MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eucrct2eupth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eucrct2eupth 30274
Description: Removing one edge (𝐼‘(𝐹𝐽)) from a graph 𝐺 with an Eulerian circuit 𝐹, 𝑃 results in a graph 𝑆 with an Eulerian path 𝐻, 𝑄. (Contributed by AV, 17-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
eucrct2eupth1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eucrct2eupth1.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eucrct2eupth1.d (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eucrct2eupth1.c (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
eucrct2eupth1.s (Vtx‘𝑆) = 𝑉
eucrct2eupth.n (𝜑𝑁 = (♯‘𝐹))
eucrct2eupth.j (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
eucrct2eupth.e (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))))
eucrct2eupth.k 𝐾 = (𝐽 + 1)
eucrct2eupth.h 𝐻 = ((𝐹 cyclShift 𝐾) prefix (𝑁 − 1))
eucrct2eupth.q 𝑄 = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
eucrct2eupth (𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem eucrct2eupth
StepHypRef Expression
1 eucrct2eupth1.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eucrct2eupth1.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 eucrct2eupth1.d . . . . . 6 (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
43adantl 481 . . . . 5 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
5 eucrct2eupth.k . . . . . . . 8 𝐾 = (𝐽 + 1)
65eqcomi 2744 . . . . . . 7 (𝐽 + 1) = 𝐾
76oveq2i 7442 . . . . . 6 (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) = (𝐹 cyclShift 𝐾)
8 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝐽 = (𝑁 − 1) → (𝐽 + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
9 eucrct2eupth.j . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
10 elfzo0 13737 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
11 nncn 12272 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
12113ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
1310, 12sylbi 217 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
14 npcan1 11686 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
159, 13, 143syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
168, 15sylan9eq 2795 . . . . . . . 8 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐽 + 1) = 𝑁)
1716oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) = (𝐹 cyclShift 𝑁))
18 eucrct2eupth.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 = (♯‘𝐹))
1918oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 cyclShift 𝑁) = (𝐹 cyclShift (♯‘𝐹)))
20 eucrct2eupth1.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
21 crctiswlk 29829 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
222wlkf 29647 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
25 cshwn 14832 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (𝐹 cyclShift (♯‘𝐹)) = 𝐹)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 cyclShift (♯‘𝐹)) = 𝐹)
2719, 26eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 cyclShift 𝑁) = 𝐹)
2827adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐹 cyclShift 𝑁) = 𝐹)
2917, 28eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) = 𝐹)
307, 29eqtr3id 2789 . . . . 5 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐹 cyclShift 𝐾) = 𝐹)
31 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹)
321, 2, 20, 31crctcshlem1 29847 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
33 fz0sn0fz1 13682 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0...(♯‘𝐹)) = ({0} ∪ (1...(♯‘𝐹))))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0...(♯‘𝐹)) = ({0} ∪ (1...(♯‘𝐹))))
3534eleq2d 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↔ 𝑥 ∈ ({0} ∪ (1...(♯‘𝐹)))))
36 elun 4163 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ({0} ∪ (1...(♯‘𝐹))) ↔ (𝑥 ∈ {0} ∨ 𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐹))))
3735, 36bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↔ (𝑥 ∈ {0} ∨ 𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐹)))))
38 elsni 4648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {0} → 𝑥 = 0)
39 0le0 12365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ≤ 0
4038, 39eqbrtrdi 5187 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ {0} → 𝑥 ≤ 0)
4140adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ {0}) → 𝑥 ≤ 0)
4241iftrued 4539 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ {0}) → if(𝑥 ≤ 0, (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁))) = (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)))
4318fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑃𝑁) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
44 crctprop 29825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
45 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
4645eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0))
4720, 44, 463syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0))
4843, 47eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑃𝑁) = (𝑃‘0))
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 = 0) → (𝑃𝑁) = (𝑃‘0))
50 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 0 → (𝑥 + 𝑁) = (0 + 𝑁))
519, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
5251addlidd 11460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0 + 𝑁) = 𝑁)
5350, 52sylan9eqr 2797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = 0) → (𝑥 + 𝑁) = 𝑁)
5453fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 = 0) → (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)) = (𝑃𝑁))
