Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatj32 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlatj32 37765
Description: Swap 2nd and 3rd members of lattice join. Frequently-used special case of latj32 18333 for atoms. (Contributed by NM, 21-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatjcom.j = (join‘𝐾)
hlatjcom.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlatj32 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑃 𝑅) 𝑄))

Proof of Theorem hlatj32
StepHypRef Expression
1 hllat 37756 . . 3 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 481 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simpr1 1194 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃𝐴)
4 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5 hlatjcom.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
64, 5atbase 37682 . . 3 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
73, 6syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
8 simpr2 1195 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄𝐴)
94, 5atbase 37682 . . 3 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
108, 9syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
11 simpr3 1196 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐴)
124, 5atbase 37682 . . 3 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
1311, 12syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
14 hlatjcom.j . . 3 = (join‘𝐾)
154, 14latj32 18333 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑃 𝑅) 𝑄))
162, 7, 10, 13, 15syl13anc 1372 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑃 𝑅) 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6493  (class class class)co 7351  Basecbs 17042  joincjn 18159  Latclat 18279  Atomscatm 37656  HLchlt 37743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-proset 18143  df-poset 18161  df-lub 18194  df-glb 18195  df-join 18196  df-meet 18197  df-lat 18280  df-ats 37660  df-atl 37691  df-cvlat 37715  df-hlat 37744
This theorem is referenced by:  hlatjrot  37766  ps-2  37872  3atlem2  37878  3atlem6  37882  4atlem3b  37992  4atlem11  38003  2lplnja  38013  dalawlem5  38269  dalawlem7  38271  cdleme9  38647  cdleme20aN  38703  cdleme22e  38738  cdleme22eALTN  38739  dia2dimlem3  39460
  Copyright terms: Public domain W3C validator