MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blcvx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blcvx 24833
Description: An open ball in the complex numbers is a convex set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
blcvx.s 𝑆 = (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
Assertion
Ref Expression
blcvx (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem blcvx
StepHypRef Expression
1 simpr3 1195 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ (0[,]1))
2 elicc01 13502 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇𝑇 ≤ 1))
31, 2sylib 218 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇𝑇 ≤ 1))
43simp1d 1141 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ ℝ)
54recnd 11286 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ ℂ)
6 simpr1 1193 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐴𝑆)
7 blcvx.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
86, 7eleqtrdi 2848 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
9 cnxmet 24808 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
10 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑃 ∈ ℂ)
11 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
12 elbl 24413 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐴) < 𝑅)))
139, 10, 11, 12mp3an2i 1465 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐴) < 𝑅)))
148, 13mpbid 232 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐴) < 𝑅))
1514simpld 494 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
165, 15mulcld 11278 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ)
17 1re 11258 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
18 resubcl 11570 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
1917, 4, 18sylancr 587 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
2019recnd 11286 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
21 simpr2 1194 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐵𝑆)
2221, 7eleqtrdi 2848 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐵 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
23 elbl 24413 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐵) < 𝑅)))
249, 10, 11, 23mp3an2i 1465 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐵 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐵) < 𝑅)))
2522, 24mpbid 232 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐵) < 𝑅))
2625simpld 494 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
2720, 26mulcld 11278 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · 𝐵) ∈ ℂ)
2816, 27addcld 11277 . . 3 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℂ)
29 eqid 2734 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
3029cnmetdval 24806 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℂ) → (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (abs‘(𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)))))
3110, 28, 30syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (abs‘(𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)))))
325, 10, 15subdid 11716 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · (𝑃𝐴)) = ((𝑇 · 𝑃) − (𝑇 · 𝐴)))
3320, 10, 26subdid 11716 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝑃) − ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
3432, 33oveq12d 7448 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) = (((𝑇 · 𝑃) − (𝑇 · 𝐴)) + (((1 − 𝑇) · 𝑃) − ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
355, 10mulcld 11278 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · 𝑃) ∈ ℂ)
3620, 10mulcld 11278 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · 𝑃) ∈ ℂ)
3735, 36, 16, 27addsub4d 11664 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((𝑇 · 𝑃) + ((1 − 𝑇) · 𝑃)) − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (((𝑇 · 𝑃) − (𝑇 · 𝐴)) + (((1 − 𝑇) · 𝑃) − ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
38 ax-1cn 11210 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
39 pncan3 11513 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
405, 38, 39sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
4140oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑃) = (1 · 𝑃))
425, 20, 10adddird 11283 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑃) = ((𝑇 · 𝑃) + ((1 − 𝑇) · 𝑃)))
43 mullid 11257 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℂ → (1 · 𝑃) = 𝑃)
4443ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 · 𝑃) = 𝑃)
4541, 42, 443eqtr3d 2782 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝑃) + ((1 − 𝑇) · 𝑃)) = 𝑃)
4645oveq1d 7445 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((𝑇 · 𝑃) + ((1 − 𝑇) · 𝑃)) − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
4734, 37, 463eqtr2d 2780 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) = (𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
4847fveq2d 6910 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) = (abs‘(𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)))))
4931, 48eqtr4d 2777 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))))
5010, 15subcld 11617 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃𝐴) ∈ ℂ)
515, 50mulcld 11278 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · (𝑃𝐴)) ∈ ℂ)
5210, 26subcld 11617 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃𝐵) ∈ ℂ)
5320, 52mulcld 11278 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
5451, 53addcld 11277 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ∈ ℂ)
5554abscld 15471 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) ∈ ℝ)
5655adantr 480 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) ∈ ℝ)
5751abscld 15471 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) ∈ ℝ)
5853abscld 15471 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ∈ ℝ)