55 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 0 → (𝑃𝑥) = (𝑃‘0))
5655adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 = 0) → (𝑃𝑥) = (𝑃‘0))
5749, 54, 563eqtr4d 2785 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 = 0) → (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)) = (𝑃𝑥))
5838, 57sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ {0}) → (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)) = (𝑃𝑥))
5942, 58eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {0}) → if(𝑥 ≤ 0, (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁))) = (𝑃𝑥))
6059ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ {0} → if(𝑥 ≤ 0, (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁))) = (𝑃𝑥)))
61 elfznn 13590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → 𝑥 ∈ ℕ)
62 nnnle0 12297 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℕ → ¬ 𝑥 ≤ 0)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → ¬ 𝑥 ≤ 0)
6463adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ¬ 𝑥 ≤ 0)
6564iffalsed 4542 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → if(𝑥 ≤ 0, (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁))) = (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁)))
6661nncnd 12280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → 𝑥 ∈ ℂ)
6766adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝑥 ∈ ℂ)
6851adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ ℂ)
6967, 68pncand 11619 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ((𝑥 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑥)
7069fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁)) = (𝑃𝑥))
7165, 70eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → if(𝑥 ≤ 0, (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁))) = (𝑃𝑥))
7271ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → if(𝑥 ≤ 0, (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁))) = (𝑃𝑥)))
7360, 72jaod 859 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥 ∈ {0} ∨ 𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → if(𝑥 ≤ 0, (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁))) = (𝑃𝑥)))
7437, 73sylbid 240 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) → if(𝑥 ≤ 0, (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁))) = (𝑃𝑥)))
7574imp 406 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → if(𝑥 ≤ 0, (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁))) = (𝑃𝑥))
7675mpteq2dva 5248 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ 0, (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁)))) = (𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ (𝑃𝑥)))
7776adantl 481 . . . . . 6 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ 0, (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁)))) = (𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ (𝑃𝑥)))
785oveq2i 7442 . . . . . . . . . 10 (𝑁𝐾) = (𝑁 − (𝐽 + 1))
798oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 = (𝑁 − 1) → (𝑁 − (𝐽 + 1)) = (𝑁 − ((𝑁 − 1) + 1)))
8015oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 − ((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑁𝑁))
8151subidd 11606 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁𝑁) = 0)
8280, 81eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 − ((𝑁 − 1) + 1)) = 0)
8379, 82sylan9eq 2795 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑁 − (𝐽 + 1)) = 0)
8478, 83eqtrid 2787 . . . . . . . . 9 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑁𝐾) = 0)
8584breq2d 5160 . . . . . . . 8 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑥 ≤ (𝑁𝐾) ↔ 𝑥 ≤ 0))
865oveq2i 7442 . . . . . . . . . 10 (𝑥 + 𝐾) = (𝑥 + (𝐽 + 1))
8786fveq2i 6910 . . . . . . . . 9 (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)) = (𝑃‘(𝑥 + (𝐽 + 1)))
888oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 = (𝑁 − 1) → (𝑥 + (𝐽 + 1)) = (𝑥 + ((𝑁 − 1) + 1)))
8915oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 + ((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑥 + 𝑁))
9088, 89sylan9eq 2795 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑥 + (𝐽 + 1)) = (𝑥 + 𝑁))
9190fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑃‘(𝑥 + (𝐽 + 1))) = (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)))
9287, 91eqtrid 2787 . . . . . . . 8 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)) = (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)))
9386oveq1i 7441 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 + 𝐾) − 𝑁) = ((𝑥 + (𝐽 + 1)) − 𝑁)
9493fveq2i 6910 . . . . . . . . 9 (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)) = (𝑃‘((𝑥 + (𝐽 + 1)) − 𝑁))
9588oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 = (𝑁 − 1) → ((𝑥 + (𝐽 + 1)) − 𝑁) = ((𝑥 + ((𝑁 − 1) + 1)) − 𝑁))
9689oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥 + ((𝑁 − 1) + 1)) − 𝑁) = ((𝑥 + 𝑁) − 𝑁))
9795, 96sylan9eq 2795 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → ((𝑥 + (𝐽 + 1)) − 𝑁) = ((𝑥 + 𝑁) − 𝑁))
9897fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑃‘((𝑥 + (𝐽 + 1)) − 𝑁)) = (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁)))
9994, 98eqtrid 2787 . . . . . . . 8 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)) = (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁)))
10085, 92, 99ifbieq12d 4559 . . . . . . 7 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁))) = if(𝑥 ≤ 0, (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁))))
