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Theorem blcvx 23125

Description: An open ball in the complex numbers is a convex set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
blcvx.s	⊢ 𝑆 = (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)

**Assertion**
Ref	Expression
blcvx	⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ 𝑆)

**Proof of Theorem blcvx**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr3 1177	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ (0[,]1))
2		elicc01 12669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇 ∧ 𝑇 ≤ 1))
3	1, 2	sylib 210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇 ∧ 𝑇 ≤ 1))
4	3	simp1d 1123	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ ℝ)
5	4	recnd 10467	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ ℂ)
6		simpr1 1175	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐴 ∈ 𝑆)
7		blcvx.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
8	6, 7	syl6eleq 2871	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
9		cnxmet 23100	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
10		simpll 755	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑃 ∈ ℂ)
11		simplr 757	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑅 ∈ ℝ^)
12		elbl 22717	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐴) < 𝑅)))
13	9, 10, 11, 12	mp3an2i 1446	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐴) < 𝑅)))
14	8, 13	mpbid 224	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐴) < 𝑅))
15	14	simpld 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	5, 15	mulcld 10459	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ)
17		1re 10438	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
18		resubcl 10750	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
19	17, 4, 18	sylancr 579	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
20	19	recnd 10467	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
21		simpr2 1176	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐵 ∈ 𝑆)
22	21, 7	syl6eleq 2871	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐵 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
23		elbl 22717	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) → (𝐵 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐵) < 𝑅)))
24	9, 10, 11, 23	mp3an2i 1446	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐵 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐵) < 𝑅)))
25	22, 24	mpbid 224	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐵) < 𝑅))
26	25	simpld 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
27	20, 26	mulcld 10459	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · 𝐵) ∈ ℂ)
28	16, 27	addcld 10458	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℂ)
29		eqid 2773	. . . . . . 7 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
30	29	cnmetdval 23098	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℂ) → (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (abs‘(𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)))))
31	10, 28, 30	syl2anc 576	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (abs‘(𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)))))
32	5, 10, 15	subdid 10896	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) = ((𝑇 · 𝑃) − (𝑇 · 𝐴)))
33	20, 10, 26	subdid 10896	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝑃) − ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
34	32, 33	oveq12d 6993	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))) = (((𝑇 · 𝑃) − (𝑇 · 𝐴)) + (((1 − 𝑇) · 𝑃) − ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
35	5, 10	mulcld 10459	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · 𝑃) ∈ ℂ)
36	20, 10	mulcld 10459	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · 𝑃) ∈ ℂ)
37	35, 36, 16, 27	addsub4d 10844	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((𝑇 · 𝑃) + ((1 − 𝑇) · 𝑃)) − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (((𝑇 · 𝑃) − (𝑇 · 𝐴)) + (((1 − 𝑇) · 𝑃) − ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
38		ax-1cn 10392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
39		pncan3 10693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
40	5, 38, 39	sylancl 578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
41	40	oveq1d 6990	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑃) = (1 · 𝑃))
42	5, 20, 10	adddird 10464	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑃) = ((𝑇 · 𝑃) + ((1 − 𝑇) · 𝑃)))
43		mulid2 10437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (1 · 𝑃) = 𝑃)
44	43	ad2antrr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 · 𝑃) = 𝑃)
45	41, 42, 44	3eqtr3d 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝑃) + ((1 − 𝑇) · 𝑃)) = 𝑃)
46	45	oveq1d 6990	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((𝑇 · 𝑃) + ((1 − 𝑇) · 𝑃)) − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
47	34, 37, 46	3eqtr2d 2815	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))) = (𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
48	47	fveq2d 6501	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) = (abs‘(𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)))))
49	31, 48	eqtr4d 2812	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (abs‘((𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))))
50	10, 15	subcld 10797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃 − 𝐴) ∈ ℂ)
51	5, 50	mulcld 10459	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) ∈ ℂ)
52	10, 26	subcld 10797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃 − 𝐵) ∈ ℂ)
53	20, 52	mulcld 10459	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)) ∈ ℂ)
54	51, 53	addcld 10458	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))) ∈ ℂ)
55	54	abscld 14656	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) ∈ ℝ)
56	55	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) ∈ ℝ)
57	51	abscld 14656	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) ∈ ℝ)
58	53	abscld 14656	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))) ∈ ℝ)
59	57, 58	readdcld 10468	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) ∈ ℝ)
60	59	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) ∈ ℝ)
61		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
