Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatj32 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlatj32 36388
Description: Swap 2nd and 3rd members of lattice join. Frequently-used special case of latj32 17695 for atoms. (Contributed by NM, 21-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatjcom.j = (join‘𝐾)
hlatjcom.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlatj32 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑃 𝑅) 𝑄))

Proof of Theorem hlatj32
StepHypRef Expression
1 hllat 36379 . . 3 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 481 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simpr1 1186 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃𝐴)
4 eqid 2818 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5 hlatjcom.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
64, 5atbase 36305 . . 3 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
73, 6syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
8 simpr2 1187 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄𝐴)
94, 5atbase 36305 . . 3 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
108, 9syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
11 simpr3 1188 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐴)
124, 5atbase 36305 . . 3 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
1311, 12syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
14 hlatjcom.j . . 3 = (join‘𝐾)
154, 14latj32 17695 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑃 𝑅) 𝑄))
162, 7, 10, 13, 15syl13anc 1364 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑃 𝑅) 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  joincjn 17542  Latclat 17643  Atomscatm 36279  HLchlt 36366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-proset 17526  df-poset 17544  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-lat 17644  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367
This theorem is referenced by:  hlatjrot  36389  ps-2  36494  3atlem2  36500  3atlem6  36504  4atlem3b  36614  4atlem11  36625  2lplnja  36635  dalawlem5  36891  dalawlem7  36893  cdleme9  37269  cdleme20aN  37325  cdleme22e  37360  cdleme22eALTN  37361  dia2dimlem3  38082
  Copyright terms: Public domain W3C validator