101100mpteq2dv 5250 . . . . . 6 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))) = (𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ 0, (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁)))))
10220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
1031wlkp 29649 . . . . . . . . 9 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
104 ffn 6737 . . . . . . . . 9 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)))
105102, 103, 1043syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)))
106105adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)))
107 dffn5 6967 . . . . . . 7 (𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)) ↔ 𝑃 = (𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ (𝑃𝑥)))
108106, 107sylib 218 . . . . . 6 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝑃 = (𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ (𝑃𝑥)))
10977, 101, 1083eqtr4d 2785 . . . . 5 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))) = 𝑃)
1104, 30, 1093brtr4d 5180 . . . 4 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐹 cyclShift 𝐾)(EulerPaths‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))))
11120adantl 481 . . . . 5 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
112111, 30, 1093brtr4d 5180 . . . 4 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐹 cyclShift 𝐾)(Circuits‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))))
113 eucrct2eupth1.s . . . 4 (Vtx‘𝑆) = 𝑉
114 elfzolt3 13706 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 0 < 𝑁)
1159, 114syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑁)
116 elfzoelz 13696 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
1179, 116syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
118117peano2zd 12723 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
1195, 118eqeltrid 2843 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
120 cshwlen 14834 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐾 ∈ ℤ) → (♯‘(𝐹 cyclShift 𝐾)) = (♯‘𝐹))
121120eqcomd 2741 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐾 ∈ ℤ) → (♯‘𝐹) = (♯‘(𝐹 cyclShift 𝐾)))
12224, 119, 121syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘(𝐹 cyclShift 𝐾)))
12318, 122eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝜑𝑁 = (♯‘(𝐹 cyclShift 𝐾)))
124115, 123breqtrd 5174 . . . . 5 (𝜑 → 0 < (♯‘(𝐹 cyclShift 𝐾)))
125124adantl 481 . . . 4 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 0 < (♯‘(𝐹 cyclShift 𝐾)))
126123adantl 481 . . . . 5 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝑁 = (♯‘(𝐹 cyclShift 𝐾)))
127126oveq1d 7446 . . . 4 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑁 − 1) = ((♯‘(𝐹 cyclShift 𝐾)) − 1))
128 eucrct2eupth.e . . . . . 6 (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))))
129128adantl 481 . . . . 5 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))))
13024, 18, 93jca 1127 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)))
131130adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)))
132 cshimadifsn0 14866 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) “ (0..^(𝑁 − 1))))
133131, 132syl 17 . . . . . . 7 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) “ (0..^(𝑁 − 1))))
1347imaeq1i 6077 . . . . . . 7 ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) “ (0..^(𝑁 − 1))) = ((𝐹 cyclShift 𝐾) “ (0..^(𝑁 − 1)))
135133, 134eqtrdi 2791 . . . . . 6 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift 𝐾) “ (0..^(𝑁 − 1))))
136135reseq2d 6000 . . . . 5 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐼 ↾ (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) = (𝐼 ↾ ((𝐹 cyclShift 𝐾) “ (0..^(𝑁 − 1)))))
137129, 136eqtrd 2775 . . . 4 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ ((𝐹 cyclShift 𝐾) “ (0..^(𝑁 − 1)))))
138 eqid 2735 . . . 4 ((𝐹 cyclShift 𝐾) prefix (𝑁 − 1)) = ((𝐹 cyclShift 𝐾) prefix (𝑁 − 1))
139 eqid 2735 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))) ↾ (0...(𝑁 − 1))) = ((𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))) ↾ (0...(𝑁 − 1)))
1401, 2, 110, 112, 113, 125, 127, 137, 138, 139eucrct2eupth1 30273 . . 3 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → ((𝐹 cyclShift 𝐾) prefix (𝑁 − 1))(EulerPaths‘𝑆)((𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))) ↾ (0...(𝑁 − 1))))
141 eucrct2eupth.h . . . 4 𝐻 = ((𝐹 cyclShift 𝐾) prefix (𝑁 − 1))
142141a1i 11 . . 3 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝐻 = ((𝐹 cyclShift 𝐾) prefix (𝑁 − 1)))
143 eucrct2eupth.q . . . . 5 𝑄 = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁))))
144 fzossfz 13715 . . . . . . . 8 (0..^𝑁) ⊆ (0...𝑁)
14518oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...𝑁) = (0...(♯‘𝐹)))
146144, 145sseqtrid 4048 . . . . . . 7 (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ (0...(♯‘𝐹)))
147146resmptd 6060 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))) ↾ (0..^𝑁)) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))))
148 elfzoel2 13695 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
149 fzoval 13697 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
1509, 148, 1493syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
151150reseq2d 6000 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))) ↾ (0..^𝑁)) = ((𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))) ↾ (0...(𝑁 − 1))))
152147, 151eqtr3d 2777 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))) = ((𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))) ↾ (0...(𝑁 − 1))))
