77 | 2, 4, 12, 76 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β π β€ (π β¨ π§)) |
78 | 6, 13, 7, 14, 8 | atmod3i1 38373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ (π β¨ π§) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ π β€ (π β¨ π§)) β (π β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) = ((π β¨ π§) β§ (π β¨ π))) |
79 | 2, 4, 75, 24, 77, 78 | syl131anc 1384 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) = ((π β¨ π§) β§ (π β¨ π))) |
80 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
(1.βπΎ) =
(1.βπΎ) |
81 | 13, 7, 80, 8, 15 | lhpjat2 38530 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ π) = (1.βπΎ)) |
82 | 2, 11, 33, 81 | syl21anc 837 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π β¨ π) = (1.βπΎ)) |
83 | 82 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((π β¨ π§) β§ (π β¨ π)) = ((π β¨ π§) β§ (1.βπΎ))) |
84 | | hlol 37869 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
85 | 2, 84 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β πΎ β OL) |
86 | 6, 14, 80 | olm11 37735 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((πΎ β OL β§ (π β¨ π§) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π§) β§ (1.βπΎ)) = (π β¨ π§)) |
87 | 85, 75, 86 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((π β¨ π§) β§ (1.βπΎ)) = (π β¨ π§)) |
88 | 79, 83, 87 | 3eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) = (π β¨ π§)) |
89 | 88 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((π β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π) = ((π β¨ π§) β¨ π)) |
90 | 16 | oveq2i 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β¨ π) = (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) |
91 | 13, 7, 8 | hlatlej2 37884 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β π β€ (π β¨ π)) |
92 | 2, 4, 5, 91 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β π β€ (π β¨ π)) |
93 | 6, 13, 7, 14, 8 | atmod3i1 38373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ π β€ (π β¨ π)) β (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
94 | 2, 5, 10, 24, 92, 93 | syl131anc 1384 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
95 | 90, 94 | eqtrid 2785 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π β¨ π) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
96 | | simp22 1208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
97 | 13, 7, 80, 8, 15 | lhpjat2 38530 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ π) = (1.βπΎ)) |
98 | 2, 11, 96, 97 | syl21anc 837 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π β¨ π) = (1.βπΎ)) |
99 | 98 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) = ((π β¨ π) β§ (1.βπΎ))) |
100 | 6, 14, 80 | olm11 37735 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((πΎ β OL β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ (1.βπΎ)) = (π β¨ π)) |
101 | 85, 10, 100 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((π β¨ π) β§ (1.βπΎ)) = (π β¨ π)) |
102 | 95, 99, 101 | 3eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
103 | 102 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((π β¨ π) β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) = ((π β¨ π) β¨ ((π β¨ π§) β§ π))) |
104 | 6, 8 | atbase 37797 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
105 | 4, 104 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
106 | 6, 14 | latmcl 18334 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π§) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π§) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
107 | 3, 75, 24, 106 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((π β¨ π§) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
108 | 6, 8 | atbase 37797 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
109 | 5, 108 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
110 | 6, 7 | latj32 18379 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π§) β§ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β ((π β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ ((π β¨ π§) β§ π))) |
111 | 3, 105, 107, 109, 110 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((π β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ ((π β¨ π§) β§ π))) |
112 | 103, 111 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((π β¨ π) β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) = ((π β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π)) |
113 | 7, 8 | hlatj32 37880 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π§ β π΄)) β ((π β¨ π) β¨ π§) = ((π β¨ π§) β¨ π)) |
114 | 2, 4, 5, 12, 113 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((π β¨ π) β¨ π§) = ((π β¨ π§) β¨ π)) |
115 | 89, 112, 114 | 3eqtr4rd 2784 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((π β¨ π) β¨ π§) = ((π β¨ π) β¨ ((π β¨ π§) β§ π))) |
116 | 6, 7 | latj32 18379 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π§) β§ π) β (BaseβπΎ))) β ((π β¨ π) β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) = ((π β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π)) |
117 | 3, 109, 69, 107, 116 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((π β¨ π) β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) = ((π β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π)) |
118 | 115, 117 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((π β¨ π) β¨ π§) = ((π β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π)) |
119 | 118 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((π§ β¨ π) β§ ((π β¨ π) β¨ π§)) = ((π§ β¨ π) β§ ((π β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π))) |
120 | 6, 7 | latjcl 18333 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π§ β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β¨ π§) β (BaseβπΎ)) |
121 | 3, 10, 63, 120 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((π β¨ π) β¨ π§) β (BaseβπΎ)) |
122 | 6, 13, 7 | latlej2 18343 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π§ β (BaseβπΎ)) β π§ β€ ((π β¨ π) β¨ π§)) |
123 | 3, 10, 63, 122 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β π§ β€ ((π β¨ π) β¨ π§)) |
124 | 6, 13, 7, 14, 8 | atmod1i1 38366 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΎ β HL β§ (π§ β π΄ β§ π β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π) β¨ π§) β (BaseβπΎ)) β§ π§ β€ ((π β¨ π) β¨ π§)) β (π§ β¨ (π β§ ((π β¨ π) β¨ π§))) = ((π§ β¨ π) β§ ((π β¨ π) β¨ π§))) |
125 | 2, 12, 69, 121, 123, 124 | syl131anc 1384 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π§ β¨ (π β§ ((π β¨ π) β¨ π§))) = ((π§ β¨ π) β§ ((π β¨ π) β¨ π§))) |
