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Theorem blcvx 22880
Description: An open ball in the complex numbers is a convex set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
blcvx.s 𝑆 = (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
Assertion
Ref Expression
blcvx (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem blcvx
StepHypRef Expression
1 simpr3 1252 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ (0[,]1))
2 elicc01 12494 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇𝑇 ≤ 1))
31, 2sylib 209 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇𝑇 ≤ 1))
43simp1d 1172 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ ℝ)
54recnd 10322 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ ℂ)
6 simpr1 1248 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐴𝑆)
7 blcvx.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
86, 7syl6eleq 2854 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
9 cnxmet 22855 . . . . . . . . 9 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
109a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
11 simpll 783 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑃 ∈ ℂ)
12 simplr 785 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
13 elbl 22472 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐴) < 𝑅)))
1410, 11, 12, 13syl3anc 1490 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐴) < 𝑅)))
158, 14mpbid 223 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐴) < 𝑅))
1615simpld 488 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
175, 16mulcld 10314 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ)
18 1re 10293 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
19 resubcl 10599 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
2018, 4, 19sylancr 581 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
2120recnd 10322 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
22 simpr2 1250 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐵𝑆)
2322, 7syl6eleq 2854 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐵 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
24 elbl 22472 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐵) < 𝑅)))
2510, 11, 12, 24syl3anc 1490 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐵 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐵) < 𝑅)))
2623, 25mpbid 223 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝐵) < 𝑅))
2726simpld 488 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
2821, 27mulcld 10314 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · 𝐵) ∈ ℂ)
2917, 28addcld 10313 . . 3 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℂ)
30 eqid 2765 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
3130cnmetdval 22853 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℂ) → (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (abs‘(𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)))))
3211, 29, 31syl2anc 579 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (abs‘(𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)))))
335, 11, 16subdid 10740 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · (𝑃𝐴)) = ((𝑇 · 𝑃) − (𝑇 · 𝐴)))
3421, 11, 27subdid 10740 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝑃) − ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
3533, 34oveq12d 6860 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) = (((𝑇 · 𝑃) − (𝑇 · 𝐴)) + (((1 − 𝑇) · 𝑃) − ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
365, 11mulcld 10314 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · 𝑃) ∈ ℂ)
3721, 11mulcld 10314 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · 𝑃) ∈ ℂ)
3836, 37, 17, 28addsub4d 10693 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((𝑇 · 𝑃) + ((1 − 𝑇) · 𝑃)) − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (((𝑇 · 𝑃) − (𝑇 · 𝐴)) + (((1 − 𝑇) · 𝑃) − ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
39 ax-1cn 10247 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
40 pncan3 10543 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
415, 39, 40sylancl 580 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
4241oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑃) = (1 · 𝑃))
435, 21, 11adddird 10319 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑃) = ((𝑇 · 𝑃) + ((1 − 𝑇) · 𝑃)))
44 mulid2 10292 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℂ → (1 · 𝑃) = 𝑃)
4544ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 · 𝑃) = 𝑃)
4642, 43, 453eqtr3d 2807 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝑃) + ((1 − 𝑇) · 𝑃)) = 𝑃)
4746oveq1d 6857 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((𝑇 · 𝑃) + ((1 − 𝑇) · 𝑃)) − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
4835, 38, 473eqtr2d 2805 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) = (𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
4948fveq2d 6379 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) = (abs‘(𝑃 − ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)))))
5032, 49eqtr4d 2802 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))))
5111, 16subcld 10646 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃𝐴) ∈ ℂ)
525, 51mulcld 10314 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · (𝑃𝐴)) ∈ ℂ)
5311, 27subcld 10646 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃𝐵) ∈ ℂ)
5421, 53mulcld 10314 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
5552, 54addcld 10313 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ∈ ℂ)
5655abscld 14460 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) ∈ ℝ)
5756adantr 472 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) ∈ ℝ)
5852abscld 14460 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) ∈ ℝ)
5954abscld 14460 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ∈ ℝ)
6058, 59readdcld 10323 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) ∈ ℝ)
6160adantr 472 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) ∈ ℝ)
62 simpr 477 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
