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Theorem cdleme22eALTN 36504
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 4th line on p. 115. 𝐹, 𝑁, 𝑂 represent f(z), fz(s), fz(t) respectively. When t v = p q, fz(s) fz(t) v. (Contributed by NM, 6-Dec-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme22.l = (le‘𝐾)
cdleme22.j = (join‘𝐾)
cdleme22.m = (meet‘𝐾)
cdleme22.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme22.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme22eALT.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme22eALT.f 𝐹 = ((𝑦 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑦) 𝑊)))
cdleme22eALT.g 𝐺 = ((𝑧 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)))
cdleme22eALT.n 𝑁 = ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑆 𝑦) 𝑊)))
cdleme22eALT.o 𝑂 = ((𝑃 𝑄) (𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)))
Assertion
Ref Expression
cdleme22eALTN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑁 (𝑂 𝑉))

Proof of Theorem cdleme22eALTN
StepHypRef Expression
1 cdleme22eALT.n . . 3 𝑁 = ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑆 𝑦) 𝑊)))
2 simp11 1217 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝐾 ∈ HL)
32hllatd 35523 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simp21l 1346 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑃𝐴)
5 simp22l 1348 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑄𝐴)
6 eqid 2778 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 cdleme22.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
8 cdleme22.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
96, 7, 8hlatjcl 35526 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
102, 4, 5, 9syl3anc 1439 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
11 simp12 1218 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑊𝐻)
12 simp3ll 1282 . . . . . . 7 ((𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊))) → 𝑦𝐴)
13123ad2ant3 1126 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑦𝐴)
14 cdleme22.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
15 cdleme22.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
16 cdleme22.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
17 cdleme22eALT.u . . . . . . 7 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
18 cdleme22eALT.f . . . . . . 7 𝐹 = ((𝑦 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑦) 𝑊)))
1914, 7, 15, 8, 16, 17, 18, 6cdleme1b 36385 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑦𝐴)) → 𝐹 ∈ (Base‘𝐾))
202, 11, 4, 5, 13, 19syl23anc 1445 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝐹 ∈ (Base‘𝐾))
21 simp31 1223 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑆𝐴)
226, 7, 8hlatjcl 35526 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑦𝐴) → (𝑆 𝑦) ∈ (Base‘𝐾))
232, 21, 13, 22syl3anc 1439 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑆 𝑦) ∈ (Base‘𝐾))
246, 16lhpbase 36157 . . . . . . 7 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2511, 24syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
266, 15latmcl 17442 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 𝑦) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑆 𝑦) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
273, 23, 25, 26syl3anc 1439 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑆 𝑦) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
286, 7latjcl 17441 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑆 𝑦) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐹 ((𝑆 𝑦) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
293, 20, 27, 28syl3anc 1439 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝐹 ((𝑆 𝑦) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
306, 14, 15latmle1 17466 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹 ((𝑆 𝑦) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑆 𝑦) 𝑊))) (𝑃 𝑄))
313, 10, 29, 30syl3anc 1439 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑆 𝑦) 𝑊))) (𝑃 𝑄))
321, 31syl5eqbr 4923 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑁 (𝑃 𝑄))
33 simp21 1220 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
34 simp13 1219 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑇𝐴)
35 simp321 1379 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑉𝐴)
36 simp322 1380 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑉 𝑊)
3735, 36jca 507 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
38 simp23 1222 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑃𝑄)
39 simp323 1381 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄))
4014, 7, 15, 8, 16, 17cdleme22a 36499 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑇𝐴) ∧ ((𝑉𝐴𝑉 𝑊) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄))) → 𝑉 = 𝑈)
412, 11, 33, 5, 34, 37, 38, 39, 40syl233anc 1467 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑉 = 𝑈)
4241oveq2d 6940 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑂 𝑉) = (𝑂 𝑈))
43 cdleme22eALT.o . . . . 5 𝑂 = ((𝑃 𝑄) (𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)))
4443oveq1i 6934 . . . 4 (𝑂 𝑈) = (((𝑃 𝑄) (𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊))) 𝑈)
45 simp21r 1347 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ¬ 𝑃 𝑊)
4614, 7, 15, 8, 16, 17cdleme0a 36370 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑈𝐴)