126 | 17 | oveq1i 7368 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (πΉ β¨ π) = (((π§ β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π§) β§ π))) β¨ π) |
127 | 6, 7, 8 | hlatjcl 37875 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((πΎ β HL β§ π§ β π΄ β§ π β π΄) β (π§ β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
128 | 2, 12, 45, 127 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π§ β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
129 | 6, 7 | latjcl 18333 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π§) β§ π) β (BaseβπΎ)) β (π β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β (BaseβπΎ)) |
130 | 3, 109, 107, 129 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β (BaseβπΎ)) |
131 | 13, 7, 8 | hlatlej2 37884 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((πΎ β HL β§ π§ β π΄ β§ π β π΄) β π β€ (π§ β¨ π)) |
132 | 2, 12, 45, 131 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β π β€ (π§ β¨ π)) |
133 | 6, 13, 7, 14, 8 | atmod2i1 38370 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ (π§ β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β (BaseβπΎ)) β§ π β€ (π§ β¨ π)) β (((π§ β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π§) β§ π))) β¨ π) = ((π§ β¨ π) β§ ((π β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π))) |
134 | 2, 45, 128, 130, 132, 133 | syl131anc 1384 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (((π§ β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π§) β§ π))) β¨ π) = ((π§ β¨ π) β§ ((π β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π))) |
135 | 126, 134 | eqtrid 2785 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (πΉ β¨ π) = ((π§ β¨ π) β§ ((π β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π))) |
136 | 119, 125,
135 | 3eqtr4rd 2784 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (πΉ β¨ π) = (π§ β¨ (π β§ ((π β¨ π) β¨ π§)))) |
137 | 6, 13, 7 | latlej1 18342 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π§ β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π) β€ ((π β¨ π) β¨ π§)) |
138 | 3, 10, 63, 137 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π β¨ π) β€ ((π β¨ π) β¨ π§)) |
139 | 6, 13, 3, 69, 10, 121, 53, 138 | lattrd 18340 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β π β€ ((π β¨ π) β¨ π§)) |
140 | 6, 13, 14 | latleeqm1 18361 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π) β¨ π§) β (BaseβπΎ)) β (π β€ ((π β¨ π) β¨ π§) β (π β§ ((π β¨ π) β¨ π§)) = π)) |
141 | 3, 69, 121, 140 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π β€ ((π β¨ π) β¨ π§) β (π β§ ((π β¨ π) β¨ π§)) = π)) |
142 | 139, 141 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π β§ ((π β¨ π) β¨ π§)) = π) |
143 | 142 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π§ β¨ (π β§ ((π β¨ π) β¨ π§))) = (π§ β¨ π)) |
144 | 136, 143 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (πΉ β¨ π) = (π§ β¨ π)) |
145 | 144 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((πΉ β¨ π) β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) = ((π§ β¨ π) β¨ ((π β¨ π§) β§ π))) |
146 | 73, 145 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π) = ((π§ β¨ π) β¨ ((π β¨ π§) β§ π))) |
147 | 13, 7, 8 | hlatlej2 37884 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π§ β π΄) β π§ β€ (π β¨ π§)) |
148 | 2, 34, 12, 147 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β π§ β€ (π β¨ π§)) |
149 | 6, 13, 7, 14, 8 | atmod3i1 38373 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΎ β HL β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ π§ β€ (π β¨ π§)) β (π§ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) = ((π β¨ π§) β§ (π§ β¨ π))) |
150 | 2, 12, 47, 24, 148, 149 | syl131anc 1384 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π§ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) = ((π β¨ π§) β§ (π§ β¨ π))) |
151 | | simp33 1212 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π)) |
152 | 13, 7, 80, 8, 15 | lhpjat2 38530 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π)) β (π§ β¨ π) = (1.βπΎ)) |
153 | 2, 11, 151, 152 | syl21anc 837 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π§ β¨ π) = (1.βπΎ)) |
154 | 153 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((π β¨ π§) β§ (π§ β¨ π)) = ((π β¨ π§) β§ (1.βπΎ))) |
155 | 150, 154 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π§ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) = ((π β¨ π§) β§ (1.βπΎ))) |
156 | 6, 14, 80 | olm11 37735 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β OL β§ (π β¨ π§) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π§) β§ (1.βπΎ)) = (π β¨ π§)) |
157 | 85, 47, 156 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((π β¨ π§) β§ (1.βπΎ)) = (π β¨ π§)) |
158 | 155, 157 | eqtr2d 2774 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π β¨ π§) = (π§ β¨ ((π β¨ π§) β§ π))) |
159 | 158 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((π β¨ π§) β¨ π) = ((π§ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π)) |
160 | 71, 146, 159 | 3eqtr4rd 2784 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((π β¨ π§) β¨ π) = ((πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π)) |
161 | 67, 160 | eqtrd 2773 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((π β¨ π) β¨ π§) = ((πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π)) |
162 | 65, 161 | breqtrd 5132 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π β¨ π) β€ ((πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π)) |
163 | 59, 162 | eqbrtrd 5128 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π β¨ π) β€ ((πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π)) |
164 | 6, 7 | latjcl 18333 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
165 | 3, 51, 69, 164 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
166 | 6, 13, 14 | latleeqm1 18361 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ ((πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β€ ((πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π) β ((π β¨ π) β§ ((πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π)) = (π β¨ π))) |
167 | 3, 10, 165, 166 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((π β¨ π) β€ ((πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π) β ((π β¨ π) β§ ((πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π)) = (π β¨ π))) |
168 | 163, 167 | mpbid 231 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β ((π β¨ π) β§ ((πΉ β¨ ((π β¨ π§) β§ π)) β¨ π)) = (π β¨ π)) |
169 | 57, 168 | eqtr2d 2774 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
170 | 31, 169 | breqtrd 5132 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π))) β π β€ (π β¨ π)) |