62	51, 53	abstrid 14676	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) ≤ ((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))))
63	62	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) ≤ ((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))))
64		oveq1 6982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 = 0 → (𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) = (0 · (𝑃 − 𝐴)))
65	50	mul02d 10637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 · (𝑃 − 𝐴)) = 0)
66	64, 65	sylan9eqr 2831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → (𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) = 0)
67	66	abs00bd 14511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → (abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) = 0)
68		oveq2 6983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 = 0 → (1 − 𝑇) = (1 − 0))
69		1m0e1 11567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 − 0) = 1
70	68, 69	syl6eq 2825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 = 0 → (1 − 𝑇) = 1)
71	70	oveq1d 6990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 = 0 → ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)) = (1 · (𝑃 − 𝐵)))
72	52	mulid2d 10457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 · (𝑃 − 𝐵)) = (𝑃 − 𝐵))
73	71, 72	sylan9eqr 2831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)) = (𝑃 − 𝐵))
74	73	fveq2d 6501	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))) = (abs‘(𝑃 − 𝐵)))
75	67, 74	oveq12d 6993	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) = (0 + (abs‘(𝑃 − 𝐵))))
76	52	abscld 14656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃 − 𝐵)) ∈ ℝ)
77	76	recnd 10467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃 − 𝐵)) ∈ ℂ)
78	77	addid2d 10640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 + (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = (abs‘(𝑃 − 𝐵)))
79	29	cnmetdval 23098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑃(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝑃 − 𝐵)))
80	10, 26, 79	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝑃 − 𝐵)))
81	78, 80	eqtr4d 2812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 + (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = (𝑃(abs ∘ − )𝐵))
82	25	simprd 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )𝐵) < 𝑅)
83	81, 82	eqbrtrd 4948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 + (abs‘(𝑃 − 𝐵))) < 𝑅)
84	83	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → (0 + (abs‘(𝑃 − 𝐵))) < 𝑅)
85	75, 84	eqbrtrd 4948	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) < 𝑅)
86	85	adantlr 703	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 = 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) < 𝑅)
87	5, 50	absmuld 14674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) = ((abs‘𝑇) · (abs‘(𝑃 − 𝐴))))
88	3	simp2d 1124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ≤ 𝑇)
89	4, 88	absidd 14642	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘𝑇) = 𝑇)
90	89	oveq1d 6990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((abs‘𝑇) · (abs‘(𝑃 − 𝐴))) = (𝑇 · (abs‘(𝑃 − 𝐴))))
91	87, 90	eqtrd 2809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) = (𝑇 · (abs‘(𝑃 − 𝐴))))
92	91	ad2antrr 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) = (𝑇 · (abs‘(𝑃 − 𝐴))))
93	29	cnmetdval 23098	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑃(abs ∘ − )𝐴) = (abs‘(𝑃 − 𝐴)))
94	10, 15, 93	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )𝐴) = (abs‘(𝑃 − 𝐴)))
95	14	simprd 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )𝐴) < 𝑅)
96	94, 95	eqbrtrrd 4950	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃 − 𝐴)) < 𝑅)
97	96	ad2antrr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘(𝑃 − 𝐴)) < 𝑅)
98	50	abscld 14656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃 − 𝐴)) ∈ ℝ)
99	98	ad2antrr 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘(𝑃 − 𝐴)) ∈ ℝ)
100		simplr 757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℝ)
101	4	ad2antrr 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → 𝑇 ∈ ℝ)
102		0red 10442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ∈ ℝ)
103	102, 4, 88	leltned 10592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 < 𝑇 ↔ 𝑇 ≠ 0))
104	103	biimpar 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ≠ 0) → 0 < 𝑇)
105	104	adantlr 703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → 0 < 𝑇)
106		ltmul2 11291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘(𝑃 − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇)) → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) < 𝑅 ↔ (𝑇 · (abs‘(𝑃 − 𝐴))) < (𝑇 · 𝑅)))
107	99, 100, 101, 105, 106	syl112anc 1355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) < 𝑅 ↔ (𝑇 · (abs‘(𝑃 − 𝐴))) < (𝑇 · 𝑅)))
108	97, 107	mpbid 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (𝑇 · (abs‘(𝑃 − 𝐴))) < (𝑇 · 𝑅))
109	92, 108	eqbrtrd 4948	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) < (𝑇 · 𝑅))
110	20, 52	absmuld 14674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))) = ((abs‘(1 − 𝑇)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))))
111	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 1 ∈ ℝ)
112	3	simp3d 1125	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ≤ 1)
113	4, 111, 112	abssubge0d 14651	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(1 − 𝑇)) = (1 − 𝑇))
114	113	oveq1d 6990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((abs‘(1 − 𝑇)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))))
115	110, 114	eqtrd 2809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))) = ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))))
116	115	adantr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))) = ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))))
117	76	adantr 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑃 − 𝐵)) ∈ ℝ)
118		subge0 10953	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝑇) ↔ 𝑇 ≤ 1))
119	17, 4, 118	sylancr 579	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 ≤ (1 − 𝑇) ↔ 𝑇 ≤ 1))
120	112, 119	mpbird 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ≤ (1 − 𝑇))
121	19, 120	jca 504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − 𝑇)))
122	121	adantr 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − 𝑇)))