5957, 58readdcld 11287 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) ∈ ℝ)
6059adantr 480 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) ∈ ℝ)
61 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
6251, 53abstrid 15491 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) ≤ ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))))
6362adantr 480 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) ≤ ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))))
64 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 = 0 → (𝑇 · (𝑃𝐴)) = (0 · (𝑃𝐴)))
6550mul02d 11456 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 · (𝑃𝐴)) = 0)
6664, 65sylan9eqr 2796 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → (𝑇 · (𝑃𝐴)) = 0)
6766abs00bd 15326 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → (abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) = 0)
68 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 = 0 → (1 − 𝑇) = (1 − 0))
69 1m0e1 12384 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 − 0) = 1
7068, 69eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 = 0 → (1 − 𝑇) = 1)
7170oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 = 0 → ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)) = (1 · (𝑃𝐵)))
7252mullidd 11276 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 · (𝑃𝐵)) = (𝑃𝐵))
7371, 72sylan9eqr 2796 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)) = (𝑃𝐵))
7473fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) = (abs‘(𝑃𝐵)))
7567, 74oveq12d 7448 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) = (0 + (abs‘(𝑃𝐵))))
7652abscld 15471 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃𝐵)) ∈ ℝ)
7776recnd 11286 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
7877addlidd 11459 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 + (abs‘(𝑃𝐵))) = (abs‘(𝑃𝐵)))
7929cnmetdval 24806 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑃(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝑃𝐵)))
8010, 26, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝑃𝐵)))
8178, 80eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 + (abs‘(𝑃𝐵))) = (𝑃(abs ∘ − )𝐵))
8225simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )𝐵) < 𝑅)
8381, 82eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 + (abs‘(𝑃𝐵))) < 𝑅)
8483adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → (0 + (abs‘(𝑃𝐵))) < 𝑅)
8575, 84eqbrtrd 5169 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < 𝑅)
8685adantlr 715 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 = 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < 𝑅)
875, 50absmuld 15489 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) = ((abs‘𝑇) · (abs‘(𝑃𝐴))))
883simp2d 1142 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ≤ 𝑇)
894, 88absidd 15457 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘𝑇) = 𝑇)
9089oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((abs‘𝑇) · (abs‘(𝑃𝐴))) = (𝑇 · (abs‘(𝑃𝐴))))
9187, 90eqtrd 2774 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) = (𝑇 · (abs‘(𝑃𝐴))))
9291ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) = (𝑇 · (abs‘(𝑃𝐴))))
9329cnmetdval 24806 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑃(abs ∘ − )𝐴) = (abs‘(𝑃𝐴)))
9410, 15, 93syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )𝐴) = (abs‘(𝑃𝐴)))
9514simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )𝐴) < 𝑅)
9694, 95eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃𝐴)) < 𝑅)
9796ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘(𝑃𝐴)) < 𝑅)
9850abscld 15471 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃𝐴)) ∈ ℝ)
9998ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘(𝑃𝐴)) ∈ ℝ)
100 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℝ)
1014ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → 𝑇 ∈ ℝ)
102 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ∈ ℝ)
103102, 4, 88leltned 11411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 < 𝑇𝑇 ≠ 0))
104103biimpar 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ≠ 0) → 0 < 𝑇)
105104adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → 0 < 𝑇)
106 ltmul2 12115 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘(𝑃𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇)) → ((abs‘(𝑃𝐴)) < 𝑅 ↔ (𝑇 · (abs‘(𝑃𝐴))) < (𝑇 · 𝑅)))
10799, 100, 101, 105, 106syl112anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → ((abs‘(𝑃𝐴)) < 𝑅 ↔ (𝑇 · (abs‘(𝑃𝐴))) < (𝑇 · 𝑅)))
10897, 107mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (𝑇 · (abs‘(𝑃𝐴))) < (𝑇 · 𝑅))
10992, 108eqbrtrd 5169 . . . . . . . . 9 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) < (𝑇 · 𝑅))
11020, 52absmuld 15489 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) = ((abs‘(1 − 𝑇)) · (abs‘(𝑃𝐵))))
11117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 1 ∈ ℝ)
1123simp3d 1143 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ≤ 1)
1134, 111, 112abssubge0d 15466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(1 − 𝑇)) = (1 − 𝑇))
114113oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((abs‘(1 − 𝑇)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃𝐵))))
115110, 114eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) = ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃𝐵))))
116115adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) = ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃𝐵))))
11776adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑃𝐵)) ∈ ℝ)
118 subge0 11773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝑇) ↔ 𝑇 ≤ 1))
11917, 4, 118sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 ≤ (1 − 𝑇) ↔ 𝑇 ≤ 1))
120112, 119mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ≤ (1 − 𝑇))
12119, 120jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − 𝑇)))
