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Theorem blcvx 23333
Description: An open ball in the complex numbers is a convex set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
blcvx.s 𝑆 = (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
Assertion
Ref Expression
blcvx (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem blcvx
StepHypRef Expression
1 simpr3 1188 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ (0[,]1))
2 elicc01 12842 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇𝑇 ≤ 1))
31, 2sylib 219 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇𝑇 ≤ 1))
43simp1d 1134 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ ℝ)
54recnd 10657 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ ℂ)
6 simpr1 1186 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐴𝑆)
7 blcvx.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
86, 7eleqtrdi 2920 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
9 cnxmet 23308 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
10 simpll 763 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑃 ∈ ℂ)
11 simplr 765 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
12 elbl 22925 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐴) < 𝑅)))
139, 10, 11, 12mp3an2i 1457 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐴) < 𝑅)))
148, 13mpbid 233 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐴) < 𝑅))
1514simpld 495 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
165, 15mulcld 10649 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ)
17 1re 10629 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
18 resubcl 10938 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
1917, 4, 18sylancr 587 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
2019recnd 10657 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
21 simpr2 1187 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐵𝑆)
2221, 7eleqtrdi 2920 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐵 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
23 elbl 22925 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐵) < 𝑅)))
249, 10, 11, 23mp3an2i 1457 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐵 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐵) < 𝑅)))
2522, 24mpbid 233 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐵) < 𝑅))
2625simpld 495 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
2720, 26mulcld 10649 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · 𝐵) ∈ ℂ)
2816, 27addcld 10648 . . 3 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℂ)
29 eqid 2818 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
3029cnmetdval 23306 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℂ) → (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (abs‘(𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)))))
3110, 28, 30syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (abs‘(𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)))))
325, 10, 15subdid 11084 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · (𝑃𝐴)) = ((𝑇 · 𝑃) − (𝑇 · 𝐴)))
3320, 10, 26subdid 11084 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝑃) − ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
3432, 33oveq12d 7163 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) = (((𝑇 · 𝑃) − (𝑇 · 𝐴)) + (((1 − 𝑇) · 𝑃) − ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
355, 10mulcld 10649 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · 𝑃) ∈ ℂ)
3620, 10mulcld 10649 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · 𝑃) ∈ ℂ)
3735, 36, 16, 27addsub4d 11032 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((𝑇 · 𝑃) + ((1 − 𝑇) · 𝑃)) − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (((𝑇 · 𝑃) − (𝑇 · 𝐴)) + (((1 − 𝑇) · 𝑃) − ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
38 ax-1cn 10583 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
39 pncan3 10882 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
405, 38, 39sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
4140oveq1d 7160 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑃) = (1 · 𝑃))
425, 20, 10adddird 10654 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑃) = ((𝑇 · 𝑃) + ((1 − 𝑇) · 𝑃)))
43 mulid2 10628 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℂ → (1 · 𝑃) = 𝑃)
4443ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 · 𝑃) = 𝑃)
4541, 42, 443eqtr3d 2861 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝑃) + ((1 − 𝑇) · 𝑃)) = 𝑃)
4645oveq1d 7160 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((𝑇 · 𝑃) + ((1 − 𝑇) · 𝑃)) − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
4734, 37, 463eqtr2d 2859 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) = (𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
4847fveq2d 6667 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) = (abs‘(𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)))))
4931, 48eqtr4d 2856 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))))
5010, 15subcld 10985 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃𝐴) ∈ ℂ)
515, 50mulcld 10649 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · (𝑃𝐴)) ∈ ℂ)
5210, 26subcld 10985 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃𝐵) ∈ ℂ)
5320, 52mulcld 10649 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
5451, 53addcld 10648 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ∈ ℂ)
5554abscld 14784 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) ∈ ℝ)
5655adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) ∈ ℝ)
5751abscld 14784 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) ∈ ℝ)
5853abscld 14784 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ∈ ℝ)
5957, 58readdcld 10658 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) ∈ ℝ)
