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Theorem cdleme22eALTN 38606
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 4th line on p. 115. 𝐹, 𝑁, 𝑂 represent f(z), fz(s), fz(t) respectively. When t v = p q, fz(s) fz(t) v. (Contributed by NM, 6-Dec-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme22.l = (le‘𝐾)
cdleme22.j = (join‘𝐾)
cdleme22.m = (meet‘𝐾)
cdleme22.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme22.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme22eALT.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme22eALT.f 𝐹 = ((𝑦 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑦) 𝑊)))
cdleme22eALT.g 𝐺 = ((𝑧 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)))
cdleme22eALT.n 𝑁 = ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑆 𝑦) 𝑊)))
cdleme22eALT.o 𝑂 = ((𝑃 𝑄) (𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)))
Assertion
Ref Expression
cdleme22eALTN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑁 (𝑂 𝑉))

Proof of Theorem cdleme22eALTN
StepHypRef Expression
1 cdleme22eALT.n . . 3 𝑁 = ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑆 𝑦) 𝑊)))
2 simp11 1202 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝐾 ∈ HL)
32hllatd 37624 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simp21l 1289 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑃𝐴)
5 simp22l 1291 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑄𝐴)
6 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 cdleme22.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
8 cdleme22.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
96, 7, 8hlatjcl 37627 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
102, 4, 5, 9syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
11 simp12 1203 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑊𝐻)
12 simp3ll 1243 . . . . . . 7 ((𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊))) → 𝑦𝐴)
13123ad2ant3 1134 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑦𝐴)
14 cdleme22.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
15 cdleme22.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
16 cdleme22.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
17 cdleme22eALT.u . . . . . . 7 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
18 cdleme22eALT.f . . . . . . 7 𝐹 = ((𝑦 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑦) 𝑊)))
1914, 7, 15, 8, 16, 17, 18, 6cdleme1b 38487 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑦𝐴)) → 𝐹 ∈ (Base‘𝐾))
202, 11, 4, 5, 13, 19syl23anc 1376 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝐹 ∈ (Base‘𝐾))
21 simp31 1208 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑆𝐴)
226, 7, 8hlatjcl 37627 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑦𝐴) → (𝑆 𝑦) ∈ (Base‘𝐾))
232, 21, 13, 22syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑆 𝑦) ∈ (Base‘𝐾))
246, 16lhpbase 38259 . . . . . . 7 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2511, 24syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
266, 15latmcl 18247 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 𝑦) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑆 𝑦) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
273, 23, 25, 26syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑆 𝑦) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
286, 7latjcl 18246 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑆 𝑦) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐹 ((𝑆 𝑦) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
293, 20, 27, 28syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝐹 ((𝑆 𝑦) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
306, 14, 15latmle1 18271 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹 ((𝑆 𝑦) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑆 𝑦) 𝑊))) (𝑃 𝑄))
313, 10, 29, 30syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑆 𝑦) 𝑊))) (𝑃 𝑄))
321, 31eqbrtrid 5124 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑁 (𝑃 𝑄))
33 simp21 1205 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
34 simp13 1204 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑇𝐴)
35 simp321 1322 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑉𝐴)
36 simp322 1323 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑉 𝑊)
3735, 36jca 512 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
38 simp23 1207 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑃𝑄)
39 simp323 1324 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄))
4014, 7, 15, 8, 16, 17cdleme22a 38601 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑇𝐴) ∧ ((𝑉𝐴𝑉 𝑊) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄))) → 𝑉 = 𝑈)
412, 11, 33, 5, 34, 37, 38, 39, 40syl233anc 1398 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑉 = 𝑈)
4241oveq2d 7345 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑂 𝑉) = (𝑂 𝑈))
43 cdleme22eALT.o . . . . 5 𝑂 = ((𝑃 𝑄) (𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)))
4443oveq1i 7339 . . . 4 (𝑂 𝑈) = (((𝑃 𝑄) (𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊))) 𝑈)
45 simp21r 1290 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ¬ 𝑃 𝑊)
4614, 7, 15, 8, 16, 17cdleme0a 38472 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑈𝐴)