153143, 152eqtrid 2787 . . . 4 (𝜑𝑄 = ((𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))) ↾ (0...(𝑁 − 1))))
154153adantl 481 . . 3 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))) ↾ (0...(𝑁 − 1))))
155140, 142, 1543brtr4d 5180 . 2 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
15620adantl 481 . . . 4 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
157 peano2nn0 12564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ0)
1581573ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ ℕ0)
159158adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ ¬ 𝐽 = (𝑁 − 1)) → (𝐽 + 1) ∈ ℕ0)
160 simpl2 1191 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ ¬ 𝐽 = (𝑁 − 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
161 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 1 ∈ ℂ)
162 nn0cn 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐽 ∈ ℕ0𝐽 ∈ ℂ)
1631623ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
16412, 161, 163subadd2d 11637 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → ((𝑁 − 1) = 𝐽 ↔ (𝐽 + 1) = 𝑁))
165 eqcom 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 = (𝑁 − 1) ↔ (𝑁 − 1) = 𝐽)
166 eqcom 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 = (𝐽 + 1) ↔ (𝐽 + 1) = 𝑁)
167164, 165, 1663bitr4g 314 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 = (𝑁 − 1) ↔ 𝑁 = (𝐽 + 1)))
168167necon3bbid 2976 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ↔ 𝑁 ≠ (𝐽 + 1)))
169157nn0red 12586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽 + 1) ∈ ℝ)
1701693ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ ℝ)
171 nnre 12271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1721713ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
173 nn0z 12636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐽 ∈ ℕ0𝐽 ∈ ℤ)
174 nnz 12632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
175 zltp1le 12665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 < 𝑁 ↔ (𝐽 + 1) ≤ 𝑁))
176173, 174, 175syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐽 < 𝑁 ↔ (𝐽 + 1) ≤ 𝑁))
177176biimp3a 1468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 + 1) ≤ 𝑁)
178170, 172, 177leltned 11412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → ((𝐽 + 1) < 𝑁𝑁 ≠ (𝐽 + 1)))
179178biimprd 248 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝑁 ≠ (𝐽 + 1) → (𝐽 + 1) < 𝑁))
180168, 179sylbid 240 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) → (𝐽 + 1) < 𝑁))
181180imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ ¬ 𝐽 = (𝑁 − 1)) → (𝐽 + 1) < 𝑁)
182159, 160, 1813jca 1127 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ ¬ 𝐽 = (𝑁 − 1)) → ((𝐽 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐽 + 1) < 𝑁))
183182ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) → ((𝐽 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐽 + 1) < 𝑁)))
18410, 183sylbi 217 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) → ((𝐽 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐽 + 1) < 𝑁)))
185 elfzo0 13737 . . . . . . . 8 ((𝐽 + 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝐽 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐽 + 1) < 𝑁))
186184, 185imbitrrdi 252 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) → (𝐽 + 1) ∈ (0..^𝑁)))
1879, 186syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) → (𝐽 + 1) ∈ (0..^𝑁)))
188187impcom 407 . . . . 5 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐽 + 1) ∈ (0..^𝑁))
1895a1i 11 . . . . 5 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝐾 = (𝐽 + 1))
19018eqcomd 2741 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐹) = 𝑁)
191190oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁))
192191adantl 481 . . . . 5 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁))
193188, 189, 1923eltr4d 2854 . . . 4 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
194 eqid 2735 . . . 4 (𝐹 cyclShift 𝐾) = (𝐹 cyclShift 𝐾)
195 eqid 2735 . . . 4 (𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))) = (𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹)))))
1963adantl 481 . . . 4 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
1971, 2, 156, 31, 193, 194, 195, 196eucrctshift 30272 . . 3 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → ((𝐹 cyclShift 𝐾)(EulerPaths‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐾)(Circuits‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹)))))))
198 simprl 771 . . . . 5 (((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) ∧ ((𝐹 cyclShift 𝐾)(EulerPaths‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐾)(Circuits‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))))) → (𝐹 cyclShift 𝐾)(EulerPaths‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))))
199 simprr 773 . . . . 5 (((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) ∧ ((𝐹 cyclShift 𝐾)(EulerPaths‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐾)(Circuits‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))))) → (𝐹 cyclShift 𝐾)(Circuits‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))))
200124ad2antlr 727 . . . . 5 (((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) ∧ ((𝐹 cyclShift 𝐾)(EulerPaths‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐾)(Circuits‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))))) → 0 < (♯‘(𝐹 cyclShift 𝐾)))
201123oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) = ((♯‘(𝐹 cyclShift 𝐾)) − 1))