122121adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − 𝑇)))
12380, 82eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃𝐵)) < 𝑅)
124123adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑃𝐵)) < 𝑅)
125 ltle 11346 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘(𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑃𝐵)) < 𝑅 → (abs‘(𝑃𝐵)) ≤ 𝑅))
12676, 125sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑃𝐵)) < 𝑅 → (abs‘(𝑃𝐵)) ≤ 𝑅))
127124, 126mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑃𝐵)) ≤ 𝑅)
128 lemul2a 12119 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs‘(𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − 𝑇))) ∧ (abs‘(𝑃𝐵)) ≤ 𝑅) → ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅))
129117, 61, 122, 127, 128syl31anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅))
130116, 129eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅))
131130adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅))
13257adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) ∈ ℝ)
13358adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ∈ ℝ)
134 remulcl 11237 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑇 · 𝑅) ∈ ℝ)
1354, 134sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑇 · 𝑅) ∈ ℝ)
136 remulcl 11237 . . . . . . . . . . . 12 (((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((1 − 𝑇) · 𝑅) ∈ ℝ)
13719, 136sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((1 − 𝑇) · 𝑅) ∈ ℝ)
138 ltleadd 11743 . . . . . . . . . . 11 ((((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ∈ ℝ) ∧ ((𝑇 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑇) · 𝑅) ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) < (𝑇 · 𝑅) ∧ (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅)) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅))))
139132, 133, 135, 137, 138syl22anc 839 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) < (𝑇 · 𝑅) ∧ (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅)) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅))))
140139adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) < (𝑇 · 𝑅) ∧ (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅)) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅))))
141109, 131, 140mp2and 699 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅)))
14240oveq1d 7445 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑅) = (1 · 𝑅))
143142adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑅) = (1 · 𝑅))
1445adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ)
14520adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
14661recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
147144, 145, 146adddird 11283 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑅) = ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅)))
148146mullidd 11276 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (1 · 𝑅) = 𝑅)
149143, 147, 1483eqtr3d 2782 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅)) = 𝑅)
150149adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅)) = 𝑅)
151141, 150breqtrd 5173 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < 𝑅)
15286, 151pm2.61dane 3026 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < 𝑅)
15356, 60, 61, 63, 152lelttrd 11416 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < 𝑅)
15455adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 = +∞) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) ∈ ℝ)
155154ltpnfd 13160 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 = +∞) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < +∞)
156 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑅 = +∞)
157155, 156breqtrrd 5175 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 = +∞) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < 𝑅)
158 0xr 11305 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
159158a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ∈ ℝ*)
16098rexrd 11308 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃𝐴)) ∈ ℝ*)
16150absge0d 15479 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ≤ (abs‘(𝑃𝐴)))
162159, 160, 11, 161, 96xrlelttrd 13198 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 < 𝑅)
163159, 11, 162xrltled 13188 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ≤ 𝑅)
164 ge0nemnf 13211 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅) → 𝑅 ≠ -∞)
16511, 163, 164syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑅 ≠ -∞)
16611, 165jca 511 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑅 ∈ ℝ*𝑅 ≠ -∞))
167 xrnemnf 13156 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑅 ≠ -∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∨ 𝑅 = +∞))
168166, 167sylib 218 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑅 ∈ ℝ ∨ 𝑅 = +∞))
169153, 157, 168mpjaodan 960 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < 𝑅)
17049, 169eqbrtrd 5169 . . 3 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < 𝑅)
171 elbl 24413 . . . 4 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < 𝑅)))
1729, 10, 11, 171mp3an2i 1465 . . 3 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < 𝑅)))
17328, 170, 172mpbir2and 713 . 2 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
174173, 7eleqtrrdi 2849 1 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937   class class class wbr 5147  ccom 5692  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  +∞cpnf 11289  -∞cmnf 11290  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  [,]cicc 13386  abscabs 15269  ∞Metcxmet 21366  ballcbl 21368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-xadd 13152  df-icc 13390  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376
This theorem is referenced by:  dvlipcn  26047  blsconn  35228
  Copyright terms: Public domain W3C validator