472, 11, 4, 45, 5, 38, 46syl222anc 1385 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑈𝐴)
48 simp3rl 1245 . . . . . . . 8 ((𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊))) → 𝑧𝐴)
49483ad2ant3 1134 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑧𝐴)
50 cdleme22eALT.g . . . . . . . 8 𝐺 = ((𝑧 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)))
5114, 7, 15, 8, 16, 17, 50, 6cdleme1b 38487 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑧𝐴)) → 𝐺 ∈ (Base‘𝐾))
522, 11, 4, 5, 49, 51syl23anc 1376 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝐺 ∈ (Base‘𝐾))
536, 7, 8hlatjcl 37627 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴𝑧𝐴) → (𝑇 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
542, 34, 49, 53syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑇 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
556, 15latmcl 18247 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑇 𝑧) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑇 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
563, 54, 25, 55syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑇 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
576, 7latjcl 18246 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑇 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
583, 52, 56, 57syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
5914, 7, 15, 8, 16, 17cdlemeulpq 38481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑈 (𝑃 𝑄))
602, 11, 4, 5, 59syl22anc 836 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑈 (𝑃 𝑄))
616, 14, 7, 15, 8atmod2i1 38122 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑈 (𝑃 𝑄)) → (((𝑃 𝑄) (𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊))) 𝑈) = ((𝑃 𝑄) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈)))
622, 47, 10, 58, 60, 61syl131anc 1382 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (((𝑃 𝑄) (𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊))) 𝑈) = ((𝑃 𝑄) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈)))
6344, 62eqtr2id 2789 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈)) = (𝑂 𝑈))
6441oveq2d 7345 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑇 𝑉) = (𝑇 𝑈))
6539, 64eqtr3d 2778 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃 𝑄) = (𝑇 𝑈))
666, 7, 8hlatjcl 37627 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴𝑈𝐴) → (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
672, 34, 47, 66syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
686, 8atbase 37549 . . . . . . . 8 (𝑧𝐴𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
6949, 68syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
706, 14, 7latlej1 18255 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑇 𝑈) ((𝑇 𝑈) 𝑧))
713, 67, 69, 70syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑇 𝑈) ((𝑇 𝑈) 𝑧))
727, 8hlatj32 37632 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑇𝐴𝑈𝐴𝑧𝐴)) → ((𝑇 𝑈) 𝑧) = ((𝑇 𝑧) 𝑈))
732, 34, 47, 49, 72syl13anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑇 𝑈) 𝑧) = ((𝑇 𝑧) 𝑈))
746, 8atbase 37549 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
7547, 74syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
766, 7latj32 18292 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑇 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑧 𝑈) ((𝑇 𝑧) 𝑊)) = ((𝑧 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
773, 69, 75, 56, 76syl13anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑧 𝑈) ((𝑇 𝑧) 𝑊)) = ((𝑧 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
786, 7latj32 18292 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑇 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈) = ((𝐺 𝑈) ((𝑇 𝑧) 𝑊)))
793, 52, 56, 75, 78syl13anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈) = ((𝐺 𝑈) ((𝑇 𝑧) 𝑊)))
806, 7, 8hlatjcl 37627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑧𝐴) → (𝑃 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
812, 4, 49, 80syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
8214, 7, 8hlatlej1 37635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑧𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑧))
832, 4, 49, 82syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑃 (𝑃 𝑧))
846, 14, 7, 15, 8atmod3i1 38125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴 ∧ (𝑃 𝑧) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃 (𝑃 𝑧)) → (𝑃 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) = ((𝑃 𝑧) (𝑃 𝑊)))
852, 4, 81, 25, 83, 84syl131anc 1382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) = ((𝑃 𝑧) (𝑃 𝑊)))
86 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
8714, 7, 86, 8, 16lhpjat2 38282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑊) = (1.‘𝐾))
882, 11, 33, 87syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃 𝑊) = (1.‘𝐾))
8988oveq2d 7345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑧) (𝑃 𝑊)) = ((𝑃 𝑧) (1.‘𝐾)))
90 hlol 37621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
912, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝐾 ∈ OL)
926, 15, 86olm11 37487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 𝑧) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑧) (1.‘𝐾)) = (𝑃 𝑧))
9391, 81, 92syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑧) (1.‘𝐾)) = (𝑃 𝑧))
9485, 89, 933eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) = (𝑃 𝑧))
9594oveq1d 7344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑄) = ((𝑃 𝑧) 𝑄))
9617oveq2i 7340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑄 𝑈) = (𝑄 ((𝑃 𝑄) 𝑊))
9714, 7, 8hlatlej2 37636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑄 (𝑃 𝑄))
982, 4, 5, 97syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑄 (𝑃 𝑄))
996, 14, 7, 15, 8atmod3i1 38125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑄 (𝑃 𝑄)) → (𝑄 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) (𝑄 𝑊)))
1002, 5, 10, 25, 98, 99syl131anc 1382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑄 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) (𝑄 𝑊)))
10196, 100eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑄 𝑈) = ((𝑃 𝑄) (𝑄 𝑊)))
102 simp22 1206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
10314, 7, 86, 8, 16lhpjat2 38282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝑄 𝑊) = (1.‘𝐾))
1042, 11, 102, 103syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑄 𝑊) = (1.‘𝐾))
105104oveq2d 7345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑄 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) (1.‘𝐾)))
1066, 15, 86olm11 37487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) (1.‘𝐾)) = (𝑃 𝑄))
10791, 10, 106syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (1.‘𝐾)) = (𝑃 𝑄))
108101, 105, 1073eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑄 𝑈) = (𝑃 𝑄))
109108oveq1d 7344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑄 𝑈) ((𝑃 𝑧) 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) ((𝑃 𝑧) 𝑊)))
1106, 8atbase 37549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
1114, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
1126, 15latmcl 18247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑧) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
1133, 81, 25, 112syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
1146, 8atbase 37549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
1155, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
1166, 7latj32 18292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑄) = ((𝑃 𝑄) ((𝑃 𝑧) 𝑊)))
1173, 111, 113, 115, 116syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑄) = ((𝑃 𝑄) ((𝑃 𝑧) 𝑊)))
118109, 117eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑄 𝑈) ((𝑃 𝑧) 𝑊)) = ((𝑃 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑄))
1197, 8hlatj32 37632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑧𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑧) = ((𝑃 𝑧) 𝑄))
1202, 4, 5, 49, 119syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) 𝑧) = ((𝑃 𝑧) 𝑄))
12195, 118, 1203eqtr4rd 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) 𝑧) = ((𝑄 𝑈) ((𝑃 𝑧) 𝑊)))
1226, 7latj32 18292 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑄 𝑈) ((𝑃 𝑧) 𝑊)) = ((𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
1233, 115, 75, 113, 122syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑄 𝑈) ((𝑃 𝑧) 𝑊)) = ((𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
124121, 123eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) 𝑧) = ((𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
125124oveq2d 7345 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑧 𝑈) ((𝑃 𝑄) 𝑧)) = ((𝑧 𝑈) ((𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑈)))
1266, 7latjcl 18246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
1273, 10, 69, 126syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
1286, 14, 7latlej2 18256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑧 ((𝑃 𝑄) 𝑧))
1293, 10, 69, 128syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑧 ((𝑃 𝑄) 𝑧))
1306, 14, 7, 15, 8atmod1i1 38118 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑧𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑧) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ((𝑃 𝑄) 𝑧)) → (𝑧 (𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧))) = ((𝑧 𝑈) ((𝑃 𝑄) 𝑧)))
1312, 49, 75, 127, 129, 130syl131anc 1382 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑧 (𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧))) = ((𝑧 𝑈) ((𝑃 𝑄) 𝑧)))
13250oveq1i 7339 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 𝑈) = (((𝑧 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊))) 𝑈)
1336, 7, 8hlatjcl 37627 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧𝐴𝑈𝐴) → (𝑧 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
1342, 49, 47, 133syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑧 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
1356, 7latjcl 18246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
1363, 115, 113, 135syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
13714, 7, 8hlatlej2 37636 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧𝐴𝑈𝐴) → 𝑈 (𝑧 𝑈))
1382, 49, 47, 137syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑈 (𝑧 𝑈))
1396, 14, 7, 15, 8atmod2i1 38122 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑧 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑈 (𝑧 𝑈)) → (((𝑧 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊))) 𝑈) = ((𝑧 𝑈) ((𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑈)))
1402, 47, 134, 136, 138, 139syl131anc 1382 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (((𝑧 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊))) 𝑈) = ((𝑧 𝑈) ((𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑈)))
141132, 140eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝐺 𝑈) = ((𝑧 𝑈) ((𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑈)))
142125, 131, 1413eqtr4rd 2787 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝐺 𝑈) = (𝑧 (𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧))))
1436, 14, 7latlej1 18255 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑄) ((𝑃 𝑄) 𝑧))
1443, 10, 69, 143syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃 𝑄) ((𝑃 𝑄) 𝑧))
1456, 14, 3, 75, 10, 127, 60, 144lattrd 18253 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧))
1466, 14, 15latleeqm1 18274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑧) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧) ↔ (𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧)) = 𝑈))
1473, 75, 127, 146syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧) ↔ (𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧)) = 𝑈))
148145, 147mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧)) = 𝑈)
149148oveq2d 7345 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑧 (𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧))) = (𝑧 𝑈))
150142, 149eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝐺 𝑈) = (𝑧 𝑈))
151150oveq1d 7344 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝐺 𝑈) ((𝑇 𝑧) 𝑊)) = ((𝑧 𝑈) ((𝑇 𝑧) 𝑊)))
15279, 151eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈) = ((𝑧 𝑈) ((𝑇 𝑧) 𝑊)))
15314, 7, 8hlatlej2 37636 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴𝑧𝐴) → 𝑧 (𝑇 𝑧))
1542, 34, 49, 153syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑧 (𝑇 𝑧))
1556, 14, 7, 15, 8atmod3i1 38125 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑇 𝑧) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 (𝑇 𝑧)) → (𝑧 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) = ((𝑇 𝑧) (𝑧 𝑊)))
1562, 49, 54, 25, 154, 155syl131anc 1382 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑧 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) = ((𝑇 𝑧) (𝑧 𝑊)))
157 simp33r 1300 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊))
15814, 7, 86, 8, 16lhpjat2 38282 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)) → (𝑧 𝑊) = (1.‘𝐾))
1592, 11, 157, 158syl21anc 835 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑧 𝑊) = (1.‘𝐾))
160159oveq2d 7345 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑇 𝑧) (𝑧 𝑊)) = ((𝑇 𝑧) (1.‘𝐾)))
1616, 15, 86olm11 37487 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑇 𝑧) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑇 𝑧) (1.‘𝐾)) = (𝑇 𝑧))
16291, 54, 161syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑇 𝑧) (1.‘𝐾)) = (𝑇 𝑧))
163156, 160, 1623eqtrrd 2781 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑇 𝑧) = (𝑧 ((𝑇 𝑧) 𝑊)))
164163oveq1d 7344 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑇 𝑧) 𝑈) = ((𝑧 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
16577, 152, 1643eqtr4rd 2787 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑇 𝑧) 𝑈) = ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
16673, 165eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑇 𝑈) 𝑧) = ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
16771, 166breqtrd 5115 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑇 𝑈) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
16865, 167eqbrtrd 5111 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃 𝑄) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
1696, 7latjcl 18246 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
1703, 58, 75, 169syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
1716, 14, 15latleeqm1 18274 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈) ↔ ((𝑃 𝑄) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈)) = (𝑃 𝑄)))
1723, 10, 170, 171syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈) ↔ ((𝑃 𝑄) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈)) = (𝑃 𝑄)))
173168, 172mpbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈)) = (𝑃 𝑄))
17442, 63, 1733eqtr2rd 2783 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃 𝑄) = (𝑂 𝑉))
17532, 174breqtrd 5115 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑁 (𝑂 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940   class class class wbr 5089  cfv 6473  (class class class)co 7329  Basecbs 17001  lecple 17058  joincjn 18118  meetcmee 18119  1.cp1 18231  Latclat 18238  OLcol 37434  Atomscatm 37523  HLchlt 37610  LHypclh 38245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-id 5512  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-proset 18102  df-poset 18120  df-plt 18137  df-lub 18153  df-glb 18154  df-join 18155  df-meet 18156  df-p0 18232  df-p1 18233  df-lat 18239  df-clat 18306  df-oposet 37436  df-ol 37438  df-oml 37439  df-covers 37526  df-ats 37527  df-atl 37558  df-cvlat 37582  df-hlat 37611  df-psubsp 37764  df-pmap 37765  df-padd 38057  df-lhyp 38249
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