202201ad2antlr 727 . . . . 5 (((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) ∧ ((𝐹 cyclShift 𝐾)(EulerPaths‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐾)(Circuits‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))))) → (𝑁 − 1) = ((♯‘(𝐹 cyclShift 𝐾)) − 1))
203128adantl 481 . . . . . . 7 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))))
204130adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)))
205204, 132syl 17 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) “ (0..^(𝑁 − 1))))
206205, 134eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift 𝐾) “ (0..^(𝑁 − 1))))
207206reseq2d 6000 . . . . . . 7 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐼 ↾ (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) = (𝐼 ↾ ((𝐹 cyclShift 𝐾) “ (0..^(𝑁 − 1)))))
208203, 207eqtrd 2775 . . . . . 6 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ ((𝐹 cyclShift 𝐾) “ (0..^(𝑁 − 1)))))
209208adantr 480 . . . . 5 (((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) ∧ ((𝐹 cyclShift 𝐾)(EulerPaths‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐾)(Circuits‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))))) → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ ((𝐹 cyclShift 𝐾) “ (0..^(𝑁 − 1)))))
210 eqid 2735 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))) ↾ (0...(𝑁 − 1))) = ((𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))) ↾ (0...(𝑁 − 1)))
2111, 2, 198, 199, 113, 200, 202, 209, 138, 210eucrct2eupth1 30273 . . . 4 (((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) ∧ ((𝐹 cyclShift 𝐾)(EulerPaths‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐾)(Circuits‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))))) → ((𝐹 cyclShift 𝐾) prefix (𝑁 − 1))(EulerPaths‘𝑆)((𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))) ↾ (0...(𝑁 − 1))))
212141a1i 11 . . . 4 (((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) ∧ ((𝐹 cyclShift 𝐾)(EulerPaths‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐾)(Circuits‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))))) → 𝐻 = ((𝐹 cyclShift 𝐾) prefix (𝑁 − 1)))
213190oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝐹) − 𝐾) = (𝑁𝐾))
214213breq2d 5160 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾) ↔ 𝑥 ≤ (𝑁𝐾)))
215214adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾) ↔ 𝑥 ≤ (𝑁𝐾)))
216190oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹)) = ((𝑥 + 𝐾) − 𝑁))
217216fveq2d 6911 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))) = (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))
218217adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))) = (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))
219215, 218ifbieq2d 4557 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹)))) = if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁))))
220219mpteq2dv 5250 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))) = (𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))))
221150eqcomd 2741 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) = (0..^𝑁))
222221adantl 481 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (0...(𝑁 − 1)) = (0..^𝑁))
223220, 222reseq12d 6001 . . . . . . 7 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))) ↾ (0...(𝑁 − 1))) = ((𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))) ↾ (0..^𝑁)))
22418adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝑁 = (♯‘𝐹))
225224oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (0...𝑁) = (0...(♯‘𝐹)))
226144, 225sseqtrid 4048 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (0..^𝑁) ⊆ (0...(♯‘𝐹)))
227226resmptd 6060 . . . . . . 7 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))) ↾ (0..^𝑁)) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))))
228223, 227eqtrd 2775 . . . . . 6 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))) ↾ (0...(𝑁 − 1))) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))))
229143, 228eqtr4id 2794 . . . . 5 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))) ↾ (0...(𝑁 − 1))))
230229adantr 480 . . . 4 (((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) ∧ ((𝐹 cyclShift 𝐾)(EulerPaths‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐾)(Circuits‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))))) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))) ↾ (0...(𝑁 − 1))))
231211, 212, 2303brtr4d 5180 . . 3 (((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) ∧ ((𝐹 cyclShift 𝐾)(EulerPaths‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐾)(Circuits‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((♯‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (♯‘𝐹))))))) → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
232197, 231mpdan 687 . 2 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
233155, 232pm2.61ian 812 1 (𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cdif 3960  cun 3961  ifcif 4531  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  cres 5691  cima 5692   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549   prefix cpfx 14705   cyclShift ccsh 14823  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  Walkscwlks 29629  Trailsctrls 29723  Circuitsccrcts 29817  EulerPathsceupth 30226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-csh 14824  df-wlks 29632  df-trls 29725  df-crcts 29819  df-eupth 30227
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator