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Theorem blcvx 24819
Description: An open ball in the complex numbers is a convex set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
blcvx.s 𝑆 = (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
Assertion
Ref Expression
blcvx (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem blcvx
StepHypRef Expression
1 simpr3 1197 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ (0[,]1))
2 elicc01 13506 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇𝑇 ≤ 1))
31, 2sylib 218 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇𝑇 ≤ 1))
43simp1d 1143 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ ℝ)
54recnd 11289 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ ℂ)
6 simpr1 1195 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐴𝑆)
7 blcvx.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
86, 7eleqtrdi 2851 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
9 cnxmet 24793 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
10 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑃 ∈ ℂ)
11 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
12 elbl 24398 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐴) < 𝑅)))
139, 10, 11, 12mp3an2i 1468 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐴) < 𝑅)))
148, 13mpbid 232 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐴) < 𝑅))
1514simpld 494 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
165, 15mulcld 11281 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ)
17 1re 11261 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
18 resubcl 11573 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
1917, 4, 18sylancr 587 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
2019recnd 11289 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
21 simpr2 1196 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐵𝑆)
2221, 7eleqtrdi 2851 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐵 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
23 elbl 24398 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐵) < 𝑅)))
249, 10, 11, 23mp3an2i 1468 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐵 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐵) < 𝑅)))
2522, 24mpbid 232 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐵) < 𝑅))
2625simpld 494 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
2720, 26mulcld 11281 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · 𝐵) ∈ ℂ)
2816, 27addcld 11280 . . 3 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℂ)
29 eqid 2737 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
3029cnmetdval 24791 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℂ) → (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (abs‘(𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)))))
3110, 28, 30syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (abs‘(𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)))))
325, 10, 15subdid 11719 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · (𝑃𝐴)) = ((𝑇 · 𝑃) − (𝑇 · 𝐴)))
3320, 10, 26subdid 11719 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝑃) − ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
3432, 33oveq12d 7449 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) = (((𝑇 · 𝑃) − (𝑇 · 𝐴)) + (((1 − 𝑇) · 𝑃) − ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
355, 10mulcld 11281 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · 𝑃) ∈ ℂ)
3620, 10mulcld 11281 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · 𝑃) ∈ ℂ)
3735, 36, 16, 27addsub4d 11667 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((𝑇 · 𝑃) + ((1 − 𝑇) · 𝑃)) − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (((𝑇 · 𝑃) − (𝑇 · 𝐴)) + (((1 − 𝑇) · 𝑃) − ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
38 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
39 pncan3 11516 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
405, 38, 39sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
4140oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑃) = (1 · 𝑃))
425, 20, 10adddird 11286 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑃) = ((𝑇 · 𝑃) + ((1 − 𝑇) · 𝑃)))
43 mullid 11260 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℂ → (1 · 𝑃) = 𝑃)
4443ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 · 𝑃) = 𝑃)
4541, 42, 443eqtr3d 2785 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝑃) + ((1 − 𝑇) · 𝑃)) = 𝑃)
4645oveq1d 7446 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((𝑇 · 𝑃) + ((1 − 𝑇) · 𝑃)) − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
4734, 37, 463eqtr2d 2783 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) = (𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
4847fveq2d 6910 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) = (abs‘(𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)))))
4931, 48eqtr4d 2780 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))))
5010, 15subcld 11620 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃𝐴) ∈ ℂ)
515, 50mulcld 11281 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · (𝑃𝐴)) ∈ ℂ)
5210, 26subcld 11620 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃𝐵) ∈ ℂ)
5320, 52mulcld 11281 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
5451, 53addcld 11280 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ∈ ℂ)
5554abscld 15475 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) ∈ ℝ)
5655adantr 480 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) ∈ ℝ)
5751abscld 15475 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) ∈ ℝ)
5853abscld 15475 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ∈ ℝ)
5957, 58readdcld 11290 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) ∈ ℝ)
6059adantr 480 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) ∈ ℝ)
61 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
6251, 53abstrid 15495 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) ≤ ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))))
6362adantr 480 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) ≤ ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))))
64 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 = 0 → (𝑇 · (𝑃𝐴)) = (0 · (𝑃𝐴)))
6550mul02d 11459 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 · (𝑃𝐴)) = 0)
6664, 65sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → (𝑇 · (𝑃𝐴)) = 0)
6766abs00bd 15330 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → (abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) = 0)
68 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 = 0 → (1 − 𝑇) = (1 − 0))
69 1m0e1 12387 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 − 0) = 1
7068, 69eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 = 0 → (1 − 𝑇) = 1)
7170oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 = 0 → ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)) = (1 · (𝑃𝐵)))
7252mullidd 11279 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 · (𝑃𝐵)) = (𝑃𝐵))
7371, 72sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)) = (𝑃𝐵))
7473fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) = (abs‘(𝑃𝐵)))
7567, 74oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) = (0 + (abs‘(𝑃𝐵))))
7652abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃𝐵)) ∈ ℝ)
7776recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
7877addlidd 11462 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 + (abs‘(𝑃𝐵))) = (abs‘(𝑃𝐵)))
7929cnmetdval 24791 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑃(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝑃𝐵)))
8010, 26, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝑃𝐵)))
8178, 80eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 + (abs‘(𝑃𝐵))) = (𝑃(abs ∘ − )𝐵))
8225simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )𝐵) < 𝑅)
8381, 82eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 + (abs‘(𝑃𝐵))) < 𝑅)
8483adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → (0 + (abs‘(𝑃𝐵))) < 𝑅)
8575, 84eqbrtrd 5165 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < 𝑅)
8685adantlr 715 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 = 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < 𝑅)
875, 50absmuld 15493 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) = ((abs‘𝑇) · (abs‘(𝑃𝐴))))
883simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ≤ 𝑇)
894, 88absidd 15461 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘𝑇) = 𝑇)
9089oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((abs‘𝑇) · (abs‘(𝑃𝐴))) = (𝑇 · (abs‘(𝑃𝐴))))
9187, 90eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) = (𝑇 · (abs‘(𝑃𝐴))))
9291ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) = (𝑇 · (abs‘(𝑃𝐴))))
9329cnmetdval 24791 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑃(abs ∘ − )𝐴) = (abs‘(𝑃𝐴)))
9410, 15, 93syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )𝐴) = (abs‘(𝑃𝐴)))
9514simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )𝐴) < 𝑅)
9694, 95eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃𝐴)) < 𝑅)
9796ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘(𝑃𝐴)) < 𝑅)
9850abscld 15475 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃𝐴)) ∈ ℝ)
9998ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘(𝑃𝐴)) ∈ ℝ)
100 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℝ)
1014ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → 𝑇 ∈ ℝ)
102 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ∈ ℝ)
103102, 4, 88leltned 11414 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 < 𝑇𝑇 ≠ 0))
104103biimpar 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ≠ 0) → 0 < 𝑇)
105104adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → 0 < 𝑇)
106 ltmul2 12118 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘(𝑃𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇)) → ((abs‘(𝑃𝐴)) < 𝑅 ↔ (𝑇 · (abs‘(𝑃𝐴))) < (𝑇 · 𝑅)))
10799, 100, 101, 105, 106syl112anc 1376 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → ((abs‘(𝑃𝐴)) < 𝑅 ↔ (𝑇 · (abs‘(𝑃𝐴))) < (𝑇 · 𝑅)))
10897, 107mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (𝑇 · (abs‘(𝑃𝐴))) < (𝑇 · 𝑅))
10992, 108eqbrtrd 5165 . . . . . . . . 9 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) < (𝑇 · 𝑅))
11020, 52absmuld 15493 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) = ((abs‘(1 − 𝑇)) · (abs‘(𝑃𝐵))))
11117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 1 ∈ ℝ)
1123simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ≤ 1)
1134, 111, 112abssubge0d 15470 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(1 − 𝑇)) = (1 − 𝑇))
114113oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((abs‘(1 − 𝑇)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃𝐵))))
115110, 114eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) = ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃𝐵))))
116115adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) = ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃𝐵))))
11776adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑃𝐵)) ∈ ℝ)
118 subge0 11776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝑇) ↔ 𝑇 ≤ 1))
11917, 4, 118sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 ≤ (1 − 𝑇) ↔ 𝑇 ≤ 1))
120112, 119mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ≤ (1 − 𝑇))
12119, 120jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − 𝑇)))
122121adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − 𝑇)))
12380, 82eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃𝐵)) < 𝑅)
124123adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑃𝐵)) < 𝑅)
125 ltle 11349 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘(𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑃𝐵)) < 𝑅 → (abs‘(𝑃𝐵)) ≤ 𝑅))
12676, 125sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑃𝐵)) < 𝑅 → (abs‘(𝑃𝐵)) ≤ 𝑅))
127124, 126mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑃𝐵)) ≤ 𝑅)
128 lemul2a 12122 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs‘(𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − 𝑇))) ∧ (abs‘(𝑃𝐵)) ≤ 𝑅) → ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅))
129117, 61, 122, 127, 128syl31anc 1375 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅))
130116, 129eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅))
131130adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅))
13257adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) ∈ ℝ)
13358adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ∈ ℝ)
134 remulcl 11240 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑇 · 𝑅) ∈ ℝ)
1354, 134sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑇 · 𝑅) ∈ ℝ)
136 remulcl 11240 . . . . . . . . . . . 12 (((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((1 − 𝑇) · 𝑅) ∈ ℝ)
13719, 136sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((1 − 𝑇) · 𝑅) ∈ ℝ)
138 ltleadd 11746 . . . . . . . . . . 11 ((((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ∈ ℝ) ∧ ((𝑇 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑇) · 𝑅) ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) < (𝑇 · 𝑅) ∧ (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅)) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅))))
139132, 133, 135, 137, 138syl22anc 839 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) < (𝑇 · 𝑅) ∧ (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅)) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅))))
140139adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) < (𝑇 · 𝑅) ∧ (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅)) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅))))
141109, 131, 140mp2and 699 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅)))
14240oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑅) = (1 · 𝑅))
143142adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑅) = (1 · 𝑅))
1445adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ)
14520adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
14661recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
147144, 145, 146adddird 11286 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑅) = ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅)))
148146mullidd 11279 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (1 · 𝑅) = 𝑅)
149143, 147, 1483eqtr3d 2785 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅)) = 𝑅)
150149adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅)) = 𝑅)
151141, 150breqtrd 5169 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < 𝑅)
15286, 151pm2.61dane 3029 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < 𝑅)
15356, 60, 61, 63, 152lelttrd 11419 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < 𝑅)
15455adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 = +∞) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) ∈ ℝ)
155154ltpnfd 13163 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 = +∞) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < +∞)
156 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑅 = +∞)
157155, 156breqtrrd 5171 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 = +∞) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < 𝑅)
158 0xr 11308 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
159158a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ∈ ℝ*)
16098rexrd 11311 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃𝐴)) ∈ ℝ*)
16150absge0d 15483 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ≤ (abs‘(𝑃𝐴)))
162159, 160, 11, 161, 96xrlelttrd 13202 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 < 𝑅)
163159, 11, 162xrltled 13192 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ≤ 𝑅)
164 ge0nemnf 13215 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅) → 𝑅 ≠ -∞)
16511, 163, 164syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑅 ≠ -∞)
16611, 165jca 511 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑅 ∈ ℝ*𝑅 ≠ -∞))
167 xrnemnf 13159 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑅 ≠ -∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∨ 𝑅 = +∞))
168166, 167sylib 218 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑅 ∈ ℝ ∨ 𝑅 = +∞))
169153, 157, 168mpjaodan 961 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < 𝑅)
17049, 169eqbrtrd 5165 . . 3 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < 𝑅)
171 elbl 24398 . . . 4 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < 𝑅)))
1729, 10, 11, 171mp3an2i 1468 . . 3 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < 𝑅)))
17328, 170, 172mpbir2and 713 . 2 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
174173, 7eleqtrrdi 2852 1 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  ccom 5689  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  [,]cicc 13390  abscabs 15273  ∞Metcxmet 21349  ballcbl 21351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-icc 13394  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359
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