123	80, 82	eqbrtrrd 4950	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃 − 𝐵)) < 𝑅)
124	123	adantr 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑃 − 𝐵)) < 𝑅)
125		ltle 10528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((abs‘(𝑃 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑃 − 𝐵)) < 𝑅 → (abs‘(𝑃 − 𝐵)) ≤ 𝑅))
126	76, 125	sylan 572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑃 − 𝐵)) < 𝑅 → (abs‘(𝑃 − 𝐵)) ≤ 𝑅))
127	124, 126	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑃 − 𝐵)) ≤ 𝑅)
128		lemul2a 11295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((abs‘(𝑃 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − 𝑇))) ∧ (abs‘(𝑃 − 𝐵)) ≤ 𝑅) → ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅))
129	117, 61, 122, 127, 128	syl31anc 1354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅))
130	116, 129	eqbrtrd 4948	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅))
131	130	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅))
132	57	adantr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) ∈ ℝ)
133	58	adantr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))) ∈ ℝ)
134		remulcl 10419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑇 · 𝑅) ∈ ℝ)
135	4, 134	sylan 572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑇 · 𝑅) ∈ ℝ)
136		remulcl 10419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((1 − 𝑇) · 𝑅) ∈ ℝ)
137	19, 136	sylan 572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((1 − 𝑇) · 𝑅) ∈ ℝ)
138		ltleadd 10923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))) ∈ ℝ) ∧ ((𝑇 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑇) · 𝑅) ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) < (𝑇 · 𝑅) ∧ (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅)) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) < ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅))))
139	132, 133, 135, 137, 138	syl22anc 827	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) < (𝑇 · 𝑅) ∧ (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅)) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) < ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅))))
140	139	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) < (𝑇 · 𝑅) ∧ (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅)) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) < ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅))))
141	109, 131, 140	mp2and 687	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) < ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅)))
142	40	oveq1d 6990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑅) = (1 · 𝑅))
143	142	adantr 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑅) = (1 · 𝑅))
144	5	adantr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ)
145	20	adantr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
146	61	recnd 10467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
147	144, 145, 146	adddird 10464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑅) = ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅)))
148	146	mulid2d 10457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (1 · 𝑅) = 𝑅)
149	143, 147, 148	3eqtr3d 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅)) = 𝑅)
150	149	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅)) = 𝑅)
151	141, 150	breqtrd 4952	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) < 𝑅)
152	86, 151	pm2.61dane 3050	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃 − 𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) < 𝑅)
153	56, 60, 61, 63, 152	lelttrd 10597	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) < 𝑅)
154	55	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 = +∞) → (abs‘((𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) ∈ ℝ)
155	154	ltpnfd 12332	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 = +∞) → (abs‘((𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) < +∞)
156		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑅 = +∞)
157	155, 156	breqtrrd 4954	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 = +∞) → (abs‘((𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) < 𝑅)
158		0xr 10486	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ^*
159	158	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ∈ ℝ^)
160	98	rexrd 10489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃 − 𝐴)) ∈ ℝ^)
161	50	absge0d 14664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ≤ (abs‘(𝑃 − 𝐴)))
162	159, 160, 11, 161, 96	xrlelttrd 12369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 < 𝑅)
163	159, 11, 162	xrltled 12359	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ≤ 𝑅)
164		ge0nemnf 12382	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ 𝑅) → 𝑅 ≠ -∞)
165	11, 163, 164	syl2anc 576	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑅 ≠ -∞)
166	11, 165	jca 504	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑅 ∈ ℝ^ ∧ 𝑅 ≠ -∞))
167		xrnemnf 12328	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ^* ∧ 𝑅 ≠ -∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∨ 𝑅 = +∞))
168	166, 167	sylib 210	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑅 ∈ ℝ ∨ 𝑅 = +∞))
169	153, 157, 168	mpjaodan 942	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((𝑇 · (𝑃 − 𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃 − 𝐵)))) < 𝑅)
170	49, 169	eqbrtrd 4948	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < 𝑅)
171		elbl 22717	. . . 4 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) → (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < 𝑅)))
172	9, 10, 11, 171	mp3an2i 1446	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < 𝑅)))
173	28, 170, 172	mpbir2and 701	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
174	173, 7	syl6eleqr 2872	1 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ 𝑆)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 198 ∧ wa 387 ∨ wo 834 ∧ w3a 1069 = wceq 1508 ∈ wcel 2051 ≠ wne 2962 class class class wbr 4926 ∘ ccom 5408 ‘cfv 6186 (class class class)co 6975 ℂcc 10332 ℝcr 10333 0cc0 10334 1c1 10335 + caddc 10337 · cmul 10339 +∞cpnf 10470 -∞cmnf 10471 ℝ^*cxr 10472 < clt 10473 ≤ cle 10474 − cmin 10669 [,]cicc 12556 abscabs 14453 ∞Metcxmet 20248 ballcbl 20250

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1759 ax-4 1773 ax-5 1870 ax-6 1929 ax-7 1966 ax-8 2053 ax-9 2060 ax-10 2080 ax-11 2094 ax-12 2107 ax-13 2302 ax-ext 2745 ax-sep 5057 ax-nul 5064 ax-pow 5116 ax-pr 5183 ax-un 7278 ax-cnex 10390 ax-resscn 10391 ax-1cn 10392 ax-icn 10393 ax-addcl 10394 ax-addrcl 10395 ax-mulcl 10396 ax-mulrcl 10397 ax-mulcom 10398 ax-addass 10399 ax-mulass 10400 ax-distr 10401 ax-i2m1 10402 ax-1ne0 10403 ax-1rid 10404 ax-rnegex 10405 ax-rrecex 10406 ax-cnre 10407 ax-pre-lttri 10408 ax-pre-lttrn 10409 ax-pre-ltadd 10410 ax-pre-mulgt0 10411 ax-pre-sup 10412

This theorem depends on definitions: df-bi 199 df-an 388 df-or 835 df-3or 1070 df-3an 1071 df-tru 1511 df-ex 1744 df-nf 1748 df-sb 2017 df-mo 2548 df-eu 2585 df-clab 2754 df-cleq 2766 df-clel 2841 df-nfc 2913 df-ne 2963 df-nel 3069 df-ral 3088 df-rex 3089 df-reu 3090 df-rmo 3091 df-rab 3092 df-v 3412 df-sbc 3677 df-csb 3782 df-dif 3827 df-un 3829 df-in 3831 df-ss 3838 df-pss 3840 df-nul 4174 df-if 4346 df-pw 4419 df-sn 4437 df-pr 4439 df-tp 4441 df-op 4443 df-uni 4710 df-iun 4791 df-br 4927 df-opab 4989 df-mpt 5006 df-tr 5028 df-id 5309 df-eprel 5314 df-po 5323 df-so 5324 df-fr 5363 df-we 5365 df-xp 5410 df-rel 5411 df-cnv 5412 df-co 5413 df-dm 5414 df-rn 5415 df-res 5416 df-ima 5417 df-pred 5984 df-ord 6030 df-on 6031 df-lim 6032 df-suc 6033 df-iota 6150 df-fun 6188 df-fn 6189 df-f 6190 df-f1 6191 df-fo 6192 df-f1o 6193 df-fv 6194 df-riota 6936 df-ov 6978 df-oprab 6979 df-mpo 6980 df-om 7396 df-1st 7500 df-2nd 7501 df-wrecs 7749 df-recs 7811 df-rdg 7849 df-er 8088 df-map 8207 df-en 8306 df-dom 8307 df-sdom 8308 df-sup 8700 df-pnf 10475 df-mnf 10476 df-xr 10477 df-ltxr 10478 df-le 10479 df-sub 10671 df-neg 10672 df-div 11098 df-nn 11439 df-2 11502 df-3 11503 df-n0 11707 df-z 11793 df-uz 12058 df-rp 12204 df-xadd 12324 df-icc 12560 df-seq 13184 df-exp 13244 df-cj 14318 df-re 14319 df-im 14320 df-sqrt 14454 df-abs 14455 df-psmet 20255 df-xmet 20256 df-met 20257 df-bl 20258

This theorem is referenced by: dvlipcn 24310 blsconn 32109

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