472, 11, 4, 45, 5, 38, 46syl222anc 1454 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑈𝐴)
48 simp3rl 1284 . . . . . . . 8 ((𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊))) → 𝑧𝐴)
49483ad2ant3 1126 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑧𝐴)
50 cdleme22eALT.g . . . . . . . 8 𝐺 = ((𝑧 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)))
5114, 7, 15, 8, 16, 17, 50, 6cdleme1b 36385 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑧𝐴)) → 𝐺 ∈ (Base‘𝐾))
522, 11, 4, 5, 49, 51syl23anc 1445 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝐺 ∈ (Base‘𝐾))
536, 7, 8hlatjcl 35526 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴𝑧𝐴) → (𝑇 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
542, 34, 49, 53syl3anc 1439 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑇 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
556, 15latmcl 17442 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑇 𝑧) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑇 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
563, 54, 25, 55syl3anc 1439 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑇 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
576, 7latjcl 17441 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑇 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
583, 52, 56, 57syl3anc 1439 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
5914, 7, 15, 8, 16, 17cdlemeulpq 36379 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑈 (𝑃 𝑄))
602, 11, 4, 5, 59syl22anc 829 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑈 (𝑃 𝑄))
616, 14, 7, 15, 8atmod2i1 36020 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑈 (𝑃 𝑄)) → (((𝑃 𝑄) (𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊))) 𝑈) = ((𝑃 𝑄) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈)))
622, 47, 10, 58, 60, 61syl131anc 1451 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (((𝑃 𝑄) (𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊))) 𝑈) = ((𝑃 𝑄) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈)))
6344, 62syl5req 2827 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈)) = (𝑂 𝑈))
6441oveq2d 6940 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑇 𝑉) = (𝑇 𝑈))
6539, 64eqtr3d 2816 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃 𝑄) = (𝑇 𝑈))
666, 7, 8hlatjcl 35526 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴𝑈𝐴) → (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
672, 34, 47, 66syl3anc 1439 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
686, 8atbase 35448 . . . . . . . 8 (𝑧𝐴𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
6949, 68syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
706, 14, 7latlej1 17450 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑇 𝑈) ((𝑇 𝑈) 𝑧))
713, 67, 69, 70syl3anc 1439 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑇 𝑈) ((𝑇 𝑈) 𝑧))
727, 8hlatj32 35531 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑇𝐴𝑈𝐴𝑧𝐴)) → ((𝑇 𝑈) 𝑧) = ((𝑇 𝑧) 𝑈))
732, 34, 47, 49, 72syl13anc 1440 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑇 𝑈) 𝑧) = ((𝑇 𝑧) 𝑈))
746, 8atbase 35448 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
7547, 74syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
766, 7latj32 17487 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑇 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑧 𝑈) ((𝑇 𝑧) 𝑊)) = ((𝑧 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
773, 69, 75, 56, 76syl13anc 1440 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑧 𝑈) ((𝑇 𝑧) 𝑊)) = ((𝑧 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
786, 7latj32 17487 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑇 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈) = ((𝐺 𝑈) ((𝑇 𝑧) 𝑊)))
793, 52, 56, 75, 78syl13anc 1440 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈) = ((𝐺 𝑈) ((𝑇 𝑧) 𝑊)))
806, 7, 8hlatjcl 35526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑧𝐴) → (𝑃 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
812, 4, 49, 80syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
8214, 7, 8hlatlej1 35534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑧𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑧))
832, 4, 49, 82syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑃 (𝑃 𝑧))
846, 14, 7, 15, 8atmod3i1 36023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴 ∧ (𝑃 𝑧) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃 (𝑃 𝑧)) → (𝑃 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) = ((𝑃 𝑧) (𝑃 𝑊)))
852, 4, 81, 25, 83, 84syl131anc 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) = ((𝑃 𝑧) (𝑃 𝑊)))
86 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
8714, 7, 86, 8, 16lhpjat2 36180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑊) = (1.‘𝐾))
882, 11, 33, 87syl21anc 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃 𝑊) = (1.‘𝐾))
8988oveq2d 6940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑧) (𝑃 𝑊)) = ((𝑃 𝑧) (1.‘𝐾)))
90 hlol 35520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
912, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝐾 ∈ OL)
926, 15, 86olm11 35386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 𝑧) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑧) (1.‘𝐾)) = (𝑃 𝑧))
9391, 81, 92syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑧) (1.‘𝐾)) = (𝑃 𝑧))
9485, 89, 933eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) = (𝑃 𝑧))
9594oveq1d 6939 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑄) = ((𝑃 𝑧) 𝑄))
9617oveq2i 6935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑄 𝑈) = (𝑄 ((𝑃 𝑄) 𝑊))
9714, 7, 8hlatlej2 35535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑄 (𝑃 𝑄))
982, 4, 5, 97syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑄 (𝑃 𝑄))
996, 14, 7, 15, 8atmod3i1 36023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑄 (𝑃 𝑄)) → (𝑄 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) (𝑄 𝑊)))
1002, 5, 10, 25, 98, 99syl131anc 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑄 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) (𝑄 𝑊)))
10196, 100syl5eq 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑄 𝑈) = ((𝑃 𝑄) (𝑄 𝑊)))
102 simp22 1221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
10314, 7, 86, 8, 16lhpjat2 36180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝑄 𝑊) = (1.‘𝐾))
1042, 11, 102, 103syl21anc 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑄 𝑊) = (1.‘𝐾))
105104oveq2d 6940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑄 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) (1.‘𝐾)))
1066, 15, 86olm11 35386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) (1.‘𝐾)) = (𝑃 𝑄))
10791, 10, 106syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (1.‘𝐾)) = (𝑃 𝑄))
108101, 105, 1073eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑄 𝑈) = (𝑃 𝑄))
109108oveq1d 6939 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑄 𝑈) ((𝑃 𝑧) 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) ((𝑃 𝑧) 𝑊)))
1106, 8atbase 35448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
1114, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
1126, 15latmcl 17442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑧) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
1133, 81, 25, 112syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
1146, 8atbase 35448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
1155, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
1166, 7latj32 17487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑄) = ((𝑃 𝑄) ((𝑃 𝑧) 𝑊)))
1173, 111, 113, 115, 116syl13anc 1440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑄) = ((𝑃 𝑄) ((𝑃 𝑧) 𝑊)))
118109, 117eqtr4d 2817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑄 𝑈) ((𝑃 𝑧) 𝑊)) = ((𝑃 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑄))
1197, 8hlatj32 35531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑧𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑧) = ((𝑃 𝑧) 𝑄))
1202, 4, 5, 49, 119syl13anc 1440 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) 𝑧) = ((𝑃 𝑧) 𝑄))
12195, 118, 1203eqtr4rd 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) 𝑧) = ((𝑄 𝑈) ((𝑃 𝑧) 𝑊)))
1226, 7latj32 17487 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑄 𝑈) ((𝑃 𝑧) 𝑊)) = ((𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
1233, 115, 75, 113, 122syl13anc 1440 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑄 𝑈) ((𝑃 𝑧) 𝑊)) = ((𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
124121, 123eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) 𝑧) = ((𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
125124oveq2d 6940 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑧 𝑈) ((𝑃 𝑄) 𝑧)) = ((𝑧 𝑈) ((𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑈)))
1266, 7latjcl 17441 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
1273, 10, 69, 126syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
1286, 14, 7latlej2 17451 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑧 ((𝑃 𝑄) 𝑧))
1293, 10, 69, 128syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑧 ((𝑃 𝑄) 𝑧))
1306, 14, 7, 15, 8atmod1i1 36016 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑧𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑧) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ((𝑃 𝑄) 𝑧)) → (𝑧 (𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧))) = ((𝑧 𝑈) ((𝑃 𝑄) 𝑧)))
1312, 49, 75, 127, 129, 130syl131anc 1451 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑧 (𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧))) = ((𝑧 𝑈) ((𝑃 𝑄) 𝑧)))
13250oveq1i 6934 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 𝑈) = (((𝑧 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊))) 𝑈)
1336, 7, 8hlatjcl 35526 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧𝐴𝑈𝐴) → (𝑧 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
1342, 49, 47, 133syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑧 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
1356, 7latjcl 17441 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
1363, 115, 113, 135syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
13714, 7, 8hlatlej2 35535 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧𝐴𝑈𝐴) → 𝑈 (𝑧 𝑈))
1382, 49, 47, 137syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑈 (𝑧 𝑈))
1396, 14, 7, 15, 8atmod2i1 36020 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑧 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑈 (𝑧 𝑈)) → (((𝑧 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊))) 𝑈) = ((𝑧 𝑈) ((𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑈)))
1402, 47, 134, 136, 138, 139syl131anc 1451 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (((𝑧 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊))) 𝑈) = ((𝑧 𝑈) ((𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑈)))
141132, 140syl5eq 2826 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝐺 𝑈) = ((𝑧 𝑈) ((𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑈)))
142125, 131, 1413eqtr4rd 2825 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝐺 𝑈) = (𝑧 (𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧))))
1436, 14, 7latlej1 17450 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑄) ((𝑃 𝑄) 𝑧))
1443, 10, 69, 143syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃 𝑄) ((𝑃 𝑄) 𝑧))
1456, 14, 3, 75, 10, 127, 60, 144lattrd 17448 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧))
1466, 14, 15latleeqm1 17469 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑧) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧) ↔ (𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧)) = 𝑈))
1473, 75, 127, 146syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧) ↔ (𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧)) = 𝑈))
148145, 147mpbid 224 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧)) = 𝑈)
149148oveq2d 6940 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑧 (𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧))) = (𝑧 𝑈))
150142, 149eqtrd 2814 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝐺 𝑈) = (𝑧 𝑈))
151150oveq1d 6939 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝐺 𝑈) ((𝑇 𝑧) 𝑊)) = ((𝑧 𝑈) ((𝑇 𝑧) 𝑊)))
15279, 151eqtrd 2814 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈) = ((𝑧 𝑈) ((𝑇 𝑧) 𝑊)))
15314, 7, 8hlatlej2 35535 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴𝑧𝐴) → 𝑧 (𝑇 𝑧))
1542, 34, 49, 153syl3anc 1439 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑧 (𝑇 𝑧))
1556, 14, 7, 15, 8atmod3i1 36023 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑇 𝑧) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 (𝑇 𝑧)) → (𝑧 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) = ((𝑇 𝑧) (𝑧 𝑊)))
1562, 49, 54, 25, 154, 155syl131anc 1451 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑧 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) = ((𝑇 𝑧) (𝑧 𝑊)))
157 simp33r 1357 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊))
15814, 7, 86, 8, 16lhpjat2 36180 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)) → (𝑧 𝑊) = (1.‘𝐾))
1592, 11, 157, 158syl21anc 828 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑧 𝑊) = (1.‘𝐾))
160159oveq2d 6940 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑇 𝑧) (𝑧 𝑊)) = ((𝑇 𝑧) (1.‘𝐾)))
1616, 15, 86olm11 35386 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑇 𝑧) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑇 𝑧) (1.‘𝐾)) = (𝑇 𝑧))
16291, 54, 161syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑇 𝑧) (1.‘𝐾)) = (𝑇 𝑧))
163156, 160, 1623eqtrrd 2819 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑇 𝑧) = (𝑧 ((𝑇 𝑧) 𝑊)))
164163oveq1d 6939 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑇 𝑧) 𝑈) = ((𝑧 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
16577, 152, 1643eqtr4rd 2825 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑇 𝑧) 𝑈) = ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
16673, 165eqtrd 2814 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑇 𝑈) 𝑧) = ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
16771, 166breqtrd 4914 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑇 𝑈) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
16865, 167eqbrtrd 4910 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃 𝑄) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
1696, 7latjcl 17441 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
1703, 58, 75, 169syl3anc 1439 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
1716, 14, 15latleeqm1 17469 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈) ↔ ((𝑃 𝑄) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈)) = (𝑃 𝑄)))
1723, 10, 170, 171syl3anc 1439 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈) ↔ ((𝑃 𝑄) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈)) = (𝑃 𝑄)))
173168, 172mpbid 224 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈)) = (𝑃 𝑄))
17442, 63, 1733eqtr2rd 2821 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃 𝑄) = (𝑂 𝑉))
17532, 174breqtrd 4914 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑁 (𝑂 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969   class class class wbr 4888  cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16259  lecple 16349  joincjn 17334  meetcmee 17335  1.cp1 17428  Latclat 17435  OLcol 35333  Atomscatm 35422  HLchlt 35509  LHypclh 36143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-proset 17318  df-poset 17336  df-plt 17348  df-lub 17364  df-glb 17365  df-join 17366  df-meet 17367  df-p0 17429  df-p1 17430  df-lat 17436  df-clat 17498  df-oposet 35335  df-ol 35337  df-oml 35338  df-covers 35425  df-ats 35426  df-atl 35457  df-cvlat 35481  df-hlat 35510  df-psubsp 35662  df-pmap 35663  df-padd 35955  df-lhyp 36147
This theorem is referenced by:  cdleme26eALTN  36520
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