6352, 54abstrid 14480 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) ≤ ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))))
6463adantr 472 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) ≤ ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))))
65 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 = 0 → (𝑇 · (𝑃𝐴)) = (0 · (𝑃𝐴)))
6651mul02d 10488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 · (𝑃𝐴)) = 0)
6765, 66sylan9eqr 2821 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → (𝑇 · (𝑃𝐴)) = 0)
6867abs00bd 14316 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → (abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) = 0)
69 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 = 0 → (1 − 𝑇) = (1 − 0))
70 1m0e1 11400 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 − 0) = 1
7169, 70syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 = 0 → (1 − 𝑇) = 1)
7271oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 = 0 → ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)) = (1 · (𝑃𝐵)))
7353mulid2d 10312 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 · (𝑃𝐵)) = (𝑃𝐵))
7472, 73sylan9eqr 2821 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)) = (𝑃𝐵))
7574fveq2d 6379 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) = (abs‘(𝑃𝐵)))
7668, 75oveq12d 6860 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) = (0 + (abs‘(𝑃𝐵))))
7753abscld 14460 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃𝐵)) ∈ ℝ)
7877recnd 10322 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
7978addid2d 10491 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 + (abs‘(𝑃𝐵))) = (abs‘(𝑃𝐵)))
8030cnmetdval 22853 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑃(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝑃𝐵)))
8111, 27, 80syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝑃𝐵)))
8279, 81eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 + (abs‘(𝑃𝐵))) = (𝑃(abs ∘ − )𝐵))
8326simprd 489 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )𝐵) < 𝑅)
8482, 83eqbrtrd 4831 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 + (abs‘(𝑃𝐵))) < 𝑅)
8584adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → (0 + (abs‘(𝑃𝐵))) < 𝑅)
8676, 85eqbrtrd 4831 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 = 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < 𝑅)
8786adantlr 706 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 = 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < 𝑅)
885, 51absmuld 14478 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) = ((abs‘𝑇) · (abs‘(𝑃𝐴))))
893simp2d 1173 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ≤ 𝑇)
904, 89absidd 14446 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘𝑇) = 𝑇)
9190oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((abs‘𝑇) · (abs‘(𝑃𝐴))) = (𝑇 · (abs‘(𝑃𝐴))))
9288, 91eqtrd 2799 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) = (𝑇 · (abs‘(𝑃𝐴))))
9392ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) = (𝑇 · (abs‘(𝑃𝐴))))
9430cnmetdval 22853 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑃(abs ∘ − )𝐴) = (abs‘(𝑃𝐴)))
9511, 16, 94syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )𝐴) = (abs‘(𝑃𝐴)))
9615simprd 489 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )𝐴) < 𝑅)
9795, 96eqbrtrrd 4833 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃𝐴)) < 𝑅)
9897ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘(𝑃𝐴)) < 𝑅)
9951abscld 14460 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃𝐴)) ∈ ℝ)
10099ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘(𝑃𝐴)) ∈ ℝ)
101 simplr 785 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℝ)
1024ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → 𝑇 ∈ ℝ)
103 0re 10295 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ∈ ℝ)
105104, 4, 89leltned 10444 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 < 𝑇𝑇 ≠ 0))
106105biimpar 469 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ≠ 0) → 0 < 𝑇)
107106adantlr 706 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → 0 < 𝑇)
108 ltmul2 11128 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘(𝑃𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇)) → ((abs‘(𝑃𝐴)) < 𝑅 ↔ (𝑇 · (abs‘(𝑃𝐴))) < (𝑇 · 𝑅)))
109100, 101, 102, 107, 108syl112anc 1493 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → ((abs‘(𝑃𝐴)) < 𝑅 ↔ (𝑇 · (abs‘(𝑃𝐴))) < (𝑇 · 𝑅)))
11098, 109mpbid 223 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (𝑇 · (abs‘(𝑃𝐴))) < (𝑇 · 𝑅))
11193, 110eqbrtrd 4831 . . . . . . . . 9 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) < (𝑇 · 𝑅))
11221, 53absmuld 14478 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) = ((abs‘(1 − 𝑇)) · (abs‘(𝑃𝐵))))
11318a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 1 ∈ ℝ)
1143simp3d 1174 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ≤ 1)
1154, 113, 114abssubge0d 14455 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(1 − 𝑇)) = (1 − 𝑇))
116115oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((abs‘(1 − 𝑇)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃𝐵))))
117112, 116eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) = ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃𝐵))))
118117adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) = ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃𝐵))))
11977adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑃𝐵)) ∈ ℝ)
120 subge0 10795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝑇) ↔ 𝑇 ≤ 1))
12118, 4, 120sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 ≤ (1 − 𝑇) ↔ 𝑇 ≤ 1))
122114, 121mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ≤ (1 − 𝑇))
12320, 122jca 507 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − 𝑇)))
124123adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − 𝑇)))
12581, 83eqbrtrrd 4833 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃𝐵)) < 𝑅)
126125adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑃𝐵)) < 𝑅)
127 ltle 10380 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘(𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑃𝐵)) < 𝑅 → (abs‘(𝑃𝐵)) ≤ 𝑅))
12877, 127sylan 575 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑃𝐵)) < 𝑅 → (abs‘(𝑃𝐵)) ≤ 𝑅))
129126, 128mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑃𝐵)) ≤ 𝑅)
130 lemul2a 11132 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs‘(𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − 𝑇))) ∧ (abs‘(𝑃𝐵)) ≤ 𝑅) → ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅))
131119, 62, 124, 129, 130syl31anc 1492 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((1 − 𝑇) · (abs‘(𝑃𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅))
132118, 131eqbrtrd 4831 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅))
133132adantr 472 . . . . . . . . 9 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅))
13458adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) ∈ ℝ)
13559adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ∈ ℝ)
136 remulcl 10274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑇 · 𝑅) ∈ ℝ)
1374, 136sylan 575 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑇 · 𝑅) ∈ ℝ)
138 remulcl 10274 . . . . . . . . . . . 12 (((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((1 − 𝑇) · 𝑅) ∈ ℝ)
13920, 138sylan 575 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((1 − 𝑇) · 𝑅) ∈ ℝ)
140 ltleadd 10765 . . . . . . . . . . 11 ((((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ∈ ℝ) ∧ ((𝑇 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑇) · 𝑅) ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) < (𝑇 · 𝑅) ∧ (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅)) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅))))
141134, 135, 137, 139, 140syl22anc 867 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) < (𝑇 · 𝑅) ∧ (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅)) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅))))
142141adantr 472 . . . . . . . . 9 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → (((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) < (𝑇 · 𝑅) ∧ (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵))) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝑅)) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅))))
143111, 133, 142mp2and 690 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅)))
14441oveq1d 6857 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑅) = (1 · 𝑅))
145144adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑅) = (1 · 𝑅))
1465adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ)
14721adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
14862recnd 10322 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
149146, 147, 148adddird 10319 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑅) = ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅)))
150148mulid2d 10312 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (1 · 𝑅) = 𝑅)
151145, 149, 1503eqtr3d 2807 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅)) = 𝑅)
152151adantr 472 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → ((𝑇 · 𝑅) + ((1 − 𝑇) · 𝑅)) = 𝑅)
153143, 152breqtrd 4835 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < 𝑅)
15487, 153pm2.61dane 3024 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑇 · (𝑃𝐴))) + (abs‘((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < 𝑅)
15557, 61, 62, 64, 154lelttrd 10449 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < 𝑅)
15656adantr 472 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 = +∞) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) ∈ ℝ)
157 ltpnf 12154 . . . . . . 7 ((abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) ∈ ℝ → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < +∞)
158156, 157syl 17 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 = +∞) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < +∞)
159 simpr 477 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑅 = +∞)
160158, 159breqtrrd 4837 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑅 = +∞) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < 𝑅)
161 0xr 10340 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
162161a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ∈ ℝ*)
16399rexrd 10343 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(𝑃𝐴)) ∈ ℝ*)
16451absge0d 14468 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ≤ (abs‘(𝑃𝐴)))
165162, 163, 12, 164, 97xrlelttrd 12193 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 < 𝑅)
166162, 12, 165xrltled 12183 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 0 ≤ 𝑅)
167 ge0nemnf 12206 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅) → 𝑅 ≠ -∞)
16812, 166, 167syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑅 ≠ -∞)
16912, 168jca 507 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑅 ∈ ℝ*𝑅 ≠ -∞))
170 xrnemnf 12151 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑅 ≠ -∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∨ 𝑅 = +∞))
171169, 170sylib 209 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑅 ∈ ℝ ∨ 𝑅 = +∞))
172155, 160, 171mpjaodan 981 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (abs‘((𝑇 · (𝑃𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝑃𝐵)))) < 𝑅)
17350, 172eqbrtrd 4831 . . 3 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < 𝑅)
174 elbl 22472 . . . 4 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < 𝑅)))
17510, 11, 12, 174syl3anc 1490 . . 3 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ↔ (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < 𝑅)))
17629, 173, 175mpbir2and 704 . 2 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
177176, 7syl6eleqr 2855 1 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937   class class class wbr 4809  ccom 5281  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  +∞cpnf 10325  -∞cmnf 10326  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  [,]cicc 12380  abscabs 14259  ∞Metcxmet 20004  ballcbl 20006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-xadd 12147  df-icc 12384  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014
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