6059adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) ∈ ℝ)
61 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
6251, 53abstrid 14804 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) ≤ ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))))
6362adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) ≤ ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))))
64 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 = 0 → (𝑇 · (𝑃𝐴)) = (0 · (𝑃𝐴)))
6550mul02d 10826 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 · (𝑃𝐴)) = 0)
6664, 65sylan9eqr 2875 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → (𝑇 · (𝑃𝐴)) = 0)
6766abs00bd 14639 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → (abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) = 0)
68 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 = 0 → (1 − 𝑇) = (1 − 0))
69 1m0e1 11746 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 − 0) = 1
7068, 69syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 = 0 → (1 − 𝑇) = 1)
7170oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 = 0 → ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)) = (1 · (𝑃𝐵)))
7252mulid2d 10647 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 · (𝑃𝐵)) = (𝑃𝐵))
7371, 72sylan9eqr 2875 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)) = (𝑃𝐵))
7473fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) = (abs‘(𝑃𝐵)))
7567, 74oveq12d 7163 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) = (0 + (abs‘(𝑃𝐵))))
7652abscld 14784 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃𝐵)) ∈ ℝ)
7776recnd 10657 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
7877addid2d 10829 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 + (abs‘(𝑃𝐵))) = (abs‘(𝑃𝐵)))
7929cnmetdval 23306 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑃(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝑃𝐵)))
8010, 26, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝑃𝐵)))
8178, 80eqtr4d 2856 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 + (abs‘(𝑃𝐵))) = (𝑃(abs ∘ − )𝐵))
8225simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )𝐵) < 𝑅)
8381, 82eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 + (abs‘(𝑃𝐵))) < 𝑅)
8483adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → (0 + (abs‘(𝑃𝐵))) < 𝑅)
8575, 84eqbrtrd 5079 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < 𝑅)
8685adantlr 711 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 = 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < 𝑅)
875, 50absmuld 14802 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) = ((abs‘𝑇) · (abs‘(𝑃𝐴))))
883simp2d 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ≤ 𝑇)
894, 88absidd 14770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘𝑇) = 𝑇)
9089oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((abs‘𝑇) · (abs‘(𝑃𝐴))) = (𝑇 · (abs‘(𝑃𝐴))))
9187, 90eqtrd 2853 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) = (𝑇 · (abs‘(𝑃𝐴))))
9291ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) = (𝑇 · (abs‘(𝑃𝐴))))
9329cnmetdval 23306 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑃(abs ∘ − )𝐴) = (abs‘(𝑃𝐴)))
9410, 15, 93syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )𝐴) = (abs‘(𝑃𝐴)))
9514simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )𝐴) < 𝑅)
9694, 95eqbrtrrd 5081 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃𝐴)) < 𝑅)
9796ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘(𝑃𝐴)) < 𝑅)
9850abscld 14784 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃𝐴)) ∈ ℝ)
9998ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘(𝑃𝐴)) ∈ ℝ)
100 simplr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℝ)
1014ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → 𝑇 ∈ ℝ)
102 0red 10632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ∈ ℝ)
103102, 4, 88leltned 10781 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 < 𝑇𝑇 ≠ 0))
104103biimpar 478 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ≠ 0) → 0 < 𝑇)
105104adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → 0 < 𝑇)
106 ltmul2 11479 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘(𝑃𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇)) → ((abs‘(𝑃𝐴)) < 𝑅 ↔ (𝑇 · (abs‘(𝑃𝐴))) < (𝑇 · 𝑅)))
10799, 100, 101, 105, 106syl112anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → ((abs‘(𝑃𝐴)) < 𝑅 ↔ (𝑇 · (abs‘(𝑃𝐴))) < (𝑇 · 𝑅)))
10897, 107mpbid 233 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (𝑇 · (abs‘(𝑃𝐴))) < (𝑇 · 𝑅))
10992, 108eqbrtrd 5079 . . . . . . . . 9 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) < (𝑇 · 𝑅))
11020, 52absmuld 14802 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) = ((abs‘(1 − 𝑇)) · (abs‘(𝑃𝐵))))
11117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 1 ∈ ℝ)
1123simp3d 1136 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ≤ 1)
1134, 111, 112abssubge0d 14779 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(1 − 𝑇)) = (1 − 𝑇))
114113oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((abs‘(1 − 𝑇)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃𝐵))))
115110, 114eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) = ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃𝐵))))
116115adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) = ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃𝐵))))
11776adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑃𝐵)) ∈ ℝ)
118 subge0 11141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝑇) ↔ 𝑇 ≤ 1))
11917, 4, 118sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 ≤ (1 − 𝑇) ↔ 𝑇 ≤ 1))
120112, 119mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ≤ (1 − 𝑇))
12119, 120jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − 𝑇)))
122121adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − 𝑇)))
12380, 82eqbrtrrd 5081 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃𝐵)) < 𝑅)
124123adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑃𝐵)) < 𝑅)
125 ltle 10717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘(𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑃𝐵)) < 𝑅 → (abs‘(𝑃𝐵)) ≤ 𝑅))
12676, 125sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑃𝐵)) < 𝑅 → (abs‘(𝑃𝐵)) ≤ 𝑅))
127124, 126mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑃𝐵)) ≤ 𝑅)
128 lemul2a 11483 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs‘(𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − 𝑇))) ∧ (abs‘(𝑃𝐵)) ≤ 𝑅) → ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅))
129117, 61, 122, 127, 128syl31anc 1365 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅))
130116, 129eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅))
131130adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅))
13257adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) ∈ ℝ)
13358adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ∈ ℝ)
134 remulcl 10610 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑇 · 𝑅) ∈ ℝ)
1354, 134sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑇 · 𝑅) ∈ ℝ)
136 remulcl 10610 . . . . . . . . . . . 12 (((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((1 − 𝑇) · 𝑅) ∈ ℝ)
13719, 136sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((1 − 𝑇) · 𝑅) ∈ ℝ)
138 ltleadd 11111 . . . . . . . . . . 11 ((((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ∈ ℝ) ∧ ((𝑇 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑇) · 𝑅) ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) < (𝑇 · 𝑅) ∧ (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅)) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅))))
139132, 133, 135, 137, 138syl22anc 834 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) < (𝑇 · 𝑅) ∧ (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅)) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅))))
140139adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) < (𝑇 · 𝑅) ∧ (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅)) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅))))
141109, 131, 140mp2and 695 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅)))
14240oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑅) = (1 · 𝑅))
143142adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑅) = (1 · 𝑅))
1445adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ)
14520adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
14661recnd 10657 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
147144, 145, 146adddird 10654 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑅) = ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅)))
148146mulid2d 10647 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (1 · 𝑅) = 𝑅)
149143, 147, 1483eqtr3d 2861 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅)) = 𝑅)
150149adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅)) = 𝑅)
151141, 150breqtrd 5083 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < 𝑅)
15286, 151pm2.61dane 3101 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < 𝑅)
15356, 60, 61, 63, 152lelttrd 10786 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < 𝑅)
15455adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 = +∞) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) ∈ ℝ)
155154ltpnfd 12504 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 = +∞) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < +∞)
156 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑅 = +∞)
157155, 156breqtrrd 5085 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 = +∞) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < 𝑅)
158 0xr 10676 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
159158a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ∈ ℝ*)
16098rexrd 10679 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃𝐴)) ∈ ℝ*)
16150absge0d 14792 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ≤ (abs‘(𝑃𝐴)))
162159, 160, 11, 161, 96xrlelttrd 12541 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 < 𝑅)
163159, 11, 162xrltled 12531 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ≤ 𝑅)
164 ge0nemnf 12554 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅) → 𝑅 ≠ -∞)
16511, 163, 164syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑅 ≠ -∞)
16611, 165jca 512 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑅 ∈ ℝ*𝑅 ≠ -∞))
167 xrnemnf 12500 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑅 ≠ -∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∨ 𝑅 = +∞))
168166, 167sylib 219 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑅 ∈ ℝ ∨ 𝑅 = +∞))
169153, 157, 168mpjaodan 952 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < 𝑅)
17049, 169eqbrtrd 5079 . . 3 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < 𝑅)
171 elbl 22925 . . . 4 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < 𝑅)))
1729, 10, 11, 171mp3an2i 1457 . . 3 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < 𝑅)))
17328, 170, 172mpbir2and 709 . 2 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
174173, 7eleqtrrdi 2921 1 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  ccom 5552  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  +∞cpnf 10660  -∞cmnf 10661  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  [,]cicc 12729  abscabs 14581  ∞Metcxmet 20458  ballcbl 20460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-xadd 12496  df-icc 12733  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468
This theorem is referenced by:  dvlipcn  24518  blsconn  32388
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